Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...
Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...
Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Capitolul</strong> 1<br />
Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi <strong>rezolvabile</strong> <strong>prin</strong> meto<strong>de</strong><br />
elementare<br />
Definit¸ia 1.0.1 O ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi este o relat¸ie <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ<br />
funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma<br />
g(t, x, ˙x) = 0 (1.1)<br />
între funct¸ia i<strong>de</strong>nticǎ t ↦→ t <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul I necunoscut, o funct¸ie<br />
necunoscutǎ x ¸si <strong>de</strong>rivata ei ˙x <strong>de</strong>finite pe acela¸si interval.<br />
În ecuat¸ia (1.1) funct¸ia g se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscutǎ, iar rezolvarea ecuat¸iei<br />
înseamnǎ <strong>de</strong>terminarea funct¸iilor necunoscute x care verificǎ ecuat¸ia.<br />
Definit¸ia 1.0.2 O funct¸ie realǎ x <strong>de</strong> clasǎ C 1 <strong>de</strong>finitǎ pe un interval <strong>de</strong>schis<br />
I ⊂ IR 1 se nume¸ste solut¸ie a ecuat¸iei (1.1) dacǎ pentru orice t ∈ I tripletul<br />
(t, x(t), ˙x(t)), apart¸ine domeniului <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie al lui g ¸si<br />
g(t, x(t), ˙x(t)) = 0. (1.2)<br />
Graficul unei solut¸ii: Γ = {(t, x(t))|t ∈ I} se nume¸ste curbǎ integralǎ.<br />
La început vom prezenta câteva cazuri particulare <strong>de</strong> asemenea ecuat¸ii,<br />
care se rezolvǎ cu meto<strong>de</strong> elementare ¸si probleme concrete din diferite domenii<br />
care au condus la asemenea ecuat¸ii.<br />
1
2 CAPITOLUL 1<br />
1.1 Problema primitivei. Ecuat¸ii<br />
diferent¸iale <strong>de</strong> forma ˙x = f(t)<br />
Problema 1.1.1 O conductǎ termicǎ are diametrul 10 (cm) ¸si este izolatǎ<br />
cu un strat cilindric <strong>de</strong> 10 (cm) grosime. Temperatura conductei este<br />
160 ( ◦ C), iar temperatura mediului exterior este 30 ( ◦ C).<br />
i) Care este legea <strong>de</strong> variat¸ie a temperaturii în stratul izolant în cazul<br />
stat¸ionar?<br />
ii) Ce cantitate <strong>de</strong> cǎldurǎ ce<strong>de</strong>azǎ fiecare metru <strong>de</strong> conductǎ în 24 ore?<br />
Se dǎ coeficientul <strong>de</strong> conductivitate termicǎ k = 0, 07 (W/K · m).<br />
Rezolvare:<br />
Fie t distant¸a unui punct din stratul izolant ¸si axa conductei termice,<br />
t ∈ (5, 15) × 10 −2 m ¸si x(t) temperatura în acest punct. Temperatura este<br />
funct¸ia necunoscutǎ ¸si <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> t, iar funct¸ia x = x(t) <strong>de</strong>scrie variat¸ia<br />
temperaturiii în stratul izolant.<br />
i) Pentru <strong>de</strong>terminarea funct¸iei x(t) folosim legea lui Fourier: cantitatea<br />
<strong>de</strong> cǎldurǎ Q cedatǎ în unitatea <strong>de</strong> timp în regim stat¸ionar pe suprafat¸a<br />
lateralǎ a cilindrului <strong>de</strong> razǎ t este proport¸ionalǎ cu produsul dintre aria<br />
lateralǎ a cilindrului ¸si variat¸ia temperaturii dx:<br />
−k · S(t) · dx<br />
dt<br />
= Q. (1.3)<br />
un<strong>de</strong> k este conductivitatea termicǎ a materialului izolant.<br />
Aria lateralǎ a cilindrului <strong>de</strong> razǎ t ¸si lungime l, este S(t) = 2π ·t·l. Rezultǎ:<br />
dx<br />
dt<br />
= − Q<br />
2π k l<br />
1<br />
· . (1.4)<br />
t<br />
Prin urmare avem <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminat o funct¸ie x(t) care veificǎ (1.4).<br />
Din teoria primitivelor rezultǎ cǎ orice funct¸ie x(t) care verificǎ (1.4) este<br />
datǎ <strong>de</strong> formula<br />
x(t) = − Q<br />
· ln t + C (1.5)<br />
2π k l<br />
în care t ∈ (5, 15) ¸si C este o constantǎ oarecare. Determinarea legii <strong>de</strong><br />
variat¸ie cerute revine la select¸ionarea acelei funct¸ii x(t) din familia (1.5) care
Problema primitivei. Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma ˙x = f(t) 3<br />
verificǎ condit¸iile: pentru t1 = 5 (cm) avem x(t1) = 160 ( ◦ C), ¸si pentru<br />
t2 = 15 (cm), x(t2) = 30 ( ◦ C).<br />
Impunând aceste condit¸ii, rezultǎ<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
C = 303 + 130 ·<br />
ln 15 · 10−2<br />
ln 3<br />
= 78, 51( ◦ K) ¸si<br />
x(t) = 78, 51 − 118, 33 lnt.<br />
Q<br />
2π k l<br />
= 130<br />
ln3 ,<br />
ii) Folosind valorile numerice rezultǎ Q iar pentru cantitatea <strong>de</strong> cǎldurǎ<br />
· 24 · 3600(s).<br />
cedatǎ <strong>de</strong> fiecare metru liniar (l= 1 m) în 24 ore, q = Q<br />
l<br />
Trecem acum la cazul general <strong>de</strong> rezolvare a unei ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong><br />
forma ˙x = f(t) în care f este o funct¸ie realǎ continuǎ <strong>de</strong>finitǎ pe un interval<br />
I ⊂ IR 1 , consi<strong>de</strong>ratǎ cunoscutǎ.<br />
Din teoria primitivelor se ¸stie cǎ, dacǎ f este o funct¸ie realǎ continuǎ<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe un interval I ⊂ IR 1 , atunci existǎ o familie <strong>de</strong> funct¸ii reale <strong>de</strong><br />
clasǎ C 1 <strong>de</strong>finite pe I a cǎror <strong>de</strong>rivatǎ este funct¸ia f. Aceste funct¸ii diferǎ<br />
între ele <strong>prin</strong>tr-o constantǎ ¸si se obt¸in cu formula:<br />
x(t) =<br />
în care C este o constantǎ realǎ iar<br />
t<br />
t∗ t<br />
f(τ)dτ + C (1.6)<br />
f(τ)dτ este o primitivǎ a funct¸iei f.<br />
t∗ Pentru t0 ∈ I ¸si x0 ∈ IR 1 existǎ o singurǎ solut¸ie x = x(t) a ecuat¸iei (1.6)<br />
care verificǎ condit¸ia x(t0) = x0 ¸si aceasta este datǎ <strong>de</strong> formula<br />
x(t) = x0 +<br />
t<br />
t0<br />
f(s)ds. (1.7)<br />
Problema <strong>de</strong>terminǎrii acelei solut¸ii a ecuat¸iei ˙x = f(t) care verificǎ condit¸ia<br />
x(t0) = x0 se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ Cauchy. Într-o<br />
asemenea problemǎ t0 ¸si x0 se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscute ¸si se numesc date init¸iale.<br />
Problema în sine se noteazǎ tradit¸ional astfel:<br />
¸si solut¸ia ei cu x(t; t0, x0).<br />
˙x = f(t) (1.8)<br />
x(t0) = x0
4 CAPITOLUL 1<br />
Concluzii<br />
1. Existǎ probleme <strong>de</strong> fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma<br />
˙x = f(t) (numitǎ problema primitivei) în care f este o funct¸ie realǎ<br />
continuǎ <strong>de</strong>finitǎ pe un interval <strong>de</strong>schis (a, b) ⊂ IR 1 .<br />
2. Oricare ar fi solut¸ia x = x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale ˙x = f(t) existǎ o<br />
constantǎ realǎ C astfel încât<br />
x(t) =<br />
t<br />
t ∗<br />
f(τ)dτ + C, (∀)t ∈ (a, b).<br />
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ IR 1 existǎ o singurǎ funct¸ie x = x(t)<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe (a, b) care este solut¸ia problemei cu date init¸iale<br />
Exercit¸ii<br />
˙x = f(t)<br />
x(t0) = x0<br />
1. Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):<br />
a) ˙x = 1 + t + t 2 ; t ∈ IR 1<br />
R : x(t) = t3<br />
3<br />
+ t2<br />
2<br />
b) ˙x = 1<br />
; t > 0 R: x(t) = lnt + C<br />
t<br />
+ t + C<br />
c) ˙x = 1 + sin t + cos 2t; t ∈ IR 1 R: x(t) = t − cost + 1<br />
sin 2t + C<br />
2<br />
d) ˙x = 1<br />
1 + t2; t ∈ IR1<br />
R: x(t) = arctant + C<br />
e) ˙x = 1<br />
t2 1<br />
; t ∈ (−1, 1) R: x(t) =<br />
− 1 2<br />
f) ˙x =<br />
1 − t<br />
ln + C<br />
1 + t<br />
1<br />
√ t 2 − 4 ; t ∈ IR 1 − [−2, 2] R: x(t) = ln(t + √ t 2 − 4) + C
Problema primitivei. Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma ˙x = f(t) 5<br />
g) ˙x = e 2t + sin t; t ∈ IR 1 R: x(t) = 1<br />
2 e2t − cost + C<br />
h) ˙x = et2; t ∈ IR 1<br />
R: se <strong>de</strong>terminǎ numeric o primitivǎ<br />
a lui et2, <strong>de</strong> exemplu<br />
t<br />
0<br />
e s2<br />
ds<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte grafic<br />
solut¸iile (cu calculatorul):<br />
a) ˙x = 1 + t + t 2 , t ∈ IR 1 , x(0) = 1<br />
R: x(t) = t3<br />
3<br />
b) ˙x = 1<br />
, t > 0, x(1) = 0<br />
t<br />
+ t2<br />
2<br />
R: x(t) = lnt<br />
c) ˙x=1+sint+cos 2t, t∈IR 1 , x(−π) = 7<br />
d) ˙x = 1<br />
1 + t 2, t ∈ IR1 , x(−1) = −2<br />
+ t + 1<br />
R: x(t)=−cos t+ 1<br />
sin 2t+t+6+π<br />
2<br />
R: x(t) = arctant + 1<br />
π − 2<br />
4<br />
2<br />
e) ˙x = −<br />
(t2 − 1) 2,<br />
t < 1, x(−2) = 0<br />
<br />
t−1 t<br />
R: x(t)=ln +<br />
t+1 t2−1 +2<br />
3 −ln√3 1<br />
f) ˙x = √ , t > 0, x(1) = 1<br />
t2 + t<br />
<br />
1<br />
R: x(t)=ln<br />
2 +t+√t2 <br />
+t +ln2+1
6 CAPITOLUL 1<br />
1.2 Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x)<br />
Problema 1.2.1 O rachetǎ meteorologicǎ este lansatǎ vertical în sus cu<br />
viteza init¸ialǎ <strong>de</strong> 100 (m/s). Rezistent¸a aerului frâneazǎ mi¸scarea ei ¸si-i<br />
comunicǎ accelerat¸ia −k · v 2 (t), v(t) fiind viteza rachetei la momentul t iar<br />
k o constantǎ pozitivǎ.<br />
i) Sǎ se afle timpul în care racheta atinge înǎlt¸imea maximǎ.<br />
ii) Sǎ se afle înǎlt¸imea maximǎ la care se ridicǎ racheta.<br />
Rezolvare:<br />
i) Accelerat¸ia totalǎ a rachetei, în lansarea pe verticalǎ în sus este a =<br />
−(g + k v 2 ) un<strong>de</strong> g ≈ 10 (m/s 2 ) este accelerat¸ia gravitat¸ionalǎ, iar k o<br />
constantǎ pozitivǎ consi<strong>de</strong>ratǎ cunoscutǎ.<br />
Legea <strong>de</strong> mi¸scare a rachetei se scrie astfel:<br />
dv<br />
dt = −(g + k v2 ) (1.9)<br />
Funct¸ia v care intervine în (1.9) reprezintǎ viteza rachetei ¸si este necunoscutǎ.<br />
Ea trebuie gǎsitǎ pentru ca apoi egalând-o cu zero (aceasta înseamnǎ cǎ<br />
racheta a atins înǎlt¸imea maximǎ) sǎ gǎsim timpul în care racheta atinge<br />
înǎlt¸imea maximǎ.<br />
Din (1.9) ¸si din inegalitatea g + k v 2 > 0 rezultǎ egalitatea<br />
−<br />
1 dv<br />
· = 1.<br />
g + k v2 dt<br />
Trecând la primitive se obt¸ine egalitatea<br />
−<br />
t<br />
t ∗<br />
1<br />
g + k v 2 (τ)<br />
dv<br />
· dτ =<br />
dτ<br />
t<br />
din care <strong>prin</strong>tr-o schimbare <strong>de</strong> variabilǎ rezultǎ<br />
<br />
k<br />
g arctan<br />
t k<br />
<br />
v(τ) · = −kτ|<br />
g<br />
t t∗ sau<br />
v(t) =<br />
t ∗<br />
t ∗<br />
dτ<br />
<br />
k g<br />
· tan (−k t + C) .<br />
g k
Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x) 7<br />
Constanta C se <strong>de</strong>terminǎ din condit¸ia init¸ialǎ v(0) = 100 (m/s) ¸si se obt¸ine<br />
<br />
C =<br />
k<br />
· arctan<br />
g<br />
k<br />
· 100<br />
g<br />
iar timpul t1 dupǎ care racheta ajunge la înǎlt¸imea maximǎ se <strong>de</strong>terminǎ din<br />
condit¸ia v(t1) = 0 ¸si se obt¸ine<br />
<br />
k arctan 100 g<br />
t1 = √ (s)<br />
g k<br />
ii) Pentru a gǎsi înǎlt¸imea maximǎ la care se ridicǎ racheta se noteazǎ cu<br />
x(t) înǎlt¸imea la care se aflǎ racheta la momentul t. Funct¸ia x(t) este necunoscutǎ<br />
¸si pentru <strong>de</strong>terminarea ei se t¸ine seama cǎ viteza v(t) este <strong>de</strong>rivata<br />
funct¸iei x(t):<br />
dx<br />
dt =<br />
<br />
g<br />
· tan<br />
k<br />
g <br />
k<br />
−k t +<br />
<br />
k<br />
· arctan<br />
g<br />
k<br />
· 100<br />
g<br />
¸si cǎ x(0) = 0 (racheta pleacǎ <strong>de</strong> pe sol). Determinarea funct¸iei x(t) care<br />
verificǎ aceste condit¸ii este o problemǎ Cauchy <strong>de</strong> forma ˙x = f(t), x(t0) = x0<br />
¸si rezolvarea ei a fost fǎcutǎ în §1.1. Se <strong>de</strong>terminǎ solut¸ia x(t; 0, x0) a problemei<br />
Cauchy ¸si se calculeazǎ apoi x(t1; 0, x0). Aceasta este înǎlt¸imea maximǎ<br />
la care se ridicǎ racheta meteorologicǎ.<br />
Rat¸ionamentul prezentat la rezolvarea punctului i) al problemei 1.2.1<br />
poate fi generalizat pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor unei ecuat¸ii diferent¸iale<br />
<strong>de</strong> forma:<br />
˙x = g(x) (1.10)<br />
în care g este o funct¸ie realǎ continuǎ <strong>de</strong>finitǎ pe un interval J ⊂ IR 1 , care<br />
nu se anuleazǎ (g(x) = 0 (∀)x ∈ J) ¸si este cunoscutǎ.<br />
Într-a<strong>de</strong>vǎr, dacǎ o funct¸ie realǎ x : I → J este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.10)<br />
atunci pentru orice t ∈ I avem<br />
sau<br />
dx<br />
dt<br />
= g(x(t))<br />
1 dx<br />
·<br />
g(x(t)) dt<br />
= 1.
8 CAPITOLUL 1<br />
Trecând la primitive rezultǎ egalitatea<br />
t<br />
t ∗<br />
1 dx<br />
· dτ =<br />
g(x(τ)) dτ<br />
t<br />
din care <strong>prin</strong>tr-o schimbare <strong>de</strong> variabilǎ se obt¸ine<br />
x<br />
x ∗<br />
t ∗<br />
dτ<br />
1<br />
du = t + C. (1.11)<br />
g(u)<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ o solut¸ie x = x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale (1.10) este<br />
solut¸ie pentru ecuat¸ia implicitǎ<br />
în care<br />
G(t, x; C) = 0 (1.12)<br />
G(t, x; C) = t + C −<br />
x<br />
x ∗<br />
1<br />
du. (1.13)<br />
g(u)<br />
Este u¸sor <strong>de</strong> arǎtat folosind teorema funct¸iilor implicite cǎ, dacǎ x(t; C)<br />
este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.12), atunci este ¸si solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale<br />
(1.10).<br />
Observat¸ia 1.2.1 Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ în x ∗ ∈ J, atunci funct¸ia<br />
constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale (1.10).<br />
Observat¸ia 1.2.2 Pentru t0 ∈ IR 1 ¸si x0 ∈ J, problema <strong>de</strong>terminǎrii acelei<br />
solut¸ii a ecuat¸iei (1.10) care verificǎ condit¸ia suplimentarǎ x(t0) = x0 se<br />
nume¸ste problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date init¸iale:<br />
˙x = g(x)<br />
x(t0) = x0<br />
iar solut¸ia acesteia, x = x(t; t0, x0), este datǎ <strong>de</strong> ecuat¸ia implicitǎ:<br />
x<br />
x0<br />
(1.14)<br />
1<br />
g(u) du = t − t0. (1.15)<br />
Într-o problemǎ Cauchy t0 ¸si x0 sunt consi<strong>de</strong>rate cunoscute ¸si se numesc date<br />
init¸iale.
Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x) 9<br />
Concluzii<br />
1. Existǎ probleme <strong>de</strong> fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma<br />
˙x = g(x) în care g este o funct¸ie realǎ continuǎ <strong>de</strong>finitǎ pe un interval<br />
<strong>de</strong>schis (c, d) ⊂ IR 1 ¸si nu se anuleazǎ.<br />
2. Oricare ar fi solut¸ia x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale ˙x = g(x) ¸si oricare ar<br />
fi x∗ ∈ (c, d) existǎ o constantǎ scalarǎ C astfel încât x(t) este solut¸ia<br />
x<br />
ecuat¸iei implicite<br />
x∗ 1<br />
du −t−C = 0 ¸si reciproc, o solut¸ie a acestei<br />
g(u)<br />
ecuat¸ii implicite este solut¸ie pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ.<br />
3. Oricare ar fi t0 ∈ IR 1 ¸si x0 ∈ (c, d) existǎ o funct¸ie unicǎ x = x(t)<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe un interval <strong>de</strong>schis I0 (care cont¸ine pe t0) ¸si cu valori în<br />
(c, d) care este solut¸ia problemei cu date init¸iale ˙x = g(x), x(t0) = x0.<br />
4. Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ într-un punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia<br />
constantǎ x(t) ≡ x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale.<br />
Exercit¸ii<br />
1. Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):<br />
a) ˙x = 1 + x 2 , x ∈ IR 1<br />
b) ˙x = e −x , x ∈ IR 1<br />
R: x(t) = tan(t + C), t + C = (2k + 1) · π<br />
2<br />
R: x(t) = ln(t + C), t + C > 0<br />
c) ˙x = k · x, x > 0 R: x(t) = C · e k t , C > 0, t ∈ IR 1<br />
d) ˙x = k · x, x < 0 R: x(t) = C · e k t , C < 0, t ∈ IR 1<br />
e) ˙x = x2 , x > 0 R: x(t) = − 1<br />
, t + C < 1<br />
t + C
10 CAPITOLUL 1<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte grafic<br />
solut¸iile cu calculatorul:<br />
a) ˙x = k x, x(0) = x0 R: x(t) = x0 e kt<br />
b) ˙x = −x + x 2 , x(0) = x0 R: x(t) =<br />
x0<br />
x0 − e t (x0 − 1)<br />
c) ˙x = 1 + x 2 , x(0) = x0 R: x(t) = tan(t + arctan x0)<br />
d) ˙x = x 2 , x(0) = x0 R: x(t) = − x0<br />
t x0 − 1
Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separate 11<br />
1.3 Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile<br />
separate<br />
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ cu variabile separate are forma<br />
˙x = f(t) · g(x), (1.16)<br />
un<strong>de</strong> f ¸si g sunt funct¸ii reale continue, f : (a, b) → IR 1 , g : (c, d) → IR 1<br />
¸si se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscute. Dacǎ funct¸ia g nu se anuleazǎ pe intervalul (c, d)<br />
(g(x) = 0, (∀)x ∈ (c, d)) atunci solut¸iile ecuat¸iei (1.16) se <strong>de</strong>terminǎ fǎcânduse<br />
un rat¸ionament asemǎnǎtor cu cel din paragraful prece<strong>de</strong>nt.<br />
Dacǎ x : I ⊂ (a, b) → (c, d) este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.16) atunci pentru<br />
orice t ∈ I are loc<br />
sau<br />
Trecând la primitive rezultǎ<br />
t<br />
t ∗<br />
dx<br />
dt<br />
= f(t) · g(x(t))<br />
1 dx<br />
·<br />
g(x(t)) dt<br />
= f(t)<br />
1 dx<br />
· dτ =<br />
g(x(τ)) dτ<br />
t<br />
t ∗<br />
f(τ)<br />
care <strong>prin</strong>tr-o schimbare <strong>de</strong> variabilǎ conduce la egalitatea<br />
x<br />
x ∗<br />
1<br />
du =<br />
g(u)<br />
t<br />
t ∗<br />
f(τ) + C. (1.17)<br />
Am obt¸inut în acest fel cǎ o solut¸ie a ecuat¸iei (1.16) este solut¸ie pentru<br />
ecuat¸ia implicitǎ<br />
G(x, t; C) = 0 (1.18)<br />
în care funct¸ia G(x, t; C) este datǎ <strong>de</strong> egalitatea:<br />
G(x, t; C) =<br />
t<br />
t ∗<br />
f(τ) + C −<br />
x<br />
x ∗<br />
1<br />
du. (1.19)<br />
g(u)<br />
Folosind teorema funct¸iilor implicite se aratǎ u¸sor cǎ dacǎ x(t, C) este o<br />
solut¸ie a ecuat¸iei (1.18) atunci este solut¸ie ¸si a ecuat¸iei diferent¸iale (1.16).
12 CAPITOLUL 1<br />
Exemplul 1.3.1 Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile ecuat¸iei diferent¸iale:<br />
˙x = 1<br />
1 + t 2(1 + x2 ), t ∈ IR 1 , x ∈ IR 1<br />
În acest caz f : IR 1 → IR 1 , f(t) = 1<br />
1+t 2 ¸si g : IR 1 → IR 1 , g(x) = 1 + x 2 , iar<br />
Ecuat¸ia implicitǎ este:<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
G(t, x; C) = arctant + C − arctanx<br />
arctan t + C − arctan x = 0<br />
x(t) = tan(arctant + C)<br />
Observat¸ia 1.3.1 Dacǎ funct¸ia g din ecuat¸ia (1.16) se anuleazǎ într-un<br />
punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ia ecuat¸iei<br />
diferent¸iale (1.16).<br />
Observat¸ia 1.3.2 Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ (c, d) problema <strong>de</strong>terminǎrii<br />
acelei solut¸ii a ecuat¸iei (1.16) care verificǎ condit¸ia suplimentarǎ x(t0) = x0<br />
se nume¸ste problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date init¸iale ¸si se noteazǎ cu<br />
˙x = f(t) · g(x), x(t0) = x0. (1.20)<br />
Solut¸ia acestei probleme se noteazǎ <strong>de</strong> obicei cu x = x(t; t0, x0) ¸si este datǎ<br />
<strong>de</strong> ecuat¸ia implicitǎ<br />
x<br />
du<br />
g(u) −<br />
t<br />
f(τ)dτ = 0.<br />
t0<br />
(1.21)<br />
x0<br />
Într-o problemǎ Cauchy, t0 si x0 sunt consi<strong>de</strong>rate cunoscute ¸si se numesc<br />
condit¸ii init¸iale.<br />
Observat¸ia 1.3.3 O clasǎ particularǎ importantǎ <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale cu<br />
variabile separate sunt ecuat¸iile diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare ¸si omogene.<br />
Aceste ecuat¸ii sunt <strong>de</strong> forma<br />
˙x = A(t) · x, t ∈ (a, b), x ∈ IR 1<br />
(1.22)
Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separate 13<br />
în care A(t) este o funct¸ie realǎ continuǎ pe (a, b). Conform celor arǎtate,<br />
solut¸iile ecuat¸iei (1.22) sunt date <strong>de</strong> formula<br />
x(t) = C · e t<br />
t ∗ A(τ)dτ<br />
în care C este o constantǎ realǎ oarecare.<br />
Solut¸ia problemei Cauchy<br />
este datǎ <strong>de</strong> formula:<br />
˙x = A(t) · x, x(t0) = x0 t0 ∈ (a, b), x0 ∈ IR 1<br />
(1.23)<br />
(1.24)<br />
t<br />
t A(τ)dτ<br />
x(t; t0, x0) = x0 · e 0 . (1.25)<br />
Problema 1.3.1 O pâine scoasǎ din cuptor are temperatura 100 ◦ C ¸si capǎtǎ<br />
temperatura <strong>de</strong> 60 ◦ C în <strong>de</strong>curs <strong>de</strong> 20 minute. Temperatura aerului fiind <strong>de</strong><br />
20 ◦ C, peste cât timp, începând din momentul rǎcirii, pâinea va cǎpǎta temperatura<br />
<strong>de</strong> 25 ◦ C?<br />
Rezolvare:<br />
Notǎm cu x(t) temperatura pâinii la momentul t ¸si folosim legea lui Newton<br />
dupǎ care, viteza <strong>de</strong> rǎcire a unui corp cu temperatura x(t), situat într-un<br />
mediu cu temperatura x0, este proport¸ionalǎ cu diferent¸a x(t) − x0:<br />
˙x(t) = k [x(t) − x0].<br />
Funct¸ia y(t) = x(t) − x0 verificǎ ecuat¸ia<br />
˙y(t) = k · y(t)<br />
care este o ecuat¸ie liniarǎ ¸si omogenǎ. Rezultǎ<br />
¸si astfel<br />
1<br />
2<br />
k t<br />
y(t) = C e<br />
x(t) = x0 + C e k t .<br />
În aceastǎ egalitate x0 = 20◦C. Pentru <strong>de</strong>terminarea constantelor C ¸si k<br />
t¸inem seama <strong>de</strong> condit¸iile x(0) = 100◦C ¸si x(20) = 60◦C. Rezultǎ x(t) =<br />
20◦C + 80◦ t<br />
20<br />
C · . Dacǎ t∗ este timpul dupǎ care temperatura <strong>de</strong>vine<br />
25 ◦ C rezultǎ 25 ◦ C = 20 ◦ C + 80 ◦ C ·<br />
t<br />
1<br />
2<br />
∗<br />
20<br />
, <strong>de</strong> un<strong>de</strong> t∗ = 80 minute.
14 CAPITOLUL 1<br />
Concluzii<br />
1. Existǎ probleme <strong>de</strong> fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma<br />
˙x = f(t) · g(x), numite ecuat¸ii cu variabile separate, în care f ¸si g sunt<br />
funct¸ii reale continue, funct¸ia f este <strong>de</strong>finitǎ pe un interval (a, b) ⊂ IR 1 ,<br />
iar funct¸ia g este <strong>de</strong>finitǎ pe un interval (c, d) ⊂ IR 1 ¸si nu se anuleazǎ<br />
în nici un punct (g(x) = 0, (∀)x ∈ (c, d)).<br />
2. Oricare ar fi solut¸ia x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale cu variabile separate ¸si<br />
oricare ar fi t ∗ ∈ (a, b) ¸si x ∗ ∈ (c, d), existǎ o constantǎ C astfel încât<br />
x(t) este solut¸ia ecuat¸iei implicite<br />
x<br />
x ∗<br />
du<br />
g(u) −<br />
t<br />
t ∗<br />
f(τ)dτ − C = 0<br />
¸si reciproc, oricare ar fi t ∗ ∈ (a, b), x ∗ ∈ (c, d) ¸si C ∈ IR 1 , o solut¸ie<br />
x = x(t) a ecuat¸iei implicite este solut¸ie pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ.<br />
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ (c, d) existǎ o funct¸ie unicǎ x = x(t)<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe un interval <strong>de</strong>schis I0 (care cont¸ine punctul t0) ¸si cu valori<br />
în intervalul (c, d), x : I0 ⊂ (a, b) → (c, d) care este solut¸ia problemei<br />
cu date init¸iale ˙x = f(t) · g(x), x(t0) = x0.<br />
4. Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ într-un punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia<br />
constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale.<br />
Exercit¸ii<br />
1. Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):<br />
t<br />
a) ˙x = −√<br />
1 + t2 ·<br />
√<br />
1 + x2 x<br />
, x < 0, t ∈ IR 1 R: √ x 2 +1+ √ t 2 +1 = C<br />
b) ˙x = t<br />
(1 − x), t > −1, x > 1<br />
1 + t<br />
R:<br />
1 + t<br />
= C · et<br />
1 − x<br />
c)<br />
<br />
˙x = 1 + 1<br />
<br />
·<br />
t<br />
x2 + 1<br />
x2 , t > 0, x ∈ IR1<br />
+ 2<br />
R: x+arctanx=ln t+t+C
Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separate 15<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte solut¸iile (cu<br />
calculatorul):<br />
a) ˙x = √ t x, t > 0, x > 0, t0=1, x0=0<br />
R: x(t) = 0<br />
√<br />
4−x2 b) ˙x=−2t , t∈IR<br />
x<br />
1 , x∈(0, 2), t0=0, x0=1<br />
R: √ 4−x 2 −t 2 − √ 3=0<br />
c) ˙x= 1<br />
1−t ·1−x2<br />
x , t < 1, x∈(0, 1), t0=0 x0= 1<br />
2<br />
<br />
R: x(t)=<br />
− 3<br />
4 t2 + 3<br />
2 t+1<br />
4
16 CAPITOLUL 1<br />
1.4 Ecuat¸ii omogene în sens Euler<br />
Ecuat¸iile omogene în sens Euler sunt ecuat¸ii <strong>de</strong> forma<br />
˙x =<br />
P(t, x)<br />
Q(t, x)<br />
(1.26)<br />
în care funct¸iile P(t, x) ¸si Q(t, x) sunt funct¸ii omogene în sens Euler <strong>de</strong> acela¸si<br />
grad, consi<strong>de</strong>rate cunoscute:<br />
P(λt, λx) = λ k · P(t, x) ¸si Q(λt, λx) = λ k · Q(t, x). (1.27)<br />
Din (1.27) rezultǎ egalitatea:<br />
P(t, x)<br />
Q(t, x) = P 1, x<br />
<br />
t<br />
Q 1, x<br />
, (∀)t = 0 (1.28)<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare ecuat¸ia omogenǎ (1.26) are forma canonicǎ<br />
˙x = g<br />
x<br />
t<br />
t<br />
<br />
, (∀)t = 0 (1.29)<br />
în care<br />
<br />
x<br />
<br />
g =<br />
t<br />
P 1, x<br />
<br />
t<br />
Q 1, x<br />
.<br />
t<br />
Funct¸ia realǎ g este consi<strong>de</strong>ratǎ continuǎ ¸si cunoscutǎ.<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei (1.29) se introduc noile funct¸ii<br />
necunoscute y = x<br />
care verificǎ ecuat¸ia:<br />
t<br />
˙y = 1<br />
[g(y) − y]. (1.30)<br />
t<br />
Ecuat¸iile diferent¸iale (1.26) ¸si (1.30) sunt echivalente în sensul urmǎtor: dacǎ<br />
o funct¸ie x(t) este solut¸ie pentru ecuat¸ia (1.26) atunci funct¸ia y(t) = x(t)<br />
t<br />
este solut¸ie pentru ecuat¸ia (1.30) ¸si reciproc.<br />
În acest fel, rezolvarea ecuat¸iei omogene în sens Euler se reduce la rezolvarea<br />
ecuat¸iei cu variabile separate (1.30).<br />
Problema 1.4.1 Ce suprafat¸ǎ <strong>de</strong> rotat¸ie trebuie sǎ reprezinte oglinda unui<br />
proiector, pentru ca toate razele <strong>de</strong> luminǎ ce pleacǎ <strong>de</strong> la o sursǎ punctiformǎ<br />
sǎ fie reflectate paralel cu o direct¸ie datǎ?
Ecuat¸ii omogene în sens Euler 17<br />
Rezolvare:<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm un plan meridian pe care îl luǎm ca fiind planul (tOx). Axa<br />
Ot o alegem paralelǎ cu direct¸ia dupǎ care lumina trebuie reflectatǎ, iar<br />
originea axelor în sursa <strong>de</strong> luminǎ.<br />
Figura 2 - Reflexia razelor <strong>de</strong> luminǎ pe o oglindǎ parabolicǎ<br />
Dupǎ legile reflexiei ∢OPM = ∢MPQ ¸si ∢RPO = ∢R ′ PQ ¸si <strong>de</strong>ci v = 2u.<br />
Cum tanv = x<br />
t<br />
¸si tan u = ˙x iar tan2u = 2 tanu<br />
1 − tan 2 u rezultǎ<br />
x<br />
t<br />
= 2 ˙x<br />
1 − ˙x 2 sau ˙x = −t ± √ t2 + x2 x<br />
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ este omogenǎ în sens Euler (este <strong>de</strong> forma (1.29))<br />
¸si se rezolvǎ dupǎ modul prezentat obt¸inându-se x 2 = 2C<br />
.<br />
<br />
t + C<br />
2<br />
<br />
. Deci<br />
curba meridianǎ este o parabolǎ cu vârful pe Ot iar oglinda un paraboloid<br />
<strong>de</strong> rotat¸ie.<br />
Concluzii<br />
1. Existǎ probleme <strong>de</strong> fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma<br />
x<br />
<br />
˙x = g (numite ecuat¸ii omogene în sens Euler) în care g este o<br />
t<br />
funct¸ie realǎ continuǎ <strong>de</strong>finitǎ pe un interval I ⊂ IR 1 .
18 CAPITOLUL 1<br />
<br />
x<br />
<br />
2. O funct¸ie x = x(t) este solut¸ie a ecuat¸iei ˙x = g dacǎ ¸si nu-<br />
t<br />
mai dacǎ funct¸ia y = x<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei cu variabile separate<br />
t<br />
˙y = 1[g(y)<br />
− y].<br />
t<br />
<br />
x<br />
<br />
3. Rezolvarea problemei Cauchy ˙x = g , x(t0) = x0 se reduce la<br />
t<br />
rezolvarea problemei Cauchy ˙y = 1<br />
t [g(y) − y], y(t0) = y0 = x0<br />
.<br />
Exercit¸ii<br />
1. Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale:<br />
a) ˙x = x<br />
t<br />
b) ˙x = x2 + t 2<br />
t · x<br />
c) ˙x =<br />
x<br />
x<br />
+ e t − R: ln(t) = e t + C<br />
t + x<br />
t − x<br />
R: x 2 = 2t 2 ln(t) + C · t 2<br />
R: arctan x<br />
2 −ln<br />
<br />
x2 +1=ln t+C<br />
t2 <br />
t x<br />
R: − ln = ln t + C<br />
x t<br />
x<br />
d) ˙x =<br />
t − 2 √ tx<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte grafic<br />
solut¸iile (cu calculator):<br />
a) ˙x =<br />
4tx − x2<br />
2t2 , t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = 2t2<br />
t + 1<br />
b) ˙x = 2tx<br />
3t 2 − x 2, t0 = 0, x0 = 0 R: x(t) = 0<br />
c) ˙x =<br />
2t + x<br />
4t − x , t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = t<br />
x + t<br />
d) ˙x = −<br />
5x + t , t0 = 1, x0 = 0 R: x(t)=− 1<br />
5 t+1<br />
√<br />
−4t2 +5<br />
5<br />
t0
Ecuat¸ii omogene generalizate 19<br />
1.5 Ecuat¸ii omogene generalizate<br />
Ecuat¸iile omogene generalizate sunt ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma:<br />
<br />
at + bx + c<br />
˙x = f<br />
a1t + b1x + c1<br />
(1.31)<br />
în care funct¸ia realǎ f este consi<strong>de</strong>ratǎ continuǎ ¸si cunoscutǎ, ¸si un<strong>de</strong> c 2 1+c 2 =<br />
0 (dacǎ c1 = c = 0, ecuat¸ia este omogenǎ în sens Euler). Pentru <strong>de</strong>terminarea<br />
solut¸iilor acestei ecuat¸ii t¸inem seama <strong>de</strong> urmǎtoarele rezultate:<br />
Propozit¸ia 1.5.1 Dacǎ a<br />
a1<br />
= b<br />
b1<br />
atunci în urma schimbǎrii <strong>de</strong> variabilǎ<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntǎ t ¸si <strong>de</strong> funct¸ie necunoscutǎ x <strong>de</strong>finite <strong>de</strong> formulele:<br />
τ = t − t0 ¸si y = x − x0<br />
(1.32)<br />
ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.31) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ omogenǎ în<br />
sens Euler:<br />
<br />
dy aτ + by<br />
= f<br />
dτ a1τ + b1y<br />
(1.33)<br />
un<strong>de</strong> (t0, x0) este solut¸ia sistemului <strong>de</strong> ecuat¸ii algebrice<br />
<br />
at + bx + c = 0<br />
a1t + b1x + c1 = 0.<br />
(1.34)<br />
Demonstrat¸ie: Prin calcul.<br />
În urma schimbǎrii <strong>de</strong> funct¸ie necunoscutǎ <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong><br />
z = y<br />
(1.35)<br />
τ<br />
ecuat¸ia (1.33) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ cu variabile separate<br />
<br />
dz 1 a + bz<br />
= f<br />
− z . (1.36)<br />
dτ τ a1 + b1z<br />
Propozit¸ia 1.5.2 Dacǎ a<br />
necunoscutǎ x <strong>de</strong>finitǎ <strong>de</strong><br />
a1<br />
= b<br />
b1<br />
= m, atunci în urma schimbǎrii <strong>de</strong> funct¸ie<br />
y(t) = a1t + b1x(t) (1.37)<br />
ecaut¸ia diferent¸ialǎ (1.31) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ autonomǎ<br />
<br />
my + c<br />
˙y = a1 + b1 · f . (1.38)<br />
y + c1
20 CAPITOLUL 1<br />
Exercit¸ii<br />
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale:<br />
a) ˙x= 3t−4x+7<br />
4t−5x+11<br />
b) ˙x=− 3t+3x−1<br />
t+x+1<br />
c) ˙x= 2(x+2)2<br />
(t+x+2) 2<br />
R: x(t)=−5− 1<br />
<br />
−<br />
C<br />
4<br />
5 (t+1)+1<br />
<br />
<br />
(t+9) 2 C2 +5<br />
5<br />
R: − 1<br />
2 (x+t)−ln(x+t−1)=t+C<br />
R: 2 arctan −x−2<br />
t −ln−x−2 −ln t−C =0<br />
t
Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 21<br />
1.6 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> forma<br />
˙x = A(t)x + B(t) (1.39)<br />
se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi. În ecuat¸ia (1.39) A<br />
¸si B sunt funct¸ii reale continue A, B : (a, b) → IR 1 ¸si se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscute.<br />
Dacǎ funct¸ia B este i<strong>de</strong>ntic nulǎ, atunci ecuat¸ia (1.39) se nume¸ste ecuat¸ie<br />
diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniarǎ omogenǎ ¸si solut¸iile ei sunt date <strong>de</strong> formula:<br />
˜x(t) = C · e t<br />
t∗ A(τ)dτ<br />
(1.40)<br />
în care C este o constantǎ realǎ oarecare (a se ve<strong>de</strong>a §1.3).<br />
Pentru a <strong>de</strong>termina solut¸iile ecuat¸iei (1.39) remarcǎm faptul cǎ diferent¸a<br />
a douǎ solut¸ii ale acestei ecuat¸ii este o solut¸ie a ecuat¸iei liniare ¸si omogene.<br />
Acest fapt se verificǎ u¸sor <strong>prin</strong> calcul. Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ dacǎ x este o solut¸ie<br />
oarecare a ecuat¸iei (1.39) ¸si ¯x este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (1.39), atunci<br />
diferent¸a x − ¯x este solut¸ie pentru ecuat¸ia liniarǎ ¸si omogenǎ, ¸si <strong>prin</strong> urmare<br />
sau<br />
x(t) − ¯x(t) = C · e t<br />
t ∗ A(τ)dτ<br />
x(t) = C · e t<br />
t ∗ A(τ)dτ + ¯x(t). (1.41)<br />
Egalitatea (1.41) aratǎ cǎ o solut¸ie oarecare x(t) a ecuat¸iei (1.39) se obt¸ine<br />
adǎugând la o solut¸ie particularǎ ¯x(t) a acestei ecuat¸ii, o solut¸ie oarecare a<br />
ecuat¸iei liniare ¸si omogene ˜x(t) = C · e t<br />
t ∗ A(τ)dτ . În acest mod <strong>de</strong>terminarea<br />
tuturor solut¸iilor ecuat¸iei (1.39) se reduce la <strong>de</strong>terminarea unei solut¸ii particulare<br />
a acestei ecuat¸ii.<br />
Determinarea unei solut¸ii particulare a ecuat¸iei (1.39) se face cu ”metoda<br />
variat¸iei constantei a lui Lagrange”.Aceasta înseamnǎ cǎ pentru ecuat¸ia (1.39)<br />
se cautǎ o solut¸ie particularǎ ¯x(t) care are forma funct¸iei datǎ <strong>de</strong> (1.40),<br />
<strong>de</strong>osebirea fiind cǎ C nu mai este o constantǎ realǎ ci este o funct¸ie <strong>de</strong> t<br />
(C = C(t)):<br />
¯x(t) = C(t) · e t<br />
t ∗ A(τ)dτ . (1.42)<br />
Pentru a impune funct¸iei ¯x(t) sǎ verifice ecuat¸ia (1.39) se admite cǎ<br />
funct¸ia C(t) este <strong>de</strong>rivabilǎ ¸si din faptul cǎ ¯x(t) verificǎ (1.39) se obt¸ine:<br />
˙C(t) e t<br />
t ∗ A(τ)dτ + A(t) C(t) e t<br />
t ∗ A(τ)dτ = A(t) C(t) e t<br />
t ∗ A(τ)dτ + B(t)
22 CAPITOLUL 1<br />
sau<br />
˙C(t) = B(t) e − t<br />
t ∗ A(τ)dτ . (1.43)<br />
În §1.1 am vǎzut cǎ toate funct¸iile care verificǎ (1.43) sunt date <strong>de</strong><br />
C(t) =<br />
t<br />
t ∗<br />
B(u) e − u<br />
t ∗ A(τ)dτ du + C ′<br />
(1.44)<br />
Întrucât avem nevoie <strong>de</strong> o singurǎ solut¸ie, consi<strong>de</strong>rǎm C ′ = 0 ¸si înlocuind în<br />
(1.42) avem:<br />
¯x(t) =<br />
t<br />
t ∗<br />
B(u) e − u<br />
t∗ <br />
A(τ)dτ<br />
du e t<br />
t∗ A(τ)dτ<br />
Rezultǎ în acest mod cǎ toate solut¸iile ecuat¸iei (1.39) sunt date <strong>de</strong>:<br />
<br />
x(t) = C e t<br />
t ∗ A(τ)dτ +<br />
t<br />
t ∗<br />
B(u) e − u<br />
t ∗ A(τ)dτ du<br />
(1.45)<br />
e t<br />
t ∗ A(τ)dτ . (1.46)<br />
Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ IR 1 ecuat¸ia (1.39) are o singurǎ solut¸ie x care<br />
verificǎ x(t0) = x0 ¸si este datǎ <strong>de</strong> formula:<br />
t<br />
A(τ)dτ t x(t; t0, x0) = x0 e 0 +<br />
t<br />
t0<br />
B(u) e t<br />
u A(τ)dτ du. (1.47)<br />
Problema 1.6.1 Unei bobine cu inductant¸a L = 1 (H) ¸si rezistent¸a R =<br />
2 (Ω) i se aplicǎ tensiunea electromotoare u = sin 3t (V ). Care este intensitatea<br />
curentului <strong>prin</strong> bobinǎ?<br />
Rezolvare:<br />
Legea lui Kirchoff aplicatǎ circuitului format din bobinǎ ¸si sursa <strong>de</strong> tensiune<br />
ne dǎ<br />
L · ˙x + R · x = sin 3t,<br />
x(t) fiind intensitatea curentului. T¸inând seama <strong>de</strong> datele numerice rezultǎ<br />
ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
˙x + 2x = sin 3t.<br />
Conform celor arǎtate obt¸inem cǎ intensitatea curentului este:<br />
x(t) = 3<br />
13 e−2t + 2 3<br />
sin 3t − cos 3t.<br />
13 13<br />
(S-a consi<strong>de</strong>rat cǎ la momentul init¸ial intensitatea curentului în circuit este<br />
zero).
Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 23<br />
Concluzii<br />
1. Existǎ probleme <strong>de</strong> fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma<br />
˙x = A(t)x+B(t) (numite ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi) în<br />
care A, B sunt funct¸ii reale continue <strong>de</strong>finite pe un interval real I ⊂ IR 1 .<br />
2. Oricare ar fi solut¸ia x = x(t) a ecuat¸iei ¸si oricare ar fi t∗ ∈ I existǎ o<br />
constantǎ realǎ C astfel încât sǎ avem<br />
x(t) = C e t<br />
t ∗ A(τ)dτ +<br />
t<br />
t ∗<br />
e t<br />
τ A(s)ds B(τ)dτ, (∀)t ∈ I.<br />
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ IR 1 existǎ o singurǎ funct¸ie x = x(t)<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe I care este solut¸ia problemei cu date init¸iale ˙x = A(t)x +<br />
B(t), x(t0) = x0 ¸si aceastǎ funct¸ie este datǎ <strong>de</strong> formula:<br />
Exercit¸ii<br />
t<br />
A(τ)dτ t x(t) = x0 e 0 +<br />
t<br />
t0<br />
e t<br />
τ A(s)ds B(τ)dτ.<br />
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):<br />
a) ˙x = 1<br />
x − 1 R: x(t) = t (− ln t + C)<br />
t<br />
b) ˙x=− 2<br />
t2−1 x+2t+2 R: x(t) = (−t2 + 2t + C) (t + 1) 2<br />
1 − t2 c) ˙x=− 2<br />
t2 4t<br />
x+ R: x(t)=<br />
−1 1−t2 <br />
4 ln(t+1)+ 4<br />
t+1 +C<br />
d) ˙x = x − t 2 R: x(t) = t 2 + 2t + 2e t C<br />
<br />
· (t+1)2<br />
1−t 2
24 CAPITOLUL 1<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme cu date init¸iale ¸si sǎ se reprezinte<br />
grafic solut¸iile lor (cu calculatorul):<br />
a) ˙x=−2tx + t 3 , t0=0, x0= e−1<br />
2<br />
b) ˙x= 1<br />
t x − ln t, t0=1, x0=1 R: x(t)=<br />
R: x(t)= 1<br />
2 t2 − 1<br />
2 +1<br />
2 e−t2 +1<br />
<br />
− 1<br />
2 ln2 t+1<br />
c) ˙x=−x + 2e t , t0=0, x0=2 R: x(t)=e t + e −t<br />
<br />
t<br />
d) ˙x=−ax+be p t , t0=0, x0=1 R: x(t)= be (p+a)t −b+p+a · e−at<br />
a+p
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli 25<br />
1.7 Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli<br />
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli are forma<br />
˙x = A(t) x + B(t) x α<br />
(1.48)<br />
în care funct¸iile A ¸si B sunt funct¸ii reale continue A, B : (a, b) → IR 1 ¸si<br />
se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscute, α este un numǎr real diferit <strong>de</strong> 0 ¸si 1 cunoscut, iar<br />
funct¸ia necunoscutǎ x(t) este pozitivǎ.<br />
Pentru a <strong>de</strong>termina solut¸iile x (pozitive) ale ecuat¸iei (1.48) se introduce<br />
o nouǎ funct¸ie necunoscutǎ y = x 1−α . Aceasta verificǎ ecuat¸ia:<br />
dy<br />
dt<br />
= (1−α) A(t) y + (1−α) B(t). (1.49)<br />
Ecuat¸ia (1.49) este o ecuat¸ie liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi ¸si solut¸iile ei sunt date<br />
<strong>de</strong> formula:<br />
y(t) = C e (1−α) t<br />
t ∗ A(τ)dτ + (1.50)<br />
+<br />
<br />
(1−α)<br />
t<br />
t ∗<br />
B(u) e −(1−α) u<br />
t ∗ A(τ)dτ du<br />
<br />
e (1−α) t<br />
t ∗ A(τ)dτ .<br />
Solut¸iile pozitive x(t) ale ecuat¸iei (1.48) se <strong>de</strong>terminǎ din y(t) cu formula<br />
x(t) = y(t) 1<br />
1−α ¸si în general sunt <strong>de</strong>finite pe (a, b).<br />
Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 > 0 ecuat¸ia (1.48) are o solut¸ie care verificǎ<br />
x(t0) = x0 ¸si este datǎ <strong>de</strong> formula<br />
un<strong>de</strong>:<br />
y(t; t0, y0) = y0 e (1−α) t<br />
t ∗ A(τ)dτ + (1−α)<br />
¸si y0 = x 1−α<br />
0 .<br />
x(t; t0, x0) = y 1<br />
1−α(t; t0, x0) (1.51)<br />
t<br />
t0<br />
B(u) e −(1−α) t<br />
u A(τ)dτ du (1.52)<br />
Observat¸ia 1.7.1 Ecuat¸ia Bernoulli apare în studiul mi¸scǎrii corpurilor în<br />
medii care opun o rezistent¸ǎ la mi¸scare <strong>de</strong> forma R = k1v + k2v α , v fiind<br />
viteza corpului.
26 CAPITOLUL 1<br />
Problema 1.7.1 Sǎ se <strong>de</strong>termine curba r = r(u) ¸stiind cǎ aria sectoarelor<br />
limitate <strong>de</strong> curbǎ, raza vectoare a punctului P0(r0, u0) ¸si raza vectoare a punctului<br />
P(r, u) este proport¸ionalǎ cu produsul r·u, coeficientul <strong>de</strong> proport¸ionalitate<br />
fiind a.<br />
Rezolvare:<br />
Conform enunt¸ului avem:<br />
1<br />
2<br />
din care <strong>prin</strong> <strong>de</strong>rivare obt¸inem:<br />
care este o ecuat¸ie Bernoulli.<br />
Concluzii<br />
u<br />
u0<br />
r 2 du = a r u<br />
r 2 = 2a (˙r u + r)<br />
1. Existǎ probleme <strong>de</strong> fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma<br />
˙x = A(t) x + B(t) x α , (α ∈ IR 1 , α = 0, 1) (numitǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ<br />
a lui Bernoulli) în care A, B sunt funct¸ii reale continue <strong>de</strong>finite pe un<br />
interval I ⊂ IR 1 .<br />
2. O funct¸ie pozitivǎ x = x(t) este solut¸ie a ecuat¸iei Bernoulli dacǎ ¸si<br />
numai dacǎ funct¸ia y(t) = [x(t)] 1−α este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale<br />
liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi ˙y = (1−α) A(t) y + (1−α) B(t).<br />
3. Determinarea solut¸iilor pozitive ale ecuat¸iei Bernoulli se reduce la rezolvarea<br />
unei ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi.
