06.03.2013 Views

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

266 CAPITOLUL 7<br />

¸si reprezentarea<br />

U(t) =<br />

∞<br />

uk(t) · ωk<br />

k=1<br />

a funct¸iei U(t). Pentru cǎ U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) funct¸iile uk(t) sunt <strong>de</strong>rivabile<br />

¸si au <strong>de</strong>rivatǎ continuǎ, iar U ′ (t) se reprezintǎ astfel:<br />

U ′ (t) =<br />

∞<br />

k=1<br />

u ′ k (t) · ωk.<br />

În virtutea acestei formule <strong>de</strong> reprezentare, egalitatea (7.41) pe care o satisface<br />

solut¸ia generalizatǎ U <strong>de</strong>vine:<br />

<br />

+<br />

<br />

−<br />

0<br />

T<br />

0<br />

T<br />

k=1<br />

+∞<br />

u ′ k (t)· < V ′ +∞<br />

(t), ωk > L2 (Ω) dt − u ′ k (0)· < V (0), ωk > L2 (Ω) +<br />

k=1<br />

k=1<br />

+∞<br />

T<br />

λk · uk(t) < V (t), ωk > L2 (Ω) dt =<br />

0<br />

+∞<br />

fk(t)· < V (t), ωk > L2 (Ω) dt.<br />

Fie acum j un numǎr natural oarecare fixat ¸si funct¸ia Vj ∈ ST <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong>:<br />

k=1<br />

Vj(t) = (T − t) · ωj.<br />

În egalitatea prece<strong>de</strong>ntǎ înlocuim V cu Vj, t¸inem seama <strong>de</strong> egalitǎt¸ile<br />

¸si obt¸inem:<br />

−T · < u1, ωj >L 2 (Ω) +<br />

< ωk, ωj >L 2 (Ω)= δkj; V ′ (t) = −ωj, V (0) = T · ωj<br />

<br />

0<br />

T<br />

u ′ j(t)dt + λj ·<br />

T<br />

pentru j = 1, 2, . . .<br />

Derivând <strong>de</strong> douǎ ori în raport cu T rezultǎ:<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩<br />

0<br />

(T − t) · fj(t)dt =<br />

u ′′ j(T) + λj · uj(T) = fj(T), (∀)T > 0<br />

u ′ j (0) =< u1, ωj > L 2 (Ω)<br />

uj(0) =< u0, ωj > L 2 (Ω), j = 1, 2, . . .<br />

T<br />

0<br />

(T − t)fj(t)dt<br />

(7.42)

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!