Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

110 CAPITOLUL 4
Considerǎm intervalul deschis I =
definitǎ pe I în modul urmǎtor:
α∈Λ
Iα, precum ¸si funct¸ia x = x(t)
”pentru t ∈ I considerǎm α ∈ Λ, astfel ca t ∈ Iα ¸si definim x(t) = xα(t)”.
Aceastǎ definit¸ie este corectǎ dacǎ, pentru orice t ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, avem
xα ′(t) = xα ′′(t). Analizǎm aceastǎ implicat¸ie pentru t > t0 (cazul t < t0
se trateazǎ la fel).
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si presupunem cǎ existǎ
t1 > t0, t1 ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, astfel ca xα ′(t1) = xα ′′(t1). Considerǎm în continuare
¸si remarcǎm cǎ
t∗ = inf{t1 : t1 > t0, t1 ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, xα ′(t1) = xα ′′(t1)}
xα ′(t∗) = xα ′′(t∗) = x∗.
Punctul (t∗, x∗) este în domeniul Ω, (t∗, x∗) ∈ Ω, ¸si putem considera
constantele pozitive a∗, b∗, K∗ astfel ca:
- dreptunghiul ∆∗ = {(t, x): |t − t∗| ≤ a∗, |x − x∗| ≤ b∗} sǎ fie inclus în
Ω (∆∗ ⊂ Ω);
- intervalul [t∗, t∗ + a∗] sǎ fie inclus în intersect¸ia Iα ′ ∩ Iα ′′;
- pentru orice t ∈ [t∗, t∗ + a∗] sǎ avem:
|xα ′(t) − x∗| ≤ b∗ ¸si |xα ′′(t) − x∗| ≤ b∗;
- pentru orice (t, x), (t, y) ∈ ∆∗ sǎ avem:
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K∗|x − y|.
Fie acum t1 ∈ [t∗, t∗ + a∗], astfel ca xα ′(t1) = xα ′′(t1). Din definit¸ia lui t∗
rezultǎ cǎ, existǎ asemenea puncte t1, oricât de aproape de t∗
Pentru t1 fixat, fie ε > 0 astfel ca ε < |xα ′(t1) − xα ′′(t1)|e −K∗·a∗ .
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t∗, t∗ + a∗] avem:
xα ′(t) = x∗ +
t
t∗
f(s, xα ′(s))ds,