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli 27<br />
Exercit¸ii<br />
1. Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile pozitive ale ecuat¸iilor:<br />
a) ˙x = − 1 1<br />
x +<br />
t t2x2 2t<br />
R: x(t) =<br />
1 + 2t2 C<br />
b) ˙x = 4<br />
tx + tx1/2 R: <br />
x(t) = − − 1<br />
<br />
ln t + C<br />
2<br />
c) ˙x = − 1<br />
x + tx2<br />
t<br />
d) ˙x = 1<br />
x − 2tx2<br />
t<br />
1<br />
R: x(t) = −<br />
(t − C) t<br />
R: x(t) =<br />
3t<br />
2t 3 + 3C<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy:<br />
a) ˙x=− 1<br />
t x+tx2 , t0=1, x0=1 R: x(t) = − 1<br />
t(t−2)<br />
b) ˙x= 1<br />
t x−2tx2 , t0=1, x0=1 R: x(t)= 3t<br />
2t 3 + 1<br />
c) ˙x= 2 1<br />
x+<br />
t 2t2x2 , t0=1, x0=1 R: x(t)= 2t2<br />
3−t<br />
· t 2 = 0
28 CAPITOLUL 1<br />
1.8 Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Riccati<br />
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Riccati are forma<br />
˙x = A(t) x 2 + B(t) x + C(t) (1.53)<br />
în care A, B, C sunt funct¸ii reale A, B, C : (a, b) → IR 1 continue (A(t) ≡ 0,<br />
C(t) ≡ 0) consi<strong>de</strong>rate cunoscute.<br />
Propozit¸ia 1.8.1 Dacǎ x1(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (1.53) ¸si x(t)<br />
este o solut¸ie oarecare a aceleia¸si ecuat¸ii, atunci funct¸ia y(t) = x(t) − x1(t)<br />
este o solut¸ie a ecuat¸iei Bernoulli<br />
˙y = A(t) y 2 + (2A(t) x1 + B(t)) y. (1.54)<br />
Demonstrat¸ie: Se verificǎ <strong>prin</strong> calcul.<br />
Propozit¸ia prece<strong>de</strong>ntǎ reduce <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei Riccati la<br />
<strong>de</strong>terminarea solut¸iilor unei ecuat¸ii Bernoulli. Trebuie subliniat cǎ aceastǎ<br />
reducere se face în ipoteza cǎ se cunoa¸ste o solut¸ie x1(t) a ecuat¸iei Riccati. În<br />
general dacǎ nu se cunoa¸ste o solut¸ie pentru ecuat¸ia lui Riccati, <strong>de</strong>terminarea<br />
solut¸iilor acestei ecuat¸ii nu se poate face cu meto<strong>de</strong> elementare.<br />
Observat¸ia 1.8.1 Prin schimbarea <strong>de</strong> funct¸ie y(t) = x(t)−x1(t) rezolvarea<br />
ecuat¸iei lui Riccati (1.53) se reduce la rezolvarea unei ecuat¸ii <strong>de</strong> tip Bernoulli<br />
care, conform cu §1.7 se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
liniarǎ.<br />
Observat¸ia 1.8.2 Rezolvarea ecuat¸iei lui Riccati se poate reduce direct la<br />
rezolvarea unei ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniarǎ cu necunoscuta<br />
z(t) dacǎ se face schimbarea <strong>de</strong> funct¸ie<br />
x(t) = 1<br />
+ x1(t).<br />
z(t)
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Riccati 29<br />
Exercit¸ii<br />
1. Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale Riccati:<br />
a) ˙x=−sin t·x2 sin t<br />
+2<br />
cos2 1<br />
, x1(t)=<br />
t cost<br />
c) ˙x = x2 − a a<br />
x −<br />
t t2, R: x(t)= 1<br />
cos t +<br />
6 cos2t+6<br />
−cos 3t−3 cost+12 C<br />
x1(t) = a<br />
t<br />
R: x(t)= a<br />
t +<br />
a+1<br />
−t+t−a (a+1) C<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy:<br />
a) ˙x = − 1<br />
t(2t−1) x2 + 4t+1 4t<br />
x−<br />
t(2t−1) t(2t−1) , x1(t)=1, t0=2, x0=1<br />
b) ˙x = −x2 + 4 4<br />
x −<br />
t t2, R: x(t)= t(2t−1)<br />
5−t<br />
1<br />
x1(t)=<br />
t ,t0=1, x0=0<br />
R: x(t) =<br />
+ 1<br />
3 1<br />
+<br />
t(t+2) t
30 CAPITOLUL 1<br />
1.9 Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ.<br />
Factor integrant<br />
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> forma:<br />
P(t, x)<br />
˙x = −<br />
Q(t, x)<br />
(1.55)<br />
este cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ dacǎ existǎ o funct¸ie U <strong>de</strong> clasǎ C 1 cu<br />
proprietatea:<br />
dU = P dt + Q dx. (1.56)<br />
Acesta înseamnǎ cǎ existǎ o funct¸ie U <strong>de</strong> clasǎ C1 a cǎrei diferent¸ialǎ este<br />
egalǎ cu P dt + Q dx. Altfel spus, P = ∂U ∂U<br />
¸si Q =<br />
∂t ∂x .<br />
Propozit¸ia 1.9.1 Dacǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.55) este cu diferent¸ialǎ totalǎ<br />
exactǎ ¸si o funct¸ie realǎ U = U(t, x) <strong>de</strong> clasǎ C 1 are proprietatea (1.56),<br />
atunci pentru orice solut¸ie x=x(t) a ecuat¸iei (1.55)<br />
U(t, x(t))=const.<br />
Demonstrat¸ie: Pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ funct¸ia U(t, x(t)) nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> t,<br />
se <strong>de</strong>riveazǎ în raport cu t ¸si se obt¸ine:<br />
d<br />
∂U<br />
U(t, x(t)) =<br />
dt ∂t +∂U<br />
∂x ·dx<br />
<br />
P(t, x)<br />
= P(t, x(t))+Q(t, x(t))· − =<br />
dt Q(t, x)<br />
= P(t, x(t)) − P(t, x(t)) = 0<br />
Aceastǎ propozit¸ie aratǎ cǎ o solut¸ie x(t) a ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ totalǎ<br />
exactǎ este o solut¸ie a ecuat¸iei implicite:<br />
U(t, x) = C (1.57)<br />
în care C este o constantǎ realǎ.<br />
Este u¸sor <strong>de</strong> verificat cǎ ¸si afirmat¸ia reciprocǎ este a<strong>de</strong>vǎratǎ: o solut¸ie<br />
x = x(t) a ecuat¸iei implicite (1.57) este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ<br />
totalǎ (1.55).<br />
Astfel, <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ totalǎ (1.55) se reduce<br />
la <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei implicite (1.57). Acest rezultat conduce<br />
în mod natural la urmǎtoarele douǎ probleme:
Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant 31<br />
1. Cum ne dǎm seama cǎ ecuat¸ia (1.55) este cu diferent¸ialǎ totalǎ?<br />
2. Cum se <strong>de</strong>terminǎ o funct¸ie U = U(t, x) a cǎrei diferent¸ialǎ este egalǎ<br />
cu P dt + Q dx?<br />
Un rǎspuns la aceste întrebǎri este dat <strong>de</strong> urmǎtoarea propozit¸ie.<br />
Propozit¸ia 1.9.2 Dacǎ funct¸iile P ¸si Q sunt <strong>de</strong> clasǎ C1 pe un domeniu Ω<br />
¸si ∂P ∂Q<br />
=<br />
∂x ∂t , atunci pentru orice (t0, x0) ∈ Ω existǎ un r > 0 ¸si o funct¸ie<br />
realǎ U = U(t, x) <strong>de</strong>finitǎ pe discul centrat în (t0, x0) ¸si <strong>de</strong> razǎ r astfel încât<br />
sǎ aibe loc relat¸ia (1.56).<br />
Demonstrat¸ie: Pentru un punct (t0, x0) ∈ Ω se consi<strong>de</strong>rǎ r > 0 astfel ca<br />
discul centrat în (t0, x0) ¸si <strong>de</strong> razǎ r > 0 sǎ fie inclus în Ω. Pornind <strong>de</strong> la faptul<br />
cǎ pe disc trebuie sǎ avem ∂U<br />
t<br />
= P <strong>de</strong>ducem cǎ U(t, x) = P(τ, x)dτ+Ψ(x)<br />
∂t t0<br />
un<strong>de</strong> Ψ este o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C1 necunoscutǎ. Impunând condit¸ia ∂U<br />
= Q<br />
∂x<br />
obt¸inem egalitatea:<br />
t<br />
T¸inând seamǎ acum <strong>de</strong> egalitatea ∂P<br />
∂x<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
∂P<br />
∂x (τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).<br />
= ∂Q<br />
∂t<br />
<strong>de</strong>ducem cǎ:<br />
∂Q<br />
∂t (τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).<br />
Efectuând integrarea se obt¸ine egalitatea:<br />
din care rezultǎ:<br />
Q(t, x) − Q(t0, x) + Ψ ′ (x) = Q(t, x)<br />
Ψ ′ (x) = Q(t0, x).<br />
Prin urmare funct¸ia Ψ(x) este datǎ <strong>de</strong> formula:<br />
Ψ(x) =<br />
x<br />
x0<br />
Q(t0, y) dy + C (1.58)
32 CAPITOLUL 1<br />
în care C este o constantǎ realǎ. Revenind la funct¸ia U(t, x) obt¸inem cǎ<br />
aceasta este datǎ <strong>de</strong> formula:<br />
U(t, x) =<br />
t<br />
t0<br />
P(τ, x) dτ +<br />
x<br />
x0<br />
Q(t0, y) dy + C. (1.59)<br />
Formula aceasta <strong>de</strong>fine¸ste o mult¸ime <strong>de</strong> funct¸ii U(t, x) care au proprietatea<br />
exprimatǎ <strong>prin</strong> relat¸ia (1.56).<br />
Comentariu: Propozit¸ia aratǎ cǎ egalitatea ∂P ∂Q<br />
= este o condit¸ie<br />
suficientǎ pentru ca sǎ existe în vecinǎtatea oricǎrui punct (t0, x0) ∈ Ω o<br />
funct¸ie U(t, x) <strong>de</strong> clasǎ C 2 astfel ca dU = P dt + Q dx.<br />
Ment¸ionǎm cǎ ¸si reciproca acestei afirmat¸ii este a<strong>de</strong>vǎratǎ. Mai precis<br />
este a<strong>de</strong>vǎratǎ urmǎtoarea afirmat¸ie: dacǎ existǎ r > 0 ¸si o funct¸ie U(t, x)<br />
<strong>de</strong> clasǎ C 2 pe discul centrat în (t0, x0) ¸si razǎ r astfel ca dU = P dt + Q dx<br />
pentru orice (t, x) din acest disc, atunci funct¸iile P ¸si Q sunt <strong>de</strong> clasǎ C 1<br />
¸si ∂P ∂Q<br />
= pentru orice (t, x) din disc. Acest rezultat se obt¸ine folosind<br />
∂x ∂t<br />
posibilitatea inversǎrii ordinii <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivare, stabilit <strong>de</strong> Schwartz.<br />
Observat¸ia 1.9.1 Dacǎ funct¸iile P ¸si Q sunt <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ⊂ IR 2<br />
dar ∂P ∂Q<br />
= atunci ecuat¸ia (1.55) nu este o ecuat¸ie cu diferent¸ialǎ totalǎ<br />
∂x ∂t<br />
exactǎ ¸si metoda prezentatǎ nu poate fi utilizatǎ pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor<br />
ecuat¸iei. În acest caz este util sǎ observǎm cǎ ecuat¸ia (1.55) are acelea¸si<br />
solut¸ii ca ¸si ecuat¸ia<br />
P(t, x) · µ(t, x)<br />
˙x = − (1.60)<br />
Q(t, x) · µ(t, x)<br />
în care µ(t, x) este o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 care nu se anuleazǎ.<br />
Datoritǎ acestui fapt apare natural sǎ încercǎm sǎ <strong>de</strong>terminǎm funct¸ia<br />
µ(t, x) astfel ca ecuat¸ia (1.60) sǎ fie cu diferent¸ialǎ totalǎ. Impunând aceastǎ<br />
condit¸ie rezultǎ cǎ funct¸ia µ(t, x) trebuie sǎ verifice relat¸ia:<br />
∂P<br />
∂x<br />
µ + P ∂µ<br />
∂x<br />
= ∂Q<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂t<br />
∂µ<br />
µ + Q . (1.61)<br />
∂t<br />
O funct¸ie care verificǎ (1.61) se nume¸ste factor integrant, iar relat¸ia <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ (1.61) se nume¸ste ecuat¸ia factorului integrant.
Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant 33<br />
Exercit¸ii<br />
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuat¸ii cu diferent¸iale totale:<br />
a) ˙x =<br />
4tx − xetx<br />
te tx − 2t 2<br />
b) ˙x= tm +2tx 2 + 1<br />
t<br />
x n +2t 2 x+ 1<br />
x<br />
2tx − 2x3<br />
c) ˙x = −<br />
t2 − 6tx2 R: 2t 2 x(t) + e t x(t) = C<br />
R:<br />
t m+1<br />
m+1 +x(t)n+1<br />
n+1 +t2 x(t) 2 +ln(t x(t))=C<br />
R: t2 x(t) − 4t x(t) 3 = C<br />
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy:<br />
t + x<br />
a) ˙x = −<br />
t − x , t0 = 0, x0 = 1 R: x(t) = t + √ 2t2 + 1<br />
b) ˙x = − t2<br />
x 2,<br />
t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = 3√ −t 3 + 2<br />
3. Sǎ se rezolve ecuat¸iile diferent¸iale ¸stiind cǎ ele admit factor integrant<br />
µ = µ(t):<br />
t sin x + x cosx<br />
a) ˙x = −<br />
t cos x − x sin x<br />
b) ˙x = − 1 − t2 x<br />
t 2 (x − t)<br />
R: µ(t) = et<br />
e t [(t − 1) sin x(t) + x(t) cosx(t)]=C<br />
R: µ(t) = 1<br />
t 2<br />
x(t) 2<br />
2<br />
− t x(t) − 1<br />
t<br />
= C
34 CAPITOLUL 1<br />
4. Sǎ se rezolve ecuat¸iile diferent¸iale ¸stiind cǎ ele admit factor integrant<br />
µ = µ(x):<br />
x(1 − t x)<br />
a) ˙x = −<br />
−t<br />
b) ˙x = −<br />
2t x<br />
3x 2 − t 2 + 3<br />
R: µ(x) = 1<br />
x 2<br />
t t2<br />
−<br />
x(t) 2<br />
R: µ(x) = 1<br />
x 2<br />
= C<br />
t2 + 3x(t) = C<br />
x(t)
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 35<br />
1.10 Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor<br />
diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
Foarte multe dintre mo<strong>de</strong>lele matematice ale unor fenomene din realitate<br />
cont¸in cel put¸in o ecuat¸ie diferent¸ialǎ. Toate softurile comerciale <strong>de</strong> matematicǎ<br />
(Maple, Mathematica, Mathcad) oferǎ posibiltatea sǎ rezolvǎm numeric<br />
aceste probleme.<br />
Exemplele <strong>de</strong> rezolvare numericǎ care sunt în acest curs vor fi prezentate<br />
în programul Maple 9, versiune care acoperǎ toate celelate versiuni <strong>de</strong> Maple<br />
în momentul <strong>de</strong> fat¸ǎ.<br />
Pentru rezolvarea numericǎ a ecuat¸iilor diferent¸iale cu programul Maple se<br />
folose¸ste funct¸ia dsolve (solve ordinary differential equations - ODEs) cu una<br />
din urmǎtoarele sintaxe :<br />
dsolve(ODE);<br />
dsolve(ODE, x(t), extra.args);<br />
dsolve({ODE, ICs}, x(t), extra.args);<br />
în care:<br />
ODE - ecuat¸ia diferent¸ialǎ ordinarǎ pe care dorim sǎ o rezolvǎm<br />
x(t) - funct¸ia necunoscutǎ pe care dorim sǎ o <strong>de</strong>terminǎm<br />
ICs - condit¸iile init¸iale<br />
extra.args - argumente opt¸ionale care se folosesc pentru schimbarea<br />
formei <strong>de</strong> afi¸sare a solut¸iei (explicitǎ, implicitǎ, parametricǎ),<br />
a meto<strong>de</strong>i <strong>de</strong> rezolvare a ecuat¸iei (separarea variabilelor,<br />
Bernoulli, Riccati, etc.).<br />
Pentru exemplificare, consi<strong>de</strong>rǎm ecuat¸ia diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi:<br />
˙x = t<br />
· (1 − x); t ∈ R − {−1}, x ∈ R − {1}. (1.62)<br />
1 + t<br />
Aceastǎ ecuat¸ie este cu variabile separate (caz particular <strong>de</strong> ecuat¸ie liniarǎ).<br />
Prin utilizarea sintaxei dsolve(ODE) se obt¸ine mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei<br />
date (ecuat¸ia familiei <strong>de</strong> curbe integrale scrisǎ sub formǎ explicitǎ):
36 CAPITOLUL 1<br />
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)));<br />
<br />
et x (t) =<br />
1+t<br />
+ C1<br />
<br />
(e −t + e −t t).<br />
Dacǎ dorim ca solut¸iile sǎ fie afi¸sate sub formǎ parametricǎ, atunci se<br />
folose¸ste argumentul opt¸ional ‘parametric‘ ¸si obt¸inem:<br />
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),‘parametric‘);<br />
x (t) = 1 − e−t<br />
C1 − e−t t<br />
C1 .<br />
Se mai poate utiliza ca argument opt¸ional ”metoda <strong>de</strong> rezolvare a<br />
ecuat¸iei”. Dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuat¸ia diferent¸ialǎ ca o ecuat¸ie<br />
liniarǎ, atunci se folose¸ste argumentul opt¸ional [linear] ¸si obt¸inem:<br />
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[linear]);<br />
<br />
et x (t) =<br />
1+t<br />
+ C1<br />
<br />
(e −t + e −t t),<br />
iar dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuat¸ia diferent¸ialǎ ca fiind o ecuat¸ie<br />
cu variabile separate, atunci folosim argumentul opt¸ional [separable] ¸si<br />
obt¸inem:<br />
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[separable]);<br />
x (t) = ( C1 et−1−t)e−t . C1<br />
Nespecificând metoda <strong>de</strong> rezolvare Maple va alege una dintre ele.<br />
Deoarece în secvent¸ele <strong>de</strong> mai sus nu s-a dat nici o condit¸ie init¸ialǎ, Maple a<br />
afi¸sat rǎspunsul cu ajutorul unei constante necunoscute. Dacǎ specificǎm ¸si<br />
condit¸ia init¸ialǎ atunci calculatorul va rezolva o problemǎ cu condit¸ii init¸iale<br />
(Problemǎ Cauchy) ¸si va afi¸sa solut¸ia acesteia.<br />
Pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.62) vom consi<strong>de</strong>ra douǎ Probleme Cauchy<br />
<strong>de</strong>oarece domeniul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie al membrului drept este reuniunea<br />
(−∞, −1) × IR 1 ∪ (−1, +∞) × IR 1 .<br />
Dacǎ consi<strong>de</strong>rǎm t > −1 ¸si condit¸ia init¸ialǎ x(2) = 4, atunci se obt¸ine<br />
solut¸ia:<br />
> dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(2)=4},x(t));<br />
x (t) =<br />
<br />
et 1+t − 1/3 e−2e2−4 e−2 <br />
(e −t + e −t t),<br />
iar dacǎ consi<strong>de</strong>rǎm t < −1 ¸si condit¸ia init¸ialǎ x(−2) = 0, atunci se<br />
obt¸ine solut¸ia:<br />
> dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(-2)=0},x(t));
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 37<br />
x (t) =<br />
<br />
et + e−2<br />
1+t<br />
<br />
(e −t + e −t t).<br />
Pentru reprezentarea graficǎ a solut¸iei unei probleme cu date init¸iale, programul<br />
Maple folose¸ste funct¸ia plot (create a two-dimensional plot of functions).<br />
Utilizarea acesteia implicǎ urmǎtoarea sintaxǎ:<br />
plot(f,h,v);<br />
în care:<br />
f - funct¸ia care trebuie reprezentatǎ grafic;<br />
h - domeniul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie al funct¸iei pe axa orizontalǎ;<br />
v - (opt¸ional) domeniul <strong>de</strong> variat¸ie al funct¸iei pe axa verticalǎ.<br />
Solut¸ia Problemei Cauchy a ecuat¸iei (1.62) corespunzǎtoare condit¸iei init¸iale<br />
x(2) = 4 este reprezentatǎ pe Figura 2.<br />
> f1:=(exp(t)/(1+t)-1/3*(exp(-2)*exp(2)-4)/exp(-2))*<br />
(exp(-t)+exp(-t)*t):<br />
> plot(f1,t=-1..infinity);<br />
Figura 2<br />
iar solut¸ia Problemei Cauchy corespunzǎtoare condit¸iei init¸iale x(−2) = 0<br />
este reprezentatǎ pe Figura 3.
38 CAPITOLUL 1<br />
Figura 3<br />
Dupǎ cum se poate observa din instruct¸iunile <strong>de</strong> mai sus s-a atribuit variabilei<br />
f1 funct¸ia solut¸ie a Problemei Cauchy ¸si apoi am folosit în instruct¸iunea plot.<br />
În general, este recomandabil sǎ se atribuie unor expresii matematice variabile,<br />
<strong>de</strong>oarece aceasta simplificǎ scrierea.<br />
În cele ce urmeazǎ, continuǎm exemplificarea rezolvând trei probleme cu<br />
date init¸iale ¸si, în fiecare caz, vom reprezenta grafic solut¸ia:<br />
1. Ecuat¸ia liniarǎ<br />
˙x = −x + 2e t<br />
> dsolve(diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(t),[linear]);<br />
x (t) = e t + e −t C1<br />
> dsolve({diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(0)=2},x(t),<br />
[linear]);<br />
x (t) = e t + e −t<br />
> plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2);<br />
(1.63)
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 39<br />
sau<br />
Figura 4<br />
> plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2,color=black,style=point,<br />
axes=boxed);<br />
Figura 5<br />
în care am folosit diferite comenzi opt¸ionale referitoare la modalitatea<br />
<strong>de</strong> afi¸sare a graficului.<br />
2. Ecuat¸ia <strong>de</strong> tip Riccati<br />
˙x = −x 2 + 4<br />
t<br />
4<br />
· x −<br />
t2, t > 0 (1.64)
40 CAPITOLUL 1<br />
> eq:=diff(x(t),t)=-x(t)^2+(4/t)*x(t)-4/t^2;<br />
eq := d<br />
dtx (t) = − (x (t))2 + 4 x(t)<br />
− 4 t−2<br />
t<br />
> dsolve(eq,‘explicit‘,[Riccati]);<br />
x (t) = ( C1 − 1/3 t −3 ) −1 t −4 + 4 t −1<br />
> dsolve(eq,[Riccati]);<br />
x (t) = ( C1 − 1/3 t −3 ) −1 t −4 + 4 t −1<br />
> dsolve({eq,x(1)=2},x(t));<br />
x (t) = 4 t3 +2<br />
(2+t 3 )t<br />
> dsolve({eq,x(1)=2},x(t),[Riccati]);<br />
x (t) = (−1/6 − 1/3 t −3 ) −1 t −4 + 4 t −1<br />
> sol1:=(4*t^3+2)/((2+t^3)*t):<br />
> sol2:=1/((-1/6-1/3/t^3)*t^4)+4/t:<br />
> plot([sol1,sol2],t=0..90,x=0..3,color=[red,blue],<br />
style=[point,line]);<br />
Figura 6
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 41<br />
În secvent¸ele <strong>de</strong> mai sus observǎm cǎ, argumentul opt¸ional în care<br />
cerem sǎ se afi¸seze solut¸ia sub formǎ explicitǎ este inutil, <strong>de</strong>oarece<br />
acest lucru este fǎcut automat <strong>de</strong> dsolve. Deasemenea, dacǎ folosim<br />
argumentul opt¸ional [Riccati] solut¸ia ecuat¸iei diferǎ doar aparent (cele<br />
douǎ solut¸ii afi¸sate coincid dupǎ cum se poate observa din Figura 6<br />
un<strong>de</strong> am reprezentat simultan ”ambele” forme ale solut¸iei în acela¸si<br />
sistem <strong>de</strong> coordonate).<br />
3. Ecuat¸ia cu factor integrant<br />
˙x = −<br />
2 · t · x<br />
3x 2 − t 2 + 3 , 3x2 − t 2 + 3 = 0 (1.65)<br />
> dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),‘explicit‘);<br />
x (t) = −1/6 C1 ± 1/6 C1 2 − 12 t 2 + 36<br />
> dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),‘implicit‘);<br />
t 2<br />
x(t) + 3 x (t) − 3 (x (t))−1 + C1 = 0<br />
> dsolve({diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),x(0)=1});<br />
x (t) = 1/6 √ 36 − 12 t 2<br />
> plot(1/6*(36-12*t^2)^(1/2), t=-1..1);<br />
Figura 7
42 CAPITOLUL 1<br />
Ecuat¸ia cu factor integrant a fost rezolvatǎ <strong>de</strong> Maple fǎrǎ specificarea<br />
factorului integrant µ = µ(t, x) iar solut¸ia a fost afi¸satǎ sub formǎ<br />
explicitǎ în primul caz, respectiv sub formǎ implicitǎ în al doilea caz. În<br />
Figura 7 este reprezentatǎ solut¸ia Problemei Cauchy corespunzǎtoare.
<strong>Capitolul</strong> 2<br />
Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> ordin<br />
superior <strong>rezolvabile</strong> <strong>prin</strong><br />
meto<strong>de</strong> elementare<br />
Definit¸ia 2.0.1 O ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n ≥ 2 este o relat¸ie <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma<br />
g(t, x, ˙x, ..., x (n) ) = 0 (2.1)<br />
între funct¸ia i<strong>de</strong>nticǎ t ↦→ t <strong>de</strong>finitǎ pe un interval I ⊂ IR 1 necunoscut, o<br />
funct¸ie necunoscutǎ x(t) ¸si <strong>de</strong>rivatele ei ˙x, ¨x, ..., x (n) pânǎ la <strong>ordinul</strong> n <strong>de</strong>finite<br />
pe acela¸si interval.<br />
În ecuat¸ia (2.1) funct¸ia g se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscutǎ ¸si rezolvarea ecuat¸iei<br />
înseamnǎ <strong>de</strong>terminarea funct¸iilor necunoscute x care verificǎ ecuat¸ia.<br />
Definit¸ia 2.0.2 O funct¸ie realǎ x <strong>de</strong> clasǎ C n <strong>de</strong>finitǎ pe un interval <strong>de</strong>schis<br />
I ⊂ IR 1 se nume¸ste solut¸ie a ecuat¸iei (2.1) dacǎ pentru orice t ∈ I, sistemul<br />
ordonat (t, x(t), ˙x(t), ..., x (n) (t)) apart¸ine domeniului <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie a lui g ¸si<br />
g(t, x(t), ˙x(t), ..., x (n) (t)) = 0 (2.2)<br />
Vom prezenta câteva cazuri <strong>de</strong> asemenea ecuat¸ii care se rezolvǎ cu meto<strong>de</strong><br />
elementare ¸si probleme concrete din diferite domenii care au condus la asemenea<br />
ecuat¸ii.<br />
43
44 CAPITOLUL 2<br />
2.1 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al<br />
doilea cu coeficient¸i constant¸i<br />
Problema 2.1.1 Sǎ se <strong>de</strong>termine variat¸ia curentului într-un circuit format<br />
dintr-o rezintent¸ǎ R, o bobinǎ cu inductant¸ǎ L ¸si un con<strong>de</strong>nsator <strong>de</strong> capacitate<br />
C legat¸i în serie ¸si conectat¸i la o sursǎ <strong>de</strong> curent alternativ <strong>de</strong> tensiune<br />
electromotoare E = E0 · cos ωt<br />
Rezolvare: Fie i(t) intensitatea curentului din circuit la momentul t. Cǎ<strong>de</strong>rile<br />
<strong>de</strong> tensiune pe elementele circuitului sunt:<br />
uR = R · i;<br />
uL = L · di<br />
dt ;<br />
uC = 1<br />
<br />
i(t)dt;<br />
C<br />
conform celei <strong>de</strong>-a doua legi a lui Kirchhoff, suma cǎ<strong>de</strong>rilor <strong>de</strong> tensiune pe<br />
bobinǎ, rezistent¸ǎ ¸si con<strong>de</strong>nsator este egalǎ în orice moment cu tensiunea<br />
electromotoare a generatorului. Prin urmare avem:<br />
L · di<br />
<br />
1<br />
+ R · i + i(t)dt = E0 · cosωt,<br />
dt C<br />
iar <strong>prin</strong> <strong>de</strong>rivare se obt¸ine cǎ intensitatea a curentului verificǎ egalitatea:<br />
L · d2i di 1<br />
+ R · +<br />
dt2 dt C i = −E0 · ω · sin ωt. (∗)<br />
Prin urmare avem <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminat o funct¸ie i(t) care împreunǎ cu <strong>de</strong>rivatele<br />
ei <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi ¸si doi verificǎ relat¸ia <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ (∗). În (∗)<br />
cu except¸ia funct¸iei i totul este cunoscut.<br />
Pentru a <strong>de</strong>termina funct¸ia necunoscutǎ i(t) vom arǎta în continuare<br />
cum se rezolvǎ o ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i<br />
constant¸i.<br />
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i constant¸i<br />
este o ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> forma:<br />
a2¨x + a1 ˙x + a0x = f(t) (2.3)<br />
în care a0, a1, a2 sunt constante reale cunoscute, a2 = 0, f(t) funct¸ie continuǎ<br />
cunoscutǎ ¸si x este o funct¸ie realǎ <strong>de</strong> clasǎ C 2 necunoscutǎ.
Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i constant¸i 45<br />
Observat¸ia 2.1.1 Dacǎ f = 0 atunci ecuat¸ia (2.3) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ<br />
liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> doi cu coeficient¸i constant¸i omogenǎ, iar dacǎ f = 0 ecuat¸ia<br />
(2.3) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> doi cu coeficient¸i<br />
constant¸i neomogenǎ.<br />
Vom <strong>de</strong>termina mai întâi solut¸iile ecuat¸iei omogene urmând apoi sǎ <strong>de</strong>terminǎm<br />
¸si solut¸iile ecuat¸iei neomogene.<br />
Fie ecuat¸ia omogenǎ ata¸satǎ ecuat¸iei (2.3):<br />
a2¨x + a1 ˙x + a0x = 0 (2.4)<br />
Dacǎ a2 = 0 atunci ecuat¸ia (2.4) este o ecuat¸ie liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi:<br />
¸si solut¸iile ei sunt date <strong>de</strong> formula<br />
a1 ˙x + a0x = 0<br />
x(t) = Ce − a 0<br />
a1 t<br />
în care C este o constantǎ realǎ oarecare. Observǎm cǎ raportul − a0<br />
exponent, este solut¸ia ecuat¸iei algebrice a1 ·λ+a0 = 0, iar la formula solut¸iei<br />
x(t) = Ce − a 0<br />
a1 t se poate ajunge nu numai pe calea <strong>de</strong>scrisǎ în <strong>Capitolul</strong> 1 § 6<br />
ci ¸si cǎutând solut¸ii <strong>de</strong> forma x(t) = Ce λt . Aceasta este i<strong>de</strong>ea pe care o vom<br />
folosi pentru a <strong>de</strong>termina solut¸iile ecuat¸iei (2.4).<br />
Impunând unei funct¸ii <strong>de</strong> forma x(t) = Ce λt sǎ verifice ecuat¸ia (2.4)<br />
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuat¸ia <strong>de</strong> gradul al doilea:<br />
a1<br />
din<br />
a2λ 2 + a1λ + a0x = 0. (2.5)<br />
Dacǎ rǎdǎcinile λ1 ¸si λ2 ale ecuat¸iei (2.5) sunt reale ¸si distincte, atunci<br />
funct¸iile<br />
x1(t) = C1e λ1t ¸si x2(t) = C2e λ2t<br />
sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (2.4) ¸si funct¸ia<br />
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t<br />
este <strong>de</strong> asemenea solut¸ie a ecuat¸iei (2.4). Mai mult, pentru orice<br />
t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem <strong>de</strong>termina în mod unic constantele C1 ¸si C2 astfel<br />
încât sǎ aibǎ loc<br />
x(t0) = x0 0 ¸si ˙x(t0) = x1 0 . (2.6)
46 CAPITOLUL 2<br />
În a<strong>de</strong>vǎr, impunând condit¸iile (2.6) funct¸iei x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t ,<br />
obt¸inem urmǎtorul sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii algebrice:<br />
x 0 0 = C1e λ1t0 + C2e λ2t0<br />
x 1 0 = C1e λ1t0 + C2e λ2t0<br />
în care necunoscutele sunt C1 ¸si C2.<br />
Determinantul acestui sistem este e (λ1+λ2)t0 · (λ2 − λ1) ¸si este nenul<br />
(λ1 = λ2), fapt pentru care sistemul are o solut¸ie unicǎ.<br />
În particular rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ formula:<br />
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t<br />
(2.7)<br />
reprezintǎ toate solut¸iile ecuat¸iei (2.4) în cazul în care ecuat¸ia (2.5) are<br />
rǎdǎcini reale distincte.<br />
Dacǎ ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile confundate λ1 = λ2 = λ atunci pe lângǎ<br />
funct¸ia x1(t) = C1e λt ¸si funct¸ia x2(t) = C2t · e λt este solut¸ie a ecuat¸iei (2.4).<br />
Prin urmare orice funct¸ia x(t) <strong>de</strong> forma<br />
adicǎ<br />
x(t) = C1e λt + C2t · e λt<br />
x(t) = e λt · (C1 + C2t) (2.8)<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.4).<br />
Mai mult, pentru orice t0, x 0 0 , x1 0 ∈ IR1 putem <strong>de</strong>termina în mod unic<br />
constantele C1 ¸si C2 astfel încât sǎ aibe loc x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) = x 1 0.<br />
În a<strong>de</strong>vǎr, impunând aceste condit¸ii funct¸iei datǎ <strong>de</strong> (2.8) rezultǎ urmǎtorul<br />
sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii algebrice:<br />
x 0 0 = e λt0 (C1 + C2t0)<br />
x 1 0 = λe λt0 · C1 + C2e λt0 + e λt0 · t0 · λ · C2<br />
al cǎrui <strong>de</strong>terminant este e2λt0 = 0.<br />
În particular rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ, formula (2.8) reprezintǎ toate solut¸iile<br />
ecuat¸iei (2.4) în cazul în care ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile confundate.<br />
Rǎmâne sǎ consi<strong>de</strong>rǎm cazul în care ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile complex<br />
conjugate λ1 = µ + iν ¸si λ2 = µ − iν. În acest caz consi<strong>de</strong>rǎm funct¸iile<br />
x1(t) = C1e µt · cos νt ¸si x2(t) = C2e µt · sin νt
Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i constant¸i 47<br />
(C1, C2 constante reale) ¸si arǎtǎm cǎ fiecare din acestea este solut¸ie a ecuat¸iei<br />
(2.4).<br />
Demonstrat¸ia se face <strong>prin</strong> verificare. Pentru exemplificare facem acest<br />
calcul în cazul funct¸iei x1(t):<br />
˙x1(t) = C1µ · e µt · cosνt − C1ν · e µt · sin νt<br />
¨x1(t) = C1µ 2 · e µt · cosνt − 2C1µν · e µt · sin νt − C1ν 2 · e µt · cos νt<br />
¸si înlocuind în ecuat¸ia (2.5) avem:<br />
avem<br />
a2¨x1 + a1 ˙x1 + a0x1 = C1 · e µt · cosνt (µ 2 − ν 2 <br />
)a2 + µa1 + a0 +<br />
+ C1 · e µt · sin νt [−2µνa2 − νa1] .<br />
Deoarece<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare:<br />
a2(µ + iν) 2 + a1(µ + iν) + a0 = 0<br />
(µ 2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 + i [2µνa2 + νa1] = 0<br />
(µ 2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 = 0 ¸si 2µνa2 + νa1 = 0.<br />
T¸inând seama <strong>de</strong> aceste egalitǎt¸i <strong>de</strong>ducem egalitatea<br />
a2¨x1 + a1 ˙x1 + a0x1 = 0<br />
care aratǎ cǎ funct¸ia x1(t) = C1 ·e µt ·cosνt este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale<br />
(2.4).<br />
La fel se aratǎ cǎ funct¸ia x2(t) = C2 · e µt · sin νt este solut¸ie a ecuat¸iei<br />
diferent¸iale (2.4).<br />
Astfel, rezultǎ cǎ orice funct¸ie<br />
x(t) = C1 · e µt · cos νt + C2 · e µt · sin νt (2.9)<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.4).<br />
Arǎtǎm în continuare cǎ pentru orice t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem <strong>de</strong>termina<br />
constantele C1 ¸si C2 în mod unic astfel încât sǎ aibe loc x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) =<br />
x 1 0 .
48 CAPITOLUL 2<br />
Impunând aceste condit¸ii funct¸iei (2.9) rezultǎ urmǎtorul sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
algebrice:<br />
x 0 0 = eµt0 · [C1 · cosνt0 + C2 · sin νt0]<br />
x 1 0 = eµt0 · [C1 · (µ cosνt0 − ν sin νt0) + C2 · (µ sin νt0 + ν cosνt0)]<br />
având ca necunoscute constantele C1, C2.<br />
Determinantul acestui sistem algebric este ν · e 2µt0 ¸si este diferit <strong>de</strong> zero.<br />
În particular, rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ formula (2.9) reprezintǎ toate solut¸iile<br />
ecuat¸iei (2.4) în cazul în care ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile complexe.<br />
Am ajuns în acest fel sǎ <strong>de</strong>terminǎm toate solut¸iile ecuat¸iei (2.4).<br />
Aceasta însǎ nu permite încǎ sǎ rezolvǎm problema 2.1.1 pusǎ la începutul<br />
paragrafului, pentru cǎ aceasta conduce <strong>de</strong> fapt la ecuat¸ia (2.3), adicǎ:<br />
a2¨x + a1 ˙x + a0x = f(t)<br />
în care funct¸ia f este datǎ.<br />
Reamintim cǎ, <strong>de</strong>osebirea dintre ecuat¸iile (2.4) ¸si (2.3) constǎ în faptul cǎ<br />
în membrul drept al ecuat¸iei (2.3) este o funct¸ie continuǎ care nu neapǎrat<br />
este funct¸ia i<strong>de</strong>ntic nulǎ, adicǎ este o ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea<br />
cu coeficient¸i constant¸i neomogenǎ.<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei (2.3) este important sǎ observǎm<br />
la început cǎ, dacǎ x(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (2.3) ¸si x(t) este o<br />
solut¸ie oarecare a aceleia¸si ecuat¸ii, atunci diferent¸a<br />
x(t) = x(t) − x(t)<br />
este o solut¸ie oarecare a ecuat¸iei (2.4). Întrucât solut¸iile x(t) ale ecuat¸iei<br />
(2.4) sunt cunoscute, <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor x(t) ale ecuat¸iei (2.3) revine la<br />
<strong>de</strong>terminarea unei singure solut¸ii x(t) ale acestei ecuat¸ii.<br />
O solut¸ie particularǎ x(t) pentru ecuat¸ia (2.3) se <strong>de</strong>terminǎ cu metoda<br />
variat¸iei constantelor a lui Lagrange (un proce<strong>de</strong>u asemǎnǎtor cu cel <strong>de</strong>scris<br />
în Cap 1 § 6).<br />
În continuare prezentǎm aceastǎ metodǎ în cazul în care ecuat¸ia algebricǎ<br />
(2.5) are rǎdǎcinile reale distincte λ1, λ2. În acest caz solut¸iile ecuat¸iei<br />
omogene (2.4) se scriu sub forma (2.7):<br />
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t .
Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i constant¸i 49<br />
Solut¸ia particularǎ x(t) a ecuat¸iei neomogene (2.3) se cautǎ sub aceea¸si<br />
formǎ consi<strong>de</strong>rând însǎ C1, C2 funct¸ii <strong>de</strong> clasǎ C 1 <strong>de</strong> variabila t:<br />
x(t) = C1(t)e λ1t + C2(t)e λ2t<br />
(2.10)<br />
Pentru a impune funct¸iei x(t) sǎ verifice ecuat¸ia (2.3) calculǎm <strong>de</strong>rivata<br />
acesteia ¸si obt¸inem:<br />
˙x(t) = ˙ C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t + C1(t)λ1e λ1t + C2(t)λ2e λ2t<br />
(2.11)<br />
În continuare ar trebui sǎ calculǎm <strong>de</strong>rivata <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea ¨x <strong>prin</strong><br />
<strong>de</strong>rivare în raport cu t în expresia (2.11). Aceasta ar introduce <strong>de</strong>rivatele<br />
<strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea ale funct¸iilor C1(t), C2(t) <strong>de</strong> existent¸a cǎrora nu ne-am<br />
asigurat. De aceea impunem condit¸ia suplimentarǎ:<br />
Cu aceasta (2.11) <strong>de</strong>vine:<br />
iar <strong>prin</strong> <strong>de</strong>rivare obt¸inem:<br />
sau<br />
˙C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t = 0 (2.12)<br />
˙x(t) = C1(t)λ1e λ1t + C2(t)λ2e λ2t<br />
(2.13)<br />
¨x(t) = ˙ C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t + C1(t)λ 2 1 eλ1t + C2(t)λ 2 2 eλ2t . (2.14)<br />
Înlocuind (2.13) ¸si (2.14) în (2.3) rezultǎ:<br />
C1(t)(a2λ 2 1 + a1λ1 + a0)e λ1t + C2(t)(a2λ 2 2 + a1λ2 + a0)e λ2t +<br />
+ ˙ C1(t)a2λ1e λ1t + ˙ C2(t)a2λ2e λ2t = f(t)<br />
˙C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t = 1<br />
a2<br />
f(t) (2.15)<br />
Astfel, sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii algebrice format din ecuat¸iile (2.12) ¸si (2.15):<br />
˙C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t = 0<br />
˙C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t = 1<br />
a2<br />
f(t)<br />
(2.16)
50 CAPITOLUL 2<br />
în care necunoscutele sunt ˙ C1(t), ˙ C2(t) (<strong>de</strong>rivatele funct¸iilor C1(t) ¸si C2(t)),<br />
are <strong>de</strong>terminantul (λ2 − λ1)e (λ1+λ2)t = 0 ¸si permite <strong>de</strong>terminarea funct¸iilor<br />
˙C1(t) ¸si ˙ C2(t):<br />
˙C1(t) = −<br />
˙C2(t) =<br />
1<br />
a2(λ2 − λ1) · e−(λ1+λ2)t · e λ2t · f(t)<br />
1<br />
a2(λ2 − λ1) · e−(λ1+λ2)t · e λ1t · f(t)<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ funct¸iile C1(t) ¸si C2(t) sunt date <strong>de</strong>:<br />
1<br />
C1(t) = −<br />
a2(λ2 − λ1)<br />
C2(t) =<br />
1<br />
a2(λ2 − λ1)<br />
t<br />
t ∗<br />
t<br />
t ∗<br />
e −λ1τ · f(τ)dτ<br />
e −λ2τ · f(τ)dτ<br />
iar solut¸ia particularǎ a ecuat¸iei neomogene (2.3) este:<br />
adicǎ:<br />
1<br />
x(t) = −<br />
a2(λ2 − λ1)<br />
+<br />
1<br />
a2(λ2 − λ1)<br />
· eλ1t<br />
· eλ2t<br />
t<br />
t<br />
t ∗<br />
t ∗<br />
e −λ1τ · f(τ)dτ+<br />
e −λ2τ · f(τ)dτ.<br />
Rezultǎ cǎ o solut¸ie oarecare a ecuat¸iei (2.3) este datǎ <strong>de</strong><br />
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t −<br />
+<br />
1<br />
a2(λ2 − λ1)<br />
x(t) = x(t) + x(t)<br />
· eλ2t<br />
1<br />
a2(λ2 − λ1)<br />
t<br />
t ∗<br />
· eλ1t<br />
t<br />
t ∗<br />
e −λ1τ · f(τ)dτ +<br />
(2.17)<br />
(2.18)<br />
(2.19)<br />
e −λ2τ · f(τ)dτ (2.20)<br />
Fǎcând un rat¸ionament asemǎnǎtor în cazul în care ecuat¸ia algebricǎ<br />
(2.5) are rǎdǎcini reale egale λ1 = λ2 = λ, pentru ecuat¸ia (2.3) gǎsim solut¸ia<br />
particularǎ:<br />
x(t) = e λt<br />
<br />
− 1<br />
a2<br />
t<br />
t ∗<br />
e −λτ · τ · f(τ)dτ + t<br />
a2<br />
t<br />
t ∗<br />
e −λτ <br />
· f(τ)dτ
Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i constant¸i 51<br />
¸si solut¸ia generalǎ<br />
x(t) = e λ1t (C1 + C2t) +<br />
+ e λt<br />
<br />
− 1<br />
a2<br />
t<br />
t ∗<br />
e −λτ · τ · f(τ)dτ + t<br />
a2<br />
t<br />
t ∗<br />
e −λτ <br />
· f(τ)dτ<br />
(2.21)<br />
În cazul în care ecuat¸ia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcinile complexe λ1 = µ+iν<br />
¸si λ1 = µ − iν, cu metoda variat¸iei constantelor gǎsim solut¸ia particularǎ:<br />
¸si solut¸ia generalǎ<br />
x(t) = − 1<br />
a2ν · eµt · cos νt<br />
+ 1<br />
a2ν · eµt · sin νt<br />
t<br />
t∗ t<br />
t ∗<br />
e −µτ · sin ντ · f(τ)dτ +<br />
e −µτ · cosντ · f(τ)dτ<br />
x(t) = C1e µt · cosνt + C2e µt · sin νt −<br />
− 1<br />
a2ν · eµt · cos νt<br />
+ 1<br />
a2ν · eµt · sin νt<br />
t<br />
t∗ t<br />
t ∗<br />
e −µτ · sin ντ · f(τ)dτ +<br />
e −µt · cosντ · f(τ)dτ (2.22)<br />
În general pentru orice t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem <strong>de</strong>termina constantele C1 ¸si<br />
C2 din formula <strong>de</strong> reprezentare a solut¸iei x(t) a ecuat¸iei neomogene ((2.20),<br />
(2.21), (2.22)) astfel încât sǎ avem x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) = x 1 0 .<br />
Folosind una din formulele (2.20), (2.21), (2.22), <strong>de</strong>terminatǎ <strong>de</strong> natura<br />
rǎdǎcinilor ecuat¸iei L · λ 2 + R · λ + 1<br />
= 0, putem <strong>de</strong>termina toate solut¸iile<br />
C<br />
ecuat¸iei (∗) din problema 2.1.1. Cunoscând valoarea i0 a curentului la momentul<br />
t0 ¸si valoarea variat¸iei curentului i 1 0 la momentul t0, se <strong>de</strong>terminǎ constantele<br />
C1 ¸si C2 din formulele <strong>de</strong> reprezentare a solut¸iei astfel încât solut¸ia<br />
oarecare i(t) a ecuat¸iei sǎ verifice condit¸iile init¸iale i(t0) = i0 ¸si ˙i(t0) = i 1 0 .<br />
Exercit¸ii<br />
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme cu date init¸iale:<br />
a) ¨x − x = 0 x(0) = 2, ˙x(0) = 0
52 CAPITOLUL 2<br />
R: x(t) = e t + e −t<br />
b) ¨x + 2˙x + x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1<br />
R: x(t) = t · e −t<br />
c) ¨x − 4 ˙x + 4x = 0 x(1) = 1, ˙x(1) = 0<br />
d) ¨x + x = 0 x<br />
<br />
π<br />
<br />
2<br />
R: x(t) = 3e 2t−2 − 2t · e 2t−2<br />
= 1, ˙x<br />
<br />
π<br />
<br />
= 0<br />
2<br />
R: x(t) = sin t<br />
e) ¨x + ˙x + x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1<br />
R: x(t) = 2<br />
3<br />
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale :<br />
a) ¨x + 3˙x + 2x = 1<br />
1 + e t<br />
√ 3 · e − 1<br />
2 t · sin<br />
<br />
2√<br />
3t<br />
3<br />
R: x(t) = e −t · ln(1 + e t ) + e −2t · ln(1 + e t ) − e −2t · C1 + e −t · C2<br />
b) ¨x − 6˙x + 9x = 9t2 + 6t + 2<br />
t 3<br />
c) ¨x + x = et<br />
2<br />
R: x(t) = e 3t · C1 + t · e 3t · C2 + 1<br />
t<br />
+ e−t<br />
2<br />
R: x(t) = C1 · sin t + C2 · cost + 1<br />
4 (e2t + 1) · e−t<br />
d) ¨x − 3˙x + 2x = 2e 2t<br />
R: x(t) = (2te t − 2e t + C1e t + C2)e t<br />
e) ¨x − 4 ˙x + 4x = 1 + e t + e 2t
Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i constant¸i 53<br />
R: x(t) = C1 · e 2t + C2t · e 2t + 1 1<br />
+<br />
4 2 t2e 2t + e t<br />
f) ¨x + x = sin t + cos 2t<br />
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost − 2<br />
3 cost2 + 1<br />
3<br />
1<br />
− t cost<br />
2<br />
g) ¨x − 2(1 + m) ˙x + (m 2 + 2m)x = e t + e −t , m ∈ IR 1<br />
R: x(t) = C1 · e mt + C2 · e (m+2)t + ((m + 3)e2t + m − 1) · e −t<br />
m 3 + 3m 2 − m − 3<br />
h) ¨x − 5˙x + 6x = 6t 2 − 10t + 2<br />
R: x(t) = C1 · e 3t + C2 · e 2t + t 2<br />
i) ¨x − 5˙x = −5t 2 + 2t<br />
j) ¨x + x = te −t<br />
R: x(t) = 1<br />
3 t3 + 1<br />
5 e5t · C1 + C2<br />
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + 1<br />
(−1 + t) · et<br />
2<br />
k) ¨x − x = te t + t + t 3 e −t<br />
R: x(t) = C1e −t + C2e t + 1<br />
16 (−4te2t + 2e 2t − 16te t − 2t 4 +<br />
+4t 2 e 2t − 4t 3 − 6t 2 − 6t − 3) · e −t<br />
l) ¨x − 7˙x + 6x = sin t<br />
R: x(t) = C1 · e t + C2 · e 6t + 7 5<br />
cost + sin t<br />
74 74<br />
m) ¨x − 4˙x + 4x = sin t · cos 2t<br />
R: x(t) = C1e 2t + C2te 2t − 10<br />
169 sin t · cos t2 − 191<br />
sin t+<br />
4225<br />
+ 24<br />
169 cos t3 − 788<br />
4225 cost
54 CAPITOLUL 2<br />
n) ¨x + x = cos t − cos 3t<br />
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + 1 1<br />
· t sin t +<br />
2 2 cos t3 − 1<br />
8 cost
Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i 55<br />
2.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n<br />
cu coeficient¸i constant¸i<br />
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i este o<br />
ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> forma<br />
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = f(t) (2.23)<br />
în care a0, a1, . . .,an−1, an sunt constante reale cunoscute, an = 0, f(t) funct¸ie<br />
cunoscutǎ continuǎ ¸si x este funct¸ie realǎ <strong>de</strong> clasǎ C n necunoscutǎ.<br />
Observat¸ia 2.2.1 Dacǎ f = 0, atunci ecuat¸ia (2.23) se nume¸ste ecuat¸ie<br />
diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i omogenǎ, iar dacǎ<br />
f = 0 ecuat¸ia (2.23) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu<br />
coeficient¸i constant¸i neomogenǎ.<br />
Rezolvǎm mai întâi ecuat¸ia omogenǎ ata¸satǎ ecuat¸iei (2.23):<br />
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = 0 (2.24)<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei (2.24) se cautǎ solut¸ii <strong>de</strong> forma<br />
x(t) = C · e λt . Impunând unei asemenea funct¸ii sǎ verifice ecuat¸ia (2.24)<br />
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuat¸ia algebricǎ<br />
anλ n + an−1λ n−1 + . . . + a1λ + a0 = 0 (2.25)<br />
numitǎ ecuat¸ie caracteristicǎ.<br />
Dacǎ ecuat¸ia (2.25) are toate rǎdǎcinile reale ¸si distincte λ1, λ2, . . .λn<br />
atunci funct¸iile xi(t) = Ci ·e λit , i = 1, n sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (2.24) ¸si orice<br />
funct¸ie x(t) datǎ <strong>de</strong>:<br />
x(t) = C1 · e λ1t + C2 · e λ2t + . . . + Cn · e λnt<br />
(2.26)<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24) (C1, C2, . . .,Cn sunt constante reale oarecare).<br />
Mai mult, oricare ar fi t0, x0 0 , x10 , ..., xn−1<br />
unic constantele C1, C2, . . .,Cn astfel încât sǎ aibǎ loc<br />
0 ∈ IR 1 putem <strong>de</strong>termina în mod<br />
x(t0) = x 0 0 , ˙x(t0) = x 1 0 , ... , x(n−1) (t0) = x n−1<br />
0 .<br />
În particular rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ formula (2.26) reprezintǎ toate solut¸iile<br />
ecuat¸iei (2.24) în acest caz.
56 CAPITOLUL 2<br />
Dacǎ <strong>prin</strong>tre rǎdǎcinile ecuat¸iei caracteristice (2.25) existǎ ¸si rǎdǎcini<br />
complexe simple, <strong>de</strong> exemplu λ = µ+iν ¸si λ = µ −iν, atunci fiecǎrei perechi<br />
<strong>de</strong> rǎdǎcini complex conjugate îi corespund solut¸iile<br />
x 1 λ (t) = C1 λ · eµt · cosνt ¸si x 2 λ (t) = C2 λ · eµt · sin νt<br />
Pentru µ = 0 aceste solut¸ii <strong>de</strong>vin:<br />
x 1 λ (t) = C1 λ · cosνt ¸si x2 λ (t) = C2 λ<br />
· sin νt<br />
Astfel, dacǎ ecuat¸ia caracteristicǎ are 2k rǎdǎcini complexe simple λj =<br />
µj +iνj ¸si λj = µj −iνj, j = 1, k ¸si n−2k rǎdǎcini reale simple λ2k+1, . . .,λn,<br />
atunci orice funct¸ie x(t) datǎ <strong>de</strong>:<br />
x(t) =<br />
k<br />
j=1<br />
C 1 j · e µjt · cosνjt +<br />
k<br />
j=1<br />
C 2 j · e µjt · sin νjt +<br />
n<br />
j=2k+1<br />
Cj · e λjt<br />
(2.27)<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24) (C 1 j , C2 j , j = 1, k ¸si Cj, j = 2k + 1, n sunt con-<br />
stante reale oarecare).<br />
Mai mult, oricare ar fi t0, x0 0 , x10 , ..., xn−1 0 ∈ IR 1 putem <strong>de</strong>termina în mod<br />
unic constantele C1 j , C2 j , j = 1, k ¸si Cj, j = 2k + 1, n astfel încât sǎ aibǎ loc<br />
x(t0) = x0 0, ˙x(t0) = x1 0, ..., x (n−1) (t0) = x n−1<br />
0 . În particular rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ<br />
formula (2.27) reprezintǎ toate solut¸iile ecuat¸iei (2.24) în acest caz.<br />
Dacǎ ecuat¸ia caracteristicǎ (2.25) are k rǎdǎcini reale λ1, . . .,λk având ordine<br />
<strong>de</strong> multiplicitate q1, . . ., qk ¸si l rǎdǎcini complex conjugate µ1±iν1, . . .,µl±<br />
iνl având ordine <strong>de</strong> multiplicitate r1, . . .,rl, atunci orice funct¸ie x(t) datǎ <strong>de</strong><br />
formula:<br />
k<br />
x(t) = e λjt<br />
l<br />
· Pqj−1(t) + e µjt <br />
· Qrj−1(t) · cosνjt + Rrj−1(t) · sin νjt <br />
j=1<br />
j=1<br />
(2.28)<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24), un<strong>de</strong> Pqj−1(t) sunt polinoame <strong>de</strong> grad qj − 1 cu<br />
coeficinet¸i reali ne<strong>de</strong>terminat¸i ¸si Qrj−1, Rrj−1 sunt polinoame <strong>de</strong> grad rj − 1<br />
cu coeficient¸i reali ne<strong>de</strong>terminat¸i.<br />
Mai mult, oricare ar fi t0, x 1 0 , x2 0<br />
, ..., xn−1<br />
0 ∈ IR 1 putem <strong>de</strong>termina în mod<br />
unic coeficient¸ii polinoamelor Pqj−1, Qqj−1, Rqj−1 astfel încât sǎ aibǎ loc x(t0) =<br />
x 1 0, ˙x(t0) = x 2 0, ..., x (n−1) (t0) = x n−1<br />
0 .<br />
În particular rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ formula (2.28) reprezintǎ toate solut¸iile<br />
ecuat¸iei (2.24) în acest caz.
Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i 57<br />
Reamintim cǎ obiectul acestui paragraf este rezolvarea ecuat¸iei diferent¸iale<br />
<strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n, cu coeficient¸i constant¸i neomogenǎ (2.23):<br />
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = f(t)<br />
în care a0, a1, . . ., an−1, an sunt constante reale date, an = 0, f funct¸ie cunoscutǎ<br />
continuǎ ¸si x este funct¸ie realǎ <strong>de</strong> clasǎ C n necunoscutǎ.<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei (2.23) este important sǎ observǎm<br />
cǎ dacǎ x(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (2.23) ¸si x(t) este o solut¸ie oarecare<br />
a aceleia¸si ecuat¸ii, atunci diferent¸a x(t)−x(t) = x(t) este o solut¸ie oarecare a<br />
ecuat¸iei diferent¸iale liniare omogene cu coeficient¸i constant¸i, (2.24). Întrucât<br />
solut¸iile x(t) ale ecuat¸iei omogene (2.24) sunt date în general <strong>de</strong> (2.28), <strong>de</strong>terminarea<br />
solut¸iilor x(t) ale ecuat¸iei (2.23) revine la <strong>de</strong>terminarea unei singure<br />
solut¸ii x(t) ale acestei ecuat¸ii.<br />
O solut¸ie particularǎ x(t) pentru ecuat¸ia (2.23) se <strong>de</strong>terminǎ cu metoda<br />
variat¸iei constantelor a lui Lagrange, un proce<strong>de</strong>u asemenǎtor cu cel <strong>de</strong>scris<br />
în paragraful prece<strong>de</strong>nt.<br />
Vom ilustra acest proce<strong>de</strong>u pe un exemplu (n = 3):<br />
Exemplul 2.2.1 Sǎ se <strong>de</strong>termine solut¸iile ecuat¸iei:<br />
...<br />
x + 4¨x + 5 ˙x = 4e t<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm ecuat¸ia omogenǎ<br />
...<br />
x + 4¨x + 5 ˙x = 0<br />
Ecuat¸ia caracteristicǎ asociatǎ este:<br />
ale cǎrei rǎdǎcini sunt:<br />
λ 3 + 4λ 2 + 5λ = 0<br />
λ0 = 0, λ1 = −2 − i, λ2 = −2 + i.<br />
Solut¸iile ecuat¸iei omogene sunt date <strong>de</strong>:<br />
y(t) = C1 + C2 · e −2t · cost + C3 · e −2t · sin t.<br />
Cǎutǎm x(t), o solut¸ie particularǎ pentru ecuat¸ia neomogenǎ, sub forma<br />
x(t) = C1(t) + C2(t) · e −2t · cost + C3(t) · e −2t · sin t
58 CAPITOLUL 2<br />
în care C1(t), C2(t), C3(t) sunt funct¸ii <strong>de</strong> clasǎ C 1 care trebuiesc <strong>de</strong>terminate.<br />
Calculǎm <strong>de</strong>rivata întâi a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:<br />
˙x = ˙ C1 + ˙ C2 · e −2t · cos t + ˙ C3 · e −2t · sin t − 2C2 · e −2t · cos t−<br />
− 2C3 · e −2t · sin t − C2 · e −2t · sin t + C3 · e −2t · cost<br />
Impunem ca ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3 sǎ verifice:<br />
¸si obt¸inem:<br />
˙C1 + ˙ C2 · e −2t · cost + ˙ C3 · e −2t · sin t = 0<br />
˙x = −C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)<br />
Calculǎm <strong>de</strong>rivata a doua a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:<br />
¨x = − ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)+<br />
+2C2 · e −2t · (2 cost + sin t) − 2C3 · e −2t · (cos t − 2 sint)−<br />
−C2 · e −2t · (−2 sin t + cost) + C3 · e −2t · (− sin t − 2 cost) =<br />
= − ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)+<br />
+C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + C3 · e −2t · (3 sint − 4 cost).<br />
Impunem ca ˙ C2, ˙ C3 sǎ verifice:<br />
− ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t) = 0<br />
¸si obt¸inem<br />
¨x = C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)<br />
De aici calculǎm <strong>de</strong>rivata a treia a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:<br />
...<br />
x = ˙ C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)−<br />
−2C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) − 2C3 · e −2t · (3 sint − 4 cost)+<br />
+C2 · e −2t · (−3 sin t + 4 cost) + C3 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) =<br />
= ˙ C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)+<br />
+C2 · e −2t · (−2 cost − 11 sint) + C3 · e −2t · (−2 sin t + 11 cost).
Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i 59<br />
sau<br />
Înlocuind toate acestea în ecuat¸ia datǎ rezultǎ:<br />
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost) +<br />
+C2 · e −2t · (−2 cost − 11 sint) +C3 · e −2t · (−2 sin t + 11 cost) +<br />
+C2 · e −2t · (12 cost + 16 sin t) +C3 · e −2t · (12 sin t − 16 cost) −<br />
−C2 · e −2t · (10 cost + 5 sin t) +C3 · e −2t · (5 cost − 10 sint) = 4e t<br />
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost) = 4e t<br />
Aceastǎ egalitate împreunǎ cu sistemul <strong>de</strong> condit¸ii impus pe parcurs<br />
funct¸iilor ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3 conduce la urmǎtorul sistem liniar <strong>de</strong> ecuat¸ii algebrice<br />
în necunoscutele ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
˙C1 + ˙ C2 · e −2t · cos t + ˙ C3 · e −2t · sin t = 0<br />
− ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cos t − 2 sint) = 0<br />
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · e −2t · (−4 cost + 3 sin t) = 4e t<br />
Din ultimele douǎ ecuat¸ii rezulǎ sistemul algebric:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙C2 · (−2 cost − sin t) + ˙ C3 · (cost − 2 sint) = 0<br />
˙C2 · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · (−4 cost + 3 sin t) = 4e −t<br />
Determinantul sistemului este:<br />
∆ = (−2 cost − sin t)(−4 cost + 3 sin t)<br />
− (cos t − 2 sint)(3 cost + 4 sin t) =<br />
= 8 cos 2 t − 6 sin t cost + 4 sintcost − 3 sin 2 t − 3 cos 2 t −<br />
− 4 sin t cost + 6 sintcost + 8 sin 2 t = 8 − 3 = 5<br />
¸si solut¸iile sunt date <strong>de</strong>:<br />
˙C2 = − 4<br />
5 · et (cos t − 2 sint)<br />
˙ C3 = 4<br />
5 · et (−2 cos t − sin t).
60 CAPITOLUL 2<br />
Înlocuind ˙ C2, ˙ C3 în prima ecuat¸ie, se obt¸ine ˙ C1:<br />
˙C1 = 4<br />
5 · e−t cost(cos t − 2 sin t) + 4<br />
5 · e−t sin t(2 cost + sin t) =<br />
= 4<br />
5 · e−t [cos 2 t + sin 2 t] =<br />
= 4<br />
· e−t<br />
5<br />
Astfel au fost gǎsite <strong>de</strong>rivatele funct¸iilor necunoscute ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3:<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> rezultǎ:<br />
4<br />
˙C1 = · e−t<br />
5<br />
˙C2 = − 4<br />
5 · et [cost − 2 sin t]<br />
˙C3 = − 4<br />
5 · et [2 cost + sin t]<br />
C1 = − 4<br />
· e−t<br />
5<br />
1<br />
C2 =<br />
10 · et [−12 cost + 4 sint]<br />
1<br />
C3 =<br />
10 · et [4 cost + 12 sin t]<br />
Obt¸inem <strong>de</strong> aici:<br />
x(t) = − 4<br />
5 · e−t + 1<br />
10 · e−t [−12 cost + 4 sin t] · cost +<br />
+ 1<br />
10 · e−t [4 cost + 12 sint] · sin t<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> avem cǎ solut¸ia generalǎ a ecuat¸iei neomogene<br />
este:<br />
x(t) = x(t) + x(t)<br />
x(t) = C1 + c2e −2t cos t + C3e −2t sin t − 4<br />
5 · e−t +<br />
+ 1<br />
10 · e−t [−12 cost + 4 sin t] · cost +<br />
+ 1<br />
10 · e−t [4 cost + 12 sin t] · sin t
Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i 61<br />
Exercit¸ii<br />
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):<br />
a) ...<br />
x − 2¨x − ˙x + 2x = 0<br />
R: x(t) = C1 · e t + C2 · e 2t + C3 · e −t<br />
b) x (4) − 5¨x + 4x = 0<br />
R: x(t) = C1 · e t + C2 · e 2t + C3 · e −t + C4 · e −2t<br />
c) ...<br />
x − 6¨x + 12˙x − 8x = 0<br />
R: x(t) = C1 · e 2t + C2 · t · e 2t + C3 · t 2 · e 2t<br />
d) x (7) + 3x (6) + 3x (5) + x (4) = 0<br />
R: x(t) = C1 ·e −t +C2 ·t·e −t +C3 ·t 2 ·e −t +C4+C5 ·t+C6 ·t 2 +C7 ·t 3<br />
e) ...<br />
x − ¨x + ˙x − x = 0<br />
R: x(t) = C1 · e t + C2 sin t + C3 cost<br />
f) x (4) + 2¨x + x = 0<br />
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + C3t · sin t + C4t · cost<br />
g) x (4) − 3 ...<br />
x + 5¨x − 3 ˙x + 4x = 0<br />
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + C3e 3<br />
2 t · sin<br />
+C4e 3<br />
2 t · cos<br />
√<br />
7<br />
2 t<br />
<br />
√<br />
7<br />
2 t<br />
<br />
+<br />
2. Determinat¸i solut¸iile urmǎtoarelor probleme cu date init¸iale:<br />
a) ...<br />
x − 2¨x − ˙x + 2x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2
62 CAPITOLUL 2<br />
R: x(t) = − 1<br />
2 et + 2<br />
3 e2t − 1<br />
6 e−t<br />
b) ...<br />
x − ¨x + ˙x − x = 0 x(1) = 0, ˙x(1) = 1 ¨x(1) = 2<br />
R: x(t) = e t−1 − (sin 1) · sin t − (cos 1) · cos t<br />
c) x (4) − 5¨x + 4x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2, ...<br />
x(0) = 3<br />
3. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale:<br />
a)<br />
b)<br />
...<br />
x − 2¨x − ˙x + 2x = t + 1<br />
R: x(t) = − 1<br />
6 · et + 1<br />
6 · e−2t − 1<br />
2 · e−t + 1<br />
· e2t<br />
2<br />
R: x(t) = 3 1<br />
+<br />
4 2 · t + C1e t + C2e 2t + C3e −t<br />
...<br />
x − 6¨x + 12˙x − 8x = sin t<br />
R: x(t) = − 11 2<br />
cost−<br />
125 125 sin t+C1e 2t +C2t 2 ·e 2t +C3t 3 ·e 2t
Reducerea ecuat¸iei diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n a lui Euler la o ecuat¸ie liniarǎ 63<br />
2.3 Reducerea ecuat¸iei diferent¸iale liniare <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> n a lui Euler la o ecuat¸ie diferent¸ialǎ<br />
liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i<br />
Definit¸ia 2.3.1 Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n <strong>de</strong> forma:<br />
an · t n · x (n) + an−1 · t n−1 · x (n−1) + . . . + a1 · t · ˙x + a0 · x = 0 (2.29)<br />
în care a0, a1, . . .,an sunt constante reale, se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ<br />
liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n a lui Euler.<br />
Propozit¸ia 2.3.1 Prin schimbarea <strong>de</strong> variabilǎ |t| = e τ ecuat¸ia diferent¸ialǎ<br />
(2.29) se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i<br />
constant¸i.<br />
Demonstrat¸ie: Fie x = x(t) o solut¸ie a ecuat¸iei (2.29) ¸si y funct¸ia y(τ) =<br />
x(e τ ). De aici, pentru t > 0, avem cǎ x(t) = y(lnt) iar <strong>prin</strong> <strong>de</strong>rivare succesivǎ<br />
obt¸inem:<br />
dx<br />
dt<br />
= dy<br />
dτ<br />
d2x dt2 = d2y dτ<br />
· 1<br />
t<br />
d3x 2<br />
= − ·<br />
dt3 t3 1 dy<br />
· −<br />
2 t2 dτ<br />
= 1<br />
3 d y<br />
·<br />
t3 2 d y dy<br />
−<br />
dτ2 dτ<br />
1 1<br />
· = ·<br />
t2 t2 <br />
dτ3 − 3d2 y<br />
+ 2dy<br />
dτ2 dτ<br />
Dacǎ presupunem cǎ pentru 1 ≤ k < n avem<br />
dkx 1<br />
= ·<br />
dtk tk k<br />
i=1<br />
2 d y dy<br />
−<br />
dτ2 dτ<br />
<br />
+ 1<br />
3 d y<br />
·<br />
t3 dτ3 − d2y dτ2 <br />
=<br />
<br />
c k i · di y<br />
dτ i<br />
atunci <strong>prin</strong>tr-o nouǎ <strong>de</strong>rivare <strong>de</strong>ducem egalitatea<br />
dk+1x 1<br />
= ·<br />
dtk+1 tk+1 k+1<br />
i=1<br />
c k+1<br />
i · di y<br />
dτ i
64 CAPITOLUL 2<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ <strong>de</strong>rivatele <strong>de</strong> orice ordin (1 ≤ k ≤ n) ale funct¸iei<br />
1<br />
x se exprimǎ ca un produs între ¸si o combinat¸ie liniarǎ a <strong>de</strong>rivatelor <strong>de</strong><br />
tk+1 ordin i ≤ k + 1 ale funct¸iei y.<br />
Înlocuind în (2.29) se obt¸ine cǎ funct¸ia y verificǎ o ecuat¸ie diferent¸ialǎ<br />
liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n cu coeficient¸i constant¸i.<br />
Se <strong>de</strong>terminǎ solut¸iile y = y(τ) ale acestei ecuat¸ii ¸si apoi solut¸iile x(t) ale<br />
lui (2.29) pentru t > 0:<br />
x(t) = y(lnt).<br />
Pentru t < 0 se rat¸ioneazǎ la fel ¸si se obt¸ine:<br />
Exercit¸ii:<br />
x(t) = y(ln |t|).<br />
Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale:<br />
1. t 2 ¨x + t ˙x − x = 0<br />
R: x(t) = C1 · t + C2 · 1<br />
t<br />
2. 12t 3... 2 x − 25t ¨x + 28t ˙x − 6x = 0<br />
3. t 2 ¨x + t ˙x = 0<br />
4. t 2 ¨x − t ˙x + x = 0<br />
R: x(t) = C1 · t 2 + C2 · t 1<br />
12 + C3 · t 3<br />
R: x(t) = C1 + C2 · ln t<br />
R: x(t) = C1 · t + C2 · t · ln t
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n 65<br />
2.4 Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor<br />
diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n<br />
Pentru rezolvarea numericǎ a ecuat¸iilor diferent¸iale <strong>de</strong> ordin superior<br />
(n ≥ 2) Maple folose¸ste aceea¸si funct¸ie dsolve (solve ordinary differential<br />
equations - ODEs) care a fost prezentatǎ în capitolul anterior.<br />
Noutatea care apare aici constǎ în scrierea sintaxei pentru <strong>de</strong>rivatele <strong>de</strong> ordin<br />
superior. De exemplu, <strong>de</strong>rivata <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea a funct¸iei x(t) poate fi<br />
scrisǎ într-unul din urmǎtoarele moduri:<br />
diff(x(t),t,t)<br />
diff(x(t),t$2)<br />
(D@@2)(x)(t)<br />
Pentru exemplificare, vom rezolva câteva ecuat¸ii ¸si probleme cu date<br />
init¸iale:<br />
1. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea cu coeficient¸i constant¸i<br />
omogenǎ:<br />
¨x − 4˙x + 4x = 0; (2.30)<br />
> eq1:=diff(x(t),t,t)-4*diff(x(t),t)+4*x(t)=0;<br />
eq1 := d2<br />
dt2x (t) − 4 d x (t) + 4 x (t) = 0<br />
dt<br />
> dsolve(eq1,x(t));<br />
x (t) = C1 e 2 t + C2 e 2 t t<br />
> dsolve({eq1,x(1)=1,D(x)(1)=0},x(t));<br />
e2<br />
t<br />
x (t) = 3 e2 − 2 e2 tt e2 > sol1:=3*exp(2*t)/exp(2)-2*exp(2*t)*t/exp(2):<br />
> plot(sol1,t=-infinity..infinity);
66 CAPITOLUL 2<br />
Figura 8<br />
Se observǎ cǎ, dacǎ nu s-a dat nici o condit¸ie init¸ialǎ solut¸ia generalǎ<br />
este afi¸satǎ cu ajutorul a douǎ constante. Mai precis, numǎrul constantelor<br />
este acela¸si cu <strong>ordinul</strong> ecuat¸iei, în cazul ecuat¸iei <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al<br />
doilea solut¸ia generalǎ exprimându-se cu ajutorul a douǎ constante.<br />
Pentru ca Maple sǎ afi¸seze solut¸ia unei Probleme Cauchy în cazul unei<br />
ecuat¸ii <strong>de</strong> ordin superior trebuie sa-i dǎm n condit¸ii init¸iale:<br />
x(t0) = x 0 0 , ˙x(t0) = x 1 0 , ... , x(n−1) (t0) = x n−1<br />
0 .<br />
2. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al patrulea cu coeficient¸i constant¸i<br />
omogenǎ:<br />
x (4) − 5¨x + 4x = 0; (2.31)<br />
> eq2:=diff(x(t),t,t,t,t)-5*diff(x(t),t,t)+4*x(t)=0;<br />
eq2 := d4<br />
dt 4x (t) − 5 d2<br />
dt 2x (t) + 4 x (t) = 0<br />
> eq2:=diff(x(t),t$4)-5*diff(x(t),t$2)+4*x(t)=0;<br />
eq2 := d4<br />
dt 4x (t) − 5 d2<br />
dt 2x (t) + 4 x (t) = 0<br />
> eq2:=(D@@4)(x)(t)-5*(D@@2)(x)(t)+4*x(t)=0;<br />
eq2 := D (4) (x) (t) − 5 D (2) (x) (t) + 4 x (t) = 0<br />
> dsolve(eq2,x(t));<br />
x (t) = C1 e −2 t + C2 e −t + C3 e 2 t + C4 e t<br />
> dsolve({eq2,x(0)=0,D(x)(0)=1,(D@@2)(x)(0)=2,<br />
(D@@3)(x)(0)=3},x(t));<br />
x (t) = −1/2 e −t + 1/6 e −2t + 1/2 e 2 t − 1/6 e t
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n 67<br />
> sol2:=-1/2*exp(-t)+1/6*exp(-2*t)+1/2*exp(2*t)-<br />
1/6*exp(t):<br />
> plot(sol2,t=-2..2);<br />
Figura 9<br />
Din instruct¸iunile <strong>de</strong> mai sus reiese cǎ, în rezolvarea Problemei Cauchy<br />
pentru o ecuat¸ie diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> patru s-au folosit patru condit¸ii<br />
init¸iale. Se observǎ <strong>de</strong>asemenea, sintaxa corespunzǎtoare <strong>de</strong>rivatelor <strong>de</strong><br />
ordin superior a fost scrisǎ în cele trei moduri prezentate la începutul<br />
paragrafului.<br />
3. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al treilea cu coeficient¸i constant¸i<br />
neomogenǎ:<br />
...<br />
x − 6¨x + 12 ˙x − 8x = sin t; (2.32)<br />
> eq3:=diff(x(t),t,t,t)-6*diff(x(t),t,t)+12*diff(x(t),t)<br />
-8*x(t)=sin(t);<br />
eq3 := d3<br />
dt3x (t) − 6 d2<br />
dt2x(t) + 12 d<br />
x (t) − 8 x (t) = sin (t)<br />
dt<br />
> dsolve(eq3);<br />
x (t) = − 11<br />
125<br />
cos (t) − 2<br />
125 sin (t) + C1 e2 t + C2 e 2 t t + C3 e 2 t t 2<br />
> dsolve({eq3,x(0)=0,D(x)(0)=2,(D@@2)(x)(0)=4});<br />
x (t) = − 11<br />
2<br />
11<br />
cos (t) − sin (t) + 125 125 125 e2 t + 46<br />
25 e2 tt − 19<br />
10 e2 tt2 > sol3:=-11/125*cos(t)-2/125*sin(t)+11/125*exp(2*t)+<br />
46/25*exp(2*t)*t-19/10*exp(2*t)*t^2:<br />
> plot(sol3,t=-4..1);
68 CAPITOLUL 2<br />
Figura 10<br />
În cele ce urmeazǎ, vom mai prezenta o altǎ funct¸ie <strong>de</strong> plotare DEtools<br />
[DEplot] (plot solutions to an equation or a system of DEs) pentru a<br />
vizualiza solut¸ia acestei probleme cu date init¸iale. Utilizarea acesteia nu<br />
necesitǎ rezolvarea ecuat¸iei în avans <strong>de</strong>oarece ecuat¸ia este inclusǎ direct<br />
în instruct¸iune. Sintaxa acestei funct¸ii poate avea una din urmǎtoarele<br />
forme:<br />
with(DEtools):DEplot(<strong>de</strong>qns, vars, trange, options);<br />
with(DEtools):DEplot(<strong>de</strong>qns, vars, trange, inits, options);<br />
with(DEtools):DEplot(<strong>de</strong>qns, vars, trange, xrange, yrange, options);<br />
with(DEtools):DEplot(<strong>de</strong>qns, vars, trange, inits, xrange, yrange, options);<br />
în care:
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n 69<br />
<strong>de</strong>qns - ecuat¸ia diferent¸ialǎ <strong>de</strong> orice ordin pe care dorim sǎ o<br />
rezolvǎm sau lista <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
(în cazul sistemelor)<br />
vars - variabila in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntǎ sau lista variabilelor in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
trange - domeniul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie al variabilei in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
inits - lista <strong>de</strong> condit¸ii init¸iale<br />
xrange - domeniul <strong>de</strong> variat¸ie al primei variabile <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
yrange - domeniul <strong>de</strong> variat¸ie al celei <strong>de</strong>-a doua variabile<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
options - diferite opt¸iuni: modul <strong>de</strong> afi¸sare al solut¸iei, metoda <strong>de</strong><br />
rezolvare, etc.<br />
> with(DEtools):DEplot(eq3,x(t),t=-4..1,[[x(0)=0,D(x)(0)=2,<br />
(D@@2)(x)(0)=4]],x=-0.6..1.8,stepsize=.05,title=‘Solutia<br />
Problemei Cauchy‘);<br />
Figura 11<br />
4. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al treilea cu coeficient¸i variabili<br />
<strong>de</strong> tip Euler:<br />
t 2...<br />
x + 5t¨x + 4˙x = ln t, t > 0 (2.33)<br />
> eq4:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+<br />
4*diff(x(t),t)=ln(t);<br />
eq4 := t 2 d3<br />
dt 3x (t) + 5 t d2<br />
dt 2x(t) + 4 d<br />
dt x (t) = ln (t)<br />
> dsolve({eq4,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3});
70 CAPITOLUL 2<br />
(−29+2 ln(2))·ln(t)<br />
t<br />
x(t) = −2 ln(2) + 19 +<br />
+ 1/4t(ln(t)) − 2<br />
32 ln(2)−2(ln(2)) 2 −32<br />
t<br />
> sol4:=-2*ln(2)+19+(-29+2*ln(2))*ln(t)/t+(32*ln(2)-<br />
2*ln(2)^2-32)/t+1/4*t*(ln(t)-2):<br />
> plot(sol4,t=0.1..infinity,axes=boxed);<br />
Figura 12<br />
+
<strong>Capitolul</strong> 3<br />
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale<br />
<strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare cu<br />
coeficient¸i constant¸i<br />
3.1 Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i omogene<br />
Definit¸ia 3.1.1 Un sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare<br />
cu coeficient¸i constant¸i omogen este un sistem <strong>de</strong> n relat¸ii <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ<br />
funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma:<br />
˙x1 = a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn<br />
˙x2 = a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn<br />
.<br />
˙xn = an1 · x1 + an2 · x2 + . . . + ann · xn<br />
(3.1)<br />
dintre un sistem <strong>de</strong> n funct¸ii necunoscute x1, x2, . . .,xn ¸si <strong>de</strong>rivatele acestora<br />
x1, ˙ x2, ˙ . . ., xn. ˙ În sistemul (3.1) coeficient¸ii aij sunt constante consi<strong>de</strong>rate<br />
cunoscute.<br />
Definit¸ia 3.1.2 Un sistem ordonat <strong>de</strong> n funct¸ii reale x1, x2, . . .,xn <strong>de</strong> clasǎ<br />
71
72 CAPITOLUL 3<br />
C 1 este solut¸ie a sistemului (3.1) dacǎ verificǎ<br />
pentru orice t ∈ IR 1 .<br />
dxi<br />
dt =<br />
n<br />
aij · xi(t)<br />
j=1<br />
Definit¸ia 3.1.3 Fiind date t0 ∈ IR ′ ¸si (x 0 1, x 0 2, . . .,x 0 n) ∈ IR n problema <strong>de</strong>terminǎrii<br />
solut¸iei (x1(t), x2(t), . . ., xn(t)) a sistemului (3.1) care verificǎ<br />
xi(t0) = x 0 i i = 1, n se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ<br />
Cauchy.<br />
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.1) notǎm cu A matricea<br />
pǎtraticǎ care are ca elemente constantele aij: A = (aij) i,j=1,n ¸si cu X matricea<br />
coloanǎ X = (x1, x2, . . .xn) T . Cu aceste matrice sistemul (3.1) se scrie<br />
sub forma matricealǎ:<br />
˙X = A · X. (3.2)<br />
În aceastǎ problemǎ <strong>de</strong>rivarea funct¸iei matriceale X = X(t) înseamnǎ <strong>de</strong>rivarea<br />
elementelor matricei, iar produsul A ·X însemnǎ produsul dintre matricea A<br />
¸si matricea X.<br />
Problema Cauchy (problema cu date init¸iale) se scrie matriceal sub forma:<br />
˙X = A · X, X(t0) = X 0<br />
(3.3)<br />
¸si constǎ în <strong>de</strong>terminarea funct¸iei matriceale X = X(t) care verificǎ ecuat¸ia<br />
(3.2) ¸si condit¸ia init¸ialǎ X(t0) = X 0 .<br />
Teorema 3.1.1 (<strong>de</strong> existent¸ǎ a solut¸iei problemei Cauchy)<br />
Pentru orice t0 ∈ IR 1 ¸si X 0 = (x 0 1 , x0 2 , . . .x0 n )T problema Cauchy (3.3) are o<br />
solut¸ie <strong>de</strong>finitǎ pe IR 1 .<br />
Demonstrat¸ie: Consi<strong>de</strong>rǎm ¸sirul <strong>de</strong> funct¸ii matriceale <strong>de</strong>finite astfel:
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare omogene 73<br />
X 0 (t) = X 0 = I · X 0<br />
X 1 (t) = X 0 t<br />
+ A · X<br />
t0<br />
0 (τ)dτ = [I + (t − t0) · A<br />
] · X<br />
1!<br />
0<br />
X 2 (t) = X 0 t<br />
+ A · X<br />
t0<br />
1 (τ)dτ = [I + (t − t0) · A<br />
+<br />
1!<br />
(t − t0) 2 · A2 ] · X<br />
2!<br />
0<br />
X 3 (t) = X 0 t<br />
+ A · X 2 (τ)dτ =<br />
. . .<br />
t0<br />
= [I + (t − t0) · A<br />
1!<br />
X m (t) = X 0 t<br />
+<br />
. . .<br />
t0<br />
A·X m−1 (τ)dτ =<br />
= [I + (t − t0) · A<br />
1!<br />
+ (t − t0) 2 · A 2<br />
2!<br />
+ (t − t0) 2 · A 2<br />
2!<br />
Funct¸iile din acest ¸sir verificǎ inegalitatea<br />
X m+p (t)−X m (t) ≤<br />
m+p <br />
k=m+1<br />
+ (t − t0) 3 · A3 ] · X<br />
3!<br />
0<br />
+ . . . + (t − t0) m · Am ] · X<br />
m!<br />
0<br />
|t − t0| k · Ak ·X 0 , (∀) m, p ∈ IN, (∀) t ∈ IR 1<br />
k!<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare ¸sirul <strong>de</strong> funct¸ii {Xm (t)}m∈n este uniform fundamental pe orice<br />
compact K ⊂ IR 1 . Rezultǎ cǎ ¸sirul este uniform convergent pe orice compact<br />
K ⊂ IR 1 ¸si se poate trece la limitǎ în egalitatea<br />
X m (t) = X 0 t<br />
+ A · X m−1 (τ)dτ.<br />
pentru m → ∞.<br />
Trecând la limitǎ obt¸inem cǎ limita X(t) a ¸sirului X m (t)<br />
verificǎ egalitatea<br />
t0<br />
X(t) = lim<br />
m→∞ Xm (t)<br />
X(t) = X 0 +<br />
t<br />
t0<br />
A · X(τ)dτ
74 CAPITOLUL 3<br />
sau<br />
X(t) = X 0 + A ·<br />
t<br />
t0<br />
X(τ)dτ.<br />
De aici rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) este <strong>de</strong> clasǎ C 1 ¸si <strong>de</strong>rivata ei verificǎ ˙ X(t) =<br />
A · X(t), adicǎ X(t) este solut¸ia sistemului <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale sub formǎ<br />
matricealǎ (3.2). Punând t = t0 în egalitatea<br />
X(t) = X 0 + A ·<br />
t<br />
t0<br />
X(τ)dτ<br />
obt¸inem egalitatea X(t0) = X 0 care aratǎ cǎ X(t) este solut¸ia problemei<br />
Cauchy (3.3). Am arǎtat în acest fel cǎ problema Cauchy (3.3) are o solut¸ie.<br />
Observat¸ia 3.1.1 În aceastǎ <strong>de</strong>monstrat¸ie norma matricei pǎtratice A A<br />
este datǎ <strong>de</strong> A = sup A · X .<br />
X≤1<br />
Observat¸ia 3.1.2 S¸irul <strong>de</strong> matrice pǎtratice care intervine în aceastǎ<br />
<strong>de</strong>monstrat¸ie:<br />
U m (t; t0) = I + (t − t0) · A<br />
1!<br />
este <strong>de</strong> asemenea fundamental.<br />
Într-a<strong>de</strong>vǎr:<br />
U m+p (t; t0) − U m (t; t0) ≤<br />
m+p <br />
k=m+1<br />
+ (t − t0) 2 · A 2<br />
2!<br />
| t − t0 | k · A k<br />
k!<br />
+ . . . + (t − t0) m · A m<br />
m!<br />
, (∀)m, p ∈ IN, t ∈ IR 1<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare ¸sirul <strong>de</strong> funct¸ii matriceale {U m (t; t0)}m∈IN este uniform convergent<br />
pe orice compact K ⊂ IR 1 . Limita acestui ¸sir este suma seriei <strong>de</strong><br />
matrice<br />
care se noteazǎ cu e (t−t0)·A :<br />
∞<br />
m=0<br />
e (t−t0)·A =<br />
(t − t0) m · A m<br />
∞<br />
m=0<br />
m!<br />
(t − t0) m · A m<br />
m!
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare omogene 75<br />
Observat¸ia 3.1.3 Funct¸ia matricealǎ e (t−t0)·A se nume¸ste matricea rezolvantǎ<br />
a sistemului (3.2). O solut¸ie a problemei Cauchy (3.3) se obt¸ine înmult¸ind<br />
matricea e (t−t0)·A cu matricea X 0 :<br />
Aceastǎ solut¸ie este <strong>de</strong>finitǎ pe IR 1 .<br />
X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A · X 0 .<br />
Teorema 3.1.2 (<strong>de</strong> unicitate a solut¸iei problemei Cauchy)<br />
Problema Cauchy (3.3) are o singurǎ solut¸ie.<br />
Demonstrat¸ie: Presupunem <strong>prin</strong> absurd cǎ problema Cauchy (3.3), pe<br />
lângǎ solut¸ia X(t; t0, X 0 ) <strong>de</strong>terminatǎ în teorema prece<strong>de</strong>ntǎ mai are o solut¸ie<br />
X(t). Pe intervalul I <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie a acestei solut¸ii<br />
(I ∋ t0) scriem egalitǎt¸ile :<br />
¸si<br />
¸si <strong>de</strong>ducem succesiv:<br />
X(t; t0, X 0 ) = X 0 t<br />
+ A ·<br />
X(t) = X 0 + A ·<br />
X(t; t0, X 0 ) − X(t) = A ·<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
t<br />
X(t; t0, X0 ) − <br />
<br />
X(t) ≤ A · <br />
<br />
t0<br />
X(τ; t0, X 0 )dτ, (∀)t ∈ I<br />
X(τ)dτ, (∀)t ∈ I<br />
[X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)]dτ<br />
t<br />
t0<br />
<br />
<br />
< ε + A · <br />
<br />
Pentru t > t0 rezultǎ în continuare:<br />
ε +<br />
t<br />
t0<br />
X(τ; t0, X 0 ) − <br />
<br />
X(τ)dτ <br />
<<br />
t<br />
t0<br />
(∀)ε > 0 (∀)t ∈ I.<br />
X(τ; t0, X 0 ) − <br />
<br />
X(τ)dτ <br />
<br />
X(t; t0, X0 ) − X(t)<br />
A · X(τ; t0, X 0 ) − ≤ 1 ⇔<br />
X(τ)dτ
76 CAPITOLUL 3<br />
<br />
ln ε +<br />
ε +<br />
ε +<br />
<br />
d<br />
ε +<br />
dt<br />
t<br />
t0<br />
ε +<br />
ln<br />
t<br />
t0<br />
ε +<br />
A · X(t; t0, X 0 ) − X(t)<br />
t<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)dτ<br />
A · X(τ; t0, X 0 ) − <br />
X(τ) dτ<br />
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)dτ<br />
≤ A ⇔<br />
≤ A ⇔<br />
A · X(τ; t0, X 0 ) − <br />
X(τ) dτ − ln(ε) ≤ A (t − t0) ⇔<br />
t<br />
t0<br />
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ) dτ<br />
) ≤ A ·(t − t0) ⇔<br />
ε<br />
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ) dτ ≤ ε · e A·(t−t0) , (∀)t ≥ t0, ε > 0.<br />
=⇒ X(t; t0, X 0 ) − X(t) < εe A(t−t0) , (∀)t ≥ t0, (∀)ε > 0<br />
Pentru t fixat ¸si ε → 0 rezultǎ<br />
X(t; t0, X 0 ) − X(t) = 0.<br />
Astfel am arǎtat cǎ pentru orice t ≥ t0 ¸si t ∈ I avem X(t) = X(t; t0, X 0 ).<br />
Rat¸ionǎm analog pentru t ≤ t0, t ∈ I ¸si obt¸inem X(t) = X(t; t0, X 0 ). Se<br />
obt¸ine în final egalitatea<br />
X(t) = X(t; t0, X 0 )<br />
pentru orice t ∈ I, care aratǎ cǎ solut¸ia X(t) coinci<strong>de</strong> cu solut¸ia X(t; t0, X 0 )<br />
gǎsitǎ în teorema <strong>de</strong> existent¸ǎ.<br />
Observat¸ia 3.1.4 Din teorema <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si cea <strong>de</strong> unicitate rezultǎ cǎ<br />
orice solut¸ie a sistemului (3.2) este <strong>de</strong>finitǎ pe IR 1 ¸si se obt¸ine cu formula<br />
X(t) = e (t−t0)·A · X 0 .<br />
Într-a<strong>de</strong>vǎr fie X(t) o solut¸ie oarecare a sistemului (3.2) <strong>de</strong>finitǎ pe un interval
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare omogene 77<br />
I. Consi<strong>de</strong>rǎm t0 ∈ I ¸si X(t0) = X 0 . Solut¸ia consi<strong>de</strong>ratǎ X(t), conform<br />
teoremei <strong>de</strong> unicitate, coinci<strong>de</strong> cu funct¸ia X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A · X 0 solut¸ie<br />
a problemei Cauchy (3.3):<br />
X(t) ≡ X(t; t0, X 0 ) ≡ e (t−t0)·A · X 0 .<br />
Teorema 3.1.3 Mult¸imea S a solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar cu coeficient¸i<br />
constant¸i <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi este un spat¸iu vectorial n-dimensional.<br />
Demonstrat¸ie: Fie X 1 (t) ¸si X 2 (t) douǎ solut¸ii ale sistemului(3.2) ¸si α, β<br />
douǎ constante reale. T¸inând seama <strong>de</strong> egalitatea:<br />
α · X 1 (t) + β · X 2 (t) = e (t−t0)·A · [α · X 1 (t0) + β · X 2 (t0)]<br />
rezultǎ cǎ funct¸ia α·X 1 (t)+β ·X 2 (t) este solut¸ie a sistemului (3.2). Obt¸inem<br />
în acest fel cǎ mult¸imea S a solut¸iilor sistemului (3.2) este spat¸iu vectorial.<br />
Pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ dimensiunea spat¸iului vectorial S este n, consi<strong>de</strong>rǎm<br />
baza canonicǎ b 1 , b 2 , . . .,b n în IR n :<br />
b 1 = (1, 0, 0, . . ., 0) T , b 2 = (0, 1, 0, . . ., 0) T , . . ., b n = (0, 0, 0, . . ., 1) T<br />
¸si sistemul <strong>de</strong> solut¸ii<br />
X i (t) = e t·A · b i , i = 1, n.<br />
Vom arǎta cǎ sistemul <strong>de</strong> solut¸ii X 1 (t), X 2 (t), . . .,X n (t) este o bazǎ în spat¸iul<br />
solut¸iilor S. Pentru aceasta, fie la început c1, c2, . . ., cn, n constante reale<br />
astfel ca<br />
(∀)t ∈ IR 1 .<br />
n<br />
k=1<br />
ck · e t·A · b k = 0<br />
În particular pentru t = 0 avem<br />
n<br />
k=1<br />
ck · b k = 0<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> rezultǎ c1 = c2 = . . . = cn = 0. Rezultǎ astfel cǎ sistemul <strong>de</strong> funct¸ii<br />
X i (t) = e t·A · b i , i = 1, n este liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm acum o solut¸ie oarecare X(t) a sistemului (3.2), ¸si vectorul X(0).<br />
Pentru acest vector X(0) ∈ IR n existǎ n constante reale c1, c2, . . .,cn astfel<br />
ca<br />
X(0) =<br />
n<br />
k=1<br />
ck · b k .
78 CAPITOLUL 3<br />
Construim funct¸ia<br />
X(t) =<br />
n<br />
k=1<br />
ck · X k (t)<br />
¸si remarcǎm cǎ aceasta este o solut¸ie a sistemului (3.2) ¸si verificǎ:<br />
X(0) =<br />
n<br />
k=1<br />
ck · X k (0) =<br />
În baza teoremei <strong>de</strong> unicitate rezultǎ cǎ:<br />
n<br />
k=1<br />
X(t) = X(t), (∀)t.<br />
ck · b k = X(0).<br />
Am obt¸inut astfel cǎ, o solut¸ie oarecare X(t) este combinat¸ia liniarǎ<br />
a solut¸iilor X k (t).<br />
X(t) =<br />
n<br />
k=1<br />
ck · X k (t)<br />
Definit¸ia 3.1.4 Un sistem <strong>de</strong> n solut¸ii {X k (t) k=1,n } ale ecuat¸iei (3.2) se<br />
nume¸ste sistem fundamental dacǎ sistemul <strong>de</strong> funct¸ii {X k (t) k=1,n } este liniar<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt.<br />
Teorema 3.1.4 Un sistem <strong>de</strong> n solut¸ii {X k (t) k=1,n } ale ecuat¸iei (3.2) este<br />
sistem fundamental dacǎ ¸si numai dacǎ funct¸ia realǎ <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong>:<br />
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = <strong>de</strong>t(x i j(t)),<br />
numitǎ wronskianul sistemului, nu se anuleazǎ. Am notat:<br />
X i (t) = (x i 1(t), x i 2(t), . . .,x i n(t)) T .<br />
Demonstrat¸ie: Arǎtǎm la început necesitatea condit¸iei. Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere<br />
la absurd ¸si admitem cǎ, <strong>de</strong>¸si sistemul <strong>de</strong> solut¸ii<br />
X1 (t), X2 (t), . . .,X n (t) este fundamental existǎ un punct t0 ∈ IR 1 în care<br />
wronskianul sistemului <strong>de</strong> solut¸ii se anuleazǎ: <strong>de</strong>t(xi j (t0)) = 0. În aceste<br />
condit¸ii, sistemul algebric liniar ¸si omogen <strong>de</strong> n ecuat¸ii cu n necunoscute<br />
c1, c2, . . .,cn<br />
n<br />
i=1<br />
ci · x i j (t0) = 0 j = 1, n
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare omogene 79<br />
are o solut¸ie nebanalǎ ci = c0 i , i = 1, n. Cu o asemenea solut¸ie nebanalǎ<br />
ci = c0 i, i = 1, n (c0 i nu sunt toate nule) construim funct¸ia:<br />
X(t) =<br />
n<br />
i=1<br />
c 0 i · Xi (t) t ∈ IR 1 .<br />
Funct¸ia X(t) construitǎ astfel este solut¸ie a sistemului (3.2) ¸si se anuleazǎ în<br />
t0:<br />
n<br />
X(t0) =<br />
i=1<br />
c 0 i · X i (t0) = 0.<br />
În virtutea teoremei <strong>de</strong> unicitate rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) este i<strong>de</strong>ntic nulǎ:<br />
n<br />
i=1<br />
c 0 i · X i (t) = 0, (∀)t ∈ IR 1 .<br />
Aceastǎ însǎ este absurd, <strong>de</strong>oarece sistemul <strong>de</strong> n solut¸ii {X i (t) i=1,n } este in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt.<br />
Trecem acum sǎ arǎtǎm suficient¸a condit¸iei. Presupunem cǎ wronskianul<br />
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = <strong>de</strong>t(x i j(t)) nu se anuleazǎ ¸si arǎtǎm cǎ sistemul <strong>de</strong><br />
solut¸ii {X i (t) i=1,n } este fundamental.<br />
Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si presupunem cǎ sistemul <strong>de</strong> solut¸ii {X i (t) i=1,n }<br />
nu este fundamental (nu este liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt).<br />
un sistem <strong>de</strong> constante {c 0 i }, i = 1, n, nu toate nule astfel cǎ<br />
n<br />
i=1<br />
c 0 i · Xi (t) = 0<br />
pentru orice t ∈ IR 1 . Egalitatea aceasta implicǎ egalitǎt¸ile<br />
n<br />
i=1<br />
c 0 i · xi j (t) = 0 (∀)t ∈ IR1 j = 1, n<br />
ceea ce aratǎ cǎ <strong>de</strong>t(x i j(t)) = 0 (∀)t ∈ IR 1 ; absurd.<br />
În aceastǎ ipotezǎ existǎ<br />
Teorema 3.1.5 (Liouville). Un sistem <strong>de</strong> n solut¸ii {X i (t) i=1,n } ale sistemului<br />
(3.2) este fundamental dacǎ ¸si numai dacǎ existǎ un punct t0 ∈ IR 1 în<br />
care wronskianul sistemului <strong>de</strong> solut¸ii<br />
este nenul.<br />
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = <strong>de</strong>t(x i j(t))
80 CAPITOLUL 3<br />
Demonstrat¸ie: Având în ve<strong>de</strong>re teorema prece<strong>de</strong>ntǎ este suficient sǎ arǎtǎm<br />
cǎ dacǎ existǎ t0 ∈ IR 1 astfel ca<br />
W(X 1 (t0), . . ., X n (t0)) = 0<br />
atunci pentru orice t ∈ IR 1 , W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = 0. Calculǎm <strong>de</strong>rivata<br />
wronskianului sistemului <strong>de</strong> solut¸ii {X i (t) i=1,n } ¸si obt¸inem<br />
d<br />
dt W(X1 (t), . . .,X n <br />
n<br />
(t)) =<br />
De aici rezultǎ egalitatea:<br />
i=1<br />
W(X 1 (t), . . ., X n (t)) = W(X 1 (t0), . . ., X n (t0)) · exp<br />
aii<br />
<br />
· W(X 1 (t), . . .,X n (t)<br />
n<br />
care aratǎ cǎ pentru orice t ∈ IR 1 avem W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = 0.<br />
i=1<br />
aii<br />
<br />
·(t−t0)<br />
Observat¸ia 3.1.5 În <strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei care afirma cǎ solut¸iile sistemului<br />
(3.2) formeazǎ un spat¸iu vectorial n dimensional am vǎzut cǎ dacǎ<br />
b 1 = (1, 0, 0, . . ., 0) T , b 2 = (0, 1, 0, . . ., 0) T , . . ., b n = (0, 0, 0, . . ., 1) T<br />
atunci sistemul <strong>de</strong> funct¸ii<br />
X 1 (t) = e t·A · b 1 , X 2 (t) = e t·A · b 2 , . . . , X n (t) = e t·A · b n<br />
este un sistem fundamental <strong>de</strong> solut¸ii. Dacǎ t¸inem seama <strong>de</strong> faptul cǎ solut¸ia<br />
X i (t) este coloana i a matricei pǎtratice e t·A atunci <strong>de</strong>ducem cǎ putem construi<br />
solut¸iile ecuat¸iei (3.2) dacǎ cunoa¸stem elementele matricei e t·A .<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea elementelor matricei e t·A t¸inem seama <strong>de</strong> urmǎtoarele<br />
rezultate <strong>de</strong> algebrǎ liniarǎ:<br />
Propozit¸ia 3.1.1 Dacǎ matricea A este similarǎ cu matricea A0 adicǎ<br />
A = S · A0 · S −1<br />
atunci matricea e t·A este similarǎ cu matricea e t·A0 adicǎ<br />
e t·A = S · e t·A0 · S −1 .
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare omogene 81<br />
Aceasta întrucât pentru orice k ∈ IN avem A k = S · A k 0 · S−1 .<br />
Propozit¸ia 3.1.2 (teorema lui Jordan)<br />
Pentru orice matrice A existǎ o matrice ”diagonalǎ”<br />
A0 = diag(A01, A02, . . .A0m)<br />
¸si o matrice nesingularǎ S cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
i) A0j este matrice pǎtratǎ <strong>de</strong> ordin qj, j = 1, m ¸si<br />
m<br />
qj = n;<br />
ii) A0j este matrice <strong>de</strong> forma A0j = λj · Ij + Nj, j = 1, m, un<strong>de</strong> λj este<br />
valoare proprie pentru matricea A, Ij este matricea unitate <strong>de</strong> ordin<br />
qj, Nj este matricea nilpotentǎ : Nj = b j <br />
kl , k, l = 1, qj cu b j<br />
k,k+1 = 1<br />
¸si b j<br />
kl = 0, pentru l = k + 1, ¸si qj este cel mult egal cu <strong>ordinul</strong> <strong>de</strong><br />
multiplicitate al valorii proprii λj;<br />
iii) A = S · A0 · S −1 .<br />
Propozit¸ia 3.1.3 Matricea e t·A0 are forma:<br />
e t·A0 = diag e t·A01 , e t·A02 , . . .,e t·A0m <br />
¸si matricea e t·A0 are forma:<br />
e t·A0j = e λj·t ·<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 t<br />
1!<br />
j=1<br />
t2 t · · · 2! qj −1<br />
(qj−1)!<br />
0 1 t<br />
1! · · · t q j −2<br />
(qj−2)!<br />
. . . . . . . . . . . . . . .<br />
0 0 0 · · · 1<br />
Teorema 3.1.6 Elementele matricei e t·A = S · e t·A0 · S −1 sunt funct¸ii <strong>de</strong><br />
forma:<br />
uij(t)=<br />
p<br />
k=1<br />
e λkt P ij<br />
qk−1 (t)+<br />
l<br />
k=1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
e µkt Q ij<br />
ij<br />
rk−1 (t) cosνkt+R rk−1 (t) sin νkt ,<br />
i, j =1, n<br />
un<strong>de</strong> λ1, . . .,λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordinele <strong>de</strong> multiplicitate<br />
respectiv q1, . . .,qp, µk + iνk, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale<br />
lui A cu ordin <strong>de</strong> multiplicitate rk, iar Pqk−1, Qrk−1 ¸si Rrk−1 sunt polinoame<br />
<strong>de</strong> grad qk − 1 ¸si rk − 1 respectiv, cu coeficient¸i reali.
82 CAPITOLUL 3<br />
Rezultatul este imediat în baza propozit¸iilor (3.1.1, 3.1.2, 3.1.3).<br />
Teorema 3.1.7 Solut¸iile sistemului (3.2) sunt funct¸ii <strong>de</strong> forma:<br />
e λkt Pqk−1(t) +<br />
l<br />
e µkt<br />
[Qrk−1(t) cosνkt + Rrk−1(t) sin νkt] , i, j = 1, n<br />
k=1<br />
un<strong>de</strong> λ1, . . .,λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordin <strong>de</strong> multiplicitate<br />
respectiv q1, . . .,qp; µk + iνk, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale lui A<br />
cu ordin <strong>de</strong> multiplicitate rk; Pqk−1, Qrk−1 ¸si Rrk−1 sunt vectori coloanǎ ai<br />
cǎror elemente sunt polinoame <strong>de</strong> grad qk − 1 respectiv rk − 1.<br />
Exercit¸ii<br />
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele sisteme:<br />
a)<br />
<br />
x1 ˙ = −x1+8x2<br />
x2 ˙ = x1+ x2<br />
R:<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
<br />
x1 ˙ = −3x1+ 2x2<br />
x2 ˙ = −2x1+ x2<br />
<br />
x1 ˙ =2x1− x2<br />
x2 ˙ = x1+ 2x2<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
x1 ˙ = 3x1+12x2− 4x3<br />
x2 ˙ = −x1− 3x2+ x3<br />
x3 ˙ = −x1− 12x2+6x3<br />
x1 ˙ = x1+x2− 2x3<br />
x2 ˙ =4x1+ x2<br />
x3 ˙ =2x1+x2− x3<br />
x1 ˙ = 2x1− x2− x3<br />
x2 ˙ = 3x1− 2x2− 3x3<br />
x3 ˙ = −x1+ x2+ 2x3<br />
x1(t) = c1 · e 3t + c2 · e −3t<br />
x2(t) = 1<br />
2 ·c1 · e 3t − 1<br />
4 ·c2 · e −3t<br />
<br />
x1(t) = c1 · e<br />
R:<br />
−t + c2 · t · e−t x2(t) = c1 · e−t + 2t+1<br />
2 · c2 · e−t <br />
x1(t) = c1 · cost · e<br />
R:<br />
2t + c2 · sin t · e2t x2(t) = c1 · sin t · e2t −c2 · cost · e2t ⎧<br />
⎨<br />
R: x2(t) = −<br />
⎩<br />
3<br />
x1(t) = c1 · e 2t + c2 · e t + c3 · e 3t<br />
8 c1 · e2t −1 2 c2 · et −1 3 c3 · e3t x3(t) = − 7<br />
8 c1 · e2t − c2 · et − c3 · e3t ⎧<br />
⎨ x1(t) = −<br />
R:<br />
⎩<br />
1<br />
⎧<br />
⎨<br />
R:<br />
⎩<br />
2 c1 · e−t + + 1<br />
4 c3 · et x2(t) = c1 · e−t + c2 · et + c3 · t · et x3(t) = + 1<br />
2 c2 · et + 1<br />
2 c3 · t · et x1(t) = c2 + c3 · e t<br />
x2(t) = c1 · e t +3 c2<br />
x3(t) = −c1 · e t − c2 + c3 · e t
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare omogene 83<br />
g)<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
x1 ˙ = −x1 −x2<br />
x2 ˙ = −x2 −x3<br />
x3 ˙ = −x3<br />
⎧<br />
⎨<br />
R:<br />
⎩<br />
x1(t) = c1 · e −t − c2 · t · e −t + 1<br />
2 c3 · t 2 · e −t<br />
x2(t) = + c2 · e −t − c3 · t · e −t<br />
x3(t) = c3 · e −t<br />
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme Cauchy (cu date init¸iale):<br />
a)<br />
<br />
x1 ˙ = x2<br />
x2 ˙ = x1<br />
x1(0) = 1<br />
x2(0) = 0<br />
<br />
x1(t) =<br />
R:<br />
1<br />
b)<br />
c)<br />
<br />
x1 ˙ = 11x1+16x2<br />
x2 ˙ = −2x1− x2<br />
<br />
x1 ˙ = x1− x2<br />
x2 ˙ = −4x1− 2x2<br />
x1(1) = 0<br />
x2(1) = 1<br />
x1(1) = 1<br />
x2(1) = 1<br />
3. Se consi<strong>de</strong>rǎ sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale<br />
cu a · d − b · c = 0. Arǎtat¸i cǎ:<br />
<br />
x1 ˙ = a · x1+ b · x2<br />
x2 ˙ = c · x1+ d · x2<br />
2 e −t + 1<br />
2 et<br />
x2(t) = − 1<br />
2 e−t + 1<br />
2 et<br />
<br />
x1(t) =4e<br />
R:<br />
3t−3 + 4e7t−7 x2(t) =2e3t−3 −e7t−7 <br />
x1(t) =<br />
R:<br />
3<br />
5 e2t−2 + 2<br />
5 e−3t+3<br />
x2(t) = − 3<br />
5 e2t−2 + 8<br />
5 e−3t+3<br />
i) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c ≥ 0 ¸si a + d < 0 ¸si a · d − b · c > 0, atunci orice<br />
solut¸ie nenulǎ a sistemului tin<strong>de</strong> la (0, 0).<br />
ii) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c ≥ 0 si a + d > 0 ¸si a · d − b · c > 0, atunci orice<br />
solut¸ie nenulǎ a sistemului tin<strong>de</strong> în normǎ la +∞.<br />
iii) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d < 0, atunci toate solut¸iile nenule<br />
ale sistemului tind la (0, 0).<br />
iv) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d > 0, atunci toate solut¸iile nenule<br />
ale sistemului tind în normǎ la +∞.<br />
v) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d = 0, atunci toate solut¸iile nenule<br />
ale sistemului sunt periodice.
