Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 121
Fie I ⊂ IR 1 un interval deschis, D ⊂ IR n un domeniu, Ω ⊂ IR m un
domeniu, F : I × D × Ω → IR n o funct¸ie vectorialǎ ¸si sistemul de ecuat¸ii
diferent¸iale de ordinul întâi cu parametru scris sub forma matricealǎ:
˙X = F(t, X, µ) t ∈ I, X ∈ D, µ ∈ Ω. (4.10)
Considerǎm un punct (t0, X 0 , µ 0 ) ∈ I × D × Ω ¸si problema Cauchy:
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X, µ 0 )
X(t0) = X 0
(4.11)
Presupunem cǎ funct¸ia F este de clasǎ C 1 în raport cu (t, X) ¸si este continuǎ
în raport cu parametrul µ ¸si considerǎm solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 , µ 0 )
a problemei Cauchy (4.11) definitǎ pe intervalul I0.
Teorema 4.3.9 (de dependent¸ǎ continuǎ de parametru)
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2] ⊂ I0, care cont¸ine punctul t0 în
interior (t0 ∈ ◦
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ δ = δ(ε, I∗) > 0, astfel încât,
dacǎ µ − µ 0 < δ, atunci solut¸ia saturatǎ X = X(t; t0, X 0 , µ) a problemei
Cauchy ⎧ ⎨
⎩
˙X = F(t, X, µ)
X(t0) = X 0
este definitǎ pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:
pentru orice t ∈ I∗.
X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 ) < ε
Demonstrat¸ie: Fie r1 > 0 ¸si r2 > 0 astfel ca mult¸imea ∆ ¸si S definite
prin:
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗, ||X − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| ≤ r1}
S = S(µ 0 , r2) = {µ : ||µ − µ 0 || ≤ r2}
sǎ verifice ∆ ⊂ I × Ω, respectiv S ⊂ Ω1.
Existǎ K > 0 astfel încât sǎ avem:
||F(t, X 1 , µ)−F(t, X 2 , µ)|| ≤ K ·||X 1 −X 2 ||, (∀)(t, X 1 , µ), (t, X 2 , µ) ∈ ∆×S