Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 109
4.3 Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor
Considerǎm I ⊂ IR 1 un interval deschis, D ⊂ IR n un domeniu,
F : I × D → IR n o funct¸ie vectorialǎ ¸si sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale de
ordinul întâi scris sub forma matricealǎ:
˙X = F(t, X). (4.5)
Fie X 1 : J1 ⊂ I → D ¸si X 2 : J2 ⊂ I → D douǎ solut¸ii locale ale sistemului
(4.5).
Definit¸ia 4.3.1 Zicem cǎ solut¸ia localǎ X 2 este o prelungire a solut¸iei locale
X 1 ¸si notǎm X 1 ≤ X 2 , dacǎ J1 ⊂ J2 ¸si X 1 (t) = X 2 (t) pentru orice t ∈ J1.
Relat¸ia binarǎ X 1 ≤ X 2 introdusǎ în mult¸imea solut¸iilor locale ale sistemului
(4.5) este o relat¸ie de ordine part¸ialǎ.
Definit¸ia 4.3.2 Orice solut¸ie localǎ a sistemului (4.5) care este element
maximal (i.e. nu mai poate fi prelungitǎ) se nume¸ste solut¸ie saturatǎ.
O solut¸ie saturatǎ este o solut¸ie care nu este prelungibilǎ.
Teorema 4.3.1 Dacǎ funct¸ia F : I ×D → IR n este de clasǎ C 1 pe domeniul
Ω = I × D ¸si (t0, X 0 ) ∈ I × D, atunci problema cu date init¸iale:
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 0
are solut¸ie saturatǎ X(t; t0, X 0 ) unicǎ.
(4.6)
Demonstrat¸ie: Vom face demonstrat¸ia pentru cazul n = 1, cazul n ≥ 2
fǎcându-se analog.
Considerǎm familia de funct¸ii {xα}α∈Λ, xα : Iα → IR 1 , t0 ∈ Iα, formatǎ
cu toate solut¸iile locale ale problemei:
⎧
⎨ ˙x = f(t, x)
(4.7)
⎩
x(t0) = x0
Teorema Cauchy-Lipschitz de existent¸ǎ ¸si unicitate a solut¸iei locale pentru
problema cu date init¸iale în cazul unei ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi,
asigurǎ faptul cǎ aceastǎ familie de funct¸ii are cel put¸in un element.