84 CAPITOLUL 3<br />
3.2 Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i neomogene<br />
Definit¸ia 3.2.1 Un sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare<br />
cu coeficient¸i constant¸i neomogen este un sistem <strong>de</strong> n relat¸ii <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ<br />
funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma:<br />
˙x1 = a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn +f1(t)<br />
˙x2 = a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn +f2(t) (3.4)<br />
.<br />
˙xn = an1 · x1 + an2 · x2 + . . . + ann · xn +fn(t)<br />
dintre un sistem <strong>de</strong> n funct¸ii necunoscute x1, x2, . . ., xn ¸si <strong>de</strong>rivatele acestora<br />
x1, ˙ x2, ˙ . . ., xn. ˙<br />
În sistemul (3.4) coeficient¸ii aij sunt constante cunoscute, iar funct¸iile reale<br />
fi : IR 1 → IR sunt continue ¸si cunoscute.<br />
Definit¸ia 3.2.2 Un sistem ordonat <strong>de</strong> n funct¸ii reale x1, x2, . . ., xn <strong>de</strong> clasǎ<br />
C1 este solut¸ie a sistemului (3.4) dacǎ verificǎ:<br />
dxi<br />
dt =<br />
n<br />
aij · xj + fi(t) (∀)t ∈ IR<br />
j=1<br />
Definit¸ia 3.2.3 Fiind datǎ t0 ∈ IR 1 ¸si (x0 1, x0 2, . . .,x 0 n) ∈ IR n , problema<br />
<strong>de</strong>terminǎrii solut¸iei (x1(t), x2(t), . . .,xn(t)) a sistemului (3.4) care verificǎ<br />
xi(t0) = x0 i i = 1, n, se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ<br />
Cauchy.<br />
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.4) notǎm cu A matricea<br />
pǎtratǎ n × n care are ca elemente constantele aij: A = (aij) i,j=1,n, cu F(t)<br />
matricea coloanǎ F(t) = (f1(t), f2(t), . . .,fn(t)) ¸si cu X(t) matricea coloanǎ<br />
X = (x1, x2, . . ., xn) T . Cu aceste matrice sistemul (3.4) se scrie sub forma<br />
matricealǎ:<br />
˙X = A · X + F(t) (3.5)<br />
iar problema Cauchy se scrie sub forma<br />
˙X = A · X + F(t), X(t0) = X 0<br />
(3.6)
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare neomogene 85<br />
Teorema 3.2.1 (<strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate ¸si <strong>de</strong> reprezentare a solut¸iei problemei<br />
cu date init¸iale).<br />
Dacǎ funct¸ia F(t) este continuǎ pe IR 1 , atunci pentru orice t0 ∈ IR 1 ¸si<br />
X 0 ∈ IR n problema cu date init¸iale (3.6) are solut¸ie unicǎ <strong>de</strong>finitǎ pe IR 1<br />
¸si aceastǎ solut¸ie se reprezintǎ sub forma:<br />
X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A<br />
t<br />
0<br />
· X +<br />
t0<br />
e (t−s)·A · F(s)ds (3.7)<br />
Demonstrat¸ie: Pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ problema Cauchy (3.6) are cel mult<br />
o solut¸ie, presupunem <strong>prin</strong> absurd cǎ X 1 (t) ¸si X 2 (t) sunt douǎ solut¸ii ale<br />
problemei (3.6) ¸si consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia X 3 (t) = X 1 (t) − X 2 (t).<br />
Se verificǎ u¸sor cǎ funct¸ia X 3 (t) este solut¸ia problemei Cauchy<br />
˙X 3 = A · X 3 , X 3 (t0) = 0.<br />
Din teorema <strong>de</strong> unicitate a solut¸iei problemei Cauchy pentru sisteme omogene<br />
rezultǎ cǎ:<br />
X 3 (t) = 0, (∀)t.<br />
Prin urmare<br />
X 1 (t) − X 2 (t) ≡ 0,<br />
ceea ce contrazice ipoteza X 1 (t) = X 2 (t).<br />
Rǎmâne sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia Z(t) <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong>:<br />
Z(t) = e (t−t0)·A<br />
t<br />
0<br />
· X +<br />
t0<br />
e (t−s)·A · F(s)ds<br />
pentru orice t ∈ IR 1 verificǎ (3.6).<br />
Remarcǎm cǎ funct¸ia Z(t) este corect <strong>de</strong>finitǎ; este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe IR 1 ¸si<br />
<strong>de</strong>rivata ei verificǎ:<br />
˙Z(t) = A · e (t−t0)·A<br />
t<br />
0<br />
· X + F(t) +<br />
t0<br />
A · e (t−s)·A · F(s)ds = A · Z + F(t).<br />
Prin urmare funct¸ia Z(t) este solut¸ie a ecuat¸iei neomogene (3.5). În plus calculând<br />
Z(t0) gǎsim Z(t0) = X0 ¸si astfel teorema a fost complet <strong>de</strong>monstratǎ.
86 CAPITOLUL 3<br />
Problema 3.2.1 O substant¸ǎ A se <strong>de</strong>scompune în alte douǎ substant¸e B<br />
¸si C. Viteza <strong>de</strong> formare a fiecǎreia din ele este proport¸ionalǎ cu cantitatea<br />
<strong>de</strong> substantǎ ne<strong>de</strong>scompusǎ. Sǎ se <strong>de</strong>termine variat¸ia cantitǎt¸ilor x ¸si y, ce<br />
se formeazǎ în funct¸ie <strong>de</strong> timp.<br />
Se dau cantitatea init¸ialǎ <strong>de</strong> substant¸ǎ a ¸si cantitǎt¸ile <strong>de</strong> substant¸e B ¸si C<br />
formate dupǎ trecerea unei ore: a<br />
8<br />
¸si 3a<br />
8 .<br />
Rezolvare: La momentul t cantitatea <strong>de</strong> substant¸ǎ A este a − x − y.<br />
Deci vitezele <strong>de</strong> formare ale substant¸elor B ¸si C vor fi:<br />
˙x = k1 · (a − x − y)<br />
˙y = k2 · (a − x − y)<br />
sau <br />
˙x = −k1 · x − k1 · y + k1 · a<br />
˙x = −k2 · x − k2 · y + k2 · a<br />
<br />
−k1 −k1<br />
Matricea A în acest caz este A = .<br />
−k2 −k2<br />
Valorile proprii ale matricei A sunt rǎdǎcinile ecuat¸iei<br />
(k1 + λ) · (k2 + λ) − k1 · k2 = 0.<br />
Aceste rǎdǎcini sunt λ1 = −(k1 + k2) ¸si λ2 = 0, iar matricea e t·A este:<br />
e t·A =<br />
1<br />
k1 + k2<br />
<br />
De aici în virtutea formulei (3.7) rezultǎ:<br />
Exercit¸ii<br />
x(t)<br />
y(t)<br />
e −(k1+k2)·t − 1<br />
−k1 · e−(k1+k2)·t + k2<br />
k1 · k2 · e−(k1+k2)·t − k1 · k2 k1 + k2 · e−(k1+k2)·t <br />
= e (t−1)·A ·<br />
a/8<br />
3/8<br />
<br />
+<br />
t<br />
1<br />
e (t−s)·A<br />
k1 · a<br />
k2 · a<br />
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii neomogene:<br />
a)<br />
<br />
x1 ˙ = x2<br />
x2 ˙ = x1<br />
+e t + e −t<br />
<br />
ds
Sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare neomogene 87<br />
b)<br />
c)<br />
⎧<br />
⎨<br />
R:<br />
⎩<br />
<br />
x1 ˙ = 11x1+16x2+ t<br />
x2 ˙ = −2x1− x2+1 − t<br />
⎧<br />
⎨<br />
R:<br />
⎩<br />
<br />
x1 ˙ = x1− x2+ 3t2 x2 ˙ = −4x1− 2x2+ 2 + 8t<br />
⎧<br />
⎨<br />
R:<br />
⎩<br />
x1(t) = c1 · e−t + c2 · et + ( 1 1 t − 2<br />
4 )et − ( 1<br />
2<br />
t + 1<br />
4 )e−t<br />
x2(t) = −c1 · e−t + c2 · et + ( 1 1<br />
t + 2 4 )et + ( 1 1<br />
t − 2 4 )e−t<br />
x1(t) = c1 · e3t + c2 · e7t + 23 5 − 49 7t x2(t) = −1 2 c1 · e3t −1 4 c2 · e7t − 18 3 + 49 7t x1(t) = c1 · e 2t + c2 · e −3t − t 2<br />
x2(t) = −c1 · e 2t + 4c2 · e −3t + 2t + 2t 2
88 CAPITOLUL 3<br />
3.3 Reducerea ecuat¸iilor diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
n liniare cu coeficient¸i constant¸i la<br />
un sistem <strong>de</strong> n ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm ecuat¸ia diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n liniarǎ omogenǎ cu coeficient¸i<br />
constant¸i:<br />
an · x (n) + an−1 · x (n−1) + . . . + a1 · ˙x + a0 · x = 0 (3.8)<br />
în care coeficientul an este presupus diferit <strong>de</strong> zero.<br />
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ (3.8) are acelea¸si solut¸ii ca ¸si ecuat¸ia diferent¸ialǎ:<br />
x (n) + bn−1 · x (n−1) + . . . + b1 · ˙x + b0 · x = 0 (3.9)<br />
în care bi = ai<br />
. Ecuat¸ia (3.9) la rândul ei, este ”echivalentǎ” cu sistemul <strong>de</strong><br />
an<br />
ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i:<br />
˙Y = A · Y (3.10)<br />
în care matricea coloanǎ Y este Y = (x, u 1 , u 2 , . . ., u n−1 ), iar matricea pǎtratǎ<br />
A este:<br />
⎡<br />
⎢<br />
A = ⎢<br />
⎣<br />
0 1 0 0 0 . . . 0<br />
0 0 1 0 0 . . . 0<br />
0 0 0 1 0 . . . 0<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
0 0 0 0 0 . . . 1<br />
− a0<br />
an<br />
− a1<br />
an<br />
. . . . . . . . . . . . − an−1<br />
Valorile proprii ale acestei matrice sunt rǎdǎcinile ecuat¸iei algebrice<br />
an · λ n + an−1 · λ n−1 + . . . + a1 · λ + a0 = 0. (3.11)<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ solut¸iile ecuat¸iei diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n liniare (3.8)<br />
sunt funct¸ii <strong>de</strong> forma:<br />
x(t) =<br />
p<br />
e λjt<br />
Pqj−1(t) +<br />
j=1<br />
an<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
l<br />
e µjt Qrj−1(t) cosνjt + Rrj−1(t) sin νjt <br />
j=1
Reducerea ecuat¸iilor diferent¸iale liniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n la un sistem 89<br />
în care λj, j = 1, k sunt rǎdǎcinile reale ale ecuat¸iei (3.11) cu ordin <strong>de</strong> multiplicitate<br />
respectiv q1, . . .,qp; µj + iνk, k = 1, l sunt rǎdǎcinile complexe ale<br />
ecuat¸iei (3.11) cu ordin <strong>de</strong> multiplicitate rj, iar Pqj−1, Qrj−1 ¸si Rrj−1 sunt<br />
polinoame <strong>de</strong> grad qj − 1 respectiv rj − 1.<br />
Dacǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> n liniarǎ cu coeficient¸i constant¸i este<br />
neomogenǎ:<br />
an · x (n) + an−1 · x (n−1) + . . . + a1 · ˙x + a0 · x = f(t) (3.12)<br />
¸si an = 0, iar f(t) este o funct¸ie continuǎ pe IR 1 , atunci orice solut¸ie x = x(t)<br />
a acestei ecuat¸ii este <strong>de</strong> forma:<br />
x(t)=<br />
p<br />
e λjt<br />
Pqj−1(t)+<br />
j=1<br />
l<br />
e µjt Qrj−1(t) cosνjt+Rrj−1(t) sin νjt +¯x(t)<br />
j=1<br />
un<strong>de</strong> x(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (3.12).<br />
Dacǎ ecuat¸ia (3.12) nu are rǎdǎcini pur imaginare ¸si f este periodicǎ <strong>de</strong><br />
perioadǎ T, atunci ecuat¸ia (3.12) are o singurǎ solut¸ie periodicǎ <strong>de</strong> perioadǎ<br />
T.<br />
Problema 3.3.1 Arǎtat¸i cǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ:<br />
L · d2i di 1<br />
+ R · +<br />
dt2 dt C · i = −E0 · ω sin ωt<br />
care guverneazǎ evolut¸ia intensitǎt¸ii curentului într-un circuit R, L, C (R, L, C<br />
constante pozitive) cuplat la o sursǎ <strong>de</strong> curent alternativ are o singurǎ solut¸ie<br />
periodicǎ pe perioadǎ 2π<br />
¸si toate celelalte solut¸ii tind la aceastǎ solut¸ie.<br />
ω<br />
Rezolvare: Se consi<strong>de</strong>rǎ o solut¸ie particularǎ <strong>de</strong> forma<br />
i(t) = A · cos ωt + B · sin ωt<br />
care se înlocuie¸ste în ecuat¸ie ¸si se <strong>de</strong>terminǎ constantele A ¸si B. Aceasta este<br />
solut¸ia periodicǎ cǎutatǎ.<br />
Dupǎ aceasta, se scrie formula unei solut¸ii oarecare i(t) ¸si se face diferent¸a<br />
i(t) − i(t) care este o solut¸ie a ecuat¸iei omogene (f(t) = 0). Deoarece R > 0<br />
se obt¸ine cǎ i(t) − i(t) → 0 pentru t → ∞ adicǎ, i(t) → i(t).
90 CAPITOLUL 3<br />
Exercit¸ii<br />
Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> ordin superior liniare cu coeficient¸i<br />
constant¸i <strong>prin</strong> metoda reducerii la un sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i:<br />
1.<br />
2.<br />
a) ¨x − x = 0 x(0) = 2 ˙x(0) = 0 R: x(t) = e t + e −t<br />
b) ¨x + 2 ˙x + x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 R: x(t) = t · e −t<br />
c) ¨x − 4˙x + 4x = 0 x(1) = 1 ˙x(1) = 0 R: x(t) = 3e 2t−2 − 2te 2t−2<br />
d) ¨x + x = 0 x<br />
<br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
= 1 ˙x = 0 R: x(t) = sin t<br />
2 2<br />
e) ¨x + ˙x + x = 0 x(0) = 0 ˙x(1) = 1 R: x(t) = 2√3 3 e−12<br />
t sin<br />
a)<br />
b)<br />
...<br />
x − 2¨x − ˙x + 2x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2<br />
R: x(t) = 1<br />
2 · et + 2<br />
3 · e2t − 1<br />
· e−t<br />
6<br />
...<br />
x − ¨x + ˙x − x = 0 x(1) = 0 ˙x(1) = 1 ¨x(1) = 2<br />
√<br />
3<br />
2<br />
R: x(t) = e t−1 + (sin 1) · sin t − (cos 1) · cost<br />
c) x (4) − 5¨x + 4x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2<br />
...<br />
x(0) = 3<br />
R: x(t) = −1 6 · et + 1<br />
6 · e−2t − 1<br />
2 · e−t + 1 · e2t<br />
2
Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor <strong>de</strong> ecuat¸ii liniare 91<br />
3.4 Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor<br />
<strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
liniare cu coeficient¸i constant¸i<br />
Pentru rezolvarea numericǎ a sistemelor <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> ordin<br />
întâi Maple folose¸ste funct¸ia dsolve (solve ordinary differential equations -<br />
ODEs) care a fost prezentǎ în capitolele prece<strong>de</strong>nte.<br />
În scrierea sintaxei ecuat¸ia diferent¸ialǎ va fi înlocuitǎ cu lista <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi care formeazǎ sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii, respectiv condit¸ia<br />
init¸ialǎ va fi înlocuitǎ cu lista condit¸iilor init¸iale xi(t0) = x 0 i corespunzǎtoare<br />
fiecǎrei funct¸ii necunoscute xi(t), i = 1, n:<br />
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn});<br />
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn}, {x1(t), x2(t), ..., xn(t)}, extra.args);<br />
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn, x1(t0)=x 0 1, x2(t0)=x 0 2, ..., xn(t0)=x 0 n},<br />
{x1(t), x2(t), ..., xn(t)}, extra.args);<br />
Pentru exemplificare, vom rezolva urmǎtoarele siteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale<br />
<strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i:<br />
1. Sistemul <strong>de</strong> douǎ ecuat¸ii diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i<br />
omogen:<br />
<br />
x1 ˙ = −x1+8x2<br />
x2 ˙ = x1+ x2<br />
(3.13)<br />
Pentru acest sistem vom consi<strong>de</strong>ra condit¸iile init¸iale x1(0) = 0, x2(0) =<br />
1 ¸si solut¸ia problemei cu date init¸iale va fi reprezentatǎ grafic utilizând<br />
trei instruct¸iuni <strong>de</strong> plotare:<br />
> sys1_Eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)+8*x2(t);<br />
sys1 Eq1 := d<br />
x1 (t) = −x1 (t) + 8x2 (t)<br />
dt<br />
> sys1_Eq2:=diff(x2(t),t)=x1(t)+x2(t);<br />
sys1 Eq2 := d x2 (t) = x1 (t) + x2 (t)<br />
dt
92 CAPITOLUL 3<br />
> dsolve(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(0)=1,x2(0)=1,x1(t),x2(t));<br />
{x2 (t) = 5/6 e 3t + 1/6 e −3t ,x1 (t) = 5/3 e 3t − 2/3 e −3t }<br />
> sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):<br />
> sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):<br />
> plot([sol_x1,sol_x2],t=0..1,color=[red,blue],<br />
style=[line,point]);<br />
Figura 13<br />
Solut¸ia problemei cu date init¸iale asociatǎ acestui sistem va fi consi<strong>de</strong>ratǎ<br />
> with(DEtools):<br />
> DEplot(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1,<br />
> [[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene=<br />
[x1(t),x2(t)]);<br />
Figura 14
Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor <strong>de</strong> ecuat¸ii liniare 93<br />
> with(DEtools):<br />
> DEplot3d(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1,<br />
> [[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene=<br />
[t,x1(t),x2(t)]);<br />
Figura 15<br />
Se observǎ cǎ, funct¸ia <strong>de</strong> plotare plot afi¸seazǎ curbele plane x1 = x1(t)<br />
¸si x2 = x2(t) în acela¸si sistem <strong>de</strong> coordonate. Funct¸ia with(DEtools) :<br />
DEplot, odatǎ cu rezolvarea sistemului afi¸seazǎ perechile <strong>de</strong> puncte<br />
(x1(t), x2(t)) care corespund domeniului <strong>de</strong> variat¸ie a variabilei in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
t. Funct¸ia with(DEtools) : DEplot3d permite reprezentarea<br />
în trei dimensiuni a curbei spat¸iale ce reprezintǎ solut¸ia sistemului consi<strong>de</strong>rat.<br />
2. Sistemul <strong>de</strong> trei ecuat¸ii diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i omogen:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
x1 ˙ = −x1 −x2<br />
x2 ˙ = −x2 −x3<br />
x3 ˙ = −x3<br />
(3.14)<br />
Pentru acest sistem consi<strong>de</strong>rǎm condit¸iile init¸iale x1(0) = 1, x2(0) = 1,<br />
x3(0) = 2, <strong>de</strong>terminǎm solut¸ia problemei cu date init¸iale ¸si apoi o vom<br />
reprezenta grafic:
94 CAPITOLUL 3<br />
> sys2_Eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)-x2(t);<br />
sys2 Eq1 := d x1 (t) = −x1 (t) − x2 (t)<br />
dt<br />
> sys2_Eq2:=diff(x2(t),t)=-x2(t)-x3(t);<br />
sys2 Eq2 := d<br />
x2 (t) = −x2 (t) − x3 (t)<br />
dt<br />
> sys2_Eq3:=diff(x3(t),t)=-x3(t);<br />
sys2 Eq3 := d x3 (t) = −x3 (t)<br />
dt<br />
> dsolve({sys2_Eq1,sys2_Eq2,sys2_Eq3},{x1(t),x2(t),x3(t)});<br />
{ x1 (t) = 1/2 ( C3 t 2 − 2 C2 t + 2 C1) e −t ,<br />
x2 (t) = − ( C3 t − C2)e −t ,<br />
x3 (t) = C3 e −t }<br />
> dsolve({sys2_Eq1,sys2_Eq2,sys2_Eq3,x1(0)=1,x2(0)=0,<br />
x3(0)=2});<br />
{ x1 (t) = 1/2 (2 t2 + 2) e−t x2 (t) = −2 te−t ,<br />
x3 (t) = 2 e−t }<br />
> plot([1/2*(2*t^2+2)*exp(-t),-2*t*exp(-t),2*exp(-t)],<br />
t=-1.3..8,colour=[green,black,blue],thickness=[3,4,1],<br />
style=[line,point,line]);<br />
Figura 16<br />
3. Sistemul <strong>de</strong> douǎ ecuat¸ii diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i neomogen:<br />
˙<br />
x1 = x1− x2+ 3t2 x2 ˙ = −4x1− 2x2+ 2 + 8t<br />
(3.15)
Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor <strong>de</strong> ecuat¸ii liniare 95<br />
Pentru acest sistem consi<strong>de</strong>rǎm condit¸iile init¸iale x1(1) = 1,<br />
x2(1) = 0, <strong>de</strong>terminǎm solut¸ia problemei cu date init¸iale reprezentǎm<br />
grafic acaestǎ solut¸ie:<br />
> sys3_Eq1:=diff(x1(t),t)=x1(t)-x2(t)+3*t^2;<br />
sys3 Eq1 := d x1 (t) = x1 (t) − x2 (t) + 3 t2<br />
dt<br />
> sys3_Eq2:=diff(x2(t),t)=-4*x1(t)-2*x2(t)+2+8*t;<br />
sys3 Eq2 := d<br />
x2 (t) = −4x1 (t) − 2x2 (t) + 2 + 8 t<br />
dt<br />
> dsolve({sys3_Eq1,sys3_Eq2});<br />
{ x1 (t) = e −3 t C2 + e 2 t C1 − t 2<br />
x2 (t) = 4 e −3 t C2 − e 2 t C1 + 2 t + 2 t 2 , }<br />
> dsolve({sys3_Eq1,sys3_Eq2,x1(1)=1,x2(1)=0});<br />
{ x1 (t) = 12<br />
5 e−2 e 2 t − 2/5 e 3 e −3 t − t 2 ,<br />
x2 (t) = − 12<br />
5 e−2 e 2 t − 8/5 e 3 e −3 t + 2 t + 2 t 2 }<br />
> x1:=12/5*exp(-2)*exp(2*t)-2/5*exp(3)*exp(-3*t)-t^2:<br />
> x2:=-12/5*exp(-2)*exp(2*t)-8/5*exp(3)*exp(-3*t)+2*t+<br />
2*t^2:<br />
> plot([x1,x2],t=-0.1..2,color=[red,green],style=<br />
[line,point]);<br />
Figura 17
<strong>Capitolul</strong> 4<br />
Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si<br />
unicitate. Meto<strong>de</strong> numerice.<br />
Proprietǎt¸i calitative ale<br />
solut¸iilor. Integrale prime<br />
4.1 Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate<br />
pentru ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi neliniare<br />
Fie problema cu date init¸iale<br />
˙x = f(t, x); x(t0) = x0 (4.1)<br />
cu f : Ω ⊂ IR 2 −→ IR 1 ¸si (t0, x0) ∈ Ω.<br />
Vom enunt¸a ¸si <strong>de</strong>monstra o teoremǎ referitoare la existent¸a unei solut¸ii<br />
(locale) a problemei cu date init¸iale (4.1). Consi<strong>de</strong>rǎm în acest scop douǎ<br />
numere a > 0 ¸si b > 0, astfel ca dreptunghiul<br />
sǎ fie inclus în Ω ; ∆ ⊂ Ω.<br />
∆ = {(t, x)| |t − t0| ≤ a ¸si |x − x0| ≤ a}<br />
Teorema 4.1.1 (Cauchy- Lipschitz <strong>de</strong> existent¸ǎ a unei solut¸ii locale) Dacǎ<br />
funct¸ia f este continuǎ pe dreptunghiul ∆ ¸si este lipschitzianǎ în raport cu<br />
96
Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 97<br />
variabila x pe ∆, atunci problema cu date init¸iale (4.1) are o solut¸ie localǎ<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe intervalul Ih = [t0 − h, t0 + h], un<strong>de</strong> h = min<br />
M = max |f(t, x)| ¸si K este constanta lui Lipschitz pe ∆:<br />
(t,x)∈△<br />
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K|x − y|, ∀(t, x), (t, y) ∈ △.<br />
<br />
a, b<br />
M ,<br />
1<br />
K + 1<br />
Demonstrat¸ie: Consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia constantǎ x0(t) ≡ x0 ¸si pornind <strong>de</strong> la<br />
ea, construim ¸sirul <strong>de</strong> funct¸ii {xn(t)} n∈IN <strong>de</strong>finit astfel:<br />
x1(t) = x0 +<br />
x2(t) = x0 +<br />
x3(t) = x0 +<br />
.........<br />
xn(t) = x0 +<br />
.........<br />
t<br />
t0 t<br />
t0 t<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, x0(τ))dτ;<br />
f(τ, x1(τ))dτ;<br />
f(τ, x2(τ))dτ;<br />
f(τ, xn−1(τ))dτ;<br />
(∀)t ∈ Ih.<br />
Arǎtǎm la început cǎ funct¸iile din acest ¸sir sunt bine <strong>de</strong>finite. Aceasta<br />
revine la a arǎta cǎ pentru orice n ≥ 1 ¸si t ∈ Ih avem (t, xn(t)) ∈ Ω.<br />
Folosim metoda induct¸iei matematice, vom arǎta cǎ pentru orice t ∈ Ih<br />
avem (t, xn(t)) ∈ ∆.<br />
Etapa I (a verificǎrii):<br />
Pentru n = 1 avem:<br />
x1(t) = x0 +<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, x0(τ))dτ;<br />
¸si <strong>de</strong>ci |x1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih.<br />
Rezultǎ astfel cǎ (t, x1(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.<br />
Pentru n = 2 avem:<br />
x2(t) = x0 +<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, x1(τ))dτ;<br />
<br />
,
98 CAPITOLUL 4<br />
¸si <strong>de</strong>ci |x2(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih. Rezultǎ astfel cǎ<br />
(t, x2(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.<br />
Etapa II (a implicat¸iei):<br />
Presupunem cǎ (t,xn(t)) ∈ ∆, (∀) t ∈ Ih ¸si arǎtǎm cǎ (t, xn+1(t)) ∈ ∆,<br />
(∀) t ∈ Ih.<br />
Pentru aceasta calculǎm xn+1(t) ¸si gǎsim<br />
xn+1(t) = x0 +<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, xn(τ))dτ<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> |xn+1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀) t ∈ Ih. Rezultǎ<br />
(t, xn+1(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.<br />
Astfel am arǎtat cǎ pentru (∀)n ≥ 1 ¸si (∀)t ∈ Ih avem (t, xn(t)) ∈ ∆.<br />
Trecem acum sǎ evaluǎm maximul modulului |xn+1(t) − xn(t)| pe Ih.<br />
Pentru aceasta, t¸inem seamǎ <strong>de</strong> egalitǎt¸ile:<br />
xn+1(t) = x0 +<br />
xn(t) = x0 +<br />
pe care le scǎ<strong>de</strong>m ¸si obt¸inem:<br />
t<br />
|xn+1(t) − xn(t)| ≤ |K<br />
De aici rezultǎ inegalitatea:<br />
din care <strong>de</strong>ducem:<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, xn(τ))dτ<br />
f(τ, xn−1(τ))dτ<br />
t<br />
t0<br />
|xn(τ) − xn−1(τ)|dτ|<br />
max |xn+1(t) − xn(t)| ≤<br />
t∈Ih<br />
K<br />
K + 1 max |xn(τ) − xn−1(τ)|<br />
τ∈Ih<br />
max |xn+1(t) − xn(t)| ≤<br />
t∈Ih<br />
≤<br />
<br />
K<br />
K + 1<br />
<br />
K<br />
K + 1<br />
n<br />
n<br />
· max<br />
t∈Ih<br />
· M · h ≤<br />
|x1(t) − x0| ≤<br />
K<br />
K + 1<br />
n<br />
· b
Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 99<br />
Scriem acum funct¸ia xn = xn(t) sub forma:<br />
n−1<br />
xn(t) = x0(t) + (xi+1(t) − xi(t))<br />
¸si remarcǎm cǎ, ¸sirul xn(t) este ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei <strong>de</strong> funct¸ii<br />
x0(t) +<br />
i=0<br />
∞<br />
(xn+1(t) − xn(t)).<br />
n=0<br />
n K<br />
Deoarece |xn+1(t) −xn(t)| ≤<br />
·b, (∀) t ∈ Ih, din convergent¸a seriei<br />
K + 1<br />
∞<br />
n K<br />
numerice b ·<br />
, cu teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria <strong>de</strong><br />
K + 1<br />
n=0<br />
∞<br />
funct¸ii x0(t) + (xn+1(t) − xn(t)) este absolut ¸si uniform convergentǎ pe<br />
n=0<br />
intervalul Ih, la o funct¸ie x = x(t). Prin urmare ¸sirul sumelor part¸iale, adicǎ<br />
¸sirul xn(t) converge uniform la funct¸ia x(t).<br />
Observǎm în continuare cǎ pentru (∀) t ∈ Ih avem<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
[f(s, xn(s)) − f(s, x(s))]ds<br />
≤ K · h · max |xn(s) − x(s)|<br />
s∈Ih<br />
t0<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare, avem egalitatea:<br />
lim<br />
n→∞<br />
t<br />
t0<br />
f(s, xn(s))ds =<br />
t<br />
Trecem acum la limitǎ în egalitatea<br />
xn+1(t) = x0 +<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
f(s, x(s))ds, (∀)t ∈ Ih.<br />
f(τ, xn(τ))dτ
100 CAPITOLUL 4<br />
¸si obt¸inem egalitatea<br />
x(t) = x0 +<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, x(τ))dτ.<br />
Aceasta aratǎ cǎ funct¸ia x(t) este <strong>de</strong> clasǎ C 1 ¸si verificǎ ˙x(t) = f(t, x(t));<br />
x(t0) = x0.<br />
Am <strong>de</strong>monstrat în acest fel cǎ problema cu date init¸iale (4.1) are o solut¸ie<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe intervalul Ih. S-ar putea ca problema (4.1) sǎ aibe solut¸ie <strong>de</strong>finitǎ<br />
pe un interval mai mare ca intervalul Ih. Aceasta este motivul pentru care<br />
solut¸ia gǎsitǎ se nume¸ste solut¸ie localǎ.<br />
Teorema 4.1.2 (Cauchy-Lipschitz <strong>de</strong> unicitate a solut¸iei locale)<br />
Dacǎ sunt în<strong>de</strong>plinite condit¸iile din teorema lui Cauchy-Lipschitz <strong>de</strong> existent¸ǎ<br />
a unei solut¸ii locale a problemei cu date init¸iale (t0, x0), atunci problema (4.1)<br />
nu poate avea douǎ solut¸ii diferite pe un interval J, Ih ⊃ J ∋ t0<br />
Demonstrat¸ie: Presupunem <strong>prin</strong> absurd cǎ funct¸iile x, y : J ⊂ Ih → IR 1<br />
sunt douǎ solut¸ii locale ale problemei cu date init¸iale. Aceste solut¸ii verificǎ:<br />
x(t) = x0 +<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, x(τ))dτ, y(t) = y0 +<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ, funct¸iile x(t) ¸si y(t) verificǎ inegalitatea:<br />
<br />
<br />
|x(t) − y(t)| < ε + K <br />
<br />
De aici rezultǎ cǎ:<br />
t<br />
t0<br />
|x(t) − y(t)| ≤ ε · e K|t−t0|<br />
t<br />
t0<br />
f(τ, y(τ))dτ.<br />
<br />
<br />
|x(τ) − y(τ)|dτ <br />
(∀)t ∈ J. (∀)ε > 0.<br />
(∀)t ∈ J, (∀)ε > 0.<br />
Pentru t ∈ J, t fixat, trecem la limitǎ pentru ε → 0 ¸si obt¸inem cǎ<br />
x(t) = y(t), (∀)t ∈ J.<br />
Problema 4.1.1<br />
Se ¸stie cǎ materia radioactivǎ se <strong>de</strong>zintegreazǎ ¸si viteza <strong>de</strong> <strong>de</strong>zintegrare este
Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 101<br />
proport¸ionalǎ, la orice moment, cu cantitatea <strong>de</strong> materie radioactivǎ rǎmasǎ.<br />
Dacǎ x(t) reprezintǎ cantitatea <strong>de</strong> materie radioactivǎ rǎmasǎ atunci<br />
˙x = −a · x,<br />
un<strong>de</strong> a este o constantǎ pozitivǎ.<br />
În cazul <strong>de</strong>zintegrǎrii carbonului radioactiv C14 , a = 1<br />
¸si <strong>de</strong>ci în acest<br />
8000<br />
caz, ecuat¸ia <strong>de</strong>vine ˙x = − 1<br />
· x.<br />
8000<br />
Arǎtat¸i cǎ, dacǎ la un moment t0 se cunoa¸ste cantitatea <strong>de</strong> carbon radioactiv<br />
C 14 dintr-o mostrǎ <strong>de</strong> animal sau plantǎ gǎsitǎ într-un strat geologic,<br />
atunci se poate reconstitui vârsta acelei mostre.<br />
Rezolvare<br />
Fie x0 cantitatea <strong>de</strong> carbon radioactiv C 14 dintr-o mostrǎ la momentul t0.<br />
Problema cu date init¸iale:<br />
<br />
˙x = − 1<br />
· x<br />
8000<br />
x(t0) = x0<br />
are solut¸ie unicǎ ¸si aceasta este datǎ <strong>de</strong><br />
1<br />
−<br />
x(t; t0, x0) = x0e 8000 (t−t0)<br />
.<br />
Dacǎ x1 este valoarea normalǎ a cantitǎt¸ii <strong>de</strong> carbon radioactiv C 14 în starea<br />
vie a animalului sau plantei atunci, egalând<br />
1<br />
−<br />
x1 = x0e 8000 (t−t0)<br />
gǎsim o ecuat¸ie în t, care ne dǎ timpul t în care animalul sau planta erau vii,<br />
iar diferent¸a t − t0 aratǎ vârsta mostrei.<br />
Problema 4.1.2<br />
Un rezervor cilindric are o gaurǎ circularǎ la bazǎ <strong>prin</strong> care lichidul din<br />
rezervor se poate scurge. O întrebare asemǎnǎtoare cu cea din Problema<br />
4.1.1 este urmatoarea: dacǎ la un moment dat ve<strong>de</strong>m cǎ rezervorul este gol<br />
putem oare sǎ ¸stim dacǎ acesta a fost odatǎ plin ¸si când?<br />
Rǎspunsul este evi<strong>de</strong>nt nu. Cum se explicǎ?
102 CAPITOLUL 4<br />
Rezolvare:<br />
Fie x(t) înǎlt¸imea lichidului din rezervor la momentul t. Notǎm cu A aria<br />
bazei cilindrului ¸si cu a aria gǎurii. Dupǎ legea lui Toricelli avem:<br />
˙x = − a √<br />
2g · x<br />
A<br />
Dacǎ I este înǎlt¸imea rezervorului, atunci x = I corespun<strong>de</strong> la situat¸ia când<br />
rezervorul este plin ¸si x = 0 la situat¸ia când rezervorul este gol. Dacǎ la<br />
momentul t = 0 rezervorul este plin, atunci x(0) = I ¸si avem:<br />
2 √ u| x I = − a<br />
A<br />
2g · t<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong>:<br />
√ a 2 x(t) = I − 2g · t .<br />
2A<br />
Timpul <strong>de</strong> golire este t∗ = 2A<br />
<br />
a<br />
I<br />
¸si <strong>de</strong>ci:<br />
2g<br />
⎧ <br />
⎪⎨<br />
a <br />
2g · t∗ −<br />
x(t) =<br />
2A<br />
⎪⎩<br />
a<br />
2A · 2 2g · t<br />
0<br />
pentru<br />
pentru<br />
0 ≤ t ≤ t∗<br />
t ≥ t∗<br />
reprezintǎ legea <strong>de</strong> golire a rezervorului dacǎ acesta a fost plin la<br />
momentul t = 0.<br />
Existǎ o infinitate <strong>de</strong> solut¸ii x(t) ale ecuat¸iei<br />
˙x = − a √<br />
2g · x<br />
A<br />
care pentru t = t∗ sunt egale cu zero. Acestea sunt date <strong>de</strong> formula:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
2g · a<br />
xτ(t) =<br />
⎪⎩<br />
2<br />
4A2 (t∗ − t − τ) 2<br />
pentru − τ ≤ t ≤ t∗ − τ<br />
0 pentru t ≥ t∗ − τ<br />
Solut¸ia xτ(t) reprezintǎ legea <strong>de</strong> golire a rezervorului care la momentul −τ a<br />
fost plin. Pe lângǎ aceste solut¸ii problema Cauchy<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
˙x = −<br />
⎪⎩<br />
a√2g A · √ x<br />
x(t∗) = 0
Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 103<br />
mai are ca solut¸ie funct¸ia i<strong>de</strong>ntic nulǎ x(t) = 0. Aceastǎ solut¸ie<br />
corespun<strong>de</strong> situat¸iei în care rezervorul nu a fost umplut niciodatǎ. Rezultǎ<br />
astfel cǎ solut¸iile problemei Cauchy <strong>de</strong>scriu toate situat¸iile posibile ¸si multitudinea<br />
acestora se manifestǎ <strong>prin</strong> neunicitatea solut¸iei problemei Cauchy.<br />
Concluzii<br />
1. Dacǎ variabila <strong>de</strong> stare x(t) a unui proces fizic sau chimic este solut¸ia<br />
unei probleme cu date init¸iale ˙x = f(t, x), x(t0) = x0, atunci aceastǎ<br />
variabilǎ <strong>de</strong> stare trebuie cǎutatǎ <strong>prin</strong>tre solut¸iile acestei probleme<br />
Cauchy.<br />
2. Dacǎ problema cu date init¸iale în cauzǎ are o singurǎ solut¸ie, atunci<br />
gǎsind-o este clar cǎ aceasta este cea care <strong>de</strong>scrie evolut¸ia în timp a<br />
variabilei <strong>de</strong> stare.<br />
3. Dacǎ problema cu date init¸iale în cauzǎ are mai multe solut¸ii, atunci<br />
gǎsind una din aceste solut¸ii nu avem nici un drept sǎ sust¸inem cǎ<br />
aceasta este aceea care <strong>de</strong>scrie evolut¸ia în timp a variabilei <strong>de</strong> stare.<br />
Mai precis, avem nevoie <strong>de</strong> informat¸ii suplimentare care sǎ permitǎ<br />
i<strong>de</strong>ntificarea acelei solut¸ii care <strong>de</strong>scrie evolut¸ia variabilei <strong>de</strong> stare.<br />
4.<br />
În caz <strong>de</strong> neunicitate gǎsirea unei solut¸ii a problemei cu date init¸iale<br />
nu înseamna rezolvarea problemei <strong>de</strong> fizicǎ.
104 CAPITOLUL 4<br />
4.2 Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate pentru<br />
sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi neliniare<br />
Definit¸ia 4.2.1 Un sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale neliniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
explicit este un sistem <strong>de</strong> n relat¸ii <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
˙x1 = f1(t, x1, x2, ..., xn)<br />
˙x2 = f2(t, x1, x2, ..., xn)<br />
...................................<br />
˙xn = fn(t, x1, x2, ..., xn)<br />
(4.2)<br />
dintre un sistem <strong>de</strong> n funct¸ii necunoscute x1, x2, ..., xn ¸si <strong>de</strong>rivatele acestora<br />
˙x1, ˙x2, ..., ˙xn.<br />
În sistemul (4.2) funct¸iile f1, f2, ..., fn sunt funct¸ii reale consi<strong>de</strong>rate cunoscute<br />
<strong>de</strong>finite pe I × D; I ⊂ IR 1 , I interval <strong>de</strong>schis ¸si D ⊂ IR n , D domeniu.<br />
Definit¸ia 4.2.2 Un sistem ordonat <strong>de</strong> n funct¸ii reale x1, x2, ..., xn<strong>de</strong>finite<br />
pe un interval J ⊂ I, <strong>de</strong> clasǎ C 1 este o solut¸ie a sistemului (4.2) dacǎ<br />
(t, x1(t), ..., xn(t)) ∈ I × Ω, (∀)t ∈ J ¸si:<br />
pentru orice t ∈ J.<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
dx1<br />
dt = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))<br />
dx2<br />
dt = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))<br />
..................................................<br />
dxn<br />
dt = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))<br />
Definit¸ia 4.2.3 Fiind date: t0 ∈ I ¸si (x0 1 , ..., x0n ) ∈ D problema <strong>de</strong>terminǎrii<br />
solut¸iei x1(t), ..., xn(t) a sistemului (4.2) care verificǎ xi(t0) = x0 i pentru<br />
i = 1, n, se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ Cauchy.<br />
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (4.2) notǎm F : I ×D → IR n<br />
funct¸ia matricealǎ <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong><br />
F(t, x1, x2, ..., xn) = (f1(t, x1, ..., xn), f2(t, x1, ..., xn), ..., fn(t, x1, ..., xn)) T
Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate pentru sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi105<br />
¸si cu X matricea coloanǎ (x1, x2, ..., xn) T . Cu aceste notat¸ii sistemul (4.2) se<br />
scrie sub forma matricealǎ:<br />
˙X = F(t, X). (4.3)<br />
În aceastǎ problemǎ <strong>de</strong>rivarea funct¸iei matriceale X(t) înseamnǎ <strong>de</strong>rivarea<br />
elementelor matricei.<br />
Observat¸ia 4.2.1 Problema cu date init¸iale (problema Cauchy) se scrie matriceal<br />
sub forma:<br />
⎧<br />
⎨ ˙X = F(t, X)<br />
⎩<br />
X(t0) = X0 (4.4)<br />
¸si constǎ în <strong>de</strong>terminarea funct¸iei matriceale X(t) care verificǎ (4.3) ¸si condit¸ia<br />
init¸ialǎ X(t0) = X 0 .<br />
Observat¸ia 4.2.2 O funct¸ie X : J ⊂ I → IR n <strong>de</strong> clasǎ C 1 este solut¸ie a<br />
problemei (4.4) dacǎ ˙ X = F(t, X(t)), (∀)t ∈ J ¸si X(t0) = X 0 (se presupune<br />
cǎ t0 ∈ J).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul ∆:<br />
sǎ fie inclus în domeniul I × D.<br />
∆ = (t, x) : |t − t0| ≤ a ¸si x − x 0 ≤ b <br />
Teorema 4.2.1 (Cauchy-Lipschitz <strong>de</strong> existent¸ǎ a unei solut¸ii locale) Dacǎ<br />
funct¸ia F este continuǎ pe ∆ ¸si este lipschitzianǎ în raport cu X pe ∆, atunci<br />
problema cu date init¸iale (4.4) are o solut¸ie localǎ <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul<br />
Ih = [t0 − h, t0 + h] un<strong>de</strong> h = min<br />
K este constanta lui Lipschitz:<br />
<br />
a, b<br />
M ,<br />
1<br />
K + 1<br />
<br />
; M = max F(t, X) ¸si<br />
(t,x)∈∆<br />
F(t, X ′ ) − F(t, X ′′ ) ≤ K X ′ − X ′′ , (∀) (t, X ′ ), (t, X ′′ ) ∈ ∆.
106 CAPITOLUL 4<br />
Demonstrat¸ie: Construim urmǎtorul ¸sir <strong>de</strong> funct¸ii:<br />
X 0 (t) = X 0<br />
X 1 (t) = X 0 t<br />
+<br />
t0<br />
X 2 (t) = X 0 t<br />
+<br />
t0<br />
................<br />
X k+1 (t) = X 0 t<br />
+<br />
t0<br />
................<br />
F(τ, X 0 (τ))dτ<br />
F(τ, X 1 (τ))dτ<br />
F(τ, X k (τ))dτ<br />
Funct¸iile din acest ¸sir sunt corect <strong>de</strong>finite, întrucât pentru orice t ∈ Ih<br />
¸si k ∈ IN are loc apartenent¸a (t, X k (t)) ∈ ∆ (<strong>de</strong>monstrat¸ia se face <strong>prin</strong><br />
induct¸ie). Urmând rat¸ionamentul din paragraful prece<strong>de</strong>nt evaluǎm diferent¸a<br />
max<br />
t∈Ih<br />
X k+1 (t) − X k (t) ¸si gǎsim:<br />
max X<br />
t∈Ih<br />
k+1 (t) − X k (t) ≤ K<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducem inegalitatea<br />
K + 1 max<br />
t∈Ih<br />
X k (t) − X k−1 (t),<br />
max X<br />
t∈Ih<br />
k+1 (t) − X k k K<br />
(t) ≤<br />
· b.<br />
K + 1<br />
Scriem acum funct¸ia X k (t) sub forma:<br />
X k k−1<br />
<br />
i+1 i<br />
(t) = X0(t) + X (t) − X (t)<br />
i=0<br />
¸si remarcǎm cǎ, ¸sirul Xk (t) <br />
este ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei <strong>de</strong><br />
k∈IN<br />
funct¸ii<br />
X 0 ∞ <br />
i+1 i<br />
(t) + X (t) − X (t) .<br />
Deoarece<br />
i=0<br />
X k+1 (t) − X k (t) ≤<br />
k K<br />
· b<br />
K + 1
Teoreme <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate pentru sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi107<br />
pentru orice t ∈ Ih, din convergent¸a seriei numerice b·<br />
teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria <strong>de</strong> funct¸ii<br />
X 0 ∞ <br />
k+1 k<br />
(t) + X (t) − X (t)<br />
k=0<br />
∞<br />
k=0<br />
k K<br />
, folosind<br />
K + 1<br />
este absolut ¸si uniform convergentǎ pe intervalul Ih, la o funct¸ie X(t). Astfel,<br />
¸sirul sumelor part¸iale adicǎ ¸sirul Xk (t), converge uniform la funct¸ia X(t).<br />
Inegalitatea:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
t0<br />
[F(τ, X k <br />
<br />
(τ)) − F(τ, X(τ))]dτ <br />
<br />
<br />
≤ K · h · max k<br />
X (τ) − X(τ) <br />
τ∈Ih<br />
valabilǎ pentru orice t ∈ Ih ¸si k ∈ IN permite sǎ obt¸inem egalitatea:<br />
lim<br />
k→∞<br />
t<br />
t0<br />
F(τ, X k (τ))dτ =<br />
Trecem acum la limitǎ în egalitatea:<br />
¸si obt¸inem:<br />
X k+1 (t) = X 0 t<br />
+<br />
X(t) = X 0 +<br />
t<br />
t0<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
F(τ, X(τ))dτ.<br />
F(τ, X k (τ))dτ<br />
F(τ, X(τ))dτ.<br />
Aceasta aratǎ cǎ funct¸ia X(t) este <strong>de</strong> clasǎ C1 ¸si verificǎ<br />
⎧<br />
⎨ ˙X(t) = F(t, X(t))<br />
⎩<br />
X(t0) = X 0<br />
În concluzie, problema cu date init¸iale (4.4) are o solut¸ie <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul<br />
Ih. Este posibil ca problema(4.4) sǎ aibe solut¸ie <strong>de</strong>finitǎ pe un interval J<br />
mai mare ca intervalul Ih. Acesta este motivul pentru care solut¸ia gǎsitǎ se<br />
nume¸ste solut¸ie localǎ.<br />
Teorema 4.2.2 (Cauchy-Lipschitz <strong>de</strong> unicitate a solut¸iei locale)<br />
Dacǎ sunt in<strong>de</strong>plinite condit¸iile din teorema Cauchy-Lipschitz <strong>de</strong> existent¸ǎ a<br />
unei solut¸ii locale pentru problema cu date init¸iale (t0, X 0 ), atunci problema<br />
(4.4) nu poate avea douǎ solut¸ii diferite pe un interval J ⊂ Ih, t0 ∈ J.
108 CAPITOLUL 4<br />
Demonstrat¸ie: Presupunem <strong>prin</strong> absurd cǎ funct¸iile<br />
X ′ , X ′′ : J ⊂ Ih → IR n (t0 ∈ J)<br />
sunt douǎ solut¸ii locale ale problemei cu date init¸iale (4.4). Aceste solut¸ii<br />
verificǎ:<br />
X ′ (t) = X 0 t<br />
+ F(τ, X ′ (τ))dτ, X ′′ (t) = X 0 t<br />
+<br />
t0<br />
De aici rezultǎ cǎ X ′ (t), X ′′ (t) satisfac inegalitatea:<br />
X ′ (t) − X ′′ (t) < ε + K<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> se obt¸ine:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
X ′ (τ) − X ′′ (τ)dτ<br />
X ′ (t) − X ′′ (t) < εe K|t−t0|<br />
t0<br />
t0<br />
F(τ, X ′′ (τ))dτ.<br />
<br />
<br />
<br />
(∀) t ∈ J, (∀) ε > 0,<br />
(∀)t ∈ J, (∀)ε > 0.<br />
Trecând la limitǎ pentru ε → 0 se obt¸ine egalitatea X ′ (t) = X ′′ (t),<br />
(∀)t ∈ J, t − fixat.
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 109<br />
4.3 Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm I ⊂ IR 1 un interval <strong>de</strong>schis, D ⊂ IR n un domeniu,<br />
F : I × D → IR n o funct¸ie vectorialǎ ¸si sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> întâi scris sub forma matricealǎ:<br />
˙X = F(t, X). (4.5)<br />
Fie X 1 : J1 ⊂ I → D ¸si X 2 : J2 ⊂ I → D douǎ solut¸ii locale ale sistemului<br />
(4.5).<br />
Definit¸ia 4.3.1 Zicem cǎ solut¸ia localǎ X 2 este o prelungire a solut¸iei locale<br />
X 1 ¸si notǎm X 1 ≤ X 2 , dacǎ J1 ⊂ J2 ¸si X 1 (t) = X 2 (t) pentru orice t ∈ J1.<br />
Relat¸ia binarǎ X 1 ≤ X 2 introdusǎ în mult¸imea solut¸iilor locale ale sistemului<br />
(4.5) este o relat¸ie <strong>de</strong> ordine part¸ialǎ.<br />
Definit¸ia 4.3.2 Orice solut¸ie localǎ a sistemului (4.5) care este element<br />
maximal (i.e. nu mai poate fi prelungitǎ) se nume¸ste solut¸ie saturatǎ.<br />
O solut¸ie saturatǎ este o solut¸ie care nu este prelungibilǎ.<br />
Teorema 4.3.1 Dacǎ funct¸ia F : I ×D → IR n este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe domeniul<br />
Ω = I × D ¸si (t0, X 0 ) ∈ I × D, atunci problema cu date init¸iale:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X)<br />
X(t0) = X 0<br />
are solut¸ie saturatǎ X(t; t0, X 0 ) unicǎ.<br />
(4.6)<br />
Demonstrat¸ie: Vom face <strong>de</strong>monstrat¸ia pentru cazul n = 1, cazul n ≥ 2<br />
fǎcându-se analog.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm familia <strong>de</strong> funct¸ii {xα}α∈Λ, xα : Iα → IR 1 , t0 ∈ Iα, formatǎ<br />
cu toate solut¸iile locale ale problemei:<br />
⎧<br />
⎨ ˙x = f(t, x)<br />
(4.7)<br />
⎩<br />
x(t0) = x0<br />
Teorema Cauchy-Lipschitz <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate a solut¸iei locale pentru<br />
problema cu date init¸iale în cazul unei ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi,<br />
asigurǎ faptul cǎ aceastǎ familie <strong>de</strong> funct¸ii are cel put¸in un element.
110 CAPITOLUL 4<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm intervalul <strong>de</strong>schis I = <br />
<strong>de</strong>finitǎ pe I în modul urmǎtor:<br />
α∈Λ<br />
Iα, precum ¸si funct¸ia x = x(t)<br />
”pentru t ∈ I consi<strong>de</strong>rǎm α ∈ Λ, astfel ca t ∈ Iα ¸si <strong>de</strong>finim x(t) = xα(t)”.<br />
Aceastǎ <strong>de</strong>finit¸ie este corectǎ dacǎ, pentru orice t ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, avem<br />
xα ′(t) = xα ′′(t). Analizǎm aceastǎ implicat¸ie pentru t > t0 (cazul t < t0<br />
se trateazǎ la fel).<br />
Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si presupunem cǎ existǎ<br />
t1 > t0, t1 ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, astfel ca xα ′(t1) = xα ′′(t1). Consi<strong>de</strong>rǎm în continuare<br />
¸si remarcǎm cǎ<br />
t∗ = inf{t1 : t1 > t0, t1 ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, xα ′(t1) = xα ′′(t1)}<br />
xα ′(t∗) = xα ′′(t∗) = x∗.<br />
Punctul (t∗, x∗) este în domeniul Ω, (t∗, x∗) ∈ Ω, ¸si putem consi<strong>de</strong>ra<br />
constantele pozitive a∗, b∗, K∗ astfel ca:<br />
- dreptunghiul ∆∗ = {(t, x): |t − t∗| ≤ a∗, |x − x∗| ≤ b∗} sǎ fie inclus în<br />
Ω (∆∗ ⊂ Ω);<br />
- intervalul [t∗, t∗ + a∗] sǎ fie inclus în intersect¸ia Iα ′ ∩ Iα ′′;<br />
- pentru orice t ∈ [t∗, t∗ + a∗] sǎ avem:<br />
|xα ′(t) − x∗| ≤ b∗ ¸si |xα ′′(t) − x∗| ≤ b∗;<br />
- pentru orice (t, x), (t, y) ∈ ∆∗ sǎ avem:<br />
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K∗|x − y|.<br />
Fie acum t1 ∈ [t∗, t∗ + a∗], astfel ca xα ′(t1) = xα ′′(t1). Din <strong>de</strong>finit¸ia lui t∗<br />
rezultǎ cǎ, existǎ asemenea puncte t1, oricât <strong>de</strong> aproape <strong>de</strong> t∗<br />
Pentru t1 fixat, fie ε > 0 astfel ca ε < |xα ′(t1) − xα ′′(t1)|e −K∗·a∗ .<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte, pentru orice t ∈ [t∗, t∗ + a∗] avem:<br />
xα ′(t) = x∗ +<br />
t<br />
t∗<br />
f(s, xα ′(s))ds,
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 111<br />
din care rezultǎ inegalitǎt¸ile:<br />
≤ K∗<br />
xα ′′(t) = x∗ +<br />
|xα ′(t) − xα ′′(t)| ≤<br />
t<br />
t∗<br />
Astfel, obt¸inem cǎ:<br />
t<br />
t∗<br />
t<br />
|xα ′(s) − xα ′′(s)|ds < ε + K∗<br />
t∗<br />
f(s, xα ′′(s))ds,<br />
|f(s, xα ′(s)) − f(s, xα ′′(s))|ds ≤<br />
t<br />
t∗<br />
|xα ′(s) − xα ′′(s))| ds.<br />
|xα ′(t) − xα ′′(t)| < εeK∗a∗ , (∀) t ∈ [t∗, t∗ + a∗].<br />
iar din modul <strong>de</strong> alegere a lui ε rezultǎ inegalitatea:<br />
|xα ′(t) − xα ′′(t)| < |xα ′(t1) − xα ′′(t1)|, (∀) t ∈ [t∗, t∗ + a∗]<br />
care este o contradict¸ie.<br />
Astfel, rezultǎ în final cǎ funct¸ia x = x(t) este corect <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul<br />
I.<br />
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia x = x(t) este solut¸ie a problemei cu date<br />
init¸iale (4.7).<br />
Deoarece pentru orice α ∈ Λ avem xα(t0) = x0, rezultǎ:<br />
x(t0) = x0.<br />
Fie acum t1 ∈ I ¸si α1 ∈ Λ, astfel ca t1 ∈ Iα1. Pentru orice t ∈ Iα1, avem<br />
x(t) = xα1(t) ¸si <strong>prin</strong> urmare<br />
˙x(t) = ˙xα1(t) = f(t, xα1(t)) = f(t, x(t)), (∀)t ∈ Iα1.<br />
În particular, pentru t = t1 avem<br />
˙x(t1) = f(t, x(t1)).<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia x = x(t) este solut¸ie a problemei cu date<br />
init¸iale (4.7).
