Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

212 CAPITOLUL 6
Pentru determinarea solut¸iei Problemei Dirichlet (6.44), mai întâi sriem
problema în coordonate polare:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
lim | u(r, ϕ) |< +∞
r→0
u(R, ϕ) = h(ϕ)
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)
unde h(ϕ) = h(R cosϕ, R sin ϕ).
Considerǎm dezvoltarea funct¸iei h în serie Fourier în L 2 [0, 2π)
h(ϕ) = a0 +
(6.58)
∞
(an cos nϕ + bn sin nϕ) (6.59)
n=1
¸si impunem solut¸iei formale u(r, ϕ) datǎ de (6.57) sǎ verifice condit¸iile (6.58).
Deducem:
A0 = a0, An = an
Rn ¸si Bn = bn
Rn care înlocuite, conduc la solut¸ia formalǎ:
u(r, ϕ) = a0 +
∞
n=1
r n
R n(an cos nϕ + bn sin nϕ). (6.60)
Pentru a demonstra cǎ aceastǎ solut¸ie formalǎ este solut¸ia problemei vom
presupune cǎ funct¸ia h este de clasǎ C2 ¸si h(0) = h(2π). În aceste condit¸ii
pentru coeficient¸ii Fourier an, bn ai funct¸iei h putem scrie:
an = − 1
n bn ′ = − 1
n 2an ′′ ¸si bn = 1
n an ′ = − 1
n 2bn ′′ . (6.61)
unde a ′ n, b ′ n ¸si a ′′ n, b ′′ n sunt coeficient¸ii Fourier ai funct¸iei h ′ , respectiv h ′′ .
Din apartenent¸a h ′′ ∈ L2 ∞
[0, 2π) avem
(|an ′′ | 2 + |bn ′′ | 2 ) < +∞ de unde
n=1
rezultǎ cǎ existǎ M > 0 astfel încât sǎ avem |an ′′ | ≤ M ¸si |bn ′′ | ≤ M pentru