Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Funct¸ia Green pentru Problema Neumann 207
6.6 Funct¸ia Green pentru Problema
Neumann
Considerǎm Problema Neumann
⎧
⎪⎨
−∆u = f, (∀)(x1, . . .,xn) ∈ Ω
⎪⎩
∂u
= g
∂¯n
∂Ω
(6.34)
în care f : Ω → IR 1 este funct¸ie de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si g : ∂Ω → IR 1 este funct¸ie
continuǎ.
Presupunem cǎ funct¸iile f ¸si g verificǎ:
f(Y ) dY + g(Y ) dSY = 0. (6.35)
Ω
∂Ω
Definit¸ia 6.6.1 Numim funct¸ia Green pentru Problema Neumann (6.34)
orice funct¸ie G de forma
G(X, Y ) = E(X, Y ) − v(X, Y ) (6.36)
care verificǎ
∂G
(X, Y ) = 0, (∀)Y = (y1, . . .,yn) ∈ ∂Ω (6.37)
∂¯nY
unde v : Ω × Ω → IR 1 ¸si pentru orice Y ∈ Ω fixat funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este
armonicǎ pe Ω, iar E(X, Y ) este definitǎ pentru orice X, Y ∈ Ω, X = Y ¸si
este datǎ de:
⎧
⎪⎨
1
E(X, Y )=
2π
⎪⎩
ln
1
, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n=2
X −Y
1 1
(6.38)
·
(n−2)σn X −Y n−2, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n>2
Observat¸ia 6.6.1 Dacǎ G1 ¸si G2 sunt funct¸ii Green pentru Problema
Neumann, atunci G1 − G2 = const.
Propozit¸ia 6.6.1 Dacǎ pentru orice X ∈ ¯ Ω funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este de
clasǎ C 1 pe ¯ Ω, atunci funct¸ia Green pentru Problema Neumann este
simetricǎ:
G(X1, X2) = G(X2, X1), (∀)X1, X2 ∈ Ω ¸si X1 = X2. (6.39)