112 CAPITOLUL 4<br />
Urmeazǎ sǎ mai arǎtǎm cǎ funct¸ia x = x(t) <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul I este<br />
o solut¸ie saturatǎ. Fie în acest scop y : J → IR 1 (J interval <strong>de</strong>schis, t0 ∈ J)<br />
o solut¸ie localǎ a problemei cu date init¸iale (4.7).<br />
Evi<strong>de</strong>nt, funct¸ia y apart¸ine familiei {xα}α∈Λ ¸si <strong>prin</strong> urmare:<br />
J ⊂ I = <br />
Iα ¸si x(t) = y(t).<br />
α∈Λ<br />
Astfel am <strong>de</strong>monstrat existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei saturate a problemei<br />
cu date init¸iale (4.7). Aceastǎ solut¸ie saturatǎ va fi notatǎ cu x = x(t; t0, x0)<br />
iar intervalul <strong>de</strong>schis pe care este <strong>de</strong>finitǎ aceastǎ solut¸ie saturatǎ va fi notat<br />
cu I0.<br />
În condit¸iile din teorema prece<strong>de</strong>ntǎ consi<strong>de</strong>rǎm solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 )<br />
a problemei Cauchy (4.6) <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul <strong>de</strong>schis I0 = (α0, β0) ⊂ I.<br />
Teorema 4.3.2 Pentru orice t1 ∈I0 solut¸ia saturatǎ X(t;t1,X(t1;t0,X 0 )) a<br />
problemei cu date init¸iale<br />
˙X = F(t, X), X(t1) = X(t1; t0, X 0 ) = X 1<br />
coinci<strong>de</strong> cu solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 ).<br />
(4.8)<br />
Demonstrat¸ie: Vom face <strong>de</strong>monstrat¸ia pentru cazul n = 1, analog fǎcânduse<br />
în cazul n ≥ 2.<br />
Notǎm cu I1 = (α1, β1) intervalul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie a solut¸iei saturate a problemei<br />
cu date init¸iale:<br />
˙x = f(t, x), x(t1) = x(t1; t0, x0) = x1. (4.9)<br />
Deoarece x(t1; t0, x0) = x1, funct¸ia x = x(t; t0, x0) este solut¸ie localǎ a<br />
problemei cu date init¸iale (4.9).<br />
Rezultǎ cǎ I0 ⊂ I1 ¸si x(t; t0, x0) = x(t; t1, x1), (∀) t ∈ I0.<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte, din faptul cǎ x(t; t0, x0) este solut¸ie saturatǎ, rezultǎ cǎ<br />
I0 ⊃ I1 ¸si x(t; t0, x0) = x(t; t1, x1).<br />
Teorema 4.3.3 Dacǎ sunt în<strong>de</strong>plinite urmǎtoarele condit¸ii:<br />
(i) β0 < +∞ (respectiv α0 > −∞);<br />
(ii) ¸sirul <strong>de</strong> numere {tn}n din I0 converge la β0 (respectiv α0);
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 113<br />
(iii) ¸sirul <strong>de</strong> vectori {X(tn; t0, X 0 )}n este convergent la un vector Λ,<br />
atunci punctul (β0, Λ) (respectiv (α0, Λ)) apart¸ine frontierei domeniului Ω =<br />
I × D; (β0, Λ) ∈ ∂Ω (respectiv (α0, Λ) ∈ ∂Ω )<br />
Demonstrat¸ie: Facem <strong>de</strong>monstrat¸ia pentru n = 1 urmând ca pentru n ≥ 2<br />
sǎ se facǎ în mod analog.<br />
Pentru orice t ∈ I0 punctul (t, x(t; t0, x0)) apart¸ine domeniului Ω ¸si, <strong>prin</strong><br />
urmare, punctul (β0, λ) apart¸ine a<strong>de</strong>rent¸ei domeniului Ω, (β0, λ) ∈ Ω. Putem<br />
arǎta cǎ (β0, λ) apart¸ine frontierei ∂Ω, arǎtând cǎ (β0, λ) nu apart¸ine domeniului<br />
Ω.<br />
Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si presupunem cǎ (β0, λ) ∈ Ω.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm a > 0, b > 0, K > 0, M > 0 astfel ca dreptunghiul<br />
∆ = {(t, x) : |t − β0| ≤ a, |x − λ| ≤ b}<br />
sǎ fie inclus în domeniul Ω (∆ ⊂ Ω), funct¸ia f sǎ verifice |f(t, x)| ≤ M pentru<br />
orice (t, x) ∈ ∆, ¸si |f(t, x) −f(t, y)| ≤ K|x −y| pentru orice (t, x), (t, y) ∈ ∆.<br />
b − 2ε<br />
Fie acum ε > 0 astfel ca ε < min a − 2ε,<br />
M ,<br />
<br />
1<br />
¸si t1 < β0<br />
K + 1<br />
astfel ca |t1 − β0| < ε ¸si |x(t1; t0, x0) − λ| < ε.<br />
Solut¸ia saturatǎ x = x(t; t1, x(t1; t0, x0)) a problemei cu date init¸iale<br />
este <strong>de</strong>finitǎ cel put¸in pe intervalul<br />
¸si verificǎ<br />
˙x = f(t, x), x(t1) = x(t1; t0, x0)<br />
Iδ = [t1 − δ, t1 + δ] cu δ = min<br />
<br />
b − 2ε<br />
a − 2ε,<br />
M ,<br />
<br />
1<br />
K + 1<br />
x(t; t1, x(t1; t0, x0)) = x(t; t0, x0), (∀) t ∈ Iδ ∩ I0.<br />
Întrucât t1 + δ > t1 + ε > β0, rezultǎ cǎ solut¸ia saturatǎ x(t; t0, x0) este<br />
prelungibilǎ, ceea ce este absurd.<br />
Teorema 4.3.4 Dacǎ I = IR 1 , D = IR n ¸si β0 < +∞ (respectiv α0 > −∞),<br />
atunci solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 ) este nemǎrginitǎ pe [t0, β0) (respectiv<br />
(α0, t0]).
114 CAPITOLUL 4<br />
Demonstrat¸ie: Pentru cazul n = 1, rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si<br />
presupunem cǎ solut¸ia saturatǎ x = x(t; t0, x0) este mǎrginitǎ pe [t0, β0).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm m > 0, astfel ca |x(t; t0, x0)| ≤ m, (∀) t ∈ [t0, β0) ¸si tn ∈ [t0, β0)<br />
astfel încât lim tn = β0. S¸irul {x(tn; t0, x0)}n este mǎrgint ¸si are un sub¸sir<br />
n→∞<br />
convergent la un numǎr λ. Deoarece Ω = IR n punctul (β0, λ) apart¸ine lui Ω,<br />
ceea ce este în contradict¸ie cu teorema prece<strong>de</strong>ntǎ.<br />
Pentru cazul n ≥ 2 se rat¸ioneazǎ în mod analog.<br />
Teorema 4.3.5 Dacǎ I = IR 1 , D = IR n ¸si F este lipschitzianǎ pe orice<br />
bandǎ <strong>de</strong> forma ∆ = J ×IR n , un<strong>de</strong> J ⊂ IR 1 este un interval compact oarecare,<br />
atunci orice solut¸ie saturatǎ este <strong>de</strong>finitǎ pe IR 1 .<br />
Demonstrat¸ie: Pentru cazul n = 1, rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si<br />
presupunem cǎ intervalul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie I0 = (α0, β0) al solut¸iei saturate x =<br />
x(t; t0, x0) este mǎrginit la dreapta: β0 < +∞.<br />
Pentru t ∈ [t0, β0) scriem inegalitatea:<br />
|x(t; t0, x0) − x0| ≤<br />
t<br />
t0<br />
≤Kβ0<br />
<br />
|f(s, x(s : t0, x0))−f(s, x0)|ds +<br />
t<br />
t0<br />
t0<br />
t<br />
|f(s, x0)|ds ≤<br />
|x(s; t0, x0)−x0|ds + (β0 − t0) sup |f(s, x0)|.<br />
s∈[t0,β0]<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ pentru orice t ∈ [t0, β0] avem:<br />
|x(t; t0, x0) − x0| ≤ (β0 − t0) · sup<br />
s∈[t0,β0]<br />
|f(s, x0)| · e Kβ (β0−t0)<br />
0 .<br />
Aceastǎ inegalitate aratǎ cǎ funct¸ia x(t; t0, x0) este mǎrginitǎ pe intervalul<br />
[t0, β0), ceea ce este în contradict¸ie cu concluzia din teorema anterioarǎ.<br />
Analog se face rat¸ionamentul pentru cazul n ≥ 2.<br />
Consecint¸a 4.3.1 Dacǎ I = (a, b), D = IR n ¸si β0 < b (respectiv<br />
α0 > a), atunci solut¸ia saturatǎ este nemǎrginitǎ pe intervalul [t0, β) (respectiv<br />
(α0, t0]).<br />
Consecint¸a 4.3.2 Dacǎ I = (a, b), D = IR n ¸si F este lipschitzianǎ în raport<br />
cu X pe orice bandǎ <strong>de</strong> forma J × I, un<strong>de</strong> J ⊂ IR 1 este un interval compact<br />
inclus în I, atunci orice solut¸ie saturatǎ este <strong>de</strong>finitǎ pe I.
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 115<br />
Teorema 4.3.6 Dacǎ funct¸ia <strong>de</strong> clasǎ C 1 , F : IR 1 × IR n → IR n nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> t, atunci pentru orice X 0 ∈ IR n ¸si t1, t2 ∈ IR 1 , avem:<br />
X(t1 + t2; 0, X 0 ) = X(t2; 0, X(t1; 0, X 0 )) = X(t1; 0, X(t2; 0, X 0 ))<br />
Demonstrat¸ie: Demonstrǎm teorema pentru n = 1.<br />
Se observǎ cǎ pentru t2 = 0 au loc:<br />
x(t1 + t2; 0, x0) = x(t2; 0, x(t1; 0, x0)) = x(t1; 0, x(t2; 0, x0)).<br />
În continuare se remarcǎ faptul cǎ avem egalitatea:<br />
d<br />
dt x(t + t1; 0, x0) = f(x(t + t1; 0, x0))<br />
¸si <strong>de</strong>ducem cǎ x(t+t1; 0, x0) este solut¸ia saturatǎ a problemei cu date init¸iale<br />
Rezultǎ în acest fel egalitatea:<br />
˙x = f(x), x(0) = x(t1; 0, x0).<br />
x(t + t1; 0, x0) = x(t; 0, x(t1 : 0, x0),<br />
pentru orice t. În particular, pentru t = t2, se obt¸ine prima egalitate din<br />
enunt¸.<br />
Pentru cazul n ≥ 2 teorema se <strong>de</strong>monstreazǎ analog.<br />
Fie I un interval real <strong>de</strong>schis (I ∈ IR 1 ), Ω un domeniu <strong>de</strong>schis în IR n<br />
(Ω ∈ IR n ) ¸si F : I ×Ω → IR n , F = F(t, X) o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 . Consi<strong>de</strong>rǎm<br />
în continuare condit¸ia init¸ialǎ (t0, X 0 ) ∈ I × Ω ¸si solut¸ia maximalǎ<br />
X = X(t; t0, X 0 ) a problemei Cauchy<br />
˙X = F(t, X), X(t0) = X 0 .<br />
Notǎm cu I0 intervalul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie al solut¸iei maximale X = X(t; t0, X 0 ).<br />
Teorema 4.3.7 (<strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ continuǎ <strong>de</strong> ”pozit¸ia” init¸ialǎ X 0 )<br />
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2], inclus în intervalul I0(I∗ ⊂ I0),<br />
care cont¸ine punctul t0 în interior (t0 ∈ ◦<br />
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ
116 CAPITOLUL 4<br />
δ = δ(ε, I∗), astfel ca, pentru orice X 1 cu X 1 − X 0 < δ, solut¸ia saturatǎ<br />
X 1 = X 1 (t; t0, X 1 ) a problemei Cauchy<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X)<br />
X(t0) = X 1<br />
este <strong>de</strong>finitǎ cel put¸in pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:<br />
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε, (∀) t ∈ I∗.<br />
Demonstrat¸ie: Pentru t ∈ I∗, fie at > 0 ¸si bt > 0, astfel ca cilindrul<br />
∆t = {(τ, X) : |τ − t| ≤ at ¸si X − X(t; t0, X0 ) ≤ bt} sǎ fie inclus în<br />
mult¸imea I × Ω ( ∆t ⊂ I × Ω).<br />
Mult¸imea Γ <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong> Γ = {(t, X(t; t0, X0 )) : t ∈ I∗} este compactǎ ¸si<br />
este inclusǎ în mult¸imea ◦<br />
∆t; Γ ⊂ ◦<br />
∆t . Existǎ, <strong>prin</strong> urmare, un numǎr<br />
t∈I∗<br />
t∈I∗<br />
finit <strong>de</strong> puncte t1, t2, . . ., tq în I∗, astfel ca Γ ⊂ q<br />
j=1<br />
◦<br />
∆tj .<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia d(Y, Z) = Y − Z <strong>de</strong>finitǎ pentru Y ∈ Γ ¸si Z <strong>de</strong> pe<br />
q<br />
q<br />
frontiera mult¸imii ; Z ∈ ∂( ∆tj ).<br />
∆tj<br />
j=1<br />
j=1<br />
Existǎ r > 0, astfel ca d(Y, Z) > r, pentru orice Y ∈ Γ ¸si Z ∈ ∂( q<br />
Tubul <strong>de</strong> securitate ∆, <strong>de</strong>finit <strong>prin</strong>:<br />
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗ ¸si X − X(t; t0, X 0 ) ≤ r}<br />
verificǎ urmǎtoarele incluziuni:<br />
∆ ⊂<br />
q<br />
j=1<br />
◦<br />
∆tj<br />
⊂ I × Ω<br />
¸si existǎ K > 0, astfel ca, pentru orice (t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem:<br />
F(t, X 1 ) − F(t, X 2 ) ≤ K · X 1 − X 2 <br />
∆tj<br />
j=1<br />
).<br />
(o funct¸ie local Lipschitzianǎ este global Lipschitzianǎ pe compacte).<br />
Notǎm cu h = max{T2 − t0, t0 − T1} ¸si consi<strong>de</strong>rǎm ε, 0 < ε < r. Fie<br />
δ = δ(ε, I∗) = ε · 2 −1 · e −Kh ¸si X 1 , astfel ca X 1 − X 0 < δ. Notǎm cu
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 117<br />
I1 intervalul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie a solut¸iei saturate X = X(t; t0, X 1 ) a problemei<br />
Cauchy: ⎧ ⎨<br />
Vom arǎta acum cǎ:<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X)<br />
X(t0) = X 1 .<br />
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε<br />
2<br />
pentru orice t ∈ I∗ ∩ I1.<br />
Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si admitem cǎ existǎ t1 ∈ I∗ ∩ I1 astfel<br />
ca X(t1; t0, X1 ) − X(t1; t0, X0 ) ≥ ε<br />
. De aici rezultǎ cǎ, cel put¸in pentru<br />
2<br />
unul din numerele α1, α2, <strong>de</strong>finite <strong>prin</strong><br />
<br />
α1=inf t∈I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε<br />
<br />
, (∀) τ ∈ [t, t0] ,<br />
2<br />
<br />
α2=sup t∈I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε<br />
2 , (∀) τ ∈ [t0,<br />
<br />
t] ,<br />
are loc egalitatea<br />
X(αi; t0, X 1 ) − X(αi; t0, X 0 ) = ε<br />
, i = 1, 2.<br />
2<br />
Sǎ presupunem <strong>de</strong> exemplu cǎ X(α2; t0, X 1 ) − X(α2; t0, X 0 ) = ε<br />
2 .<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte, pentru orice t ∈ [t0, α2] avem:<br />
+K ·<br />
t<br />
t0<br />
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) ≤ X 1 − X 0 +<br />
X(τ; t0, X 1 ) − X(τ; t0, X 0 )dτ ≤ X 1 − X 0 · e K·h < ε<br />
2 .<br />
ceea ce constituie o contradict¸ie ¸si <strong>prin</strong> urmare:<br />
pentru orice t ∈ I∗ ∩ I1.<br />
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε<br />
2
118 CAPITOLUL 4<br />
Vom arǎta în continuare cǎ α = inf I1 ≤ T1 ¸si cǎ β = sup I1 ≥ T2.<br />
Din nou rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si admitem <strong>de</strong> exemplu cǎ<br />
β < T2. Pentru orice t ∈ [t0, β) avem inegalitǎt¸ile:<br />
+K ·<br />
t<br />
t0<br />
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) ≤ X 1 − X 0 +<br />
X(τ; t0, X 1 ) − X(τ; t0, X 0 )dτ ≤ X 1 − X 0 · e K·h < ε<br />
2 .<br />
În plus, pentru orice t ′ , t ′′ cu t0 < t ′ < t ′′ < β avem inegalitatea:<br />
X(t ′ ; t0, X 1 ) − X(t ′′ ; t0, X 1 ) ≤ M · |t ′′ − t ′ |,<br />
un<strong>de</strong> M = sup F(t, X).<br />
(t,X)∈∆<br />
Acestea <strong>de</strong>monstreazǎ cǎ existǎ limita:<br />
λ = lim<br />
t→β X(t; t0, X 1 )<br />
¸si (β, λ) ∈ ∆. Contradict¸ie.<br />
Inegalitǎt¸ile stabilite sunt valabile <strong>de</strong>ci pe întreg intervalul I∗ ¸si astfel<br />
teorema este <strong>de</strong>monstratǎ.<br />
Teorema 4.3.8 (<strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ continuǎ <strong>de</strong> condit¸ia init¸ialǎ (t0, X 0 ))<br />
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2], inclus în intervalul I0 (I∗ ⊂ I0),<br />
care cont¸ine punctul t0 în interior (t0 ∈ ◦<br />
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ<br />
δ = δ(ε, I∗), astfel ca, pentru orice condit¸ie init¸ialǎ (t1, X 1 ) cu |t1 − t0| < δ<br />
¸si X 1 − X 0 < δ, solut¸ia saturatǎ<br />
X 1 = X 1 (t; t1, X 1 ) a problemei Cauchy<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X)<br />
X(t0) = X 1<br />
este <strong>de</strong>finitǎ cel put¸in pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:<br />
X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε, (∀) t ∈ I∗.
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 119<br />
Demonstrat¸ie: Fie r > 0 ¸si K > 0, astfel ca tubul ∆, <strong>de</strong>finit <strong>prin</strong><br />
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗, X − X(t; t0, X 0 ) ≤ r}<br />
sǎ fie inclus în mult¸imea I × Ω (∆ ⊂ I × Ω) ¸si pentru orice<br />
(t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm numerele:<br />
F(t, X 1 ) − F(t, X 2 ) ≤ K · X 1 − X 2 .<br />
h1 = min{T2 − t0, t0 − T1}; h2 = max{T2 − t0, t0 − T1};<br />
M = sup F(t, X);<br />
(t,X)∈∆<br />
un numǎr ε, 0 < ε < r ¸si numǎrul δ = δ(ε, I∗), <strong>de</strong>finit astfel:<br />
δ = 2 −1 · min{h1, ε · (M + 1) −1 · e −K(h1+h2) }<br />
Pentru (t1, X 1 ) cu |t1 − t0| < δ ¸si X 1 − X 0 < δ avem inegalitǎt¸ile:<br />
T1 < t1 < T2 ,<br />
X 1 − X(t1; t0, X 0 ) ≤ X 1 − X 0 + X 0 − X(t1; t0, X 0 ) <<br />
< δ · (M + 1) < ε<br />
< r;<br />
2<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare (t1, X 1 ) ∈ ∆ ⊂ I × Ω.<br />
Fie X 1 = X(t; t1, X 1 ) solut¸ia maximalǎ a problemei Cauchy:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X)<br />
X(t0) = X 1<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe intervalul I1.<br />
Vom arǎta cǎ X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε<br />
2<br />
pentru orice<br />
t ∈ I∗ ∩ I1.<br />
Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si admitem cǎ existǎ t2 ∈ I∗ ∩I1, astfel<br />
ca X(t2; t1, X 1 ) − X(t2, t0, X 0 ) ≥ ε<br />
2 .<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ cel put¸in pentru unul din numerele α1, α2 <strong>de</strong>finite <strong>prin</strong><br />
<br />
<br />
α1=inf<br />
, (∀) τ ∈ [t, t1]<br />
t ∈ I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε<br />
2
120 CAPITOLUL 4<br />
<br />
α2=sup t ∈ I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε<br />
2 , (∀) τ ∈ [t1,<br />
<br />
t]<br />
se realizeazǎ egalitatea:<br />
X(αi; t1, X 1 ) − X(αi; t0, X 0 ) = ε<br />
, i = 1, 2.<br />
2<br />
Sǎ presupunem, <strong>de</strong> exemplu, cǎ avem:<br />
X(α2; t1, X 1 ) − X(α2; t0, X 0 ) = ε<br />
2<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte, pentru orice t ∈ [t1, α2] avem inegalitǎt¸ile:<br />
≤ X 1 − X(t1; t0, X 0 ) + K<br />
X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) ≤<br />
t<br />
t1<br />
X(τ; t1, X 1 ) − X(τ; t0, X 0 )dτ ≤<br />
≤ X 1 − X(t1; t0, X 0 ) · e K(h1+h2) < (M + 1) · δ · e K(h1+h2) < ε<br />
2 .<br />
Contradict¸ie.<br />
Prin urmare, X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε<br />
2 , (∀) t ∈ I∗ ∩ I1.<br />
Vom arǎta în continuare cǎ α = inf I1 ≤ T1 ¸si β = sup I1 ≥ T2.<br />
Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si presupunem <strong>de</strong> exemplu cǎ β < T2.<br />
Pentru orice t ∈ [t1, β) avem inegalitatea:<br />
¸si pentru orice t ′ , t ′′ ∈ [t1, β) :<br />
X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε<br />
2<br />
X(t ′ ; t1, X 1 ) − X(t ′′ ; t1, X 1 ) ≤ M · |t ′ − t ′′ |<br />
Aceasta aratǎ cǎ existǎ limita λ = lim<br />
t→β X(t; t1, X 1 ) ¸si (β, λ) ∈ I × Ω.<br />
Contradict¸ie.<br />
Inegalitǎt¸ile stabilite sunt valabile pe I∗ ¸si astfel teorema este <strong>de</strong>monstratǎ.
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 121<br />
Fie I ⊂ IR 1 un interval <strong>de</strong>schis, D ⊂ IR n un domeniu, Ω ⊂ IR m un<br />
domeniu, F : I × D × Ω → IR n o funct¸ie vectorialǎ ¸si sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi cu parametru scris sub forma matricealǎ:<br />
˙X = F(t, X, µ) t ∈ I, X ∈ D, µ ∈ Ω. (4.10)<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm un punct (t0, X 0 , µ 0 ) ∈ I × D × Ω ¸si problema Cauchy:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X, µ 0 )<br />
X(t0) = X 0<br />
(4.11)<br />
Presupunem cǎ funct¸ia F este <strong>de</strong> clasǎ C 1 în raport cu (t, X) ¸si este continuǎ<br />
în raport cu parametrul µ ¸si consi<strong>de</strong>rǎm solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 , µ 0 )<br />
a problemei Cauchy (4.11) <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul I0.<br />
Teorema 4.3.9 (<strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ continuǎ <strong>de</strong> parametru)<br />
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2] ⊂ I0, care cont¸ine punctul t0 în<br />
interior (t0 ∈ ◦<br />
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ δ = δ(ε, I∗) > 0, astfel încât,<br />
dacǎ µ − µ 0 < δ, atunci solut¸ia saturatǎ X = X(t; t0, X 0 , µ) a problemei<br />
Cauchy ⎧ ⎨<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X, µ)<br />
X(t0) = X 0<br />
este <strong>de</strong>finitǎ pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:<br />
pentru orice t ∈ I∗.<br />
X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 ) < ε<br />
Demonstrat¸ie: Fie r1 > 0 ¸si r2 > 0 astfel ca mult¸imea ∆ ¸si S <strong>de</strong>finite<br />
<strong>prin</strong>:<br />
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗, ||X − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| ≤ r1}<br />
S = S(µ 0 , r2) = {µ : ||µ − µ 0 || ≤ r2}<br />
sǎ verifice ∆ ⊂ I × Ω, respectiv S ⊂ Ω1.<br />
Existǎ K > 0 astfel încât sǎ avem:<br />
||F(t, X 1 , µ)−F(t, X 2 , µ)|| ≤ K ·||X 1 −X 2 ||, (∀)(t, X 1 , µ), (t, X 2 , µ) ∈ ∆×S
122 CAPITOLUL 4<br />
Notǎm h = max{T2 − t0, t0 − T1} ¸si consi<strong>de</strong>rǎm un numǎr ε, cu proprietatea<br />
0 < ε < r. Fie δ = δ(ε, I∗) astfel ca pentru 0 < δ < r2 ¸si ||µ − µ 0 || < δ sǎ<br />
avem:<br />
||F(t, X, µ) − F(t, X, µ0)|| < ε · 2 −1 · e −Kh , (∀) (t, X) ∈ ∆.<br />
Pentru µ cu proprietatea ||µ − µ 0 || < δ consi<strong>de</strong>rǎm solut¸ia saturatǎ X =<br />
X(t; t0, X 0 , µ) a problemei Cauchy<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe intervalul Iµ.<br />
Vom arǎta cǎ:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙X = F(t, X, µ)<br />
X(t0) = X 0<br />
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 || < ε<br />
2<br />
pentru orice t ∈ I∗ ∩ Iµ.<br />
Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd ¸si admitem cǎ existǎ t1 ∈ I∗ ∩ Iµ astfel ca<br />
||X(t1; t0, X 0 , µ) − X(t1; t0, X 0 , µ 0 )|| ≥ ε<br />
2 .<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ, cel put¸in pentru unul dintre numerele α1, α2 <strong>de</strong>finite <strong>prin</strong>:<br />
<br />
α1=inf t ∈ I∗∩Iµ : ||X(τ; t0, X 0 , µ)−X(τ; t0, X 0 , µ 0 )||< ε<br />
<br />
, (∀)τ ∈ [t, t0]<br />
2<br />
<br />
α2=sup t ∈ I∗∩Iµ : ||X(τ; t0, X 0 , µ)−X(τ; t0, X 0 , µ 0 )||< ε<br />
<br />
, (∀)τ ∈ [t, t0]<br />
2<br />
are loc egalitatea:<br />
||X(αi; t0, X 0 , µ) − X(αi; t0, X 0 , µ 0 )|| = ε<br />
2<br />
Sǎ admitem <strong>de</strong> exemplu cǎ avem:<br />
, i = 1, 2.<br />
||X(α2; t0, X 0 , µ) − X(α2; t0, X 0 , µ 0 )|| = ε<br />
2 .<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte, pentru orice t ∈ [t0, α2] au loc inegalitǎt¸ile:
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 123<br />
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| ≤<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
t<br />
t0<br />
<br />
t0<br />
<br />
t0<br />
t<br />
t<br />
<br />
≤ K ·<br />
Contradict¸ie.<br />
Prin urmare:<br />
||F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ), µ)−F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )||dτ ≤<br />
||F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ), µ)−F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ)||dτ ≤<br />
||F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ)−F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )||dτ ≤<br />
t<br />
||X(τ; t0X 0 , µ)−X(τ; t0, X 0 , µ 0 )||dτ+ε·2 −1 ·e −K·h ≤<br />
t0<br />
≤ ε·2 −1 ·e −K·h ·e K(t−t0) ε<br />
<<br />
2 .<br />
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| < ε<br />
2 , (∀)t ∈ I∗ ∩ Iµ.<br />
Vom arǎta în continuare cǎ α = inf Iµ ≤ T1 ¸si β = sup Iµ ≥ T2. Rat¸ionǎm<br />
<strong>prin</strong> reducere la absurd presupunând <strong>de</strong> exemplu β < T2.<br />
Pentru orice t ∈ [t0, β) are loc inegalitatea:<br />
¸si pentru t ′ , t ′′ ∈ [t0, β] avem:<br />
cu<br />
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| < ε<br />
2<br />
||X(t ′ ; t0, X 0 , µ) − X(t ′′ ; t0, X 0 , µ)|| < M · |t ′ − t ′′ |<br />
M = sup ||F(t, X, µ)||<br />
∆×S
124 CAPITOLUL 4<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ existǎ limita λ = lim<br />
t→β X(t; t0, X 0 , µ) ¸si (β, λ) ∈ I × Ω.<br />
Contradict¸ie.<br />
Calculele fǎcute sunt valabile pe intervalul I∗ ¸si astfel teorema este <strong>de</strong>monstratǎ.<br />
Consecint¸a 4.3.3 Dacǎ funct¸ia F = F(t, X, µ) este liniarǎ în raport cu<br />
X ∈ IR n , atunci pentru orice interval I∗ (I∗ ⊂ I) care cont¸ine punctul t0<br />
în interior ( ◦<br />
I ∗∋ t0) ¸si pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε, I∗) > 0 astfel încât<br />
dacǎ ||µ − µ 0 || < δ, avem:<br />
pentru orice t ∈ I∗.<br />
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| < ε<br />
Demonstrat¸ie: Cu teorema lui Banach-Steinhaus se obt¸ine cǎ<br />
funct¸ia ||F(t, ·, µ)|| este mǎrginitǎ pe compacte ¸si<br />
lim F(t, X, µ) = F(t, X, µ<br />
µ→µ0<br />
0 ).<br />
Teorema 4.3.10 (<strong>de</strong> diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale) În<br />
condit¸iile Teoremei 4.3.7, funct¸ia (t, t1, X 1 ) → X(t; t1, X 1 ) este diferent¸iabilǎ<br />
în raport cu t1, X 1 ¸si au loc urmǎtoarele egalitǎt¸i:<br />
d <br />
∂X1X(t; t0, X<br />
dt<br />
0 ) = ∂XF(t, X(t; t0, X0 )) · ∂X1X(t; t0, X0 )<br />
∂ X 1X(t0; t0, X 0 ) = I<br />
d <br />
∂t1X(t; t0, X<br />
dt<br />
0 ) = ∂XF(t, X(t; t0, X0 )) · ∂t1X(t; t0, X0 )<br />
∂t1X(t0; t0, X 0 ) = −F(t0, X 0 )<br />
∂t1X(t; t0, X 0 ) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 )
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 125<br />
Demonstrat¸ie: Pentru t ∈ Iδ, X 1 ∈ S(X 0 , δ/2), h ∈ S(0, δ/2) ¸si<br />
Y ∈ IR n consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia:<br />
=<br />
H(t, t0, X 1 , h, Y ) =<br />
⎧<br />
1<br />
⎨<br />
⎩<br />
0<br />
∂XF(t, X(t; t0, X 1 )+s·[X(t; t0, X 1 +h)−X(t; t0, X 1 )])ds<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ·Y<br />
Funct¸ia H <strong>de</strong>finitǎ în acest mod este continuǎ în raport cu t ¸si este liniarǎ<br />
în raport cu Y. În plus funct¸ia H este continuǎ în raport cu (t, h).<br />
Fie e 1 , e 2 , . . .,e n baza canonicǎ din R n ¸si ξ ∈ R astfel ca |ξ| < δ/2.<br />
Problemele Cauchy:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙Y k<br />
ξ = H(t, t0, X 1 , ξ · e k , Y k<br />
ξ )<br />
Y k<br />
ξ (t0) = e k<br />
˙Y k<br />
ξ = H(t, t0, X 1 , 0, Y k )<br />
Y k (t0) = e k<br />
au solut¸ii <strong>de</strong>finite pe intervalul Iδ pentru k = 1, 2, . . ., n. În plus pentru orice<br />
interval compact I∗ ⊂ Iδ avem lim<br />
ξ→0 Y k<br />
ξ (t) = Y k (t) uniform în raport cu t ∈ I∗.<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte pentru ξ = 0 avem:<br />
pentru orice t ∈ Iδ.<br />
Prin urmare, existǎ limita<br />
Y k 1<br />
ξ (t) =<br />
ξ [X(t; t0, X 1 + ξ · e k ) − X(t; t0, X 1 )]<br />
1<br />
lim<br />
ξ→0 ξ [X(t; t0, X 1 + ξ · e k ) − X(t; t0, X 1 )]<br />
¸si este egalǎ cu Y k (t) pentru t ∈ Iδ.<br />
Aceasta <strong>de</strong>monstreazǎ cǎ funct¸ia X(t; t0, X 1 ) are <strong>de</strong>rivate part¸iale în raport
126 CAPITOLUL 4<br />
cu X 1 în punctele (t, t0, X 1 ) ¸si în plus avem:<br />
<br />
d ∂X<br />
dt ∂x1 (t, t0, X<br />
k<br />
1 <br />
)<br />
∂X<br />
= H<br />
∂x1 (t0, t0, X<br />
k<br />
1 ) = ek <br />
t, t0, X1 , 0, ∂X<br />
∂x1 (t, t0, X<br />
k<br />
1 <br />
)<br />
Funct¸ia H(t, t0, X 1 , 0, Y ) fiind continuǎ în raport cu (t, X 1 ) ¸si liniarǎ în raport<br />
cu Y rezultǎ cǎ solut¸ia problemei Cauchy prece<strong>de</strong>nte ∂X<br />
(t, t0, X 1 ) converge<br />
la solut¸ia problemei Cauchy:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
dY k<br />
dt = H(t, t0, X 0 , 0, Y k )<br />
Y k (t0) = e k<br />
∂x 1 k<br />
pentru X 1 → X 0 uniform, pe intervale compacte I1 ⊂ Iδ.<br />
Aceasta implicǎ cǎ <strong>de</strong>rivatele part¸iale ale funct¸iei X(t; t0, X 1 ) în raport cu<br />
X 1 sunt funct¸ii continue în raport cu X 1 în punctele (t, t0, X 0 ). Deci funct¸ia<br />
X(t; t1, X 1 ) este diferent¸iabilǎ în raport cu X 1 în punctele (t, t0, X 0 ) ¸si satisfac:<br />
d <br />
∂X1X(t; t0, X<br />
dt<br />
0 ) = ∂XF (t, X(t; t0, X0 )) · ∂X1X(t; t0, X0 )<br />
∂ X 1X(t0; t0, X 0 ) = I.<br />
Fie acum τ ∈ IR 1 astfel ca 0 < |τ| < δ ¸si apoi funct¸ia<br />
Xτ(t) = 1<br />
τ · X(t; t0 + τ, X 0 ) − X(t; t0, X 0 ) pentru t ∈ Iδ.
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 127<br />
Avem egalitǎt¸ile:<br />
τ · Xτ(t) = X(t; t0 + τ, X 0 ) − X(t; t0, X 0 ) =<br />
= X(t; t0, X(t0; t0 + τ, X 0 )) − X(t; t0, X 0 ) =<br />
= ∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · [X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ]+<br />
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =<br />
= ∂X 1X(t; t0, X 0 )·[X(t0; t0+τ, X 0 )−X(t0+τ; t0+τ, X 0 )]+<br />
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =<br />
= −τ∂ X 1X(t; t0, X 0 ) n<br />
cu 0 < θk < 1 pentru k = 1, n.<br />
Astfel,<br />
Xτ(t) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 )(<br />
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||)<br />
n<br />
k=1<br />
+ O(||X(t0; t0+τ, X 0 )−X 0 ||)<br />
||X(t0; t0+τ, X 0 )−X 0 ||<br />
Fk(t0+θkτ, X(t0+θkτ; t0+τ, X<br />
k=1<br />
0 )·ek +<br />
Fk(t0 + θk · τ, X(t0 + θkτ; t0 + τ, X 0 ))e k )+<br />
· ||X(t0; t0+τ, X0 )−X(t0+τ; t0+τ, X0 )||<br />
.<br />
τ<br />
Deoarece raportul 1<br />
τ · ||X(t0; t0 +τ, X 0 ) −X(t0 +τ, t0 +τ, X 0 )|| este mǎrginit<br />
pentru τ → 0 ¸si ||X(t0; t0 +τ, X 0 ) −X 0 || → 0 pentru τ → 0 uniform pe orice<br />
interval compact I∗ ⊂ Iδ(I∗ ∋ t0) rezultǎ cǎ<br />
lim<br />
τ→0 Xτ(t) = −∂X1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 )<br />
¸si <strong>de</strong>ci funct¸ia X(t; t1, X 1 ) este <strong>de</strong>iferent¸iabilǎ în raport cu t1 în (t; t0, X 0 ).<br />
În plus,<br />
∂t1X(t; t0, X 0 ) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 ).
128 CAPITOLUL 4<br />
Derivabilitatea în raport cu t a funct¸iei ∂t1X(t; t0, X 0 ) este o consecint¸ǎ a<br />
acestei egalitǎt¸i.<br />
În plus avem egalitǎt¸ile:<br />
d <br />
∂t1X(t; t0, X<br />
dt<br />
0 ) =<br />
= − d <br />
∂X1X(t; t0, X<br />
dt<br />
0 ) F(t0, X 0 ) =<br />
= −∂XF(t, X(t; t0, X 0 )) · (∂ X 1X(t; t0, X 0 )) · F(t0, X 0 ) =<br />
= ∂XF (t, X(t; t0, X 0 )) · ∂t1X(t; t0, X 0 )<br />
∂t1X(t0; t0, X 0 ) = −F(t0, X 0 ).<br />
În acest fel teorema <strong>de</strong> diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale este<br />
complet <strong>de</strong>monstratǎ.<br />
Teorema 4.3.11 (<strong>de</strong> diferent¸iabilitate în raport cu parametru).<br />
Dacǎ funct¸ia F = F(t, X, µ) satisface condit¸iile din Teorema 4.3.9 ¸si în plus<br />
este <strong>de</strong> clasǎ C 1 în raport cu µ, atunci funct¸ia<br />
(t; t0, X 0 , µ) → X(t; t0, X 0 , µ)<br />
este diferent¸iabilǎ în raport cu µ ¸si au loc urmǎtoarele egalitǎt¸i:<br />
d<br />
dt (∂µX(t;t0,X 0 ,µ 0 )) = ∂XF(t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )·∂µX(t; t0, X 0 , µ 0 )+<br />
+ ∂µF(t; X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )<br />
∂µX(t0; t0, X 0 , µ 0 ) = 0.<br />
Demonstrat¸ie: Fie e1 , e2 , ..., em baza canonicǎ în spat¸iul IR m .<br />
Pentru t ∈ Iδ, µ 1 ∈ S(µ 0 , δ<br />
2 ), h ∈ IR1 , |h| < δ,<br />
2 Y ∈ IRn<br />
¸si k = 1, m
Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 129<br />
<strong>de</strong>finim funct¸ia Hk = Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , h, Y ) cu formula:<br />
Hk(t, t0, X0 , µ 1 ⎧<br />
, h, Y ) =<br />
1<br />
⎨<br />
= ∂XF(t,X(t;t0,X<br />
⎩<br />
0<br />
0 , µ 1 )+s X(t;t0,X 0 , µ 1 +h·e k )−X(t;t0,X 0 , µ 1 ) ,<br />
µ 1 + h·ek ⎫ ⎡<br />
⎬ 1<br />
)ds Y + ⎣ ∂µF(t, X(t; t0, X<br />
⎭ 0 , µ 1 ), µ 1 + s · h · ek ⎤<br />
)ds⎦<br />
· ek .<br />
0<br />
Funct¸ia Hk este continuǎ în raport cu t ∈ Iδ, lipschitzianǎ în raport cu Y<br />
pe intervale compacte I∗ ⊂ I. În plus, funct¸ia Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , h, Y ) tin<strong>de</strong> la<br />
Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , 0, Y ) pentru h → 0 uniform pe compacte în raport cu (t, Y ).<br />
Problemele Cauchy:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
au solut¸ii <strong>de</strong>finite pe Iδ ¸si lim<br />
dY k<br />
ξ<br />
dt = Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , Y k<br />
h )<br />
Y k<br />
h (t0) = 0<br />
dY k<br />
dt = Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , Y k )<br />
Y k (t0) = 0<br />
Y<br />
h→0 k<br />
h (t) = Y k (t) uniform în raport cu t pe orice<br />
interval J ⊂ I.<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte se verificǎ u¸sor cǎ pentru h = 0 avem:<br />
Y k 1<br />
h (t) =<br />
h [X(t; t0, X 0 , µ 1 + h · e k ) − X(t; t0, X 0 , µ 1 )]<br />
¸si <strong>de</strong>ducem cǎ funct¸ia X(t; t0, X0 , µ) are <strong>de</strong>rivate part¸iale în raport cu µk în<br />
(t, t0, X0 , µ 1 ) ¸si<br />
d<br />
dt<br />
∂X<br />
(t, t0, X<br />
∂µk<br />
0 , µ 1 )<br />
∂X<br />
∂µk<br />
<br />
= Hk<br />
(t0, t0, X 0 , µ 1 ) = 0<br />
<br />
t, t0, X 0 , µ 1 , 0, ∂X<br />
∂µk<br />
(t, t0, X 0 , µ 1 <br />
)
130 CAPITOLUL 4<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte:<br />
lim<br />
µ 1→µ 0 Hk (t, t0, X 0 , µ 1 , 0, Y ) = H k (t, t0, X 0 , µ 0 , 0, Y )<br />
uniform în raport cu (t, Y ) pe mult¸imi compacte.<br />
Deci ∂X<br />
∂µk<br />
pe orice interval compact I∗ ⊂ I.<br />
(t, t0, X 0 , µ 1 ) tin<strong>de</strong> la ∂X<br />
∂µk<br />
t, t0, X 0 , µ 0 pentru µ → µ 0 uniform<br />
Aceasta <strong>de</strong>monstrazǎ cǎ <strong>de</strong>rivatele part¸iale în raport cu µk ale funct¸iei<br />
X(t; t0, X 0 , µ) sunt continue în raport cu µ în (t; t0, X 0 , µ 0 ).<br />
În plus, avem:<br />
<br />
d ∂X<br />
dt<br />
(t, t0, X<br />
∂µk<br />
0 , µ 0 )<br />
<br />
=<br />
= ∂XF t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 · ∂X<br />
∂X<br />
∂µk<br />
t0; t0, X 0 , µ 0 = 0<br />
∂µk<br />
t; t0, X 0 , µ 0 + ∂F<br />
∂µK<br />
t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0<br />
Prin urmare funct¸ia X = X(t; t0, X 0 , µ) este diferent¸iabilǎ în raport cu µ în<br />
punctul (t, t0, X 0 , µ 0 ) ¸si pentru orice t ∈ Iδ avem:<br />
d <br />
∂µX(t; t0, X<br />
dt<br />
0 , µ 0 ) =<br />
∂XF(t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 ) · ∂µX(t; t0, X 0 , µ 0 ) + ∂µF(t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )<br />
∂µX(t0; t0, X 0 , µ 0 ) = 0.
Meto<strong>de</strong> numerice 131<br />
4.4 Meto<strong>de</strong> numerice<br />
4.4.1 Metoda liniilor poligonale a lui Euler <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminare<br />
numericǎ localǎ a unei solut¸ii neprelungibile<br />
în cazul sistemelor diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi<br />
Fie I un interval real <strong>de</strong>schis ¸si nevid I ⊂ IR 1 , D un domeniu nevid în spat¸iul<br />
IR n , D ⊂ IR n ¸si F o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 , F : I × D → IR n .<br />
Pentru (t0, X 0 ) ∈ I × D consi<strong>de</strong>rǎm solut¸ia neprelungibilǎ X = X(t; t0, X 0 )<br />
a problemei cu date init¸iale<br />
˙X = F(t, X); X(t0) = X 0<br />
¸si notǎm cu I0 = (α0, β0) ⊂ I intervalul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie al acestei solut¸ii.<br />
(4.12)<br />
O primǎ metodǎ <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminare numericǎ localǎ a solut¸iei neprelungibile<br />
X = X(t; t0, X0 ) este cea a liniilor poligonale a lui Euler. În cele ce urmeazǎ<br />
vom prezenta aceastǎ metodǎ.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm douǎ constante pozitive a ¸si b, a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul<br />
∆ = {(t, X)| |t − t0| ≤ a ¸si X − X 0 ≤ b}<br />
sǎ fie inclus în domeniul Ω = I × D; ∆ ⊂ I × D.<br />
Notǎm cu M maximul funct¸iei F pe cilindrul compact ∆ :<br />
M = max F(t, X)<br />
(t,X)∈∆<br />
<br />
cu α numǎrul pozitiv α = min a, b<br />
<br />
¸si cu Iα intervalul<br />
M<br />
Iα = [t0 − α, t0 + α].<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm un numǎr real ¸si pozitiv ε > 0 ¸si alegem δ = δ(ε) astfel ca pentru<br />
orice (t ′ , X ′ ), (t ′′ , X ′′ ) ∈ ∆ care verificǎ inegalitǎt¸ile:<br />
|t ′ − t ′′ | < δ(ε) ¸si X ′ − X ′′ < δ(ε)<br />
sǎ avem F(T ′ , X ′ ) − F(t ′′ , X ′′ ) < ε.
