Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

56 CAPITOLUL 2
Dacǎ printre rǎdǎcinile ecuat¸iei caracteristice (2.25) existǎ ¸si rǎdǎcini
complexe simple, de exemplu λ = µ+iν ¸si λ = µ −iν, atunci fiecǎrei perechi
de rǎdǎcini complex conjugate îi corespund solut¸iile
x 1 λ (t) = C1 λ · eµt · cosνt ¸si x 2 λ (t) = C2 λ · eµt · sin νt
Pentru µ = 0 aceste solut¸ii devin:
x 1 λ (t) = C1 λ · cosνt ¸si x2 λ (t) = C2 λ
· sin νt
Astfel, dacǎ ecuat¸ia caracteristicǎ are 2k rǎdǎcini complexe simple λj =
µj +iνj ¸si λj = µj −iνj, j = 1, k ¸si n−2k rǎdǎcini reale simple λ2k+1, . . .,λn,
atunci orice funct¸ie x(t) datǎ de:
x(t) =
k
j=1
C 1 j · e µjt · cosνjt +
k
j=1
C 2 j · e µjt · sin νjt +
n
j=2k+1
Cj · e λjt
(2.27)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24) (C 1 j , C2 j , j = 1, k ¸si Cj, j = 2k + 1, n sunt con-
stante reale oarecare).
Mai mult, oricare ar fi t0, x0 0 , x10 , ..., xn−1 0 ∈ IR 1 putem determina în mod
unic constantele C1 j , C2 j , j = 1, k ¸si Cj, j = 2k + 1, n astfel încât sǎ aibǎ loc
x(t0) = x0 0, ˙x(t0) = x1 0, ..., x (n−1) (t0) = x n−1
0 . În particular rezultǎ de aici cǎ
formula (2.27) reprezintǎ toate solut¸iile ecuat¸iei (2.24) în acest caz.
Dacǎ ecuat¸ia caracteristicǎ (2.25) are k rǎdǎcini reale λ1, . . .,λk având ordine
de multiplicitate q1, . . ., qk ¸si l rǎdǎcini complex conjugate µ1±iν1, . . .,µl±
iνl având ordine de multiplicitate r1, . . .,rl, atunci orice funct¸ie x(t) datǎ de
formula:
k
x(t) = e λjt
l
· Pqj−1(t) + e µjt
· Qrj−1(t) · cosνjt + Rrj−1(t) · sin νjt
j=1
j=1
(2.28)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24), unde Pqj−1(t) sunt polinoame de grad qj − 1 cu
coeficinet¸i reali nedeterminat¸i ¸si Qrj−1, Rrj−1 sunt polinoame de grad rj − 1
cu coeficient¸i reali nedeterminat¸i.
Mai mult, oricare ar fi t0, x 1 0 , x2 0
, ..., xn−1
0 ∈ IR 1 putem determina în mod
unic coeficient¸ii polinoamelor Pqj−1, Qqj−1, Rqj−1 astfel încât sǎ aibǎ loc x(t0) =
x 1 0, ˙x(t0) = x 2 0, ..., x (n−1) (t0) = x n−1
0 .
În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.28) reprezintǎ toate solut¸iile
ecuat¸iei (2.24) în acest caz.