Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

4 CAPITOLUL 1
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = f(t) (numitǎ problema primitivei) în care f este o funct¸ie realǎ
continuǎ definitǎ pe un interval deschis (a, b) ⊂ IR 1 .
2. Oricare ar fi solut¸ia x = x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale ˙x = f(t) existǎ o
constantǎ realǎ C astfel încât
x(t) =
t
t ∗
f(τ)dτ + C, (∀)t ∈ (a, b).
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ IR 1 existǎ o singurǎ funct¸ie x = x(t)
definitǎ pe (a, b) care este solut¸ia problemei cu date init¸iale
Exercit¸ii
˙x = f(t)
x(t0) = x0
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
a) ˙x = 1 + t + t 2 ; t ∈ IR 1
R : x(t) = t3
3
+ t2
2
b) ˙x = 1
; t > 0 R: x(t) = lnt + C
t
+ t + C
c) ˙x = 1 + sin t + cos 2t; t ∈ IR 1 R: x(t) = t − cost + 1
sin 2t + C
2
d) ˙x = 1
1 + t2; t ∈ IR1
R: x(t) = arctant + C
e) ˙x = 1
t2 1
; t ∈ (−1, 1) R: x(t) =
− 1 2
f) ˙x =
1 − t
ln + C
1 + t
1
√ t 2 − 4 ; t ∈ IR 1 − [−2, 2] R: x(t) = ln(t + √ t 2 − 4) + C