132 CAPITOLUL 4<br />
Funct¸ia F = F(t, X) este uniform continuǎ pe cilindrul compact ∆ ¸si, <strong>de</strong><br />
aceea, pentru orice ε > 0, alegerea unui δ(ε) > 0 cu proprietatea ment¸ionatǎ<br />
este posibilǎ.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm acum un numǎr pozitiv h > 0 pe care-l vom numi pas ¸si pe<br />
care îl alegem astfel încât sǎ satisfacǎ inegalitatea 0 < h < δ<br />
. Fie q numǎrul<br />
M<br />
natural cu proprietatea:<br />
tq = t0 + q · h ≤ t0 + α ¸si tq+1 = t0 + (q + 1) · h > t0 + α.<br />
Pentru i = 1, q consi<strong>de</strong>rǎm numerele ti = t0 + ih ¸si t−i = t0 − ih. Aceste<br />
numere <strong>de</strong>finesc o diviziune a segmentului Iα.<br />
t0 − α ≤ t−q < t−q+1 < · · · < t−1 < t0 < t1 < · · · < tq−1 < tq ≤ t0 + α.<br />
Pe intervalul [t0, t1] <strong>de</strong>finim funct¸ia X 1 = X 1 (t) cu formula<br />
X 1 (t) = X 0 + (t − t0) · F(t0, X 0 )<br />
iar pe intervalul [t−1, t0] funct¸ia X −1 = X −1 (t) datǎ <strong>de</strong>:<br />
X −1 (t) = X 0 + (t − t0) · F(t0, X 0 ).<br />
Aceste funct¸ii verificǎ urmǎtoarele inegalitǎt¸i:<br />
X 1 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X 1 (t) − F(t, X 1 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t0, t1]<br />
X −1 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X −1 (t) − F(t, X −1 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t 1, t0].<br />
În continuare, pe intervalul [t1, t2] <strong>de</strong>finim funct¸ia X 2 = X 2 (t) cu formula<br />
X 2 (t) = X 1 (t1) + (t − t1) · F(t1, X 1 (t1)).<br />
¸si pe intervalul [t−2, t−1] funct¸ia X −2 = X −2 (t) cu formula<br />
X −2 (t) = X −1 (t−1) + (t − t1) · F(t−1, X −1 (t−1)).<br />
Funct¸iile X 2 (t) ¸si X −2 (t) <strong>de</strong>finite în acest fel verificǎ urmǎtoarele inegalitǎt¸i:<br />
X 2 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X 2 (t) − F(t, X 2 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t1, t2]<br />
X −2 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X −2 (t) − F(t, X −2 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t−2, t−1]
Meto<strong>de</strong> numerice 133<br />
Sǎ presupunem cǎ în acest fel am ajuns sǎ construim funct¸iile<br />
X j = X j (t), respectiv X −j = X −j (t) <strong>de</strong>finite pe intervalul [tj−1, tj], respectiv<br />
[t−j, t−j+1] pentru j = 1, j0, (j0 ≤ q − 1) ¸si ele verificǎ inegalitǎt¸ile:<br />
X j (t)−X 0 ≤b ¸si ˙ X j (t)−F(t, X j (t))
134 CAPITOLUL 4<br />
X ε (t) = X −i (t) dacǎ t ∈ [t−i, t−i+1]<br />
X ε (t) = X q (tq) + (t − tq) · F(tq, X q (tq)) dacǎ t ∈ [tq, t0 + α]<br />
X ε (t) = X −q (t−q) + (t − t−q) · F(t−q, X −q (t−q)) dacǎ t ∈ [t0 − α, t−q]<br />
Funct¸ia X ε (t) <strong>de</strong>finitǎ în acest fel este continuǎ pe intervalul Iα, este <strong>de</strong>rivabilǎ<br />
pe acest interval cu except¸ia eventualǎ a punctelor {ti} i=1,q ¸si {t−i} i=1,q<br />
¸si verificǎ:<br />
X ε (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X ε (t) − F(t, X ε (t)) < ε, t ∈ Iα.<br />
Dacǎ <strong>de</strong>finim funct¸ia θ ε (t) <strong>prin</strong>:<br />
atunci avem:<br />
θ ε (t) = ˙ X ε (t) − F(t, X ε (t)) pentru t = ti, t−i i = 1, q ¸si<br />
θ ε (t) = 0 pentru t = ti sau t−i i = 1, q,<br />
X ε (t) = X 0 +<br />
t<br />
t0<br />
F(τ, X ε τ ))dτ +<br />
t<br />
pentru orice t ∈ Iα cu θ ε (t) < ε pentru orice t ∈ Iα.<br />
t0<br />
θ ε (τ)dτ,<br />
Inegalitatea X ε (t) − X 0 ≤ b, a<strong>de</strong>vǎratǎ pentru orice t ∈ Iα, aratǎ cǎ<br />
X ε (t) ≤ b + X 0 , (∀) t ∈ Iα. Rezultǎ astfel cǎ familia <strong>de</strong> funct¸ii<br />
{X ε (t)}ε>0 este egal mǎrginitǎ pe Iα = [t0 − α, t0 + α].<br />
Egalitatea:<br />
X ε (t) = X 0 +<br />
t<br />
t0<br />
împreunǎ cu inegalitatea:<br />
implicǎ:<br />
X ε (t1) − X ε (t2) ≤<br />
F(τ, X ε (τ))dτ +<br />
t<br />
t0<br />
θ ε (τ) < ε. (∀) τ ∈ Iα<br />
t2<br />
t1<br />
F(τ, X ε (τ))dτ +<br />
θ ε (τ)dτ, (∀) t ∈ Iα<br />
t2<br />
t1<br />
θ ε (τ)dτ ≤<br />
≤ M|t2 − t1| + ε|t2 − t1| ≤ (M + ε)|t2 − t1|
Meto<strong>de</strong> numerice 135<br />
ceea ce <strong>de</strong>monstreazǎ cǎ funct¸iile X ε (t) sunt echicontinue pe Iα.<br />
Cu teorema lui Arzela-Ascoli rezultǎ cǎ existǎ un ¸sir εn → 0, astfel ca<br />
¸sirul {X εn }εn sǎ fie uniform convergent pe intervalul Iα la o funct¸ie continuǎ<br />
X pe intervalul Iα, ¸si aceasta satisface X(t) −X 0 ≤ b, pentru orice t ∈ Iα.<br />
Continuitatea uniformǎ a funct¸iei F pe cilindrul ∆ ¸si convergent¸a uniformǎ<br />
a ¸sirului <strong>de</strong> funct¸ii X εn la funct¸ia X asigurǎ convergent¸a uniformǎ a<br />
¸sirului <strong>de</strong> funct¸ii F(τ, X εn (τ)) la funct¸ia F(τ, X(τ)) pe intervalul Iα.<br />
Trecem la limitǎ în egalitatea:<br />
X εn (t) = X 0 +<br />
t<br />
¸si obt¸inem cǎ funct¸ia X(t) verificǎ<br />
X(t) = X 0 +<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
F(τ, X εn (τ))dτ +<br />
t<br />
t0<br />
θ εn (τ)dτ<br />
F(τ, X(τ))dτ, (∀) t ∈ Iα.<br />
Aceasta <strong>de</strong>monstreazǎ cǎ limita X = X(t) este solut¸ia problemei cu date<br />
init¸iale<br />
˙X = F(t, X), X(t0) = X 0 .<br />
Din teorema <strong>de</strong> unicitate rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) coinci<strong>de</strong> cu solut¸ia saturatǎ<br />
X(t; t0, X0) pe intervalul Iα:<br />
X(t) = X(t; t0, X 0 ), (∀) t ∈ Iα.<br />
Se obt¸ine în acest fel cǎ funct¸ia X ε (t) aproximeazǎ solut¸ia<br />
neprelungibilǎ X(t; t0, X 0 ) pe intervalul Iα.<br />
Valorile funct¸iei X ε (t) în punctele ti se obt¸in cu formula <strong>de</strong> recurent¸ǎ:<br />
X ε (ti) = X ε (ti−1) + h · F(ti−1, X ε (ti−1)), i = 1, q<br />
iar în punctele t−i cu formula <strong>de</strong> recurent¸ǎ:<br />
X ε (t−i) = X ε (t−i+1) − h · F(t−i+1, X ε (t−i+1)), i = 1, q<br />
Aceste proceduri <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la (ti−1, Xε i−1 ) la (ti, Xε i<br />
(t−i+1, Xε −i+1 ) la (t−i, Xε −i ) sunt u¸sor <strong>de</strong> programat.<br />
) ori <strong>de</strong> la
136 CAPITOLUL 4<br />
Pentru exemplificare, utilizând procedura <strong>de</strong> iterat¸ie Euler:<br />
ti+1 = ti + h<br />
X i+1 = X i + h · mE cu mE = F(ti, Xi),<br />
vom <strong>de</strong>termina solut¸ia numericǎ pentru o ecuat¸ie diferent¸ialǎ ¸si respectiv<br />
pentru un sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi.<br />
Astfel, vom consi<strong>de</strong>ra ecuat¸ia liniarǎ:<br />
˙x = −x + 2e t<br />
a cǎrei solut¸ie a fost <strong>de</strong>ja <strong>de</strong>terminatǎ <strong>prin</strong> calcul simbolic în <strong>Capitolul</strong> 2:<br />
x(t) = e t + e −t .<br />
Programând în Maple ¸si utilizând procedura <strong>de</strong> iterat¸ie Euler se obt¸ine:<br />
> h:=0.1: n:=10:<br />
> f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t):<br />
> t:=(n,h)->n*h:<br />
> x:=proc(n,h);<br />
> if n=0 then x(0) else<br />
x(n-1,h)+h*f(t(n-1,h),x(n-1,h)) end if;<br />
> end proc:<br />
> x(0):=2:<br />
> x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)];<br />
x (t) := [2, 2.0, 2.021034184, 2.063211317, 2.126861947,<br />
2.212540692, 2.321030877, 2.453351549,<br />
2.610766936, 2.794798428, 3.007239207]<br />
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];<br />
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]<br />
(4.13)
Meto<strong>de</strong> numerice 137<br />
Pentru a compara valorile numerice ale solut¸iei date <strong>de</strong> procedura<br />
<strong>de</strong> iterat¸ie Euler cu cele obt¸inute <strong>prin</strong> calcul simbolic, vom calcula solut¸ia<br />
(obt¸inutǎ în <strong>Capitolul</strong> 2) în diferite puncte:<br />
> sol_x(t):=exp(t)+exp(-t):<br />
> eval(sol_x(t),t=0);<br />
eval(sol_x(t),t=0.1); eval(sol_x(t),t=0.2);<br />
eval(sol_x(t),t=0.3);eval(sol_x(t),t=0.9);<br />
2<br />
2.010008336<br />
2.040133511<br />
2.090677029<br />
2.866172771<br />
Se observǎ cǎ rezultatele obt¸inute <strong>prin</strong> calcul numeric cu procedura <strong>de</strong><br />
iterat¸ie Euler sunt apropiate <strong>de</strong> cele obt¸inute <strong>prin</strong> calcul simbolic doar pentru<br />
valori ale lui t apropiate <strong>de</strong> condit¸ia init¸ialǎ (zero) aceasta întrucât domeniul<br />
<strong>de</strong> convergent¸ǎ este mic.<br />
În concluzie, metoda liniilor poligonale a lui Euler<br />
ne dǎ o bunǎ aproximare a solut¸iei doar pe intervale mici.<br />
În continuare, vom prezenta un alt exemplu în care vom <strong>de</strong>termina numeric<br />
(utilizând procedura <strong>de</strong> iterat¸ie Euler) solut¸ia sistemului <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
diferent¸iale:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
x1 ˙ = −x1+8x2<br />
x2 ˙ = x1+ x2<br />
solut¸ie care a fost <strong>de</strong>ja <strong>de</strong>terminatǎ <strong>prin</strong> calcul simbolic în <strong>Capitolul</strong> 4:<br />
Programând în Maple se obt¸ine:<br />
x1(t) := 5<br />
3 · e3t − 2<br />
3 · e−3t ,<br />
x2(t) := 5<br />
6 · e3t + 1<br />
6 · e−3t .<br />
(4.14)
138 CAPITOLUL 4<br />
> h:=0.1: n:=10:<br />
> f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t): f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t):<br />
> t:=(n,h)->n*h:<br />
> x1:=proc(n,h);<br />
> if n=0 then x1(0) else<br />
x1(n-1,h)+h*f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if;<br />
> end proc:<br />
> x2:=proc(n,h)<br />
> if n=0 then x2(0)else<br />
x2(n-1,h)+h*f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if;<br />
> end proc:<br />
> x1(0):=1: x2(0):=1:<br />
> x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)];<br />
x1 (t) := [1, 1.7, 2.49, 3.433, 4.6001, 6.07617, 7.966249,<br />
10.4031833, 13.55708001, 17.64726322, 22.95758363]<br />
> x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)];<br />
x2 (t) := [1, 1.2, 1.49, 1.888, 2.4201, 3.12212, 4.041949,<br />
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];<br />
5.2427688, 6.80736401, 8.843808412,11.49291558]<br />
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]<br />
Pentru a compara valorile numerice ale solut¸iei cu cele obt¸inute<br />
<strong>prin</strong> calcul simbolic, vom calcula valorile solut¸iei obt¸inute în <strong>Capitolul</strong> 4<br />
în câteva puncte:<br />
> sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):<br />
> sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):<br />
> eval(sol_x1(t),t=0);<br />
eval(sol_x1(t),t=0.1);eval(sol_x1(t),t=0.2);
Meto<strong>de</strong> numerice 139<br />
eval(sol_x1(t),t=0.3);eval(sol_x1(t),t=0.9);<br />
1<br />
1.755885866<br />
2.670990243<br />
3.828292078<br />
24.75474919<br />
> eval(sol_x2(t),t=0);<br />
eval(sol_x2(t),t=0.1); eval(sol_x2(t),t=0.2);<br />
eval(sol_x2(t),t=0.3); eval(sol_x2(t),t=0.9);<br />
1<br />
1.248352044<br />
1.609900939<br />
2.117430869<br />
12.41097735<br />
S¸i în acest caz se observǎ cǎ, rezultatele obt¸inute numeric cu procedura<br />
<strong>de</strong> iterat¸ie Euler sunt apropiate <strong>de</strong> cele obt¸inute <strong>prin</strong> calcul simbolic doar pe<br />
un interval mic. Deci, ¸si în cazul sistemelor <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale, metoda<br />
liniilor poligonale a lui Euler ne dǎ o bunǎ aproximare a solut¸iei doar pe<br />
intervale mici.<br />
4.4.2 Metoda Runge-Kutta <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminare numericǎ<br />
a unei solut¸ii neprelungibile în cazul sistemelor<br />
diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
Cea mai rǎspânditǎ metodǎ <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminare numericǎ a unei solut¸ii<br />
neprelungibile este metoda lui Runge-Kutta. Ea a fost pusǎ la punct la<br />
sfâr¸situl sec. al XIX-lea <strong>de</strong> matematicienii germani C. Runge ¸si W. Kutta.<br />
În esent¸ǎ, este tot o aproximare a solut¸iei neprelungibile cu linii poligonale.<br />
Convergent¸a cǎtre solut¸ia saturatǎ este însǎ mult mai rapidǎ <strong>de</strong>cât în cazul<br />
liniilor poligonale a lui Euler. Aceasta datoritǎ modului <strong>de</strong> alegere a ”pantei”.<br />
În practicǎ, sunt folosite câteva forme particulare ale acestei meto<strong>de</strong>: metoda<br />
Runge-Kutta <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea rk2, al treilea rk3, al patrulea (standard)
140 CAPITOLUL 4<br />
rk4 ¸si repectiv cea <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al cincilea Fehlberg-Runge-Kutta rkf45.<br />
Fǎrǎ a intra în <strong>de</strong>talii privitoare la convergent¸ǎ, redǎm aici procedura <strong>de</strong><br />
iterat¸ie a meto<strong>de</strong>i Runge-Kutta standard rk4:<br />
un<strong>de</strong><br />
ti+1 = ti + h<br />
X i+1 = X i + h · mR−K<br />
mR−K = 1<br />
6 (m1 + 2m2 + 2m3 + m4)<br />
m1 = F(ti, X i )<br />
m2 = F(ti + h/2, X i + h/2 · m1)<br />
m3 = F(ti + h/2, X i + h/2 · m2)<br />
m4 = F(ti + h, X i + h · m3).<br />
Aceastǎ procedurǎ <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la (ti, X i ) la (ti+1, X i+1 ) este u¸sor <strong>de</strong><br />
programat.<br />
Pentru exemplificare vom consi<strong>de</strong>ra acelea¸si exemple ca ¸si in cazul meto<strong>de</strong>i<br />
Euler, dupǎ care vom compara rezultatele numerice obt¸inute.<br />
Programând în Maple procedura <strong>de</strong> iterat¸ie Runge-Kutta standard rk4<br />
corespunzǎtoare ecuat¸iei diferent¸iale (4.13) obt¸inem:<br />
> h:=0.1: n:=10:<br />
> f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t):<br />
> t:=(n,h)->n*h:<br />
> x:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4;<br />
> if n=0 then x(0) else<br />
k1:=f(t(n-1,h),x(n-1,h));<br />
k2:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k1/2);<br />
k3:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k2/2);<br />
k4:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k3);<br />
x(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
Meto<strong>de</strong> numerice 141<br />
> end if;<br />
> end proc:<br />
> x(0):=2:<br />
> x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)];<br />
x (t) := [2, 2.008211921, 2.036522685, 2.085215637,2.154778115,<br />
2.245906324, 2.359512308, 2.496733074,2.658941974,<br />
2.847762451, 3.065084284]<br />
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];<br />
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9,1.0]<br />
> sol_x(t):=exp(t)+exp(-t):<br />
> eval(sol_x(t),t=0);<br />
eval(sol_x(t),t=0.1); eval(sol_x(t),t=0.2);<br />
eval(sol_x(t),t=0.3); eval(sol_x(t),t=0.9);<br />
2<br />
2.010008336<br />
2.040133511<br />
2.090677029<br />
2.866172771<br />
Comparând aceste rezultate numerice cu cele obt¸inute cu metoda Euler<br />
¸si apoi cu cele obt¸inute <strong>prin</strong> calculul simbolic (din paragraful prece<strong>de</strong>nt),<br />
observǎm cǎ metoda lui Runge-Kutta are domeniul <strong>de</strong> convergent¸ǎ întreg<br />
intervalul consi<strong>de</strong>rat, solut¸iile obt¸inute <strong>prin</strong> rk4 fiind foarte apropiate <strong>de</strong> cele<br />
obt¸inute <strong>prin</strong> calcul simbolic.<br />
Programând în Maple procedura <strong>de</strong> iterat¸ie Runge-Kutta standard<br />
rk4 corespunzǎtoare sistemului <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale (4.14) obt¸inem:<br />
> h:=0.1: n:=10:<br />
> f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t):f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t):<br />
> t:=(n,h)->n*h:<br />
> x1:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4;<br />
> if n=0 then x1(0) else<br />
k1:=f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h));<br />
k2:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k1/2,x2(n-1,h)+h*k1/2);
142 CAPITOLUL 4<br />
k3:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k2/2,x2(n-1,h)+h*k2/2);<br />
k4:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k3,x2(n-1,h)+h*k3);<br />
x1(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)<br />
> end if;<br />
> end proc:<br />
> x2:=proc(n,h) local m1,m2,m3,m4;<br />
> if n=0 then x2(0) else<br />
m1:=f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h));<br />
m2:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m1/2,x2(n-1,h)+h*m1/2);<br />
m3:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m2/2,x2(n-1,h)+h*m2/2);<br />
m4:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m3,x2(n-1,h)+h*m3);<br />
x2(n-1,h)+h/6*(m1+2*m2+2*m3+m4)<br />
> end if;<br />
> end proc:<br />
> x1(0):=1: x2(0):=1:<br />
> x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)];<br />
x1 (t) := [1., 1.75588586516103406, 2.67099024240189342,<br />
3.82829207712650410, 5.33273206041661840,<br />
7.32072833903442266, 9.97254650756094564,<br />
13.5286455567960680, 18.3114819804437801,<br />
24.7547491716790910, 33.4427034511831920]<br />
> x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)];<br />
x2 (t) := [1., 1.24835204296884550, 1.60990093931829237,<br />
2.11743086851170714, 2.81696313624160988,<br />
3.77192924966291354, 5.06892269795481632,<br />
6.82555099257945131, 9.20109996691309817,<br />
12.4109773422481773, 16.7462452598074308]<br />
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];<br />
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]<br />
> sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):<br />
> sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):<br />
> eval(sol_x1(t),t=0);<br />
eval(sol_x1(t),t=0.1);eval(sol_x1(t),t=0.2);
Meto<strong>de</strong> numerice 143<br />
eval(sol_x1(t),t=0.3);eval(sol_x1(t),t=0.9);<br />
1<br />
1.755885866<br />
2.670990243<br />
3.828292078<br />
24.75474919<br />
> eval(sol_x2(t),t=0);<br />
eval(sol_x2(t),t=0.1); eval(sol_x2(t),t=0.2);<br />
eval(sol_x2(t),t=0.3); eval(sol_x2(t),t=0.9);<br />
1<br />
1.248352044<br />
1.609900939<br />
2.117430869<br />
12.41097735<br />
S¸i în cazul sistemului consi<strong>de</strong>rat se observǎ o bunǎ convergent¸a a meto<strong>de</strong>i<br />
Runge-Kutta rk4.<br />
4.4.3 Calculul numeric al solut¸iilor unor ecuat¸ii<br />
diferent¸iale ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale<br />
În aceastǎ sect¸iune, utilizând meto<strong>de</strong>le <strong>de</strong> calcul numeric pe care ni<br />
le oferǎ programul Maple − în care sunt incluse programele procedurilor<br />
<strong>de</strong> iterat¸ie Euler sau Runge-Kutta, vom <strong>de</strong>termina solut¸iile unor ecuat¸ii<br />
diferent¸iale ¸si respectiv sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale, dupǎ care, vom reprezenta<br />
grafic aceste solut¸ii.<br />
Primul exemplu se referǎ la ecuat¸ia diferent¸ialǎ neliniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al<br />
treilea cu coeficient¸i variabili:<br />
t 2...<br />
x + 5t¨x + 4˙x = ln x, x > 0; (4.15)<br />
> eq3:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+4*diff(x(t),t)<br />
=ln(x(t));<br />
2 d3 eq3 := t dt3x (t) + 5 t d2<br />
dt2x(t) + 4 d x (t) = ln (x (t))<br />
dt<br />
> dsolve({eq3,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3});<br />
Deoarece Maple nu afi¸seazǎ nimic înseamnǎ cǎ este incapabil <strong>de</strong> a gǎsi<br />
o solut¸ie utilizând calculul simbolic; mai precis, nu poate exprima solut¸ia
144 CAPITOLUL 4<br />
problemei cu date init¸iale folosind funct¸ii elementare. În acest caz, vom<br />
rezolva numeric aceastǎ ecuat¸ie folosind o sintaxǎ dsolve care sǎ permitǎ<br />
rezolvarea ecuat¸iei <strong>prin</strong>tr-una din meto<strong>de</strong>le numerice clasice: metoda linilor<br />
poligonale a lui Euler, metoda Runge-Kutta <strong>de</strong> ordin doi, trei sau patru, etc.<br />
Noua sintaxǎ dsolve/numeric/classical (numerical solution of ordinary<br />
differential equations), specificǎ calculului numeric, are una din urmǎtoarele<br />
forme:<br />
dsolve(o<strong>de</strong>sys, numeric, method=classical);<br />
dsolve(o<strong>de</strong>sys, numeric, method=classical[choice], vars, options);<br />
în care:<br />
o<strong>de</strong>sys - ecuat¸ia sau lista <strong>de</strong> ecuat¸ii ¸si condit¸iile init¸iale<br />
numeric - nume care indicǎ lui dsolve sǎ rezolve <strong>prin</strong><br />
meto<strong>de</strong> numerice<br />
method = classical - opt¸ionalǎ, se indicǎ numele meto<strong>de</strong>i numerice:<br />
impoly pentru metoda liniilor poligonale<br />
a lui Euler; rk2, rk3, rk4 pentru metoda<br />
lui Runge-Kutta <strong>de</strong> ordin doi, trei, patru,etc.<br />
vars - lista <strong>de</strong> variabile <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte (opt¸ionalǎ)<br />
options - diferite opt¸iuni: output-ul care dorim s,a se<br />
afi¸seze, numǎrul <strong>de</strong> puncte, etc.<br />
Dacǎ nu folosim opt¸iunea în care sǎ specifiǎm o metodǎ numericǎ atunci, calculatorul<br />
va alege metoda Fehlberg-Runge-Kutta <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> cinci<br />
(method=rkf45) − metodǎ cu cea mai rapidǎ convergent¸ǎ.<br />
Ecuat¸ia (4.16) se rezolvǎ numeric cu metoda rk4 astfel:<br />
> a:=dsolve({eq3,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3},numeric,<br />
method=classical[rk4],output=listprocedure):<br />
> sol_x := subs(a,x(t)):<br />
> sol_x(0.2);sol_x(0.4);sol_x(1);sol_x(2);<br />
sol_x(5);sol_x(8);sol_x(10);sol_x(30);
Meto<strong>de</strong> numerice 145<br />
178.442355332346864<br />
52.2875370423634607<br />
6.30572074481224831<br />
2.0<br />
6.08914601990852234<br />
9.31175162767340581<br />
11.0536870708637434<br />
25.1681506399649386<br />
Prin instruct¸iunea dsolve/numeric/classical, Maple a calculat valorile<br />
numerice ale solut¸iei ecuat¸iei consi<strong>de</strong>rate în punctele domeniului <strong>de</strong> <strong>de</strong>fnit¸ie.<br />
Pentru afi¸sarea valorilor solut¸iei x(t) în t = 0.2, 0.4, 1, 2, 5, 8, 10, 30 s-a folosit<br />
funct¸ia subs.<br />
Pentru reprezentarea graficǎ a solut¸iei ecuat¸iei diferent¸iale rezolvatǎ numeric<br />
se utilizeazǎ o funct¸ie <strong>de</strong> plotare specificǎ meto<strong>de</strong>lor numerice, care<br />
are urmǎtoarea sintaxǎ:<br />
o<strong>de</strong>plot(dsn, vars, range, options);<br />
în care:<br />
dsn - numele output-ului ecuat¸iei rezolvatǎ numeric<br />
vars - variabila in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntǎ ¸si funct¸ia care se ploteazǎ (opt¸ional)<br />
range - opt¸ional<br />
options - numǎrul <strong>de</strong> puncte, diferite modalitǎt¸i <strong>de</strong> afi¸sare a solut¸iei.<br />
Folosind aceastǎ instruct¸iune <strong>de</strong> plotare pentru reprezentarea graficǎ<br />
(Figura 18) a solut¸iei ecuat¸iei (4.16) se obt¸ine:<br />
> with(plots):o<strong>de</strong>plot(sol_x,t=0.2..30,numpoints=100);
146 CAPITOLUL 4<br />
Figura 18<br />
Al doilea exemplu este ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea:<br />
L · d2i di 1<br />
+ R · +<br />
dt2 dt C i = −E0 · ω · sin ωt, (4.16)<br />
a cǎrei solut¸ie i(t) exprimǎ intensitatea curentului într-un circuit<br />
R-L-C (vezi <strong>Capitolul</strong> 3). Consi<strong>de</strong>rând valori numerice pentru R, L, C, E0<br />
¸si reducând ecuat¸ia la un sistem <strong>de</strong> douǎ ecuat¸ii diferent¸iale se obt¸ine:<br />
> R:=2: C:=0.1: L:=1: E=10: ω:=Pi/4:<br />
> Eq:=L*diff(i(t),t,t)+R*diff(i(t),t)+(1/C)*i(t)=-E*ω *sin(t*ω):<br />
> sys_Eq1:=diff(x1(t),t)=x2(t):<br />
> sys_Eq2:=diff(x2(t),t)=-10*x1(t)-2*x2(t)-10*Pi/4*sin(t*Pi/4):<br />
Pentru rezolvarea numericǎ a acestui sistem ¸si pentru vizualizarea solut¸iilor<br />
corespunzǎtoare la diferite condit¸ii init¸iale (Figura 19 ¸si Figura 20) se folosesc<br />
funct¸iile:<br />
with(DEtools) : DEplot<br />
with(DEtools) : phaseportrait<br />
with(DEtools) : DEplot3d<br />
> with(DEtools):DEplot({sys_Eq1,sys_Eq2},{x1(t),x2(t)},<br />
t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1],<br />
[x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x1(t)],method=classical[rk4]);
Meto<strong>de</strong> numerice 147<br />
Figura 19<br />
> with(DEtools):DEplot({sys_Eq1,sys_Eq2},{x1(t),x2(t)},<br />
t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1],<br />
[x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x2(t)],method=classical[rk4]);<br />
Figura 20<br />
În aceste figuri sunt reprezentate solut¸iile (x1(t), x2(t)) pentru trei condit¸ii<br />
init¸iale. Se observǎ cǎ, indiferent <strong>de</strong> condit¸iile init¸iale, dupǎ un anumit<br />
timp solut¸ia se stabilizeazǎ în jurul unei solut¸ii periodice. Acest fapt,<br />
reiese ¸si din portretele <strong>de</strong> fazǎ care se obt¸in cu:<br />
> with(DEtools):phaseportrait([sys_Eq1,sys_Eq2],<br />
[x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]],<br />
scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);
148 CAPITOLUL 4<br />
Figura 21<br />
> with(DEtools):phaseportrait([sys_Eq1,sys_Eq2],<br />
[x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=1,x2(0)=1]],<br />
scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);<br />
Figura 22<br />
Portretele <strong>de</strong> fazǎ (Figura 21 ¸si Figura 22) aratǎ faptul cǎ, solut¸iile sistemului<br />
(intesitatea curentului ¸si variat¸ia acesteia) se stabilizeazǎ dupǎ un<br />
anumit timp, tinzând cǎtre un ciclu limitǎ. Mai precis, folosind condit¸ii<br />
init¸iale din interiorul sau exteriorul ciclului limitǎ solut¸iile se stabilizeazǎ<br />
în jurul unei solut¸ii periodice. Acela¸si fenomen <strong>de</strong> stabilizare se observǎ<br />
¸si din figura tri-dimensionalǎ (Figura 23):<br />
> with(DEtools):DEplot3d({sys_Eq1,sys_Eq2},<br />
{x1(t),x2(t)},t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]],<br />
scene=[t,x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);
Meto<strong>de</strong> numerice 149<br />
Figura 23<br />
Un alt exemplu este sistemul lui Lotka-Volterra <strong>de</strong> douǎ ecuat¸ii diferent¸iale<br />
neliniare care constituie un mo<strong>de</strong>l matematic utilizat în biologie care <strong>de</strong>scrie<br />
evolut¸ia în timp a douǎ specii pradǎ-prǎdǎtor (<strong>de</strong> exemplu sardine-rechini):<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙x = x(1 − y)<br />
˙y = 0.3 · y(x − 1),<br />
un<strong>de</strong> x(t) reprezintǎ numǎrul sardinelor, iar y(t) numǎrul <strong>de</strong> rechini. Cu<br />
instruct¸iunile with(DEtools) : DEplot (Figura 24 ¸si Figura 25) ¸si respectiv<br />
with(DEtools) : DEplot3d (Figura 26) se obt¸ine evolut¸ia în timp a<br />
celor douǎ specii:<br />
> with(DEtools):DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),<br />
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},<br />
t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t)],<br />
linecolor=t/2,method=rkf45);<br />
(4.17)
150 CAPITOLUL 4<br />
Figura 24<br />
> with(DEtools):DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),<br />
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},<br />
t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,y(t)],<br />
linecolor=t/2,method=rkf45);<br />
Figura 25<br />
> with(DEtools):DEplot3d({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),<br />
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},t=0..50,<br />
[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t),y(t)],<br />
stepsize=.2,linecolor=t/2,method=rkf45);
Meto<strong>de</strong> numerice 151<br />
Figura 26<br />
Portretul <strong>de</strong> fazǎ a evolut¸iei celor douǎ specii este prezentatǎ în Figurile<br />
27:<br />
> with(DEtools):DEplot([diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),<br />
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)],[x(t),y(t)],t=0..13,<br />
[[x(0)=1.2,y(0)=1.2],[x(0)=1,y(0)=.7],[x(0)=.8,y(0)=.5]],<br />
stepsize=.2,title=‘Lotka-Volterra mo<strong>de</strong>l‘,<br />
color=[.3*y(t)*(x(t)-1),x(t)*(1-y(t)),.1],<br />
linecolor=t/2,arrows=MEDIUM,method=rkf45);
152 CAPITOLUL 4<br />
Figura 27<br />
Acest sistem are solut¸iile stat¸ionare (0, 0), (1, 1) ¸si solut¸ii periodice (Figura<br />
26). Interpretarea acestora este urmǎtoarea:<br />
i) solut¸ia stat¸ionarǎ (0, 0) reprezintǎ disparit¸ia ambelor specii;<br />
ii) solut¸ia stat¸ionarǎ (1, 1) reprezintǎ situat¸ia <strong>de</strong> echilibru (numǎrul <strong>de</strong><br />
sardine este egal cu numǎrul <strong>de</strong> rechini);<br />
iii) solut¸iile periodice care înconjoarǎ solut¸ia stat¸ionarǎ (1, 1) reprezintǎ<br />
variat¸ii ale numǎrului <strong>de</strong> sardine ¸si respectiv rechini între douǎ limite.<br />
Aceste variat¸ii (cre¸steri sau <strong>de</strong>scre¸steri) <strong>de</strong>scriu lipsa sau abun<strong>de</strong>nt¸a<br />
<strong>de</strong> hranǎ (sardine) care duce la mic¸sorarea sau cre¸sterea numǎrului <strong>de</strong><br />
prǎdǎtori (rechini).<br />
Un alt portret <strong>de</strong> fazǎ interesant este al sistemului:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙x = y − z<br />
˙y = z · x<br />
˙z = x − 2y,<br />
(4.18)
Meto<strong>de</strong> numerice 153<br />
care aratǎ cǎ, din orice punct ar pleca solut¸iile, toate vor evolua cǎtre<br />
zero (Figura 28):<br />
> with(DEtools):phaseportrait([D(x)(t)=y(t)-z(t),<br />
D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)=x(t)-y(t)*2],[x(t),y(t),z(t)],<br />
t=-10..50,[[x(0)=3,y(0)=3,z(0)=3]],stepsize=.05,<br />
scene=[z(t),y(t)],linecolour=sin(t*Pi/2),<br />
method=classical[rk4]);<br />
Figura 28
154 CAPITOLUL 4<br />
4.5 Integrale prime<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale neliniare <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi explicit:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x1 ˙ = f1(t, x1, x2, ..., xn)<br />
x2 ˙ = f2(t, x1, x2, ..., xn)<br />
....................................<br />
xn ˙ = fn(t, x1, x2, ..., xn)<br />
(4.19)<br />
în care funct¸iile f1, f2, ..., fn sunt funct¸ii reale <strong>de</strong> clasǎ C 1 <strong>de</strong>finite pe I × D;<br />
I ⊂ IR 1 , I - interval <strong>de</strong>schis ¸si D ⊂ IR n - domeniu.<br />
Definit¸ia 4.5.1 Se nume¸ste integralǎ primǎ a sistemului (4.19) o funct¸ie<br />
U : I × D → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C 1 care nu este constantǎ, dar este constantǎ pe<br />
solut¸iile sistemului (4.19).<br />
Teorema 4.5.1 Condit¸ia necesarǎ ¸si suficientǎ pentru ca o funct¸ie<br />
U : I × D → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C 1 neconstantǎ sǎ fie integralǎ primǎ este ca U<br />
sǎ verifice:<br />
∂U<br />
∂t +<br />
n ∂U<br />
· fi = 0 (∀) (t, x1, ..., xn) ∈ I × D.<br />
∂xi<br />
i=1<br />
Demonstrat¸ie: Fie (t0, x 0 1, ..., x 0 n) ∈ I×D ¸si x1(t), ..., xn(t) solut¸ia sistemului<br />
(4.19) care verificǎ xi(t0) = x 0 i , i = 1, n ¸si U(t, x1(t), ..., xn(t)) o integralǎ<br />
primǎ. Deoarece U(t, x1(t), ..., xn(t)) este constantǎ, rezultǎ cǎ<br />
De aici avem cǎ<br />
∂U<br />
∂t (t,x1(t), ..., xn(t)) +<br />
dU<br />
dt (t, x1(t), ..., xn(t)) ≡ 0.<br />
n ∂U<br />
(t, x1(t), ..., xn(t))·fi(t, x1(t), ..., xn(t))=0,<br />
∂xi<br />
i=1<br />
Pentru t = 0, rezultǎ <strong>de</strong> aici egalitatea:<br />
∂U<br />
∂t (t0, x 0 1 , ..., x0n ) +<br />
n ∂U<br />
i=1<br />
∂xi<br />
(∀) t ∈ I.<br />
(t0, x 0 1 , ..., x0n ) · fi(t0, x 0 1 , ..., x0n ) = 0
Integrale prime 155<br />
Întrucât (t0, x0 1 , ..., x0n ) este un punct oarecare din mult¸imea I × D rezultǎ<br />
∂U<br />
∂t +<br />
n<br />
i=1<br />
∂U<br />
∂t · fi = 0, (∀)(t, x1, ..., xn) ∈ I × D.<br />
Sǎ arǎtǎm acum implicat¸ia reciprocǎ, adica: dacǎU :I×D →IR 1 este o funct¸ie<br />
<strong>de</strong> clasǎ C1 , care nu este constantǎ ¸si verificǎ<br />
∂U<br />
∂t +<br />
n ∂U<br />
∂t · fi = 0<br />
i=1<br />
atunci U este constantǎ pe solut¸iile sistemului (4.19).<br />
În acest scop consi<strong>de</strong>rǎm o solut¸ie oarecare x1(t), ..., xn(t) a<br />
sistemului (4.19) ¸si funct¸ia ϕ(t) = U(t, x1(t), ..., xn(t)). Pentru a arǎta cǎ<br />
funct¸ia ϕ(t) este constantǎ calculǎm <strong>de</strong>rivata ei ¸si gǎsim:<br />
dϕ<br />
dt<br />
∂U<br />
=<br />
∂t (t, x1(t), ..., xn(t)) +<br />
+<br />
n ∂U<br />
(t, x1(t), ..., xn(t)) · fi(t, x1(t), ..., xn(t)) = 0,<br />
∂xi<br />
(∀) t ∈ I.<br />
i=1<br />
Astfel, rezultǎ cǎ funct¸ia ϕ(t) este constantǎ.<br />
Observat¸ia 4.5.1 Pentru ca o funct¸ie U : D → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C 1 neconstantǎ<br />
care nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> t sǎ fie integralǎ primǎ este necesar ¸si suficient ca U sǎ<br />
n ∂U<br />
verifice fi = 0.<br />
∂xi<br />
i=1<br />
Definit¸ia 4.5.2 Sistemul (4.19) se zice autonom dacǎ funct¸iile fi nu <strong>de</strong>pind<br />
<strong>de</strong> t; fi : D → IR n , fi = ˙ fi(x1, x2, ..., xn), i = 1, n.<br />
Observat¸ia 4.5.2 Problema <strong>de</strong>terminǎrii mi¸scǎrii unui punct material <strong>de</strong><br />
masǎ m într-un câmp <strong>de</strong> fort¸e potent¸ial având potent¸ialul V , revine la <strong>de</strong>terminarea<br />
solut¸iilor sistemului canonic a lui Hamilton:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
dxi<br />
dt<br />
dpi<br />
dt<br />
= ∂H<br />
∂pi<br />
= −∂H<br />
∂xi<br />
i = 1, 2, 3<br />
(4.20)
156 CAPITOLUL 4<br />
un<strong>de</strong><br />
H(x1, x2, x3, p1, p2, p3) = 1<br />
2m (p2 1 + p 2 2 + p 2 3) + V (x1, x2, x3)<br />
este funct¸ia Hamilton asociatǎ punctului material.<br />
Sistemul (4.20) este autonom, iar condit¸ia ca o funct¸ie U(x1, x2, x3, p1, p2, p3)<br />
sǎ fie integralǎ primǎ pentru (4.20) este ca U sǎ verifice<br />
3<br />
<br />
∂U<br />
i=1<br />
∂xi<br />
· ∂H<br />
−<br />
∂pi<br />
∂U<br />
·<br />
∂pi<br />
∂H<br />
<br />
=0.<br />
∂xi<br />
În particular, rezultǎ cǎ funct¸ia lui Hamilton este integralǎ primǎ pentru<br />
sistemul canonic.<br />
Revenim la cazul general al sistemelor autonome:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x1 ˙ = f1(x1, ..., xn)<br />
x2 ˙ = f2(x1, ..., xn)<br />
............................<br />
xn ˙ = fn(x1, ..., xn)<br />
(4.21)<br />
fi : D ⊂ IR n → IR 1 , i = 1, n pentru care consi<strong>de</strong>rǎm integrale prime Uj,<br />
j = 1, m care nu <strong>de</strong>pind <strong>de</strong> variabila in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntǎ t; Uj = Uj(x1, ..., xn).<br />
Definit¸ia 4.5.3 Un sistem <strong>de</strong> m ≤ n integrale prime ale sistemului (4.19)<br />
se zice in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt dacǎ rangul matricei:<br />
⎛<br />
∂U1 ∂U1<br />
⎜<br />
...<br />
∂x1 ∂x2 ⎜<br />
⎝<br />
∂U1<br />
∂xn<br />
∂U2 ∂U2<br />
...<br />
∂x1 ∂x2<br />
∂U2<br />
∂xn<br />
..............................<br />
∂Um ∂Um<br />
...<br />
∂x1 ∂x2<br />
∂Um<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
∂xn<br />
este egal cu m.<br />
În continuare vom arǎta important¸a integralelor prime.
Integrale prime 157<br />
Teorema 4.5.2 Dacǎ se cunosc m < n integrale prime ale sistemului (4.19)<br />
atunci problema <strong>de</strong>terminǎrii solut¸iilor sistemului (4.19) revine la problema<br />
<strong>de</strong>terminǎrii solut¸iilor unui sistem <strong>de</strong> n − m ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi.<br />
Dacǎ se cunosc n integrale prime atunci problema <strong>de</strong>terminǎrii solut¸iilor<br />
sistemului (4.19) revine la rezolvarea unui sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii implicite.<br />
Demonstrat¸ie: Consi<strong>de</strong>rǎm la început m < n integrale prime U1, ..., Um in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
ale sistemului (4.19). In<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸a asigurǎ faptul cǎ din sistemul<br />
<strong>de</strong> ecuat¸ii: ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
U1(t, x1, ..., xn) − c1 = 0<br />
U2(t, x1, ..., xn) − c2 = 0<br />
............................<br />
Um(t, x1, ..., xn) − cm = 0<br />
(4.22)<br />
putem exprima m dintre necunoscutele x1, ..., xn în funct¸ie <strong>de</strong> celelalte necunoscute,<br />
¸si în funct¸ie <strong>de</strong> t ¸si <strong>de</strong> constantele c1, ..., cm.<br />
Pentru a face o alegere presupunem cǎ x1, ..., xm se exprimǎ în funct¸ie <strong>de</strong><br />
t, xm+1, ..., xn: ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
x1 = ϕ1(t, xm+1, ..., xn, c1, ..., cm)<br />
x2 = ϕ2(t, xm+1, ..., xn, c1, ..., cm)<br />
....................................................<br />
xm = ϕm(t, xm+1, ..., xn, c1, ..., cm)<br />
Dacǎ x1(t), ..., xn(t) este o solut¸ie a sistemului (4.19), atunci avem:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x1(t) = ϕ1(t, xm+1(t), ..., xn(t), c1, ..., cm)<br />
x2(t) = ϕ2(t, xm+1(t), ..., xn(t), c1, ..., cm)<br />
..............................................................<br />
xm(t) = ϕm(t, xm+1(t), ..., xn(t), c1, ..., cm)<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ primele m componente ale solut¸iei x1(t), ..., xm(t)<br />
se construiesc cu restul componentelor xm+1(t), ..., xn(t) ¸si a constantelor<br />
c1, ..., cm <strong>prin</strong> intermediul funct¸iilor ϕ1, ϕ2, ..., ϕm.<br />
Prin înlocuire în sistemul (4.19) rezultǎ cǎ xm+1(t), ..., xn(t) verificǎ urmǎtorul<br />
sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
dxm+1<br />
dt =fm+1(t, ϕ1(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm),...,ϕm(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm), xm+1,...,xn)<br />
....................................................................................................................<br />
dxn<br />
=fn(t, ϕ1(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm),...,ϕm(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm), xm+1,...,xn)<br />
dt
158 CAPITOLUL 4<br />
Astfel, rezultǎ cǎ funct¸iile xm+1, ..., xn verificǎ un sistem <strong>de</strong> n −m ecuat¸ii<br />
diferent¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi.<br />
Dacǎ m = n atunci sistemul algebric (4.22) este<br />
din care obt¸inem:<br />
Uk(t, x1, x2, ..., xn) − ck = 0, k = 1, n<br />
xk = ϕ(t, c1, ..., cm) k = 1, n.<br />
Imprecis, dar sugestiv putem spune, cu cât avem mai multe integrale<br />
prime cu atât mai mult se reduce dimensiunea sistemului diferent¸ial. Dacǎ<br />
m = n problema rezolvǎrii sistemului diferent¸ial se reduce la rezolvarea unui<br />
sistem algebric.<br />
Vom relua în continuare câteva exemple în cazul unei singure ecuat¸ii n = 1<br />
când este nevoie doar <strong>de</strong> o singurǎ integralǎ primǎ.<br />
Exemple:<br />
1. Arǎtat¸i cǎ dacǎ f : (a, b) → IR 1 este funct¸ie continuǎ, atunci funct¸ia<br />
U(t, x) = x −<br />
t<br />
t∗<br />
f(τ)dτ<br />
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = f(t). Deducet¸i în<br />
acest fel cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile ecuat¸iei<br />
algebrice<br />
x −<br />
t<br />
t∗<br />
f(τ)dτ − c = 0.<br />
2. Arǎtat¸i cǎ dacǎ g : (c, d) → IR 1 este o funct¸ie continuǎ care nu se<br />
anuleazǎ, atunci funct¸ia<br />
U(t, x) = t −<br />
x<br />
x∗<br />
du<br />
g(u)<br />
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = g(x).<br />
Deducet¸i astfel cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile<br />
ecuat¸iei algebrice x<br />
du<br />
t − − c = 0.<br />
g(u)<br />
x∗
Integrale prime 159<br />
3. Arǎtat¸i cǎ dacǎ f : (a, b) → IR 1 ¸si g : (c, d) → IR 1 sunt funct¸ii continue<br />
¸si funct¸ia g nu se anuleazǎ, atunci funct¸ia<br />
U(t, x) =<br />
t<br />
t∗<br />
f(τ)dτ −<br />
x<br />
x∗<br />
du<br />
g(u)<br />
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = f(t)·g(x). Deducet¸i<br />
<strong>de</strong> aici cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile ecuat¸iei algebrice.<br />
Revenind la cazul general n > 1, problema naturalǎ care se pune este:<br />
care este numǎrul maxim <strong>de</strong> integrale prime in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte pentru sistemul<br />
(4.19)?<br />
Rǎspunsul la aceastǎ întrebare este datǎ <strong>de</strong> urmǎtoarea teoremǎ.<br />
Teorema 4.5.3 Pentru orice punct (t0, x0 1 , ..., x0n ) ∈ I×D existǎ o vecinǎtate<br />
<strong>de</strong>schisǎ V ⊂ I × D astfel ca pe V sistemul (4.19) are n integrale prime<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte ¸si orice integralǎ primǎ <strong>de</strong>finitǎ pe V se exprimǎ ca funct¸ie <strong>de</strong><br />
cele n integrale prime in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte.<br />
Demonstrat¸ie: Fie X(t; t0, X 0 ) solut¸ia saturatǎ a sistemului (4.19) care<br />
verificǎ X(t0) = X 0 ¸si I0 intervalul ei <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie. Consi<strong>de</strong>rǎm un interval<br />
compact [T1, T2] inclus în I0 care cont¸ine punctul t0 în interior.<br />
Conform teoremei <strong>de</strong> continuitate în raport cu condit¸iile init¸iale existǎ o<br />
vecinǎtate U0 a lui x 0 = (x 0 1 , ..., x0 n ) astfel încât pentru orice X′ = (x1 ′ , ..., xn ′ ) ∈<br />
U0 solut¸ia sistemului (4.19) care coinci<strong>de</strong> cu X ′ în t = t0 este <strong>de</strong>finitǎ pe<br />
[T1, T2]; notǎm cu X(t; t0, X ′ ) aceastǎ solut¸ie saturatǎ.<br />
Funct¸ia (t, X ′ ϕ<br />
) −→ X(t; t0, X ′ ) este <strong>de</strong> clasǎ C1 pe baza teoremei <strong>de</strong><br />
diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale. Din aceea¸si teoremǎ rezultǎ<br />
cǎ matricea ∂<br />
∂X ′[X(t; t0, X ′ )] este nesingularǎ ¸si <strong>prin</strong> urmare aplicat¸ia X<br />
′ ϕ<br />
−→<br />
X(t; t0, X ′ ) este local inversabilǎ. Existǎ <strong>de</strong>ci douǎ vecinǎtat¸i <strong>de</strong>schise W1, W2<br />
ale punctului (t0, X0 ) ¸si o funct¸ie ψ <strong>de</strong> clasǎ C1 , ψ : W2 → W1 cu proprietǎt¸ile:<br />
ψ(t, X(t; t0, X ′ )) ≡ (t, X ′ ) ¸si X(t; t0, ψ(t, X ′′ )) ≡ X ′′ (∀) (t, X ′ ) ∈<br />
W1 ¸si (t, X ′′ ) ∈ W2.<br />
Componentele scalare ψk ale funct¸iei ψ rǎmân constante atunci când<br />
x1, ..., xn se înlocuie¸ste cu o solut¸ie a sistemului <strong>de</strong>finitǎ în vecinǎtatea consi<strong>de</strong>ratǎ,<br />
<strong>de</strong>ci ψk sunt integrale prime. În plus ψ(t0, X ′ ) = (t0, X ′ ) <strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
<br />
∂ψk<br />
rezultǎ cǎ rang = n. Adicǎ integrabile prime ψ1, ..., ψn sunt in<strong>de</strong>-<br />
pen<strong>de</strong>nte.<br />
∂x ′ r
160 CAPITOLUL 4<br />
Fie acum U o integralǎ primǎ oarecare a sistemului (4.1). Conform<br />
<strong>de</strong>finit¸iei U(t, X(t; t0, X ′ )) nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> t ¸si putem scrie<br />
U(t, X(t; t0, X ′ )) = h(X ′ ).<br />
Înlocuind X ′ cu ψ(t, X ′′ ) ¸si t¸inând seama <strong>de</strong> egalitatea<br />
obt¸inem:<br />
X(t; t0, ψ(t, X ′′ )) ≡ X ′′<br />
U(t, X ′′ ) = h(ψ(t, X ′′ )).<br />
Aceastǎ din urmǎ egalitate aratǎ cǎ integrala primǎ U este o funct¸ie h <strong>de</strong><br />
cele n integrale prime in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte ψ1, ..., ψn.<br />
O metodǎ <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminare a integralelor prime este datǎ <strong>de</strong> ecuat¸ia:<br />
∂U<br />
∂t +<br />
n ∂U<br />
· fi = 0<br />
∂xi<br />
i=1<br />
În aceastǎ ecuat¸ie U este funct¸ie necunoscutǎ ¸si intervine în ecuat¸ie <strong>prin</strong> intermediul<br />
<strong>de</strong>rivatelor part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi. De aceea ecuat¸ia aceasta se<br />
nume¸ste ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi. Orice solut¸ie a acestei<br />
ecuat¸ii este o integralǎ primǎ.<br />
Observǎm cǎ dacǎ funct¸iile µ0, µ1, ..., µn sunt astfel ca<br />
µ0 +<br />
n<br />
µi · fi = 0<br />
1<br />
¸si existǎ o funct¸ie U cu proprietatea ∂U<br />
∂t = µ0 ¸si ∂U<br />
= µi, atunci funct¸ia U<br />
∂xi<br />
este integralǎ primǎ pentru sistemul (4.19).
Integrale prime 161<br />
Exercit¸ii:<br />
1. Fie sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii: ⎧ ⎨<br />
2.<br />
⎩<br />
Sǎ se <strong>de</strong>termine o integralǎ primǎ.<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
µ0 = 0, µ1 = x1, µ2 = x2<br />
R:<br />
⎪⎩ U(x1, x2) = 1<br />
2 (x21 + x 2 2)<br />
x1 ˙ = x2<br />
x2 ˙ = −x1<br />
În <strong>de</strong>scrierea mi¸scǎrii solidului rigid intervine sistemul:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
A · ˙p = (B − C)g · r<br />
B · ˙q = (C − A)r · p<br />
C · ˙r = (A − B)p · q<br />
Sǎ se <strong>de</strong>termine douǎ integrale prime pentru sistemul consi<strong>de</strong>rat.<br />
R: U1(p, q, r) = Ap 2 +Bq 2 +cr 2 ¸si U2(p, q, r) = A 2 p 2 +B 2 q 2 +C 2 r 2 .<br />
3. Sǎ se <strong>de</strong>termine douǎ integrale prime pentru sistemul:<br />
a) dx<br />
x<br />
= −dy<br />
2y<br />
= dz<br />
−z<br />
R:U1(x, y, z) = x √ y ¸si U2(x, y, z) = xz.<br />
b)<br />
dx<br />
z − y<br />
= dy<br />
x − z<br />
= dz<br />
y − x<br />
R: U1(x, y, z) = x + y + z ¸si U2(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .<br />
c)<br />
dx<br />
x 2 (y + z) =<br />
dy<br />
−y 2 (z + x) =<br />
dz<br />
z 2 (y − x)<br />
R: U1(x, y, z) = xyz ¸si U2(x, y, z) = 1 1 1<br />
+ +<br />
x y z .
162 CAPITOLUL 4<br />
d)<br />
dx dy<br />
=<br />
xy2 x2y =<br />
dz<br />
z(x 2 + y 2 )<br />
R: U1(x, y, z) = x 2 − y 2 ¸si U2(x, y, z) = xy<br />
z .
<strong>Capitolul</strong> 5<br />
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> întâi<br />
5.1 Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
liniare<br />
Definit¸ia 5.1.1 O ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniarǎ este<br />
o relat¸ie <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma:<br />
n ∂u<br />
· fi(x0, x1, . . .,xn) = 0 (5.1)<br />
∂xi<br />
i=0<br />
între <strong>de</strong>rivatele part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi ale funct¸iei necunoscute<br />
u = u(x0, x1, . . .,xn).<br />
Funct¸iile f0, f1, . . .,fn în ecuat¸ia (5.1) fi : Ω ⊂ IR n+1 → IR 1 se consi<strong>de</strong>rǎ<br />
cunoscute ¸si sunt presupuse funct¸ii <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω.<br />
Definit¸ia 5.1.2 O solut¸ie a ecuat¸iei (5.1) este o funct¸ie<br />
u : Ω ′ ⊂ Ω → IR 1<br />
<strong>de</strong> clasǎ C1 astfel încât în toate punctele (x0, x1, . . .,xn) ∈ Ω sǎ avem verificatǎ<br />
i<strong>de</strong>ntitatea:<br />
n ∂u<br />
(x0, x1, . . .,xn) · fi(x0, x1, . . .,xn) ≡ 0<br />
∂xi<br />
i=0<br />
163
164 CAPITOLUL 5<br />
Fie ξ = (ξ0, ξ1, . . .,ξn) ∈ Ω astfel încât<br />
n<br />
i=0<br />
f 2 i (ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0.<br />
Existent¸a unui punct ξ ∈ Ω cu aceastǎ proprietate poate fi admisǎ pentru<br />
cǎ, în caz contrar, toate funct¸iile fi ar fi i<strong>de</strong>ntic nule pe Ω <strong>de</strong> un<strong>de</strong> ar rezulta<br />
cǎ ecuat¸ia (5.1) este verificatǎ, oricare ar fi funct¸ia u <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω.<br />
Putem admite <strong>de</strong> asemenea cǎ f0(ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0. Aceasta întrucât din<br />
n<br />
ipoteza fi(ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0 rezultǎ cǎ existǎ i0 ∈ {0, 1, . . ., n} astfel ca<br />
i=0<br />
fi0(ξ) = 0. Ceea ce presupunem noi în plus este faptul cǎ i0 = 0, adicǎ<br />
f0(ξ) = 0.<br />
Dacǎ f0(ξ) = 0, atunci se face rat¸ionamentul pentru fi0.<br />
Revenim <strong>de</strong>ci la f0(ξ) = 0 ¸si <strong>de</strong>oarece f0 este continuǎ, existǎ o vecinǎtate<br />
Vξ a punctului ξ astfel ca f0(x) = 0 pentru orice x ∈ Vξ. Consi<strong>de</strong>rǎm acum<br />
sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale:<br />
un<strong>de</strong><br />
˙xi = gi(t, x1, . . .,xn), i = 1, n (5.2)<br />
gi(t, x1, . . .,xn) = fi(t, x1, . . ., xn)<br />
f0(t, x1, . . .,xn)<br />
t fiind componenta x0 a vectorului x = (x0, x1, . . .,xn) ∈ Vξ, t = x0. Sistemul<br />
(5.2) este <strong>de</strong>finit pentru (t, x1, . . .,xn) ∈ Vξ,iar funct¸iile gi sunt <strong>de</strong> clasǎ C 1<br />
pe Vξ.<br />
Teorema 5.1.1 Solut¸iile ecuat¸iei (5.1) <strong>de</strong>finite pe V ⊂ Vξ sunt integrale<br />
prime ale sistemului (5.2) ¸si reciproc.<br />
Demonstrat¸ie: Fie u : V → R 1 o solut¸ie a ecuat¸iei (5.1). Cu notat¸iile<br />
introduse avem:<br />
k=1<br />
∂u<br />
∂t (t, x1, . . .,xn) · f0(t, x1, . . .,xn)+<br />
n ∂u<br />
(t, x1, . . .,xn) · fk(t, x1, . . ., xn) ≡ 0<br />
∂xk
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare 165<br />
<strong>de</strong>ci<br />
∂u<br />
∂t (t, x1, . . .,xn) +<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare:<br />
∂u<br />
∂t (t, x1, . . .,xn) +<br />
n<br />
k=1<br />
k=1<br />
∂u<br />
∂xk<br />
(t, x1, . . .,xn) · fk(t, x1, . . ., xn)<br />
f0(t, x1, . . .,xn)<br />
≡ 0<br />
n ∂u<br />
(t, x1, . . .,xn) · gk(t, x1, . . .,xn) ≡ 0<br />
∂xk<br />
ceea ce aratǎ cǎ u este integralǎ primǎ a sistemului (5.2).<br />
Cu un rat¸ionament asemǎnǎtor se aratǎ cǎ dacǎ u este integralǎ primǎ pentru<br />
sistemul (5.2) atunci este solut¸ie pentru ecuat¸ia (5.1).<br />
Prin urmare, problema <strong>de</strong>terminǎrii solut¸iilor ecuat¸iei (5.1) revine la problema<br />
<strong>de</strong>terminǎrii integralelor prime pentru sistemul (5.2).<br />
T¸inând seama <strong>de</strong> cele <strong>de</strong>monstrate pentru integralele prime ale unui sistem,<br />
rezultǎ cǎ solut¸iile ecuat¸iei cu <strong>de</strong>rivate part¸iale (5.1) au urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
i) oricare ar fi (x0 0 , x01 , . . ., x0n ) ∈ Ω, dacǎ f0(x0 0 , x01 , . . ., x0n ) = 0, atunci<br />
existǎ o vecinǎtate <strong>de</strong>schisǎ V ⊂ Ω a punctului (x0 0, x0 1, . . .,x 0 n) ¸si n<br />
funct¸ii u1, . . .,un : V → R1 <strong>de</strong> clasǎ C1 astfel încât:<br />
a) u1, u2, . . .,un sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (5.1);<br />
b) uk(x 0 0 , x1, . . .,xn) = xk;<br />
<br />
∂uk<br />
c) <strong>de</strong>t = 0, k, l = 1, 2, . . ., n.<br />
∂xl<br />
ii) dacǎ u este o solut¸ie oarecare a ecuat¸iei (5.1) <strong>de</strong>finitǎ pe V ⊂ V ,<br />
) ¸si o funct¸ie<br />
atunci existǎ o vecinǎtate <strong>de</strong>schisǎ D a lui (x0 1 , . . .,x0 n<br />
γ : D ⊂ IR n → R1 astfel ca<br />
u(x0, x1, . . .,xn) =<br />
= γ(u1(x0, x1, . . .,xn), u2(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).<br />
Definit¸ia 5.1.3 (Problema Cauchy pentru ecuat¸ia (5.1))<br />
Se nume¸ste problemǎ Cauchy pentru ecuat¸ia (5.1) problema <strong>de</strong>terminǎrii unei<br />
solut¸ii u a ecuat¸iei (5.1) astfel ca<br />
u(x 0 0 , x1, . . .,xn) = h(x1, . . .,xn), (∀)(x1, . . .,xn) ∈ D ′ ⊂ D,<br />
un<strong>de</strong> x 0 0 ¸si funct¸ia h : D ⊂ IRn → R 1 <strong>de</strong> clasǎ C 1 sunt date; D fiind o<br />
vecinǎtate <strong>de</strong>schisǎ a lui (x 0 1 , . . .,x0 n ).
