Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 265
Deoarece
¸si
< V ′′ (t), V ′ (t) > L2 (Ω)= 1 d
·
2 dt V ′ (t) 2
L2 (Ω)
< V ′ (t), V (t) >A= 1
2
egalitatea precedentǎ implicǎ egalitatea:
· d
dt V (t)2 A
V ′ (T) 2
L2 (Ω) − V ′ (0) 2
L2 (Ω) − V (T)2A + V (0)2A = 0.
T¸inem seamǎ acum de egalitǎt¸ile V (T) = 0, V ′ (0) = U(0) = 0 ¸si deducem
cǎ:
V ′ (T) 2
L 2 (Ω) + V ′ (T) 2 A = 0,
din care rezultǎ V ′ (T) = 0 ¸si V (0) = 0.
Întrucât T > 0 este oarecare rezultǎ V ′ (T) = −U(T) = 0. Prin urmare
U1(T) = U2(T), (∀)T ≥ 0. Astfel, rezultǎ cele douǎ solut¸ii generalizate
coincid.
Consecint¸a 7.4.1 Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o solut¸ie clasicǎ.
Teorema 7.4.5 (de existent¸ǎ a solut¸iei generalizate)
Dacǎ funct¸ia F definitǎ prin F(T)(X) = f(t, X) este continuǎ ca funct¸ie cu
valori în L 2 (Ω) ¸si dacǎ u0 ∈ H 1 0, u1 ∈ L 2 (Ω), atunci problema (7.36)-(7.39)
are o solut¸ie generalizatǎ.
Demonstrat¸ie: Facem demonstrat¸ia în douǎ etape.
În prima etapǎ deducem o formulǎ de reprezentare a solut¸iei generalizate în
ipoteza cǎ aceastǎ solut¸ie existǎ.
În a doua etapǎ arǎtǎm cǎ formula de reprezentare gǎsitǎ în prima etapǎ, în
condit¸iile teoremei, define¸ste o funct¸ie care este o solut¸ie generalizatǎ.
Etapa I. Presupunem cǎ U = U(t) este o solut¸ie generalizatǎ a problemei
(7.36)-(7.39) ¸si considerǎm ¸sirul valorilor proprii
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ≤ λk ≤ · · · → ∞
ai prelungirii Friedrichs A a operatorului A, ¸si apoi ¸sirul ortonormat de funct¸ii
proprii (ωk)k∈IN corespunzǎtor, care este complet în spat¸iul L 2 (Ω).
Considerǎm funct¸iile
uk(t) =< U(t), ωk > L 2 (Ω)