Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

114 CAPITOLUL 4
Demonstrat¸ie: Pentru cazul n = 1, rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si
presupunem cǎ solut¸ia saturatǎ x = x(t; t0, x0) este mǎrginitǎ pe [t0, β0).
Considerǎm m > 0, astfel ca |x(t; t0, x0)| ≤ m, (∀) t ∈ [t0, β0) ¸si tn ∈ [t0, β0)
astfel încât lim tn = β0. S¸irul {x(tn; t0, x0)}n este mǎrgint ¸si are un sub¸sir
n→∞
convergent la un numǎr λ. Deoarece Ω = IR n punctul (β0, λ) apart¸ine lui Ω,
ceea ce este în contradict¸ie cu teorema precedentǎ.
Pentru cazul n ≥ 2 se rat¸ioneazǎ în mod analog.
Teorema 4.3.5 Dacǎ I = IR 1 , D = IR n ¸si F este lipschitzianǎ pe orice
bandǎ de forma ∆ = J ×IR n , unde J ⊂ IR 1 este un interval compact oarecare,
atunci orice solut¸ie saturatǎ este definitǎ pe IR 1 .
Demonstrat¸ie: Pentru cazul n = 1, rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si
presupunem cǎ intervalul de definit¸ie I0 = (α0, β0) al solut¸iei saturate x =
x(t; t0, x0) este mǎrginit la dreapta: β0 < +∞.
Pentru t ∈ [t0, β0) scriem inegalitatea:
|x(t; t0, x0) − x0| ≤
t
t0
≤Kβ0
|f(s, x(s : t0, x0))−f(s, x0)|ds +
t
t0
t0
t
|f(s, x0)|ds ≤
|x(s; t0, x0)−x0|ds + (β0 − t0) sup |f(s, x0)|.
s∈[t0,β0]
Rezultǎ de aici cǎ pentru orice t ∈ [t0, β0] avem:
|x(t; t0, x0) − x0| ≤ (β0 − t0) · sup
s∈[t0,β0]
|f(s, x0)| · e Kβ (β0−t0)
0 .
Aceastǎ inegalitate aratǎ cǎ funct¸ia x(t; t0, x0) este mǎrginitǎ pe intervalul
[t0, β0), ceea ce este în contradict¸ie cu concluzia din teorema anterioarǎ.
Analog se face rat¸ionamentul pentru cazul n ≥ 2.
Consecint¸a 4.3.1 Dacǎ I = (a, b), D = IR n ¸si β0 < b (respectiv
α0 > a), atunci solut¸ia saturatǎ este nemǎrginitǎ pe intervalul [t0, β) (respectiv
(α0, t0]).
Consecint¸a 4.3.2 Dacǎ I = (a, b), D = IR n ¸si F este lipschitzianǎ în raport
cu X pe orice bandǎ de forma J × I, unde J ⊂ IR 1 este un interval compact
inclus în I, atunci orice solut¸ie saturatǎ este definitǎ pe I.