166 CAPITOLUL 5<br />
Teorema 5.1.2 Dacǎ în (x0 0 , x01 , . . ., x0n ) ∈ Ω avem<br />
f0(x 0 0 , x01 , . . ., x0n ) = 0<br />
atunci pentru h <strong>de</strong> clasǎ C 1 <strong>de</strong>finitǎ într-o vecinǎtate <strong>de</strong>schisǎ D a lui (x 0 1 , . . .,x0 n )<br />
problema Cauchy are solut¸ie unicǎ.<br />
Demonstrat¸ie: Consi<strong>de</strong>rǎm solut¸iile u1, u2, . . .,un ale ecuat¸iei (5.1) <strong>de</strong>finite<br />
în vecinǎtatea <strong>de</strong>schisǎ V a lui (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) cu proprietatea<br />
uk(x 0 0 , x1, . . .,xn) = xk, k = 1, . . .,n.<br />
Existǎ o vecinǎtate V ⊂ V a lui (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) astfel ca pentru<br />
(x0, x1, . . .,xn) ∈ V sǎ avem<br />
Fie<br />
(u1(x0, x1, . . ., xn), . . .,un(x0, x1, . . .,xn)) ∈ D.<br />
u(x0, x1, . . .,xn) = h(u1(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).<br />
Funct¸ia u(x0, x1, . . ., xn) <strong>de</strong>finitǎ astfel este <strong>de</strong> clasǎ C 1 ¸si verificǎ ecuat¸ia<br />
(5.1):<br />
∂u<br />
∂x0<br />
În plus,<br />
· f 0 0 +<br />
n<br />
k=1<br />
∂u<br />
∂xk<br />
· fk =<br />
=<br />
n ∂h<br />
·<br />
∂yl l=1<br />
∂ul<br />
n n ∂h<br />
· f0 +<br />
·<br />
∂x0 ∂yl<br />
k=1 l=1<br />
∂ul<br />
· fk =<br />
∂xk<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
∂h ∂ul ∂ul<br />
· f0 + · fk = 0.<br />
∂yl ∂x0 ∂xk<br />
l=1<br />
u(x 0 0 , x1, . . .,xn) = h(u1(x 0 0 , x1, . . .,xn), . . .,un(x 0 0 , x1, . . .,xn)) =<br />
= h(x1, . . ., xn)<br />
<strong>de</strong>ci u este solut¸ia problemei Cauchy.<br />
Pentru unicitate sǎ presupunem cǎ u este o altǎ solut¸ie a problemei Cauchy<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe V . Rezultǎ cǎ existǎ γ astfel ca<br />
u(x0, x1, . . .,xn) = γ(u1(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).<br />
k=1
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare 167<br />
De aici rezultǎ cǎ<br />
h(x1, . . ., xn) = u(x 0 0 , x1, . . ., xn) = γ(x1, . . ., xn);<br />
¸si <strong>de</strong>ci u coinci<strong>de</strong> cu u.<br />
Dacǎ în punctul (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) avem<br />
fk(x 0 0 , x01 , . . .,x0 n ) = 0,<br />
atunci se poate formula un rezultat analog pentru o funct¸ie h <strong>de</strong>finitǎ pe o<br />
vecinǎtate <strong>de</strong>schisǎ a punctului (x 0 0, x 0 1, . . ., x 0 k−1 , x0 k+1 , . . .,x0 n).<br />
Problema 5.1.1<br />
O funct¸ie u = u(x1, x2, . . .,xn) se zice funct¸ie omogenǎ <strong>de</strong> grad zero în sens<br />
Euler dacǎ pentru orice λ ∈ IR 1 + avem<br />
u(λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) = u(x1, x2, . . .,xn).<br />
Arǎtat¸i cǎ funct¸ia u = u(x1, x2, . . .,xn) <strong>de</strong> clasǎ C1 este omogenǎ <strong>de</strong> grad<br />
zero în sens Euler dacǎ ¸si numai dacǎ existǎ γ = γ(ξ1, ξ2, . . ., ξn−1) astfel ca:<br />
<br />
x1<br />
u(x1, x2, . . .,xn) = γ ,<br />
xn<br />
x2<br />
, . . .,<br />
xn<br />
xn−1<br />
<br />
.<br />
xn<br />
Rezolvare: Din<br />
u(λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) = u(x1, x2, . . .,xn)<br />
rezultǎ cǎ d<br />
dλ [u(λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn)] = 0 adicǎ:<br />
∂u<br />
x1 (λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) + . . .+<br />
∂x1<br />
∂u<br />
xn (λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) = 0, (∀)λ > 0.<br />
∂xn<br />
Pentru λ = 1 rezultǎ:<br />
∂u<br />
∂u<br />
x1 (x1, x2, . . .,xn) + . . . + xn (x1, x2, . . .,xn) = 0, (∀)(x1, x2, . . .,xn),<br />
∂x1<br />
∂xn<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> avem cǎ:<br />
u(x1, x2, . . .,xn) = γ<br />
x1<br />
xn<br />
, x2<br />
, . . .,<br />
xn<br />
xn−1<br />
<br />
.<br />
xn
168 CAPITOLUL 5<br />
Exercit¸ii:<br />
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare:<br />
a) y · ∂u ∂u<br />
− x ·<br />
∂x ∂y<br />
b) x · ∂u ∂u<br />
+ y ·<br />
∂x ∂y<br />
= 0<br />
R: u(x, y) = γ(x 2 + y 2 )<br />
= 0<br />
R: u(x, y) = γ<br />
c) x · ∂u ∂u ∂u<br />
− 2y · − z ·<br />
∂x ∂y ∂z<br />
<br />
y<br />
<br />
x<br />
= 0<br />
R: u(x, y, z) = γ x √ y, xz <br />
d) xy · ∂u<br />
∂x − 1 − y2 <br />
y · ∂u<br />
<br />
∂u<br />
− z · = xy ·<br />
∂y ∂z<br />
∂u<br />
∂z<br />
R: u(x, y, z) = γ<br />
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme Cauchy:<br />
a) x · ∂u ∂u<br />
+ y ·<br />
∂x ∂y<br />
= 0; u(x, 1) = x<br />
<br />
2yz + x( y + 1 − y2 <br />
arcsin y , x · e<br />
R: u(x, y) = x<br />
y
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniare 169<br />
b) √ x · ∂u<br />
∂x + √ y · ∂u<br />
∂y + √ z · ∂u<br />
∂z<br />
c) (1 + x2 ) · ∂u ∂u<br />
+ xy ·<br />
∂x ∂y<br />
= 0; u(1, y, z) = y − z<br />
R: u(x, y, z) = y + z − 2 √ yz<br />
= 0; u(0, y) = y2<br />
R: u(x, y) = y2<br />
1 + x 2
170 CAPITOLUL 5<br />
5.2 Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
cvasiliniare<br />
Definit¸ia 5.2.1 O ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi cvasiliniarǎ<br />
este o relat¸ie <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma:<br />
n ∂u<br />
· fi(x1, . . .,xn, u) − g(x1, . . .,xn, u) = 0 (5.3)<br />
∂xi<br />
i=1<br />
dintre funct¸ia necunoscutǎ u = u(x1, . . .,xn) ¸si <strong>de</strong>rivatele part¸iale<br />
∂u<br />
,i = 1, n ale acesteia.<br />
∂xi<br />
Funct¸iile f1, . . ., fn ¸si g în ecuat¸ia (5.3) se consi<strong>de</strong>rǎ date:<br />
fi, g : Ω ⊂ IR n+1 −→ R 1<br />
¸si sunt presupuse <strong>de</strong> clasǎ C1 .<br />
Ecuat¸ia (5.3) se nume¸ste cvasiliniarǎ pentru cǎ este liniarǎ în <strong>de</strong>rivatele<br />
part¸iale ∂u<br />
, dar nu este liniarǎ în general în u.<br />
∂xk<br />
Definit¸ia 5.2.2 O solut¸ie a ecuat¸iei (5.3) este o funct¸ie:<br />
u : D ⊂ R n −→ R 1<br />
<strong>de</strong> clasǎ C 1 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1, . . ., xn) ∈ D punctul<br />
(x1, . . ., xn, u(x1, . . .,xn)) ∈ Ω ¸si<br />
în D.<br />
n ∂u<br />
(x1, . . .,xn) · fi(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))−<br />
∂xi<br />
i=1<br />
g(x1, . . ., xn, u(x1, . . .,xn)) ≡ 0<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iilor ecuat¸iei (5.3) consi<strong>de</strong>rǎm ecuat¸ia cu <strong>de</strong>rivate<br />
part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniarǎ:<br />
n<br />
i=1<br />
∂v<br />
∂xi<br />
cu (x1, . . ., xn, u) ∈ Ω<br />
· fi(x1, . . .,xn, u) + ∂v<br />
∂u · g(x1, . . .,xn, u) = 0 (5.4)
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi cvasiliniare 171<br />
Teorema 5.2.1 Dacǎ v este solut¸ie a ecuat¸iei (5.4) <strong>de</strong>fintǎ pe Ω ′ ⊂ Ω, iar<br />
(x 0 1, . . .,x 0 n, u 0 ) ∈ Ω ′ ¸si<br />
∂v<br />
∂u (x0 1, . . .,x 0 n, u 0 ) = 0<br />
atunci funct¸ia u = u(x1, . . .,xn) <strong>de</strong>finitǎ implicit <strong>prin</strong> ecuat¸ia<br />
este o solut¸ie a ecuat¸iei (5.3).<br />
v(x1, . . .,xn, u) − v(x 0 1 , . . .,x0 n , u0 ) = 0<br />
Demonstrat¸ie: Fie u = u(x1, . . .,xn) funct¸ia <strong>de</strong>finitǎ implicit <strong>prin</strong> ecuat¸ia<br />
Avem:<br />
v(x1, . . .,xn, u) − v(x 0 1 , . . .,x0 n , u0 ) = 0.<br />
v(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) − v(x 0 1 , . . .,x0 n , u0 ) ≡ 0<br />
¸si <strong>prin</strong> <strong>de</strong>rivare în raport cu xk gǎsim:<br />
∂v<br />
(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))+<br />
∂xk<br />
∂v<br />
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . ., xn)) · ∂u<br />
(x1, . . .,xn) ≡ 0<br />
∂xk<br />
pentru k = 1, 2, . . ., n.<br />
Înmult¸ind pe rând aceste egalitǎt¸i cu fk(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) ¸si adunândule<br />
gǎsim:<br />
n ∂v<br />
(X, u(X)) · fk(X, u(X))+<br />
∂xk<br />
k=1<br />
∂v<br />
(X, u(X)) ·<br />
∂u<br />
n ∂u<br />
(X, u(X)) · fk(X, u(X)) ≡ 0<br />
∂xk<br />
k=1<br />
un<strong>de</strong> X = (x1, . . .,xn).<br />
Dar v fiind solut¸ie a ecuat¸iei (5.4) are loc<br />
n ∂v<br />
(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · fk(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))+<br />
∂xk<br />
k=1
172 CAPITOLUL 5<br />
+ ∂v<br />
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · g(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) ≡ 0<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare:<br />
∂v<br />
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · g(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) =<br />
∂v<br />
∂u (x1, ..., xn, u(x1, ..., xn))·<br />
n ∂u<br />
(x1, ..., xn)·fk(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)).<br />
∂xk<br />
k=1<br />
T¸inem seamǎ <strong>de</strong> faptul cǎ ∂v<br />
∂u (x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)) = 0 <strong>de</strong>ducem egalitatea:<br />
n ∂u<br />
(x1, ..., xn) · fi(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn))=g(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)).<br />
∂xk<br />
k=1<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia u = u(x1, . . .,xn) este solut¸ie a ecuat¸iei (5.3).<br />
Teorema aratǎ cǎ rezolvarea ecuat¸iilor cvasiliniare cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> întâi se reduce la rezolvarea ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi liniare.<br />
Definit¸ia 5.2.3 Pentru (x0 1 , . . .,x0 n ) ∈ Ω problema gǎsirii unei solut¸ii<br />
u(x1, . . .,xn) a ecuat¸iei (5.3) astfel încât<br />
u(x 0 1 , x2, . . .,xn) = ξ(x2, . . .,xn),<br />
ξ fiind o funct¸ie datǎ <strong>de</strong> clasǎ C 1 se nume¸ste problemǎ Cauchy pentru ecuat¸ia<br />
(5.3).<br />
Teorema 5.2.2 Dacǎ f1(x 0 1, . . .,x 0 n, ξ(x 0 2, . . .,x 0 n)) = 0, atunci existǎ o<br />
vecinǎtate <strong>de</strong>schisǎ V a punctului (x 0 1 , . . .,x0 n ) ¸si o solut¸ie u=u(x1, ..., xn)<br />
a ecuat¸iei (5.3) <strong>de</strong>finitǎ pe V astfel încât<br />
u(x 0 1 , x2, . . .,xn) = ξ(x2, . . .,xn).<br />
Demonstrat¸ie: Existǎ n solut¸ii v1, v2, . . .,vn ale ecuat¸iei (5.4) <strong>de</strong>finite pe o<br />
vecinǎtate a punctului (x 0 1, . . .,x 0 n, ξ(x 0 2, . . .,x 0 n)) astfel încât<br />
vk(x 0 1 , x2, . . .,xn, u) = xk+1, k = 1, 2, . . ., n − 1
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi cvasiliniare 173<br />
¸si<br />
Funct¸ia v <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong>:<br />
vn(x 0 1, x2, . . .,xn, u) = u.<br />
v(x1, . . .,xn, u) = vn(x1, . . .,xn, u)−<br />
−ξ(v1(x1, . . .,xn, u), . . ., vn−1(x1, . . .,xn, u))<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei (5.4) (este obt¸inutǎ ca funct¸ie <strong>de</strong> cele n integrale prime<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte) ¸si<br />
v(x 0 1 , x2, . . .,xn, u) = u − ξ(x2, . . ., xn).<br />
Din teorema funct¸iilor implicite rezultǎ cǎ existǎ o vecinǎtate V a punctului<br />
(x 0 1, . . .,x 0 n) ¸si o funct¸ie u = u(x1, . . ., xn) <strong>de</strong> clasǎ C 1 <strong>de</strong>finitǎ pe aceastǎ<br />
vecinǎtate astfel încât<br />
v(x1, . . ., xn, u(x1, . . ., xn)) ≡ 0.<br />
Deoarece<br />
∂v<br />
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) = 0<br />
din teorema prece<strong>de</strong>ntǎ rezultǎ cǎ u = u(x1, . . .,xn) este solut¸ie a ecuat¸iei<br />
(5.3).<br />
Avem:<br />
v(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))−<br />
−ξ(v1(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)), . . ., vn−1(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)) ≡ 0<br />
<strong>de</strong>ci în xi avem:<br />
u(x 0 1, x2, . . .,xn) − ξ(x2, . . .,xn) ≡ 0.<br />
Observat¸ia 5.2.1 O ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi <strong>de</strong> forma:<br />
n ∂u<br />
· fi = g (5.5)<br />
∂xi<br />
i=1<br />
se nume¸ste ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniarǎ ¸si neomogenǎ.<br />
Aceastǎ <strong>de</strong>numire se datoreazǎ faptului cǎ pentru g = 0 ecuat¸ia (5.5) este o<br />
ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi liniarǎ (¸si omogenǎ). În ecuat¸ia<br />
(5.5), funct¸iile f1, . . .,fn ¸si g sunt funct¸ii <strong>de</strong> clasǎ C1 ¸si <strong>de</strong>pind <strong>de</strong> variabilele<br />
(x1, . . .,xn) ∈ Ω.<br />
Ecuat¸ia (5.5) se rezolvǎ ca ¸si ecuat¸iile cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
cvasiliniare.
174 CAPITOLUL 5<br />
Exercit¸ii:<br />
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi cvasiliniare:<br />
a) ∂u<br />
∂x · (1 + √ u − x − y) + ∂u<br />
∂y<br />
b)<br />
n<br />
i=1<br />
xi · ∂u<br />
∂xi<br />
= 2<br />
R: γ(u − 2y, y + 2 √ u − x − y) = 0<br />
R: γ<br />
= m · u<br />
x1<br />
xn<br />
, x2<br />
xn<br />
, . . ., xn−1<br />
xn<br />
c) xy · ∂u<br />
∂x − y2 · ∂u<br />
∂y + x(1 + x2 ) = 0<br />
R: γ<br />
<br />
xy u + x2<br />
2<br />
d) 2y4 · ∂u ∂u<br />
− xy ·<br />
∂x ∂y = x√u2 + 1<br />
, u<br />
xm <br />
= 0<br />
n<br />
<br />
x2<br />
+ , xy = 0<br />
4<br />
R: γ x 2 + y 4 , y u + √ u 2 + 1 = 0<br />
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme Cauchy:<br />
a) ∂u ∂u<br />
−<br />
∂x ∂y<br />
b) xy · ∂u<br />
∂x − y2 · ∂u<br />
∂y<br />
y − x<br />
= , u(1, y) = y2<br />
u<br />
R: u 2 (x, y, z) = (x + y − 1) 4 + 2xy − 2(x + y − 1)<br />
= x, u(1, y) = 3<br />
2y<br />
R: u(x, y) = x2 + 2<br />
2xy
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi cvasiliniare 175<br />
c) u · ∂u<br />
∂x + (u2 − x 2 ) · ∂u<br />
∂y + x = 0, u(x, x2 ) = 2x<br />
R: y 2 + u 2 (x, y) = 5 (x · u(x, y) − y)
176 CAPITOLUL 5<br />
5.3 Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor<br />
cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
Pentru calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> întâi Maple folose¸ste funct¸ia pdsolve (find solutions for partial<br />
differential equations (PDEs) and systems of PDEs) cu una din urmǎtoarele<br />
sintaxe :<br />
pdsolve(PDE, f, INTEGRATE, build);<br />
pdsolve(PDE system, funcs, other options);<br />
în care:<br />
PDE - ecuat¸ia cu <strong>de</strong>rivate part¸iale pe care dorim sǎ o rezolvǎm<br />
f - numele funct¸iei necunoscute (implicǎ existent¸a <strong>de</strong>rivatelor<br />
part¸iale ale mai multor funct¸ii)<br />
INTEGRATE -(opt¸ional) indicǎ integrarea automatǎ a ecuat¸iilor<br />
diferent¸iale ordinare care intervin atunci când PDE este<br />
rezolvatǎ cu metoda separǎrii variabilelor<br />
build - (opt¸ional) indicǎ afi¸sarea unei forme explicite (dacǎ<br />
este posibil) a solut¸iei<br />
Pentru exemplificare, consi<strong>de</strong>rǎm ecuat¸ia cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi<br />
liniarǎ:<br />
y · ∂u ∂u<br />
− x ·<br />
∂x ∂y<br />
= 0 (5.6)<br />
Cu instruct¸iunea pdsolve se obt¸ine solut¸ia generalǎ (toate solut¸iile) a<br />
ecuat¸iei:<br />
> PDE1 := y*diff(u(x,y),x)-x*diff(u(x,y),y) = 0;<br />
PDE1 := y ∂<br />
∂ u (x, y) − x u (x, y) = 0<br />
∂x ∂y<br />
> pdsolve(PDE1);<br />
u (x, y) = F1 (x 2 + y 2 )
Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi 177<br />
Se observǎ cǎ, solut¸ia generalǎ este afi¸satǎ cu ajutorul unei funct¸ii F1 care<br />
poate fi orice funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 . Pentru <strong>de</strong>terminarea unei anumite solut¸ii<br />
avem nevoie <strong>de</strong> o condit¸ie init¸ialǎ, dar în sintaxa funct¸iei pdsolve prezentatǎ<br />
anterior nu existǎ nici un parametru care sǎ specifice utilizarea acesteia.<br />
În cele ce urmeazǎ, vom mai <strong>de</strong>termina solut¸ia generalǎ pentru o ecuat¸ie<br />
cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi în care funct¸ia necunoscutǎ este <strong>de</strong> trei<br />
variabile x, y, z:<br />
√ ∂u<br />
x ·<br />
∂x + √ y · ∂u<br />
∂y + √ z · ∂u<br />
= 0 (5.7)<br />
∂z<br />
> PDE3 :=sqrt(x)*diff(u(x,y,z),x)+sqrt(y)*diff(u(x,y,z),y)+<br />
sqrt(z)*diff(u(x,y,z),z) = 0;<br />
PDE3 := √ x ∂<br />
∂xu (x, y, z) + √ y ∂<br />
∂<br />
u (x, y, z) + sqrtz u (x, y, z) = 0<br />
∂y ∂z<br />
> pdsolve(PDE3);<br />
u (x, y, z) = F1 √ x − √ y, √ z − √ y
<strong>Capitolul</strong> 6<br />
Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> al doilea liniare<br />
6.1 Clasificarea ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale<br />
<strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea liniare (clasificarea<br />
problemelor <strong>de</strong> fizicǎ - matematicǎ)<br />
Definit¸ia 6.1.1 O ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea liniarǎ<br />
este o relat¸ie <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma:<br />
n n<br />
aij · ∂2 n u<br />
+ bi ·<br />
∂xi∂xj<br />
∂u<br />
+ c · u + f = 0 (6.1)<br />
∂xi<br />
i=1<br />
j=1<br />
i=1<br />
dintre funct¸ia necunoscutǎ u = u(x1, . . .,xn), <strong>de</strong>rivatele part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong><br />
întâi ¸si <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea ale acesteia.<br />
Funct¸iile aij, bi, c, f : Ω ⊂ IR n → IR 1 din ecuat¸ia (6.1) se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscute<br />
¸si sunt presupuse cel put¸in continue pe Ω.<br />
Definit¸ia 6.1.2 O solut¸ie clasicǎ a ecuat¸iei (6.1) este o funct¸ie<br />
u : D ⊂ Ω → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C 2 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1, . . .,xn) ∈<br />
D avem:<br />
n<br />
i=1<br />
+<br />
n<br />
aij(x1, . . ., xn) · ∂2u (x1, . . ., xn)+<br />
∂xi∂xj<br />
j=1<br />
n<br />
bi(x1, . . .,xn) · ∂u<br />
(x1, . . .,xn)+<br />
∂xi<br />
i=1<br />
178
Clasificarea ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea liniare 179<br />
+c(x1, . . ., xn) · u(x1, . . .,xn) + f(x1, . . .,xn) = 0.<br />
Fie T : Ω → Ω ′ un difeomorfism <strong>de</strong> clasǎ C 2 <strong>de</strong> componente<br />
ξk = ξk(x1, . . ., xn), k = 1, n ¸si u = u(x1, . . .,xn) o solut¸ie a ecuat¸iei (6.1).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia v = u ◦T −1 ¸si din <strong>de</strong>rivarea funct¸iilor compuse obt¸inem:<br />
∂ 2 u<br />
∂xi∂xj<br />
=<br />
n<br />
k=1<br />
n<br />
l=1<br />
∂u<br />
∂xi<br />
∂ 2 v<br />
=<br />
∂ξk∂ξl<br />
n<br />
k=1<br />
· ∂ξk<br />
∂xi<br />
∂v<br />
∂ξk<br />
· ∂ξk<br />
∂xi<br />
· ∂ξl<br />
∂xj<br />
Înlocuind <strong>de</strong>rivatele în ecuat¸ia (6.1) obt¸inem:<br />
un<strong>de</strong>:<br />
n<br />
k=1<br />
n<br />
l=1<br />
b =<br />
akl ·<br />
∂ 2 v<br />
∂xk∂xl<br />
akl =<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
i=1<br />
bi · ∂ξk<br />
∂xi<br />
+<br />
n<br />
k=1<br />
n<br />
j=1<br />
+<br />
bk · ∂v<br />
∂ξk<br />
aij · ∂ξk<br />
∂xi<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
j=1<br />
+<br />
n<br />
k=1<br />
∂v<br />
∂ξk<br />
· ∂2ξk .<br />
∂xi∂xj<br />
+ c · v + f = 0 (6.2)<br />
· ∂ξl<br />
∂xj<br />
aij · ∂2ξk .<br />
∂xi∂xj<br />
Ecuat¸ia (6.2) este echivalentǎ cu ecuat¸ia (6.1), solut¸iile u ale ecuat¸iei (6.1)<br />
obt¸inându-se din solut¸iile v ale ecuat¸iei (6.2) cu formula u = v ◦ T.<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte într-un punct oarecare, fixat (x0 1, . . .,x 0 n) ∈ Ω putem consi<strong>de</strong>ra<br />
forma pǎtraticǎ<br />
n n<br />
i=1<br />
j=1<br />
a 0 ij · yi · yj<br />
un<strong>de</strong> a0 ij = aij(x0 1 , . . .,x0 n ). Prin schimbarea <strong>de</strong> variabile<br />
k=1<br />
l=1<br />
i=1<br />
j=1<br />
yi =<br />
n ∂ξk<br />
k=1<br />
∂xk<br />
forma pǎtraticǎ consi<strong>de</strong>ratǎ se transformǎ în forma pǎtraticǎ:<br />
n n<br />
<br />
n n<br />
a 0 ∂ξk<br />
ij · ·<br />
∂xi<br />
∂ξl<br />
<br />
n n<br />
ηkηl = akl · ηkηl.<br />
∂xj<br />
· ηk<br />
k=1<br />
l=1
180 CAPITOLUL 6<br />
Prin urmare, coeficient¸ii <strong>de</strong>rivatelor part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea se schimbǎ<br />
la fel cu coeficient¸ii formei pǎtratice sub act¸iunea transformǎrii liniare:<br />
yj =<br />
n ∂ξk<br />
· ηk.<br />
∂xi<br />
k=1<br />
Se ¸stie cǎ, <strong>prin</strong> alegerea unei transformǎri liniare a<strong>de</strong>cvate, forma pǎtraticǎ se<br />
poate fi adusǎ la forma diagonalǎ:<br />
aduce la forma canonicǎ (adicǎ matricea a 0 ij<br />
|a 0 ii| = 1 sau 0 ¸si, a 0 ij = 0 dacǎ i = j). Aceasta înseamnǎ cǎ alegând în mod<br />
a<strong>de</strong>cvat transformarea ξk = ξk(x1, ..., xn), k = 1, n, coeficient¸ii <strong>de</strong>rivatelor<br />
part¸iale ∂2 v<br />
∂ξ 2 k<br />
în punctul ξk = ξk(x0 1 , ..., x0n ), k = 1, n vor fi egali cu +1, −1 sau<br />
0, iar coeficient¸ii <strong>de</strong>rivatelor part¸iale ∂2v vor fi nuli.<br />
∂ξk∂ξl<br />
Conform legii inert¸iei, numǎrul coeficient¸ilor a0 ii pozitivi, negativi sau nuli<br />
nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> transformarea liniarǎ care aduce forma pǎtraticǎ la forma<br />
canonicǎ. Aceasta permite sǎ dǎm urmǎtoarea <strong>de</strong>finit¸ie:<br />
Definit¸ia 6.1.3<br />
i) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este elipticǎ în punctul (x0 1 , . . .,x0 n ) dacǎ tot¸i<br />
cei n coeficient¸i a0 ii sunt <strong>de</strong> acela¸si semn.<br />
ii) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este hiperbolicǎ în punctul (x 0 1 , . . .,x0 n<br />
) dacǎ<br />
(n − 1) coeficient¸i a 0 ii au acela¸si semn ¸si unul din coeficient¸i are<br />
semn contrar.<br />
iii) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este ultra-hiperbolicǎ în punctul (x 0 1 , . . .,x0 n )<br />
dacǎ <strong>prin</strong>tre coeficient¸ii a 0 ii existǎ m coeficient¸i <strong>de</strong> un semn ¸si n − m<br />
coeficient¸i <strong>de</strong> semn contrar.<br />
iv) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este parabolicǎ dacǎ cel put¸in unul din coeficient¸ii<br />
a 0 ii este nul.<br />
Observat¸ia 6.1.1 În acord cu <strong>de</strong>finit¸ia anterioarǎ, ecuat¸ia (6.1) are una<br />
dintre urmǎtoarele forme standard:<br />
i) Ecuat¸ie <strong>de</strong> tip eliptic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):<br />
∂ 2 v<br />
∂ξ 2 1<br />
+ ∂2 v<br />
∂ξ 2 2<br />
+ . . . + ∂2v + Φ = 0; (6.3)<br />
∂ξn
Clasificarea ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea liniare 181<br />
ii) Ecuat¸ie <strong>de</strong> tip hiperbolic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):<br />
∂2v =<br />
∂ξ1 n<br />
i=2<br />
∂ 2 v<br />
∂ξ 2 i<br />
iii) Ecuat¸ie <strong>de</strong> tip ultra-hiperbolic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):<br />
m<br />
i=1<br />
iii) Ecuat¸ie <strong>de</strong> tip parabolic:<br />
n−m <br />
i=1<br />
∂ 2 v<br />
∂ξ 2 i<br />
=<br />
n<br />
i=m+1<br />
+ Φ; (6.4)<br />
∂ 2 v<br />
∂ξ 2 i<br />
+ Φ; (6.5)<br />
<br />
± ∂2v ∂ξ2 <br />
+ Φ = 0, (m > 0). (6.6)<br />
i<br />
Tipul ecuat¸iei (6.1) în (x0 1 , . . ., x0n ) se <strong>de</strong>terminǎ <strong>prin</strong> aducerea formei pǎtratice:<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
j=1<br />
a 0 ij yi yj<br />
la forma canonicǎ. Ecuat¸ia poate fi adusǎ la una din formele standard prezentate<br />
alegând transformarea ξk = ξk(x1, . . .,ξn), k = 1, n astfel încât transformarea<br />
liniarǎ:<br />
yi =<br />
n ∂ξk<br />
k=1<br />
∂xi<br />
(x 0 1 , . . .,xi n ) · ηk<br />
sǎ aducǎ forma pǎtraticǎ la forma canonicǎ.<br />
Sǎ examinǎm în continuare problema posibilitǎt¸ii aducerii ecuat¸iei (6.1)<br />
la ”forma canonicǎ” (una din formele prezentate) într-o vecinǎtate a unui<br />
punct (x1, . . .,xn), în condit¸iile în care în toate punctele acestei vecinǎtǎt¸i<br />
ecuat¸ia apart¸ine aceluia¸si tip.<br />
Pentru a aduce ecuat¸ia (6.1) la forma canonicǎ într-un anumit domeniu ar<br />
trebui, în primul rând, sǎ impunem funct¸iilor ξk(x1 . . .,xn), k = 1, n condit¸iile<br />
n(n − 1)<br />
diferent¸iale akl = 0 pentru k = l. Numǎrul acestor condit¸ii este<br />
2<br />
¸si este mai mic <strong>de</strong>cât n (n reprezintǎ numǎrul funct¸iilor ξk, k = 1, n) dacǎ<br />
n < 3. De aceea pentru n > 3 ecuat¸ia (6.1) nu poate fi adusǎ la forma
182 CAPITOLUL 6<br />
canonicǎ în vecinǎtatea unui punct (x1, . . .,xn).<br />
Pentru n = 3 elementele nediagonale ar putea fi anulate în general, însǎ elementele<br />
diagonale ar putea fi diferite <strong>de</strong> ±1,0. Deci, nici în acest caz, ecuat¸ia<br />
(6.1) nu poate fi adusǎ la forma canonicǎ în vecinǎtatea unui punct.<br />
Doar pentru n = 2, putem anula unicul coeficient nediagonal ¸si satisface<br />
condit¸ia <strong>de</strong> egalitate a celor doi coeficient¸i diagonali. Aceasta înseamnǎ<br />
cǎ doar în cazul n = 2 putem aduce ecuat¸ia cu <strong>de</strong>rivate part¸iale la forma<br />
canonicǎ pe o vecinǎtate.<br />
Exercit¸ii<br />
1. Aducet¸i la forma canonicǎ ecuat¸ia:<br />
a11 · ∂2u ∂x2 + 2a12 · ∂2u ∂x∂y + a22 · ∂2u ∂y2 + b1 · ∂u<br />
∂x + b2 · ∂u<br />
+ c · u + f(x, y) = 0<br />
∂y<br />
un<strong>de</strong> aij, bi, c sunt constante.<br />
R: Scriind ecuat¸ia caracteristicǎ asociatǎ:<br />
a11<br />
2 dy<br />
− 2a12<br />
dx<br />
<br />
dy<br />
+ a22 = 0<br />
dx<br />
se obt¸ine discriminantul: ∆ = (a12) 2 − a11 · a22.<br />
- dacǎ ∆ > 0 (cazul ecuat¸iei hiperbolice), atunci ecuat¸ia caracteristicǎ<br />
are douǎ rǎdǎcini reale:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
dy<br />
dx = a12 + (a12) 2 − a11 · a22<br />
a11<br />
dy<br />
dx = a12 − (a12) 2 − a11 · a22<br />
a11<br />
Se rezolvǎ aceste ecuat¸ii diferent¸iale ordinare ¸si se obt¸ine<br />
f(x, y) = c1, respectiv g(x, y) = c2.<br />
Schimbarea <strong>de</strong> variabile care ne va duce la forma canonicǎ va fi:<br />
ξ(x, y) = f(x, y)<br />
η(x, y) = g(x, y).
Clasificarea ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> al doilea liniare 183<br />
- dacǎ ∆ = 0 (cazul ecuat¸iei parabolice), atunci ecuat¸ia caracteristicǎ are<br />
douǎ rǎdǎcini reale egale:<br />
dy<br />
dx<br />
a12<br />
= .<br />
a11<br />
Rezolvând aceastǎ ecuat¸ie diferent¸ialǎ ordinarǎ se obt¸ine<br />
f(x, y) = c1 care ne va conduce la schimbarea <strong>de</strong> variabilǎ<br />
ξ(x, y) = f(x, y). Pentru η(x, y) se alege convenabil o funct¸ie g(x, y)<br />
astfel încât sǎ fie în<strong>de</strong>plinite proprietǎt¸ile schimbǎrii <strong>de</strong> variabile, <strong>de</strong><br />
exemplu:<br />
ξ(x, y) = f(x, y)<br />
η(x, y) = x<br />
ξ(x, y) = f(x, y)<br />
η(x, y) = y.<br />
- dacǎ ∆ < 0 (cazul ecuat¸iei eliptice), atunci ecuat¸ia caracteristicǎ are<br />
douǎ rǎdǎcini complexe:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
dy<br />
dx<br />
dy<br />
dx<br />
a12<br />
= + i<br />
a11<br />
a11 · a22 − (a12) 2<br />
a12<br />
= − i<br />
a11<br />
a11 · a22 − (a12) 2<br />
Rezolvând aceste ecuat¸ii diferent¸iale ordinare se obt¸in<br />
α(x, y) ± iβ(x, y) = τ care ne va conduce la schimbarea <strong>de</strong> variabilǎ:<br />
ξ(x, y) = α(x, y)<br />
η(x, y) = β(x, y).<br />
2. Sǎ se gǎseascǎ domeniile <strong>de</strong> elipticitate, hiperbolicitate ¸si parabolicitate<br />
ale ecuat¸iei:<br />
y · ∂2 u<br />
∂x2 + x · ∂2u ∂y<br />
R: Deoarece ∆ = b 2 − ac = −xy avem cǎ:<br />
2 = 0<br />
- ecuat¸ia este <strong>de</strong> tip hiperbolic (∆ > 0) în cadranele II ¸si IV;<br />
- ecuat¸ia este <strong>de</strong> tip eliptic (∆ < 0) în cadranele I ¸si III.
184 CAPITOLUL 6<br />
3. Sǎ se aducǎ la forma canonicǎ ecuat¸iile:<br />
a) ∂2 u<br />
∂x 2 + 2 · ∂2 u<br />
∂x∂y + ∂2u = 0<br />
∂y2 R: Ecuat¸ia este <strong>de</strong> tip parabolic (∆ = 0); forma canonicǎ este: ∂2v = 0;<br />
∂η2 b) x2 · ∂2u ∂x2 − 4 · y2 · ∂u<br />
∂y<br />
= 0, x, y > 0<br />
2<br />
R: Ecuat¸ia este <strong>de</strong> tip hiperbolic (∆ > 0); forma canonicǎ este:<br />
∂2v 3 ∂v 1 ∂v<br />
− · − · = 0;<br />
∂ξ∂η 8 ∂ξ 8 ∂η<br />
c) x2∂2u = 0, x, y > 0<br />
2<br />
R: Ecuat¸ia este <strong>de</strong> tip eliptic (∆ < 0); forma canonicǎ este:<br />
∂2v ∂ξ2 + ∂2v ∂v 1 ∂v<br />
− + · = 0;<br />
∂η2 ∂ξ 2 ∂η<br />
∂x2 + 4 · y2 · ∂2u ∂y
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în douǎ dimensiuni 185<br />
6.2 Formulele lui Green ¸si formule<br />
<strong>de</strong> reprezentare în douǎ dimensiuni<br />
În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate <strong>de</strong> calcul diferent¸ial ¸si integral<br />
pentru funct¸ii <strong>de</strong> douǎ variabile, care intervin frecvent în rezolvarea E.D.P<br />
în douǎ dimensiuni.<br />
Teorema 6.2.1 (legǎtura dintre integrala dublǎ pe un domeniu mǎrginit în<br />
IR 2 ¸si integrala curbilinie pe frontiera acestuia)<br />
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ), iar funct¸iile P, Q : Ω → IR 1 sunt continue pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 1 în Ω,<br />
atunci are loc urmǎtoarea egalitate:<br />
<br />
∂P<br />
+<br />
Ω ∂x1<br />
∂Q<br />
<br />
dx1dx2 =<br />
∂x2<br />
∂Ω<br />
(P · cosα1 + Q · cosα2)ds (6.7)<br />
în care: αi este unghiul dintre versorul n al normalei exterioare la ∂Ω ¸si axa<br />
ei, iar ds este mǎsura elementului <strong>de</strong> arc pe curba ∂Ω.<br />
Demonstrat¸ie: Aceastǎ teoremǎ este obiectul cursului <strong>de</strong> analizǎ matematicǎ<br />
din anul I. Aici redǎm doar cîteva i<strong>de</strong>i din <strong>de</strong>monstrat¸ia acestei teoreme.<br />
Mai întâi, reamintim cǎ egalitatea (6.7) se obt¸ine <strong>prin</strong> adunarea egalitǎt¸ilor:<br />
<br />
∂P<br />
dx1dx2 = P · cosα1 · ds<br />
Ω∂x1<br />
∂Ω<br />
(6.8)<br />
<br />
∂Q<br />
dx1dx2 = Q · cosα2 · ds<br />
∂x2<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare <strong>de</strong>monstrat¸ia egalitǎt¸ii (6.7) revine la <strong>de</strong>monstrat¸ia egalitǎt¸ilor<br />
(6.8).<br />
Prima dintre egalitǎt¸ile (6.8) se obt¸ine calculând integrala dublǎ ca o<br />
integralǎ iteratǎ ¸si interpretând apoi cele obt¸inute ca o integralǎ curbilinie.<br />
Astfel avem:<br />
<br />
Ω<br />
=<br />
∂P<br />
dx1dx2 =<br />
∂x1<br />
d<br />
c<br />
d<br />
c<br />
x +<br />
1 (x2)<br />
x −<br />
1 (x2)<br />
<br />
∂P<br />
dx1 dx2 =<br />
∂x1<br />
P(x + 1 (x2), x2) − P(x − 1 (x2), x2) dx2
186 CAPITOLUL 6<br />
în care intervin curbele:<br />
Γ + :<br />
x1 = x + 1 (x2)<br />
x2 = x2<br />
Γ − :<br />
x1 = x − 1 (x2)<br />
x2 = x2<br />
Figura 29. Ilustrarea elementelor ce intervin in formula lui Green<br />
Pe figurǎ se ve<strong>de</strong> cǎ avem<br />
¸si rezultǎ astfel în continuare:<br />
=<br />
cosα1 = cos∢(τ, Ox2) =<br />
d<br />
c<br />
1<br />
<br />
+<br />
dx 1<br />
1 +<br />
dx2<br />
2<br />
P(x + 1 (x2), x2) − P(x − 1 (x2), x2) dx2 =<br />
d<br />
P(x<br />
c<br />
+ 1 (x2), x2) · cosα1 ·<br />
<br />
+<br />
dx 1<br />
1 +<br />
dx2<br />
2<br />
dx2+
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în douǎ dimensiuni 187<br />
+<br />
d<br />
P(x<br />
c<br />
− 1 (x2), x2) · cosα1 ·<br />
<br />
−<br />
dx1 1 +<br />
dx2<br />
A doua egalitate din (6.8) se obt¸ine asemǎnǎtor.<br />
2<br />
<br />
dx2 =<br />
∂Ω<br />
P cosα1ds<br />
Teorema 6.2.2 (<strong>de</strong> integrare <strong>prin</strong> pǎrt¸i)<br />
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 ¸si frontiera ∂Ω a lui Ω este netedǎ<br />
(part¸ial netedǎ), iar P, Q : Ω → IR 1 sunt funct¸ii continue pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 1<br />
în Ω atunci au loc egalitǎt¸ile:<br />
<br />
<br />
<br />
∂P<br />
· Qdx1dx2 = P · Q · cosαids −<br />
Ω∂xi<br />
∂Ω<br />
Demonstrat¸ie: Pe <strong>de</strong> o parte avem:<br />
<br />
<br />
<br />
∂<br />
∂P<br />
· (P · Q)dx1dx2 = · Qdx1dx2 +<br />
Ω∂xi<br />
Ω∂xi<br />
iar pe <strong>de</strong> altǎ parte avem:<br />
<br />
<br />
∂<br />
· (P · Q)dx1dx2 =<br />
∂xi<br />
Prin egalare rezultǎ egalitatea:<br />
<br />
<br />
∂P<br />
· Qdx1dx2 +<br />
∂xi<br />
Ω<br />
Ω<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> rezultǎ (6.9).<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
Ω<br />
<br />
∂Q<br />
· Pdx1dx2 =<br />
∂xi<br />
P ∂Q<br />
dx1dx2, i = 1, 2 (6.9)<br />
∂xi<br />
Ω<br />
P · Q · cosαi · ds.<br />
∂Ω<br />
∂Q<br />
· Pdx1dx2,<br />
∂xi<br />
P · Q cosαi · ds<br />
Teorema 6.2.3 (prima formulǎ a lui Green)<br />
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 ¸si frontiera ∂Ω a lui Ω este netedǎ<br />
(part¸ial netedǎ), iar funct¸iile P, Q : Ω → IR 1 sunt <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si <strong>de</strong><br />
clasǎ C2 în Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate:<br />
<br />
<br />
P∆Qdx1dx2 = P ·<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
∂Q<br />
<br />
ds − ∇P · ∇Qdx1dx2<br />
∂n Ω<br />
Demonstrat¸ie:<br />
adicǎ:<br />
(6.10)<br />
În formula (6.10): ∆Q reprezintǎ Laplacianul funct¸iei Q<br />
∆Q = ∂2 Q<br />
∂x 2 1<br />
+ ∂2Q ∂x2 ,<br />
2
188 CAPITOLUL 6<br />
iar ∂Q<br />
∂n<br />
este <strong>de</strong>rivata normalǎ <strong>de</strong>finitǎ pe ∂Ω <strong>prin</strong>:<br />
∂Q<br />
∂n<br />
∂Q<br />
= · n1 +<br />
∂x1<br />
∂Q<br />
∂x2<br />
· n2 =<br />
= ∂Q<br />
· cosα1 +<br />
∂x1<br />
∂Q<br />
∂x2<br />
· cosα2<br />
cosαi =< n, ei >= ni, i = 1, 2; ∇P ¸si ∇Q sunt funct¸iile vectoriale (gradient¸ii<br />
funct¸iilor P ¸si Q) <strong>de</strong>finite <strong>prin</strong>:<br />
∇P = ∂P<br />
∂x1<br />
∇Q = ∂Q<br />
∂x1<br />
· e1 + ∂P<br />
∂x2<br />
· e1 + ∂Q<br />
∂x2<br />
Pentru <strong>de</strong>monstrat¸ie se calculeazǎ membrul stâng al egalitǎt¸ii (6.10) t¸inând<br />
seama <strong>de</strong> formula <strong>de</strong> integrare <strong>prin</strong> pǎrt¸i (6.9) ¸si se obt¸ine:<br />
<br />
<br />
∂ ∂Q<br />
P · ∆Qdx1dx2 = P<br />
Ω<br />
Ω ∂x1 ∂x1<br />
<br />
= P · cosα1 ·<br />
∂Ω<br />
∂Q<br />
∂x1<br />
<br />
+ P · cosα2 ·<br />
∂Ω<br />
∂Q<br />
∂x2<br />
<br />
∂Q<br />
= P ·<br />
∂x1<br />
· e2<br />
· e2.<br />
+ ∂<br />
∂x2<br />
<br />
ds −<br />
<br />
ds −<br />
<br />
∂Q<br />
dx1dx2 =<br />
∂x2<br />
Ω<br />
Ω<br />
∂P<br />
∂x1<br />
· ∂Q<br />
dx1dx2 +<br />
∂x1<br />
∂P<br />
·<br />
∂x2<br />
∂Q<br />
dx1dx2 =<br />
∂x2<br />
<br />
· cosα2 ds −<br />
· cos α1 +<br />
∂Ω<br />
∂Q<br />
∂x2<br />
<br />
∂P<br />
− ·<br />
Ω ∂x1<br />
∂Q<br />
dx1dx2 +<br />
∂x1<br />
∂P<br />
·<br />
∂x2<br />
∂Q<br />
<br />
dx1dx2 =<br />
∂x2<br />
<br />
∂Q<br />
= P · · cos α1 +<br />
∂Ω ∂x1<br />
∂Q<br />
<br />
· cosα2 ds−<br />
∂x2<br />
<br />
− ∇P · ∇Qdx1dx2 =<br />
Ω
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în douǎ dimensiuni 189<br />
<br />
=<br />
∂Ω<br />
P · ∂Q<br />
<br />
ds − ∇P · ∇Qdx1dx2.<br />
∂n Ω<br />
Teorema 6.2.4 (cea <strong>de</strong>-a doua formulǎ a lui Green)<br />
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ), iar funct¸iile P, Q : Ω → IR 1 sunt <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 2 în<br />
Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate:<br />
<br />
<br />
(P∆Q − Q∆P)dx1dx2 =<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
<br />
P · ∂Q<br />
<br />
∂P<br />
− Q · ds. (6.11)<br />
∂n ∂n<br />
Demonstrat¸ie: Egalitatea (6.11) se obt¸ine scriind egalitatea (6.10) pentru<br />
funct¸iile P · ∇Q ¸si Q · ∇P dupǎ care se face diferent¸a acestora.<br />
Teorema 6.2.5 (<strong>de</strong> reprezentare a unei funct¸ii <strong>de</strong> douǎ variabile)<br />
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si funct¸ia u : Ω → IR 1 este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω<br />
atunci pentru orice X = (x1, x2) ∈ Ω are loc urmǎtoarea egalitate:<br />
u(X) = − 1<br />
<br />
1<br />
ln<br />
2π Ω X − Y · ∆u(Y )dy1dy2 +<br />
+ 1<br />
<br />
1 ∂u<br />
ln · (Y )dsY −<br />
2π ∂Ω X − Y ∂nY<br />
− 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π<br />
∂<br />
<br />
1<br />
ln dsY . (6.12)<br />
∂nY X − Y <br />
Demonstrat¸ie: Funct¸ia<br />
∂Ω<br />
E(X) = − 1 1<br />
ln<br />
2π X<br />
<strong>de</strong>finitǎ pentru orice X ∈ IR 2 , X = 0 este <strong>de</strong> clasǎ C 2 pe IR 2 \ {0} ¸si are<br />
proprietatea ∆E = 0. Pentru X ∈ IR 2 , X-fixat consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia:<br />
E(X − Y ) = − 1<br />
2π ln<br />
1<br />
X − Y <br />
<strong>de</strong>finitǎ pentru orice Y ∈ IR 2 \ {X}. Aceastǎ funct¸ie <strong>de</strong> Y este <strong>de</strong> clasǎ C 2<br />
¸si are proprietatea ∆Y E(X − Y ) = 0. De asemenea, pentru orice Y ∈ IR 2 ,
190 CAPITOLUL 6<br />
Y -fixat funct¸ia E(X − Y ) = − 1<br />
2π ln<br />
1<br />
X − Y <br />
<strong>de</strong>finitǎ pentru orice X ∈<br />
IR 2 , X = Y este <strong>de</strong> clasǎ C 2 ¸si verificǎ ∆XE(X − Y ) = 0.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm X ∈ Ω, X-fixat ¸si ε > 0 astfel ca, pentru orice Y cu X−Y ≤ ε,<br />
sǎ avem Y ∈ Ω. Notǎm cu B(X, ε) discul centrat în X <strong>de</strong> razǎ ε:<br />
B(X, ε) = {Y : X − Y ≤ ε}<br />
¸si domeniul Ωε = Ω − B(X, ε). Consi<strong>de</strong>rǎm funct¸iile<br />
Y ↦−→ u(Y ) ¸si Y ↦−→ − 1<br />
2π ln<br />
1<br />
X − Y <br />
= E(X − Y ).<br />
Pe domeniul Ωε, ambele funct¸ii sunt <strong>de</strong> clasǎ C 2 , iar pe Ωε sunt <strong>de</strong> clasǎ C 1 .<br />
Scriem cea <strong>de</strong>-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funct¸ii ¸si obt¸inem:<br />
− 1<br />
<br />
1<br />
ln<br />
2π Ωε X − Y · (∆u)(Y )dy1dy2 =<br />
= − 1<br />
<br />
1 ∂u<br />
ln · (Y )dsY +<br />
2π ∂Ωε X − Y ∂nY<br />
<br />
1<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ωε<br />
∂<br />
∂nY<br />
<br />
1<br />
ln<br />
· dsY .<br />
X − Y <br />
Frontiera ∂Ωε a mult¸imii Ωε are douǎ pǎrt¸i: ∂Ωε = ∂Ω ∪ Sε un<strong>de</strong> Sε =<br />
{Y : Y −X = ε}, astfel cǎ integralele din membru drept al acestei egalitǎt¸i<br />
se pot scrie dupǎ cum urmeazǎ:<br />
− 1<br />
2π<br />
<br />
= − 1<br />
<br />
2π<br />
= − 1<br />
<br />
2π<br />
∂Ωε<br />
∂Ω<br />
∂Ω<br />
1 ∂u<br />
ln · (Y )dsY =<br />
X − Y ∂nY<br />
1 ∂u<br />
ln · dsY −<br />
X − Y ∂nY<br />
1<br />
<br />
1 ∂u<br />
ln · dsY =<br />
2π Sε X − Y ∂nY<br />
1 ∂u<br />
ln · (Y )dsY +<br />
X − Y ∂nY<br />
1 ∂n<br />
lnε · 2πε · (Y<br />
2π ∂nY<br />
∗ ).
