06.03.2013 Views

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

266 CAPITOLUL 7<br />

¸si reprezentarea<br />

U(t) =<br />

∞<br />

uk(t) · ωk<br />

k=1<br />

a funct¸iei U(t). Pentru cǎ U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) funct¸iile uk(t) sunt <strong>de</strong>rivabile<br />

¸si au <strong>de</strong>rivatǎ continuǎ, iar U ′ (t) se reprezintǎ astfel:<br />

U ′ (t) =<br />

∞<br />

k=1<br />

u ′ k (t) · ωk.<br />

În virtutea acestei formule <strong>de</strong> reprezentare, egalitatea (7.41) pe care o satisface<br />

solut¸ia generalizatǎ U <strong>de</strong>vine:<br />

<br />

+<br />

<br />

−<br />

0<br />

T<br />

0<br />

T<br />

k=1<br />

+∞<br />

u ′ k (t)· < V ′ +∞<br />

(t), ωk > L2 (Ω) dt − u ′ k (0)· < V (0), ωk > L2 (Ω) +<br />

k=1<br />

k=1<br />

+∞<br />

T<br />

λk · uk(t) < V (t), ωk > L2 (Ω) dt =<br />

0<br />

+∞<br />

fk(t)· < V (t), ωk > L2 (Ω) dt.<br />

Fie acum j un numǎr natural oarecare fixat ¸si funct¸ia Vj ∈ ST <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong>:<br />

k=1<br />

Vj(t) = (T − t) · ωj.<br />

În egalitatea prece<strong>de</strong>ntǎ înlocuim V cu Vj, t¸inem seama <strong>de</strong> egalitǎt¸ile<br />

¸si obt¸inem:<br />

−T · < u1, ωj >L 2 (Ω) +<br />

< ωk, ωj >L 2 (Ω)= δkj; V ′ (t) = −ωj, V (0) = T · ωj<br />

<br />

0<br />

T<br />

u ′ j(t)dt + λj ·<br />

T<br />

pentru j = 1, 2, . . .<br />

Derivând <strong>de</strong> douǎ ori în raport cu T rezultǎ:<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩<br />

0<br />

(T − t) · fj(t)dt =<br />

u ′′ j(T) + λj · uj(T) = fj(T), (∀)T > 0<br />

u ′ j (0) =< u1, ωj > L 2 (Ω)<br />

uj(0) =< u0, ωj > L 2 (Ω), j = 1, 2, . . .<br />

T<br />

0<br />

(T − t)fj(t)dt<br />

(7.42)

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!