Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 47
(C1, C2 constante reale) ¸si arǎtǎm cǎ fiecare din acestea este solut¸ie a ecuat¸iei
(2.4).
Demonstrat¸ia se face prin verificare. Pentru exemplificare facem acest
calcul în cazul funct¸iei x1(t):
˙x1(t) = C1µ · e µt · cosνt − C1ν · e µt · sin νt
¨x1(t) = C1µ 2 · e µt · cosνt − 2C1µν · e µt · sin νt − C1ν 2 · e µt · cos νt
¸si înlocuind în ecuat¸ia (2.5) avem:
avem
a2¨x1 + a1 ˙x1 + a0x1 = C1 · e µt · cosνt (µ 2 − ν 2
)a2 + µa1 + a0 +
+ C1 · e µt · sin νt [−2µνa2 − νa1] .
Deoarece
¸si prin urmare:
a2(µ + iν) 2 + a1(µ + iν) + a0 = 0
(µ 2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 + i [2µνa2 + νa1] = 0
(µ 2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 = 0 ¸si 2µνa2 + νa1 = 0.
T¸inând seama de aceste egalitǎt¸i deducem egalitatea
a2¨x1 + a1 ˙x1 + a0x1 = 0
care aratǎ cǎ funct¸ia x1(t) = C1 ·e µt ·cosνt este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale
(2.4).
La fel se aratǎ cǎ funct¸ia x2(t) = C2 · e µt · sin νt este solut¸ie a ecuat¸iei
diferent¸iale (2.4).
Astfel, rezultǎ cǎ orice funct¸ie
x(t) = C1 · e µt · cos νt + C2 · e µt · sin νt (2.9)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.4).
Arǎtǎm în continuare cǎ pentru orice t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem determina
constantele C1 ¸si C2 în mod unic astfel încât sǎ aibe loc x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) =
x 1 0 .