Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Calculul simbolic al solut¸iei Problemei Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 215
6.8 Calculul simbolic al solut¸iei Problemei
Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace
pe disc
Cosiderǎm Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe discul de
razǎ R:
⎧
⎨
⎩
∂ 2 u
∂x2 + ∂2u ∂y
u |∂Ω= h
2 = 0, (∀)(x, y) ∈ Ω
(6.63)
Funct¸ia pdsolve nu poate gǎsi direct, prin calcul simbolic solut¸ia corespunzǎtoare
unei astfel de probleme. Astfel, pe baza not¸iunilor teoretice
prezentate în paragraful precedent (formula pentru solut¸ia formalǎ), vom
prezenta un program in Maple care sǎ afi¸seze expresia analiticǎ a solut¸iei
Problemei Dirichlet (6.63).
Scriind problema în coordonate polare:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
lim | u(r, ϕ) |< +∞
r→0
u(R, ϕ) = h(ϕ)
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)
¸si dezvoltând funct¸ia h în serie Fourier, se obt¸ine solut¸ia formalǎ:
u(r, ϕ) = a0 +
∞
n=1
în care a0, an, bn sunt coeficient¸ii Fourier:
a0 = 1
2π
π
−π
(6.64)
r n
R n(an cosnϕ + bn sin nϕ). (6.65)
h(ϕ)dϕ an = 1
π
bn = 1
π
π
−π
π
−π
h(ϕ) · sin nϕdϕ
h(ϕ) · cos nϕdϕ