Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

266 CAPITOLUL 7
¸si reprezentarea
U(t) =
∞
uk(t) · ωk
k=1
a funct¸iei U(t). Pentru cǎ U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) funct¸iile uk(t) sunt derivabile
¸si au derivatǎ continuǎ, iar U ′ (t) se reprezintǎ astfel:
U ′ (t) =
∞
k=1
u ′ k (t) · ωk.
În virtutea acestei formule de reprezentare, egalitatea (7.41) pe care o satisface
solut¸ia generalizatǎ U devine:
+
−
0
T
0
T
k=1
+∞
u ′ k (t)· < V ′ +∞
(t), ωk > L2 (Ω) dt − u ′ k (0)· < V (0), ωk > L2 (Ω) +
k=1
k=1
+∞
T
λk · uk(t) < V (t), ωk > L2 (Ω) dt =
0
+∞
fk(t)· < V (t), ωk > L2 (Ω) dt.
Fie acum j un numǎr natural oarecare fixat ¸si funct¸ia Vj ∈ ST definitǎ prin:
k=1
Vj(t) = (T − t) · ωj.
În egalitatea precedentǎ înlocuim V cu Vj, t¸inem seama de egalitǎt¸ile
¸si obt¸inem:
−T · < u1, ωj >L 2 (Ω) +
< ωk, ωj >L 2 (Ω)= δkj; V ′ (t) = −ωj, V (0) = T · ωj
0
T
u ′ j(t)dt + λj ·
T
pentru j = 1, 2, . . .
Derivând de douǎ ori în raport cu T rezultǎ:
⎧
⎨
⎩
0
(T − t) · fj(t)dt =
u ′′ j(T) + λj · uj(T) = fj(T), (∀)T > 0
u ′ j (0) =< u1, ωj > L 2 (Ω)
uj(0) =< u0, ωj > L 2 (Ω), j = 1, 2, . . .
T
0
(T − t)fj(t)dt
(7.42)