Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

116 CAPITOLUL 4
δ = δ(ε, I∗), astfel ca, pentru orice X 1 cu X 1 − X 0 < δ, solut¸ia saturatǎ
X 1 = X 1 (t; t0, X 1 ) a problemei Cauchy
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 1
este definitǎ cel put¸in pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε, (∀) t ∈ I∗.
Demonstrat¸ie: Pentru t ∈ I∗, fie at > 0 ¸si bt > 0, astfel ca cilindrul
∆t = {(τ, X) : |τ − t| ≤ at ¸si X − X(t; t0, X0 ) ≤ bt} sǎ fie inclus în
mult¸imea I × Ω ( ∆t ⊂ I × Ω).
Mult¸imea Γ definitǎ prin Γ = {(t, X(t; t0, X0 )) : t ∈ I∗} este compactǎ ¸si
este inclusǎ în mult¸imea ◦
∆t; Γ ⊂ ◦
∆t . Existǎ, prin urmare, un numǎr
t∈I∗
t∈I∗
finit de puncte t1, t2, . . ., tq în I∗, astfel ca Γ ⊂ q
j=1
◦
∆tj .
Considerǎm funct¸ia d(Y, Z) = Y − Z definitǎ pentru Y ∈ Γ ¸si Z de pe
q
q
frontiera mult¸imii ; Z ∈ ∂( ∆tj ).
∆tj
j=1
j=1
Existǎ r > 0, astfel ca d(Y, Z) > r, pentru orice Y ∈ Γ ¸si Z ∈ ∂( q
Tubul de securitate ∆, definit prin:
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗ ¸si X − X(t; t0, X 0 ) ≤ r}
verificǎ urmǎtoarele incluziuni:
∆ ⊂
q
j=1
◦
∆tj
⊂ I × Ω
¸si existǎ K > 0, astfel ca, pentru orice (t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem:
F(t, X 1 ) − F(t, X 2 ) ≤ K · X 1 − X 2
∆tj
j=1
).
(o funct¸ie local Lipschitzianǎ este global Lipschitzianǎ pe compacte).
Notǎm cu h = max{T2 − t0, t0 − T1} ¸si considerǎm ε, 0 < ε < r. Fie
δ = δ(ε, I∗) = ε · 2 −1 · e −Kh ¸si X 1 , astfel ca X 1 − X 0 < δ. Notǎm cu