Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

102 CAPITOLUL 4
Rezolvare:
Fie x(t) înǎlt¸imea lichidului din rezervor la momentul t. Notǎm cu A aria
bazei cilindrului ¸si cu a aria gǎurii. Dupǎ legea lui Toricelli avem:
˙x = − a √
2g · x
A
Dacǎ I este înǎlt¸imea rezervorului, atunci x = I corespunde la situat¸ia când
rezervorul este plin ¸si x = 0 la situat¸ia când rezervorul este gol. Dacǎ la
momentul t = 0 rezervorul este plin, atunci x(0) = I ¸si avem:
2 √ u| x I = − a
A
2g · t
de unde:
√ a 2 x(t) = I − 2g · t .
2A
Timpul de golire este t∗ = 2A
a
I
¸si deci:
2g
⎧
⎪⎨
a
2g · t∗ −
x(t) =
2A
⎪⎩
a
2A · 2 2g · t
0
pentru
pentru
0 ≤ t ≤ t∗
t ≥ t∗
reprezintǎ legea de golire a rezervorului dacǎ acesta a fost plin la
momentul t = 0.
Existǎ o infinitate de solut¸ii x(t) ale ecuat¸iei
˙x = − a √
2g · x
A
care pentru t = t∗ sunt egale cu zero. Acestea sunt date de formula:
⎧
⎪⎨
2g · a
xτ(t) =
⎪⎩
2
4A2 (t∗ − t − τ) 2
pentru − τ ≤ t ≤ t∗ − τ
0 pentru t ≥ t∗ − τ
Solut¸ia xτ(t) reprezintǎ legea de golire a rezervorului care la momentul −τ a
fost plin. Pe lângǎ aceste solut¸ii problema Cauchy
⎧
⎪⎨
˙x = −
⎪⎩
a√2g A · √ x
x(t∗) = 0