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în douǎ dimensiuni 191<br />
<br />
1<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ωε<br />
∂<br />
∂nY<br />
= 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
∂nY<br />
+ 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π Sε<br />
∂<br />
∂nY<br />
= 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
∂nY<br />
+ 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π Sε<br />
= 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
∂nY<br />
+ 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π Sε<br />
<br />
1<br />
ln dsY =<br />
X − Y <br />
<br />
1<br />
ln dsY +<br />
X − Y <br />
<br />
1<br />
ln dsY =<br />
X − Y <br />
<br />
1<br />
ln<br />
· dsY +<br />
X − Y <br />
<br />
x1 − y1<br />
X − Y 2 · cosα1 + x2<br />
<br />
− y2<br />
· cos α2 dsY =<br />
X − Y 2 <br />
ln<br />
<br />
1<br />
· dsY +<br />
X − Y <br />
<br />
(x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2<br />
X − Y 3 <br />
dsY =<br />
= 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
<br />
1<br />
ln dsY +<br />
∂n X − Y <br />
<br />
1<br />
1<br />
u(Y ) ·<br />
2π Sε X − Y dsY =<br />
= 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
∂nY<br />
Pentru ε ↦−→ 0 rezultǎ:<br />
lim<br />
ε→0<br />
<br />
1<br />
ln dsY +<br />
X − Y <br />
1<br />
<br />
u(Y )dsY<br />
2πε Sε<br />
− 1<br />
2π<br />
<br />
= − 1<br />
2π<br />
∂Ωε<br />
<br />
ln<br />
∂Ω<br />
1 ∂u<br />
· u(Y )dsY =<br />
X − Y ∂nY<br />
ln<br />
1 ∂u<br />
· u(Y )dsY .<br />
X − Y ∂nY
192 CAPITOLUL 6<br />
lim<br />
ε→0<br />
<br />
1<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ωε<br />
∂<br />
<br />
1<br />
ln dsY =<br />
∂nY X − Y <br />
= 1<br />
2π<br />
<br />
∂Ω<br />
u(Y ) · ∂<br />
<br />
1<br />
ln dsY + u(X).<br />
∂nY X − Y <br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ avem:<br />
− 1<br />
<br />
1<br />
ln<br />
2π Ω X − Y · (∆u)(Y )dy1dy2 =<br />
= − 1<br />
<br />
1 ∂u<br />
ln · (Y )dsY +<br />
2π ∂Ω X − Y ∂nY<br />
<br />
1<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
<br />
1<br />
ln dsY + u(X),<br />
∂nY X − Y <br />
sau<br />
u(X) = − 1<br />
<br />
1<br />
ln · (∆u)(Y )dy1dy2+<br />
2π Ω X − Y <br />
+ 1<br />
<br />
1 ∂u<br />
ln · (Y )dsY −<br />
2π ∂Ω X − Y ∂nY<br />
− 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
∂nY<br />
<br />
1<br />
ln dsY<br />
X − Y <br />
Comentariu: Aceastǎ formulǎ <strong>de</strong> reprezentare permite <strong>de</strong>terminarea funct¸iei<br />
u în toate punctele lui Ω cunoscând urmǎtoarele elemente: Laplacianul<br />
funct¸iei u pe Ω, valorile <strong>de</strong>rivatei normale ∂u<br />
pe frontiera ∂Ω ¸si valorile<br />
funct¸iei u pe frontiera ∂Ω.<br />
Vom arǎta în continuare important¸a acestei formule <strong>de</strong> reprezentare pentru<br />
cazul funct¸iilor armonice.<br />
∂n
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în douǎ dimensiuni 193<br />
Definit¸ia 6.2.1 Zicem cǎ o funct¸ie u : Ω → IR 1 este armonicǎ în Ω dacǎ<br />
funct¸ia u este <strong>de</strong> clasǎ C2 ¸si ∆u = 0, (∀)(x1, x2) ∈ Ω un<strong>de</strong> ∆u reprezintǎ<br />
Laplacianul funct¸iei u:<br />
∆u = ∂2u ∂x2 +<br />
1<br />
∂2u ∂x2 .<br />
2<br />
Observat¸ia 6.2.1 În condit¸iile din teorema <strong>de</strong> reprezentare (6.2.5) dacǎ<br />
funct¸ia u este armonicǎ în Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C1 pe ¯ Ω atunci avem:<br />
u(X) = 1<br />
<br />
1 ∂u<br />
ln · (Y )dsY −<br />
2π ∂Ω X − Y ∂nY<br />
− 1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π ∂Ω<br />
∂<br />
<br />
1<br />
ln dsY<br />
∂nY X − Y <br />
Teorema 6.2.6 (<strong>de</strong> reprezentare a funct¸iilor armonice)<br />
Dacǎ u : Ω ⊂ IR 2 → IR 1 este o funct¸ie armonicǎ pe domeniul Ω atunci<br />
(∀)X ∈ Ω ¸si (∀)r > 0 pentru care discul:<br />
este inclus în Ω, are loc egalitatea:<br />
B(X, r) = {Y : Y − X ≤ r}<br />
u(X) = 1<br />
2πr<br />
<br />
∂B(X,r)<br />
u(Y )dsY<br />
(6.13)<br />
Demonstrat¸ie: Scriind formula <strong>de</strong> reprezentare (6.12) pentru funct¸ia armonicǎ<br />
u pe B(X, r) se obt¸ine egalitatea:<br />
u(X) = 1<br />
<br />
ln<br />
2π<br />
1 ∂u<br />
· (Y )dsY +<br />
r ∂nY<br />
1<br />
<br />
u(Y ) ·<br />
2π<br />
1<br />
r dsY<br />
sau<br />
∂B(X,r)<br />
∂B(X,r)<br />
u(X) = 1<br />
<br />
u(Y )dsY +<br />
2πr ∂B(X,r)<br />
1<br />
<br />
1<br />
· ln<br />
2π r ∂B(X,r)<br />
Arǎtǎm în continuare cǎ<br />
<br />
∂B(X,r)<br />
∂u<br />
(Y )dsY = 0.<br />
∂nY<br />
∂u<br />
(Y )dsY .<br />
∂nY
194 CAPITOLUL 6<br />
Pentru aceasta, consi<strong>de</strong>rǎm pe discul B(X, r) funct¸iile P ≡ 1 ¸si Q = u ¸si<br />
aplicǎm prima formulǎ a lui Green:<br />
<br />
<br />
P · ∆Qdy1dy2 = P ·<br />
B(X,r)<br />
∂B(X,r)<br />
∂Q<br />
<br />
dsY − ∇P · ∇Qdy1dy2<br />
∂nY B(X,r)<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> se obt¸ine:<br />
<br />
0 =<br />
∂B(X,r)<br />
P · ∂Q<br />
<br />
dsY =<br />
∂nY ∂B(X,r)<br />
∂u<br />
dsY .<br />
∂nY<br />
Observat¸ia 6.2.2 Din <strong>de</strong>monstrat¸ie rezultǎ cǎ integrala <strong>de</strong>rivatei normale<br />
a unei funct¸ii armonice pe un cerc este zero:<br />
<br />
∂u<br />
(Y )dsY = 0.<br />
∂B(X,r) ∂nY<br />
Acest rezultat se poate generaliza.<br />
Consecint¸a 6.2.1 Dacǎ u este o funct¸ie armonicǎ <strong>de</strong> clasǎ C 2 pe Ω ¸si este<br />
<strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea:<br />
<br />
∂Ω<br />
∂u<br />
(Y )dsY = 0.<br />
∂nY<br />
Demonstrat¸ie: Pentru a <strong>de</strong>monstra aceastǎ egalitate se aplicǎ prima formulǎ<br />
a lui Green în cazul funct¸iilor P ≡ 1 ¸si Q = u:<br />
<br />
<br />
P · ∆Qdx1dx2 = P ·<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
∂Q<br />
<br />
dsY − ∇P · ∇Qdx1dx2<br />
∂nY Ω<br />
adicǎ<br />
<br />
<br />
0= 1 · ∆udx1dx2= 1 ·<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
∂u<br />
<br />
<br />
∂u<br />
dsY − ∇1 · ∇udx1dx2= dsY .<br />
∂nY Ω<br />
∂Ω ∂nY<br />
O altǎ proprietate importantǎ a funct¸iilor armonice se referǎ la localizarea<br />
punctelor în care aceste funct¸ii î¸si ating extremele:<br />
Teorema 6.2.7 (teorema <strong>de</strong> extrem a funct¸iilor armonice)<br />
Dacǎ Ω ∈ IR 2 este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ ¸si funct¸ia<br />
armonicǎ u : Ω → IR 1 este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω, atunci u este constantǎ pe Ω<br />
sau î¸si atinge extremele pe frontiera ∂Ω.
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în douǎ dimensiuni 195<br />
Demonstrat¸ie: Presupunem cǎ funct¸ia u nu este constantǎ pe Ω ¸si dorim<br />
sǎ arǎtǎm cǎ u î¸si atinge extremele pe ∂Ω. Rat¸ionǎm <strong>prin</strong> reducere la absurd<br />
¸si admitem cǎ, existǎ X 0 ∈ Ω astfel încât oricare ar fi X ∈ Ω avem<br />
u(X) ≤ u(X 0 ).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm r0 > 0 astfel încât<br />
B(X 0 , r0) = {Y : Y − X 0 ≤ r0} ⊂ Ω<br />
¸si arǎtǎm cǎ u este constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0).<br />
Dacǎ u nu ar fi constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0) atunci ar exista<br />
X 1 ∈ B(X 0 , r0) astfel încât u(X 1 ) < u(X 0 ). Pentru X 1 , existǎ r1 > 0 astfel<br />
încât pentru orice X ∈ B(X 1 , r1) avem:<br />
u(X) < 1 <br />
0 1<br />
u(X ) + u(X ) .<br />
2<br />
Putem admite cǎ r1 < min{r0 − X 1 − X 0 , X 1 − X 0 } ¸si consi<strong>de</strong>rǎm<br />
numǎrul ρ = X 1 − X 0 > 0. Aplicǎm formula <strong>de</strong> reprezentare a lui u(X 0 )<br />
pe ∂B(X 0 , ρ) ¸si gǎsim:<br />
u(X 0 ) = 1<br />
2πρ<br />
<br />
∂B(X 0 ,ρ)<br />
Frontiera ∂B(X 0 , ρ) se <strong>de</strong>scompune astfel:<br />
u(Y )dsY .<br />
∂B(X 0 , ρ) = ∂B(X 0 , ρ) ∩ B(X 1 , r1) ∪ B(X 0 , ρ) ∩ (Ω \ B(X 1 , r1)) = σ1 ∪ σ2<br />
¸si cu aceastǎ <strong>de</strong>scompunere formula <strong>de</strong> reprezentare <strong>de</strong>vine:<br />
u(X0 ) = 1<br />
2πρ ds<br />
<br />
u(Y )dsY + 1<br />
<br />
2πρ<br />
u(Y )dsY <<br />
σ1<br />
σ2<br />
< 1<br />
<br />
1 <br />
0 1<br />
· u(X ) + u(X ) · dsY +<br />
2πρ 2<br />
σ1<br />
1<br />
2πρ · u(X0 <br />
) · dsY <<br />
σ2<br />
< 1<br />
2πρ · u(X0 ) · 2πρ = u(X 0 ) absurd.<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia u este constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r).<br />
Pentru a arǎta în continuare cǎ pentru orice X ∈ Ω avem u(X) = u(X 0 ) fie
196 CAPITOLUL 6<br />
X∗ ∈ Ω oarecare, X∗ fixat ¸si P o linie poligonalǎ cont¸inutǎ în Ω care leagǎ<br />
punctele X0 ¸si X∗ . Fie <strong>de</strong> asemenea un sens <strong>de</strong> parcurs pe linia poligonalǎ<br />
P <strong>de</strong> la X0 la X∗ . Mult¸imile P ¸si ∂Ω sunt compacte ¸si nu au nici un punct<br />
comun. Prin urmare existǎ r > 0 astfel încât pentru orice X ∈ P discul<br />
închis: B(X, r) = {Y : Y − X ≤ r0} este inclus în Ω; B(X, r) ⊂ Ω. Fie<br />
X2 punctul <strong>de</strong> intersect¸ie dintre linia poligonalǎ P ¸si frontiera bilei B(X0 , r0)<br />
primul întâlnit pe direct¸ia <strong>de</strong> parcurs <strong>de</strong> la X0 la X∗ . În X2 avem<br />
u(X2 ) = u(X0 ) ¸si rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ pentru orice X ∈ B(X2 , r) avem<br />
u(X) = u(X0 ). Astfel se obt¸ine egalitatea u(X) = u(X0 ) pentru orice<br />
X ∈ B(X0 , r0) ∪ B(X2 , r).<br />
În continuare se consi<strong>de</strong>rǎ punctul <strong>de</strong> intersect¸ie X3 dintre P ¸si ∂B(X 2 , r)<br />
primul întâlnit pe direct¸ia <strong>de</strong> parcurs X2 , X∗ . În X3 avem u(X3 ) = u(X0 )<br />
¸si rezultǎ u(X) = u(X 0 ) pentru orice X ∈ B(X 3 , r).<br />
În acest fel, dupǎ un<br />
numǎr finit <strong>de</strong> pa¸si se ajunge la punctul X ∗ capǎtul liniei poligonale P ¸si la<br />
egalitatea u(X ∗ ) = u(X 0 ). Dar aceasta înseamnǎ cǎ funct¸ia u este constantǎ<br />
pe Ω ceea ce este absurd.<br />
S-a <strong>de</strong>monstrat în acest fel cǎ dacǎ funct¸ia armonicǎ u pe Ω î¸si atinge maximul<br />
într-un punct X 0 ∈ Ω, atunci u este constantǎ pe Ω.<br />
Prin urmare: dacǎ o funct¸ie armonicǎ nu este constantǎ pe Ω, atunci î¸si<br />
atinge extremele pe ∂Ω.<br />
Consecint¸a 6.2.2 Dacǎ funct¸ia u este armonicǎ pe Ω ¸si u/∂Ω = 0 atunci<br />
u ≡ 0.<br />
Consecint¸a 6.2.3 Existǎ cel mult o funct¸ie u <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ<br />
C 1 pe Ω care verificǎ: ∆u = F<br />
u/∂Ω = f.<br />
un<strong>de</strong> F ¸si f sunt funct¸ii date: F : Ω → IR 1 continuǎ pe Ω, iar<br />
f : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω.<br />
Demonstrat¸ie: Se rat¸ioneazǎ <strong>prin</strong> reducere la absurd.
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în dimensiunea n ≥ 3 197<br />
6.3 Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong><br />
reprezentare în dimensiunea n ≥ 3<br />
În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate <strong>de</strong> calcul diferent¸ial ¸si <strong>de</strong> calcul<br />
integral pentru funct¸ii <strong>de</strong> n variabile (n ≥ 3), care intervin în rezolvarea<br />
ecuat¸iilor cu <strong>de</strong>rivate part¸iale în dimensiunea n.<br />
Teorema 6.3.1 (<strong>de</strong> legǎturǎ între integrala pe un domeniu mǎrginit ¸si integrala<br />
pe frontiera acestuia)<br />
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si f1, f2, ..., fn sunt n funct¸ii f1, f2, ..., fn : ¯ Ω → IR 1 continue pe ¯ Ω<br />
¸si <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea:<br />
<br />
Ω<br />
<br />
n<br />
<br />
∂fi<br />
dx1 · · ·dxn =<br />
∂xi<br />
i=1<br />
∂Ω i=1<br />
n<br />
fi · cos(¯n, ēi)dS. (6.14)<br />
Demonstrat¸ie: Semnificat¸ia simbolurilor din formula (6.14) este aceea¸si ca<br />
¸si în cazul n = 2, iar <strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei se face în mod analog.<br />
Teorema 6.3.2 (<strong>de</strong> integrare <strong>prin</strong> pǎrt¸i)<br />
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si f, g sunt douǎ funct¸ii f, g : ¯ Ω → IR 1 , continue pe ¯ Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 1<br />
pe Ω, atunci are loc egalitatea:<br />
<br />
Ω<br />
<br />
∂f<br />
·g dx1 · · ·dxn =<br />
∂xi<br />
∂Ω<br />
<br />
f ·g·cos(¯n, ēi)dS −<br />
Demonstrat¸ie: Analoagǎ cu cea din cazul n = 2.<br />
Ω<br />
f · ∂g<br />
dx1 · · ·dxn (6.15)<br />
∂xi<br />
Teorema 6.3.3 (prima formulǎ a lui Green)<br />
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si f, g sunt douǎ funct¸ii f, g : ¯ Ω → IR 1 , <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ<br />
C 2 în Ω, atunci are loc egalitatea:<br />
<br />
Ω<br />
<br />
f ·∆g dx1 · · ·dxn =<br />
∂Ω<br />
f · ∂g<br />
<br />
dS − ∇f ·∇g dx1 · · ·dxn<br />
∂¯n Ω<br />
(6.16)
198 CAPITOLUL 6<br />
Demonstrat¸ie: Simbolurile din formula (6.16) au urmǎtoarele semnificat¸ii:<br />
∆g =<br />
n<br />
i=1<br />
∂2g ∂x2 ,<br />
i<br />
∂g<br />
∂¯n =<br />
n ∂g<br />
cos(¯n, ēi), ∇f =<br />
∂xi<br />
i=1<br />
Teorema se <strong>de</strong>monstreazǎ ca ¸si în cazul n = 2.<br />
Teorema 6.3.4 (a doua formulǎ a lui Green)<br />
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si f, g sunt douǎ funct¸ii f, g : ¯ Ω → IR 1 , <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ<br />
C2 în Ω, atunci are loc egalitatea:<br />
<br />
<br />
(f ·∆g − g·∆f) dx1 · · ·dxn =<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
n<br />
i=1<br />
∂f<br />
∂xi<br />
<br />
f · ∂g<br />
<br />
− g·∂f dS (6.17)<br />
∂¯n ∂¯n<br />
Demonstrat¸ie: Teorema se <strong>de</strong>monstreazǎ ca ¸si în cazul n = 2.<br />
Teorema 6.3.5 (<strong>de</strong> reprezentare a unei funct¸ii <strong>de</strong> n variabile)<br />
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω,<br />
atunci are loc urmǎtoarea formulǎ <strong>de</strong> reprezentare:<br />
<br />
1 1<br />
u(X) = −<br />
(n − 2)σn Ω X − Y n−2 ∆u(Y ) dy1 · · ·dyn +<br />
<br />
1 1<br />
+<br />
(n − 2)σn ∂Ω X − Y n−2 ∂u<br />
(Y ) dSY − (6.18)<br />
∂¯nY<br />
<br />
1<br />
−<br />
u(Y )<br />
(n − 2)σn<br />
∂<br />
<br />
1<br />
∂¯nY X − Y n−2 <br />
dSY<br />
∂Ω<br />
un<strong>de</strong> σn reprezintǎ aria suprafet¸ei bilei<br />
¯B(0, 1) = {Y = (y1, . . ., yn) ∈ IR n | Y ≤ 1}<br />
∂<br />
iar indicele Y la aratǎ cǎ se calculeazǎ <strong>de</strong>rivata normalǎ a funct¸iei<br />
∂¯nY<br />
1<br />
Y ↦→<br />
X − Y n−2; analog dSY .<br />
Demonstrat¸ie: Se face analog cu cazul n = 2.<br />
ēi
Formulele lui Green ¸si formule <strong>de</strong> reprezentare în dimensiunea n ≥ 3 199<br />
Comentariu Formula (6.18) permite construct¸ia funct¸iei u din valorile<br />
Laplacianului ∆u al funct¸iei în Ω, valorile <strong>de</strong>rivatei normale ∂u<br />
a lui u pe<br />
∂¯n<br />
∂Ω ¸si valorile lui u pe ∂Ω.<br />
Vom arǎta ce <strong>de</strong>vine aceastǎ formulǎ <strong>de</strong> reprezentare în cazul funct¸iilor<br />
armonice.<br />
Definit¸ia 6.3.1 Zicem cǎ funct¸ia u : Ω ⊂ IR n → IR 1 este armonicǎ în Ω<br />
dacǎ funct¸ia este <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω ¸si dacǎ<br />
∆u =<br />
n<br />
i=1<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 i<br />
= 0, (∀)(x1, . . .,xn) ∈ Ω.<br />
Observat¸ia 6.3.1 În condit¸iile din Teorema 6.3.5 (<strong>de</strong> reprezentare), dacǎ<br />
funct¸ia u este armonicǎ în Ω, atunci avem:<br />
u(X) =<br />
−<br />
<br />
1<br />
1<br />
(n − 2)σn ∂Ω X − Y n−2 ∂u<br />
(Y ) dSY −<br />
∂¯nY<br />
<br />
u(Y ) ∂<br />
<br />
1<br />
∂¯nY X − Y n−2 <br />
dSY .<br />
∂Ω<br />
Teorema 6.3.6 (<strong>de</strong> reprezentare a funct¸iilor armonice)<br />
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie armonicǎ în Ω<br />
(∆u = 0), atunci pentru orice x ∈ Ω ¸si orice r > 0 astfel încât bila închisǎ<br />
¯B(0, r) = {Y ∈ IR n | Y ≤ r} este inclusǎ în Ω are loc egalitatea:<br />
u(X) =<br />
1<br />
σn r n−2<br />
<br />
∂ ¯ B(X,r)<br />
u(Y ) dSY<br />
Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2.<br />
(6.19)<br />
Observat¸ia 6.3.2 Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω<br />
netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si este<br />
armonicǎ în Ω (∆u = 0 în Ω), atunci:<br />
<br />
∂Ω<br />
∂u<br />
dS = 0.<br />
∂¯n
200 CAPITOLUL 6<br />
Teorema 6.3.7 (<strong>de</strong> extrem a funct¸iilor armonice)<br />
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie continuǎ pe ¯ Ω ¸si armonicǎ în Ω (∆u = 0<br />
în Ω), atunci funct¸ia u este constantǎ sau î¸si atinge extremele pe frontiera<br />
∂Ω.<br />
Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2.<br />
Consecint¸a 6.3.1 Dacǎ ∆u = 0 ¸si u|∂Ω = 0 atunci u = 0.<br />
Consecint¸a 6.3.2 Existǎ cel mult o funct¸ie u <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ<br />
C 1 pe ¯ Ω care verificǎ ∆u = F<br />
u|∂Ω = f<br />
un<strong>de</strong> F ¸si f sunt douǎ funct¸ii date, F : ¯ Ω → IR 1 este continuǎ pe ¯ Ω ¸si<br />
f : ∂Ω → IR 1 este continuǎ pe ∂Ω.
Probleme la limitǎ pentru ecuat¸ia lui Poisson 201<br />
6.4 Probleme la limitǎ pentru<br />
ecuat¸ia lui Poisson<br />
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si<br />
f o funct¸ie f : ¯ Ω → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω.<br />
Definit¸ia 6.4.1 Ecuat¸ia lui Poisson este o relat¸ie <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ<br />
<strong>de</strong> forma<br />
−∆u = f(X), (∀)X = (x1, . . ., xn) ∈ Ω (6.20)<br />
dintre o funct¸ie necunoscutǎ u : Ω → IR 1 ¸si funct¸ia datǎ f <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe ¯ Ω.<br />
n<br />
∂<br />
În ecuat¸ia (6.20) ∆u înseamnǎ<br />
i=1<br />
2u ∂x2 (adicǎ Laplacianul funct¸iei u) iar<br />
i<br />
funct¸ia u : ¯ Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ dacǎ este continuǎ pe ¯ Ω, <strong>de</strong> clasǎ C2 în Ω ¸si satisface egalitatea:<br />
n<br />
i=1<br />
∂2u ∂x2 (x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn), (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω.<br />
i<br />
Definit¸ia 6.4.2 Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Poisson este problema<br />
<strong>de</strong>terminǎrii acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.20) care verificǎ condit¸ia la<br />
frontierǎ<br />
u|∂Ω = h (6.21)<br />
un<strong>de</strong> h este o funct¸ie h : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω consi<strong>de</strong>ratǎ cunoscutǎ.<br />
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Poisson se noteazǎ tradit¸ional:<br />
<br />
−∆u = f,<br />
u|∂Ω = h<br />
(∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω<br />
. (6.22)<br />
Definit¸ia 6.4.3 Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Poisson este problema<br />
<strong>de</strong>terminǎrii acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.20) care verificǎ condit¸ia la<br />
frontierǎ<br />
<br />
∂u<br />
= g (6.23)<br />
∂¯n<br />
∂Ω<br />
un<strong>de</strong> g este o funct¸ie g : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω consi<strong>de</strong>ratǎ cunoscutǎ ¸si<br />
¯n este versorul normalei exterioare.
202 CAPITOLUL 6<br />
Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Poisson se noteazǎ tradit¸ional:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
−∆u = f, (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω<br />
∂u<br />
= g<br />
∂¯n<br />
∂Ω<br />
. (6.24)<br />
Teorema 6.4.1 (<strong>de</strong> unicitate a solut¸iei Problemei Dirichlet)<br />
Dacǎ Problema Dirichlet (6.22) are solut¸ie, aceastǎ solut¸ie este unicǎ.<br />
Demonstrat¸ie: Fie u1 ¸si u2 douǎ solut¸ii ale Problemei Dirichlet (6.22).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia u = u1 − u2 pentru care avem:<br />
∆u = 0 ¸si u|∂Ω = 0.<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici, pe baza <strong>prin</strong>cipiului <strong>de</strong> maxim a funct¸iilor armonice, cǎ<br />
u ≡ 0. Prin urmare u1 = u2.<br />
Teorema 6.4.2 (<strong>de</strong> neunicitate a solut¸iei Problemei Neumann)<br />
Dacǎ u este o solut¸ie a Problemei Neumann (6.24), atunci ¸si u + C este<br />
o solut¸ie a Problemei Neumann, un<strong>de</strong> C este o constantǎ. Dacǎ u, v sunt<br />
solut¸ii ale Problemei Neumann (6.24), atunci u − v = const.<br />
Demonstrat¸ie: Fie u o solut¸ie a problemei (6.24) ¸si v = u + C. Întrucât<br />
∆v = ∆u ¸si ∂v<br />
<br />
<br />
<br />
∂¯n =<br />
∂Ω<br />
∂u<br />
<br />
<br />
<br />
∂¯n = g, rezultǎ cǎ v este solut¸ie a problemei (6.24).<br />
∂Ω<br />
Dacǎ u, v sunt solut¸ii ale problemei (6.24) atunci w = u − v verificǎ:<br />
∆w = 0 ¸si<br />
<br />
∂w<br />
<br />
∂¯n<br />
∂Ω<br />
= 0.<br />
În baza formulelor <strong>de</strong> reprezentare rezultǎ w = const.<br />
Teorema 6.4.3 Condit¸ia necesarǎ pentru ca Problema Neumann (6.24) sǎ<br />
aibǎ solut¸ie este ca funct¸iile f ¸si g sǎ verifice egalitatea:<br />
<br />
g(Y ) dSY + f(Y ) dY = 0. (6.25)<br />
∂Ω<br />
Ω
Probleme la limitǎ pentru ecuat¸ia lui Poisson 203<br />
Demonstrat¸ie: Sǎ presupunem cǎ Problema Neumann (6.24) are o solut¸ie<br />
u. Consi<strong>de</strong>rând funct¸iile u ¸si 1, aplicǎm cea <strong>de</strong>-a doua formulǎ a lui Green<br />
acestor funct¸ii:<br />
<br />
<br />
∂u<br />
(∆u · 1 − u ∆1) dY =<br />
Ω<br />
∂Ω ∂¯nY<br />
T¸inând seama <strong>de</strong> egalitǎt¸ile −∆u = f, ∂u<br />
<br />
<br />
<br />
∂¯nY<br />
obt¸inem relat¸ia (6.25).<br />
∂Ω<br />
− u ∂1<br />
<br />
dSY .<br />
∂¯nY<br />
= g, ∆1 = 0 ¸si ∂1<br />
∂¯nY<br />
= 0<br />
Din cele prezentate pânǎ acum nu rezultǎ cǎ Problema Dirichlet (6.22)<br />
sau Problema Neumann (6.24) are solut¸ie. În paragrafele urmǎtoare vom<br />
prezenta metoda funct¸iilor Green pentru a arǎta cǎ în anumite condit¸ii aceste<br />
probleme au solut¸ie ¸si apoi vom reprezenta aceste solut¸ii.
204 CAPITOLUL 6<br />
6.5 Funct¸ia Green pentru Problema<br />
Dirichlet<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm un domeniu Ω ⊂ IR n mǎrginit, cu frontiera netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ), funct¸ia f : ¯ Ω → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C1 pe ¯ Ω ¸si funct¸ia h : ∂Ω → IR 1<br />
continuǎ pe ∂Ω. Aceste elemente <strong>de</strong>finesc Problema Dirichlet:<br />
<br />
−∆u = f, (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω<br />
. (6.26)<br />
u|∂Ω = h<br />
Definit¸ia 6.5.1 Numim funct¸ie Green pentru o Problemǎ Dirichlet o funct¸ie<br />
G <strong>de</strong> forma:<br />
G(X, Y ) = E(X, Y ) − v(X, Y ) (6.27)<br />
în care<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
1<br />
2π<br />
E(X, Y )=<br />
⎪⎩<br />
ln<br />
1<br />
, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n=2<br />
X −Y <br />
1 1<br />
·<br />
(n−2)σn X −Y n−2, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n>2<br />
iar funct¸ia v(X, Y ) are urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
(6.28)<br />
a) Y ↦→ v(X, Y ) este funct¸ie armonicǎ în Ω ¸si continuǎ pe ¯ Ω pentru orice<br />
X = (x1, . . .,xn) ∈ Ω, X fixat.<br />
b) pentru X ∈ Ω, X fixat, G(X, Y ) = 0, (∀)Y = (y1, . . .,yn) ∈ ∂Ω.<br />
Propozit¸ia 6.5.1 Dacǎ existǎ funct¸ia Green G(X, Y ) pentru Problema<br />
Dirichlet, atunci ea este unicǎ.<br />
Demonstrat¸ie: Dacǎ G1, G2 sunt douǎ funct¸ii Green pentru Problema<br />
Dirichlet, atunci pentru orice X ∈ Ω fixat,<br />
v(X, Y ) = v1(X, Y ) − v2(X, Y )<br />
este funct¸ie armonicǎ în Ω ¸si i<strong>de</strong>ntic nulǎ pe ∂Ω. Rezultǎ v(X, Y ) = 0,<br />
(∀)Y ∈ Ω, ¸si (∀)X ∈ Ω, fixat. Aceasta aratǎ cǎ v(X, Y ) ≡ 0, adicǎ<br />
v1(X, Y ) = v2(X, Y ).
Funct¸ia Green pentru Problema Dirichlet 205<br />
Propozit¸ia 6.5.2 Dacǎ pentru orice X ∈ ¯ Ω funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este <strong>de</strong><br />
clasǎ C 1 pe ¯ Ω, atunci funct¸ia Green este simetricǎ, adicǎ:<br />
G(X1, X2) = G(X2, X1), (∀)X1, X2 ∈ Ω ¸si X1 = X2. (6.29)<br />
Demonstrat¸ie: Se consi<strong>de</strong>rǎ funct¸iile P(Y )=G(X1, Y) ¸si Q(Y )=G(X2, Y) ¸si se<br />
aplicǎ cea <strong>de</strong>-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funct¸ii pe domeniul<br />
Ωε =Ω \ (B(X1,ε) ∪ B(X2,ε)), un<strong>de</strong> B(Xi,ε)={X : X −Xi
206 CAPITOLUL 6<br />
întrucât funct¸ia G(X, Y ) <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong><br />
G(X, Y ) =<br />
1<br />
4πX − Y −<br />
r<br />
4πX ∗ − Y <br />
(6.32)<br />
un<strong>de</strong> X ∗ este conjugatul lui X fat¸ǎ <strong>de</strong> sfera ∂Ω (adicǎ X, X ∗ sunt coliniare<br />
¸si X · X ∗ = r) este funct¸ia Green pentru aceastǎ Problemǎ Dirichlet.<br />
Observat¸ia 6.5.2 Determinarea funct¸iei Green pentru Problema<br />
Dirichlet revine la <strong>de</strong>terminarea funct¸iei v = v(X, Y ) ceea ce revine, conform<br />
<strong>de</strong>finit¸iei funct¸iei Green, la rezolvarea Problemei Dirichlet:<br />
<br />
−∆Y v(X, Y ) = 0<br />
(6.33)<br />
v(X, Y )|Y ∈∂Ω = E(X, Y )|Y ∈∂Ω<br />
Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ <strong>de</strong>cât Problema Dirichlet (6.26)<br />
dar în realitate ea este rezolvatǎ pentru domenii Ω particulare, <strong>prin</strong> meto<strong>de</strong><br />
geometrice. Din acest motiv <strong>de</strong>monstrat¸ia existent¸ei solut¸iei Problemei Dirichlet<br />
(6.26) <strong>prin</strong> folosirea funct¸iei Green se poate face doar pentru domenii Ω<br />
particulare pentru care se ¸stie cǎ existǎ funct¸ia Green.<br />
Exercit¸ii<br />
1. Determinat¸i solut¸ia Problemei Dirichlet:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 1<br />
+ ∂2 u<br />
∂x 2 2<br />
+ ∂2 u<br />
∂x 2 3<br />
= 0, în Ω = {(x1, x2, x3) | x 2 1 + x2 2 + x2 3 < r2 }<br />
u(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) 2 , pentru (x1, x2, x3) ∈ ∂Ω.<br />
2. Determinat¸i funct¸ia Green a Problemei Dirichlet pentru cerc ¸si rezolvat¸i<br />
o Problemǎ Dirichlet pentru cerc.
Funct¸ia Green pentru Problema Neumann 207<br />
6.6 Funct¸ia Green pentru Problema<br />
Neumann<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm Problema Neumann<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
−∆u = f, (∀)(x1, . . .,xn) ∈ Ω<br />
<br />
⎪⎩<br />
∂u<br />
= g<br />
∂¯n<br />
∂Ω<br />
(6.34)<br />
în care f : Ω → IR 1 este funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si g : ∂Ω → IR 1 este funct¸ie<br />
continuǎ.<br />
Presupunem cǎ funct¸iile f ¸si g verificǎ:<br />
<br />
f(Y ) dY + g(Y ) dSY = 0. (6.35)<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
Definit¸ia 6.6.1 Numim funct¸ia Green pentru Problema Neumann (6.34)<br />
orice funct¸ie G <strong>de</strong> forma<br />
G(X, Y ) = E(X, Y ) − v(X, Y ) (6.36)<br />
care verificǎ<br />
∂G<br />
(X, Y ) = 0, (∀)Y = (y1, . . .,yn) ∈ ∂Ω (6.37)<br />
∂¯nY<br />
un<strong>de</strong> v : Ω × Ω → IR 1 ¸si pentru orice Y ∈ Ω fixat funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este<br />
armonicǎ pe Ω, iar E(X, Y ) este <strong>de</strong>finitǎ pentru orice X, Y ∈ Ω, X = Y ¸si<br />
este datǎ <strong>de</strong>:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
1<br />
E(X, Y )=<br />
2π<br />
⎪⎩<br />
ln<br />
1<br />
, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n=2<br />
X −Y <br />
1 1<br />
(6.38)<br />
·<br />
(n−2)σn X −Y n−2, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n>2<br />
Observat¸ia 6.6.1 Dacǎ G1 ¸si G2 sunt funct¸ii Green pentru Problema<br />
Neumann, atunci G1 − G2 = const.<br />
Propozit¸ia 6.6.1 Dacǎ pentru orice X ∈ ¯ Ω funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este <strong>de</strong><br />
clasǎ C 1 pe ¯ Ω, atunci funct¸ia Green pentru Problema Neumann este<br />
simetricǎ:<br />
G(X1, X2) = G(X2, X1), (∀)X1, X2 ∈ Ω ¸si X1 = X2. (6.39)
208 CAPITOLUL 6<br />
Demonstrat¸ie: Analoagǎ cu cea din cazul funct¸iei Green pentru Problema<br />
Dirichlet.<br />
Teorema 6.6.1 Dacǎ G este o funct¸ie Green pentru Problema Neumann<br />
(6.34) ¸si u este o solut¸ie a acestei probleme, atunci existǎ o constantǎ C<br />
astfel ca sǎ aibe loc egalitatea:<br />
<br />
<br />
u(X) = − G(X, Y ) · f(Y ) dY + E(X, Y ) · g(Y ) dSY + C. (6.40)<br />
Ω<br />
Demostrat¸ie: Analoagǎ cu cea <strong>de</strong> la cazul solut¸iei Problemei Dirichlet.<br />
Observat¸ia 6.6.2 Determinarea funct¸iei Green pentru Problema Neumann<br />
revine la <strong>de</strong>terminarea funct¸iei v(X, Y ) ceea ce înseamnǎ, conform <strong>de</strong>finit¸iei<br />
funct¸iei Green pentru Problema Neumann, rezolvarea Problemei Neumann<br />
⎧<br />
−∆Y ⎪⎨<br />
v(X, Y ) = f, (∀)(x1, . . ., xn) ∈ Ω<br />
⎪⎩<br />
<br />
∂v <br />
<br />
∂¯nY<br />
∂Ω<br />
= ∂E<br />
∂¯nY<br />
<br />
<br />
<br />
∂Ω<br />
∂Ω<br />
(6.41)<br />
Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ <strong>de</strong>cât Problema Neumann<br />
(6.34), dar în realitate este complexǎ. De aceea <strong>de</strong>monstrat¸ia existent¸ei<br />
solut¸iei Problemei Neumann (6.34) <strong>prin</strong> folosirea funct¸iei Green se poate<br />
face doar pentru cazuri pentru care se ¸stie cǎ existǎ funct¸ia Green.
Probleme pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 209<br />
6.7 Problemele Dirichlet ¸si Neumann<br />
pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc.<br />
Separarea variabilelor.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm mult¸imea Ω = {(x1, x2) ∈ IR 2 | x 2 1 + x 2 2 < R 2 } care va fi numitǎ<br />
disc centrat în origine ¸si <strong>de</strong> razǎ R.<br />
Ecuat¸ia lui Poisson pe Ω este ecuat¸ia:<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 1<br />
+ ∂2 u<br />
∂x 2 2<br />
= −f(x1, x2) (6.42)<br />
un<strong>de</strong> f este o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe ¯ Ω.<br />
Dacǎ funct¸ia f este i<strong>de</strong>ntic nulǎ, atunci ecuat¸ia lui Poisson <strong>de</strong>vine:<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 1<br />
+ ∂2 u<br />
∂x 2 2<br />
¸si se nume¸ste ecuat¸ia lui Laplace pe discul Ω <strong>de</strong> razǎ R.<br />
= 0 (6.43)<br />
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe discul <strong>de</strong> razǎ R înseamnǎ<br />
<strong>de</strong>terminarea acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.43) care pe frontiera discului ∂Ω<br />
coincid cu o funct¸ie continuǎ h dinainte datǎ, adicǎ<br />
⎧<br />
⎨ ∂<br />
⎩<br />
2u ∂x2 +<br />
1<br />
∂2u ∂x2 = 0, (∀)(x1, x2) ∈ Ω<br />
(6.44)<br />
2<br />
u |∂Ω= h<br />
Solut¸ia acestei Probleme Dirichlet se poate <strong>de</strong>termina folosind funct¸ia<br />
Green pentru Problema Dirichlet.<br />
Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Laplace pe discul <strong>de</strong> razǎ R înseamnǎ<br />
<strong>de</strong>terminarea acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.43) ale cǎror <strong>de</strong>rivatǎ dupǎ direct¸ia<br />
versorului normalei exterioare la ∂Ω coinci<strong>de</strong> cu o funct¸ie continuǎ g dinainte<br />
datǎ pe ∂Ω, adicǎ:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 1<br />
<br />
∂u<br />
<br />
∂n<br />
+ ∂2 u<br />
∂x 2 2<br />
∂Ω<br />
= g<br />
= 0, ∀(x1, x2) ∈ Ω<br />
(6.45)
210 CAPITOLUL 6<br />
Pentru ca problema (6.45) sǎ aibe solut¸ie este necesar ca<br />
<br />
g(Y )dsY = 0 (6.46)<br />
∂Ω<br />
¸si dacǎ aceastǎ condit¸ie este în<strong>de</strong>plinitǎ, atunci, folosind funct¸ia Green pentru<br />
Problema Neumann, se pot <strong>de</strong>termina solut¸iile prolemei (6.45), (care diferǎ<br />
<strong>prin</strong>tr-o constantǎ aditivǎ).<br />
Scopul nostru în acest paragraf este sǎ prezentǎm o altǎ metodǎ, numitǎ<br />
”separarea variabilelor”, cu care se pot <strong>de</strong>termina solut¸iile problemelor (6.44)<br />
¸si (6.45). Deoarece s-a consi<strong>de</strong>rat Ω ca fiind un domeniu circular vom face<br />
mai întâi o schimbare <strong>de</strong> coordonate, mai exact vom scrie problemele (6.44)<br />
¸si (6.45) în coordonate polare:<br />
<br />
x1 = r cos ϕ<br />
, r > 0, ϕ ∈ [0, 2π). (6.47)<br />
x2 = r sin ϕ<br />
Notǎm cu T transformarea (r, ϕ) → (x1, x2) <strong>de</strong>finitǎ <strong>de</strong> (6.47). Dacǎ u este<br />
o funct¸ie care satisface ecuat¸ia (6.43) atunci notǎm cu u funct¸ia u = u ◦ T.<br />
Folosind regulile <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivare ale funct¸iilor compuse <strong>de</strong>ducem cǎ u verificǎ<br />
ecuat¸ia:<br />
∂2u 1<br />
+<br />
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u<br />
+<br />
∂ϕ2 r ∂r<br />
= 0 (6.48)<br />
care se nume¸ste ecuat¸ia lui Laplace în coordonate polare.<br />
Metoda separǎrii variabilelor constǎ în cǎutarea unor solut¸ii u(r, ϕ) <strong>de</strong><br />
forma:<br />
u(r, ϕ) = P(r) · Q(ϕ) (6.49)<br />
adicǎ solut¸ii care sunt produse <strong>de</strong> funct¸ii ce <strong>de</strong>pind fiecare <strong>de</strong> câte o variabilǎ<br />
r, respectiv ϕ. Impunând la (6.49) sǎ verifice (6.48) rezultǎ:<br />
r 2P′′<br />
P<br />
+ rP′<br />
P<br />
= −Q′′ . (6.50)<br />
Q<br />
Membrul stâng în aceastǎ egalitate <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> doar <strong>de</strong> r iar membrul drept <strong>de</strong><br />
ϕ. Cum r ¸si ϕ sunt variabile in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte rezultǎ cǎ fiecare membru este<br />
constant. Dacǎ notǎm cu λ aceastǎ constantǎ atunci <strong>de</strong>ducem din (6.50)<br />
egalitǎt¸ile:<br />
r 2 P ′′ + rP ′ − λP = 0 (6.51)
Probleme pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 211<br />
Q ′′ + λQ = 0 (6.52)<br />
Deoarece funct¸ia u este <strong>de</strong> clasǎ C 2 solut¸ia ecuat¸iei (6.52) trebuie sǎ verifice<br />
Q(0) = Q(2π). De aici rezultǎ cǎ λn = n 2 , n ∈ IN.<br />
Pentru λn = n 2 avem:<br />
Qn(ϕ) = An cosnϕ + Bn sin nϕ (6.53)<br />
în care An ¸si Bn sunt constante arbitrare.<br />
Ecuat¸ia (6.51) este liniarǎ <strong>de</strong> tip Euler ¸si se rezolvǎ fǎcându-se schimbarea<br />
<strong>de</strong> variabilǎ r = e t . Pentru λ = n 2 solut¸ia generalǎ este:<br />
Pn(r) = Cnr n + Dnr −n , dacǎ n = 1, 2, ... (6.54)<br />
P0(r) = A0 + B0 ln r, dacǎ n = 0. (6.55)<br />
Rezultǎ în acest fel cǎ (6.48) admite urmǎtoarea familie <strong>de</strong> solut¸ii:<br />
⎧<br />
⎨<br />
un(r, ϕ) =<br />
⎩<br />
A0 + B0 ln r, n = 0<br />
r n (An cosnϕ + Bn sin nϕ), n = 1, 2, ...<br />
r −n (A−n cosnϕ + B−n sin nϕ), n = 1, 2, ...<br />
în care A0, B0, An, Bn, A−n, B−n sunt constante oarecare.<br />
(6.56)<br />
Observat¸ia 6.7.1 Orice sumǎ finitǎ <strong>de</strong> solut¸ii <strong>de</strong> forma (6.48) este solut¸ie<br />
pentru ecuat¸ia (6.48).<br />
Definit¸ia 6.7.1 O solut¸ie formalǎ a ecuat¸iei lui Laplace în coordonate polare<br />
este o ”funct¸ie” u(r, ϕ) <strong>de</strong> forma:<br />
u(r, ϕ)=A0+B0 lnr+<br />
∞<br />
n=1<br />
[(Anr n +A−nr −n ) cosnϕ+(Bnr n +B−nr −n ) sin nϕ]<br />
(6.57)<br />
Denumirea <strong>de</strong> solut¸ie formalǎ provine <strong>de</strong> la faptul cǎ nu avem informat¸ii<br />
relative la convergent¸a seriei (6.57). Ceea ce este clar este cǎ, termenii seriei<br />
(6.57) sunt solut¸ii ¸si cǎ, dacǎ seria are doar un numǎr finit <strong>de</strong> termeni diferit¸i<br />
<strong>de</strong> zero, atunci suma este o funct¸ie care este solut¸ie a ecuat¸iei lui Laplace.
212 CAPITOLUL 6<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iei Problemei Dirichlet (6.44), mai întâi sriem<br />
problema în coordonate polare:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂2u 1<br />
+<br />
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u<br />
+<br />
∂ϕ2 r ∂r<br />
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)<br />
lim | u(r, ϕ) |< +∞<br />
r→0<br />
u(R, ϕ) = h(ϕ)<br />
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)<br />
un<strong>de</strong> h(ϕ) = h(R cosϕ, R sin ϕ).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm <strong>de</strong>zvoltarea funct¸iei h în serie Fourier în L 2 [0, 2π)<br />
h(ϕ) = a0 +<br />
(6.58)<br />
∞<br />
(an cos nϕ + bn sin nϕ) (6.59)<br />
n=1<br />
¸si impunem solut¸iei formale u(r, ϕ) datǎ <strong>de</strong> (6.57) sǎ verifice condit¸iile (6.58).<br />
Deducem:<br />
A0 = a0, An = an<br />
Rn ¸si Bn = bn<br />
Rn care înlocuite, conduc la solut¸ia formalǎ:<br />
u(r, ϕ) = a0 +<br />
∞<br />
n=1<br />
r n<br />
R n(an cos nϕ + bn sin nϕ). (6.60)<br />
Pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ aceastǎ solut¸ie formalǎ este solut¸ia problemei vom<br />
presupune cǎ funct¸ia h este <strong>de</strong> clasǎ C2 ¸si h(0) = h(2π). În aceste condit¸ii<br />
pentru coeficient¸ii Fourier an, bn ai funct¸iei h putem scrie:<br />
an = − 1<br />
n bn ′ = − 1<br />
n 2an ′′ ¸si bn = 1<br />
n an ′ = − 1<br />
n 2bn ′′ . (6.61)<br />
un<strong>de</strong> a ′ n, b ′ n ¸si a ′′ n, b ′′ n sunt coeficient¸ii Fourier ai funct¸iei h ′ , respectiv h ′′ .<br />
Din apartenent¸a h ′′ ∈ L2 ∞<br />
[0, 2π) avem<br />
(|an ′′ | 2 + |bn ′′ | 2 ) < +∞ <strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
n=1<br />
rezultǎ cǎ existǎ M > 0 astfel încât sǎ avem |an ′′ | ≤ M ¸si |bn ′′ | ≤ M pentru
Probleme pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 213<br />
orice n ∈ IN. De aici ¸si din (6.61) se obt¸ine inegalitatea:<br />
∞<br />
n=1<br />
(|an| 2 + |bn| 2 ) ≤ 2M<br />
∞<br />
n=1<br />
1<br />
< +∞<br />
n2 Cu criteriul lui Weierstrass rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ seria (6.60) este absolut ¸si<br />
uniform convergentǎ pe [0, R] × [0, 2π], <strong>de</strong>ci funct¸ia u(r, ϕ) <strong>de</strong>finitǎ <strong>de</strong> (6.60)<br />
este corect <strong>de</strong>finitǎ ¸si este continuǎ pe [0, R] × [0, 2π].<br />
Derivabilitatea u(r, ϕ) rezultǎ din <strong>de</strong>rivabilitatea termenilor seriei (6.60)<br />
¸si din faptul cǎ seriile obt¸inute <strong>prin</strong> <strong>de</strong>rivare termen cu termen sunt absolut<br />
¸si uniform convergente fiind majorate <strong>de</strong> serii <strong>de</strong> forma<br />
∞<br />
n=1<br />
n p<br />
<br />
r<br />
n [| an | + | bn |], p = 1, 2, ...<br />
R<br />
Calculând suma seriei obt¸inem formula:<br />
u(r, ϕ) = 1<br />
2π<br />
2π<br />
0<br />
R 2 − r 2<br />
h(θ) r2 − 2Rr cos(ϕ − θ) + R2dθ (6.62)<br />
numitǎ formula lui Poisson.<br />
Pentru <strong>de</strong>terminarea solut¸iei Problemei Neumann se proce<strong>de</strong>azǎ<br />
asemǎnǎtor.<br />
Exercit¸ii<br />
1.Gǎsit¸i solut¸ia Problemei Dirichlet:<br />
⎧<br />
⎨ ∂2u + ∂2u ⎩<br />
R: u(x1, x2) = R 2 + 2x1x2<br />
2.Gǎsit¸i solut¸ia Problemei Dirichlet:<br />
⎧<br />
⎨ ∂2u + ∂2u ∂x2 1 ∂x2 = 0, x<br />
2<br />
2 1 + x2 2 < R2 u(x1, x2) = (x1 + x2) 2 , x2 1 + x2 2 = R2 ⎩<br />
∂x2 1 ∂x2 = 0, x<br />
2<br />
2 1 + x22 u(x1, x2) = x1 · x2, x2 1 + x22 < 1<br />
= 1
214 CAPITOLUL 6<br />
R: u(x1, x2) = x1x2<br />
3.Gǎsit¸i solut¸ia Problemei Neumann:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂ 2 u<br />
∂x2 = 0, x<br />
1<br />
2 1 + x22 < R2<br />
∂u<br />
∂n = x1 + x 2 1 − x22 , x21 + x2 2 = R2<br />
+ ∂2 u<br />
∂x 2 2<br />
R: u(x1, x2) = A0 + Rx1 + R<br />
2 (x2 1 − x 2 2)
Calculul simbolic al solut¸iei Problemei Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 215<br />
6.8 Calculul simbolic al solut¸iei Problemei<br />
Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace<br />
pe disc<br />
Cosi<strong>de</strong>rǎm Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe discul <strong>de</strong><br />
razǎ R:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
∂ 2 u<br />
∂x2 + ∂2u ∂y<br />
u |∂Ω= h<br />
2 = 0, (∀)(x, y) ∈ Ω<br />
(6.63)<br />
Funct¸ia pdsolve nu poate gǎsi direct, <strong>prin</strong> calcul simbolic solut¸ia corespunzǎtoare<br />
unei astfel <strong>de</strong> probleme. Astfel, pe baza not¸iunilor teoretice<br />
prezentate în paragraful prece<strong>de</strong>nt (formula pentru solut¸ia formalǎ), vom<br />
prezenta un program in Maple care sǎ afi¸seze expresia analiticǎ a solut¸iei<br />
Problemei Dirichlet (6.63).<br />
Scriind problema în coordonate polare:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂2u 1<br />
+<br />
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u<br />
+<br />
∂ϕ2 r ∂r<br />
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)<br />
lim | u(r, ϕ) |< +∞<br />
r→0<br />
u(R, ϕ) = h(ϕ)<br />
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)<br />
¸si <strong>de</strong>zvoltând funct¸ia h în serie Fourier, se obt¸ine solut¸ia formalǎ:<br />
u(r, ϕ) = a0 +<br />
∞<br />
n=1<br />
în care a0, an, bn sunt coeficient¸ii Fourier:<br />
a0 = 1<br />
2π<br />
π<br />
−π<br />
(6.64)<br />
r n<br />
R n(an cosnϕ + bn sin nϕ). (6.65)<br />
h(ϕ)dϕ an = 1<br />
π<br />
bn = 1<br />
π<br />
π<br />
−π<br />
π<br />
−π<br />
h(ϕ) · sin nϕdϕ<br />
h(ϕ) · cos nϕdϕ
216 CAPITOLUL 6<br />
Aceastǎ solut¸ie formalǎ se obt¸ine în Maple cu ajutorul procedurii DirichletInt:<br />
> restart;<br />
> DirichletInt:=proc(f,R)<br />
local a0,a,b;<br />
> a0:=(1/(2*Pi))*Int(f,phi=-Pi..Pi);<br />
> a:=n->1/Pi*Int(f*cos(n*phi),phi=-Pi..Pi);<br />
> b:=n->1/Pi*Int(f*sin(n*phi),phi=-Pi..Pi);<br />
> a0+add(r^n/R^n*(a(n)*cos(n*phi)+b(n)*sin(n*phi)),n=1..Or<strong>de</strong>r);<br />
> RETURN(map(simplify,value(%)));<br />
> end:<br />
Apelarea acestei proceduri se realizeazǎ cu instruct¸iunea DirichletInt(f, R)<br />
în care f este funct¸ia h din problema (6.64), dupǎ cum se poate observa din<br />
urmǎtoarele exemple:<br />
Exemplul 1:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
∂2u + ∂2u > f:=(x1+x2)^2: R:=R:<br />
∂x2 1 ∂x2 = 0, x<br />
2<br />
2 1 + x22 < R2<br />
u(x1, x2) = (x1 + x2) 2 , x2 1 + x22 = R2<br />
> f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=R,f);<br />
> sol1:=DirichletInt(f,R);<br />
Exemplul 2:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
f := (R cos (φ) + R sin (φ)) 2<br />
sol1 := R 2 + r 2 sin (2 φ)<br />
∂2u + ∂2u ∂x2 1 ∂x2 = 0, x<br />
2<br />
2 1 + x22 u(x1, x2) = x1 · x2, x2 1 + x22 < 1<br />
= 1
Calculul simbolic al solut¸iei Problemei Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 217<br />
> f:=x1*x2: R:=1:<br />
> f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=R,f);<br />
f := cos (φ) sin (φ)<br />
> sol2:=DirichletInt(f,R);<br />
Exemplul 3:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
sol2 := 1/2 r 2 sin (2 φ)<br />
∂2u 1<br />
+<br />
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u<br />
+<br />
∂ϕ2 r ∂r<br />
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)<br />
lim | u(r, ϕ) |< +∞<br />
r→0<br />
u(1, ϕ) = sin 3 ϕ<br />
> f:=sin(phi)^3: R:=1:<br />
> sol3:=DirichletInt(f,R);<br />
Exemplul 4:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
= 0, r < 1, ϕ ∈ [0, 2π)<br />
sol3 := 3/4 r sin (φ) − 1/4 r 3 sin (3 φ)<br />
∂2u 1<br />
+<br />
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u<br />
+<br />
∂ϕ2 r ∂r<br />
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)<br />
lim | u(r, ϕ) |< +∞<br />
r→0<br />
u(1, ϕ) = sin 6 ϕ + cos 6 ϕ<br />
> f:=sin(phi)^6+cos(phi)^6: R:=1:<br />
> sol4:=DirichletInt(f,R);<br />
= 0, r < 1, ϕ ∈ [0, 2π)<br />
sol4 := 5/8 + 3/8 r 4 cos (4 φ)
<strong>Capitolul</strong> 7<br />
Solut¸ii generalizate.<br />
Meto<strong>de</strong> variat¸ionale<br />
În capitolul anterior ne-am ocupat <strong>de</strong> rezolvarea Problemei Dirichlet ¸si a<br />
Problemei Neumann în cazul ecuat¸iei lui Poisson. Particularitatea acestei<br />
ecuat¸ii constǎ în aceea cǎ ecuat¸ia elipticǎ este <strong>de</strong>finitǎ <strong>de</strong> Laplacianul △.<br />
În cele ce urmeazǎ vom consi<strong>de</strong>ra ecuat¸ii eliptice mai generale, numite<br />
ecuat¸ii eliptice <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ pentru care vom formula conceptul <strong>de</strong> Problemǎ<br />
Dirichlet. Pe lângǎ conceptul <strong>de</strong> solut¸ie clasicǎ introducem ¸si conceptul<br />
<strong>de</strong> solut¸ie generalizatǎ ¸si prezentǎm condit¸ii în care solut¸ia generalizatǎ existǎ<br />
¸si este unicǎ.<br />
Deasemenea , în acest capitol introducem Problema Cauchy-Dirichlet<br />
pentru ecuat¸ii parabolice ¸si hiperbolice, ¸si prezentǎm condit¸ii în care solut¸ia<br />
generalizatǎ a acestor probleme existǎ.<br />
218
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 219<br />
7.1 Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si<br />
Problema Dirichlet pentru aceastǎ ecuat¸ie<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm un domeniu mǎrginit Ω ⊂ IR n cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial<br />
netedǎ) ¸si funct¸iile reale aij, c ¸si F <strong>de</strong>finite pe Ω (i, j = 1, n) având urmǎtoarele<br />
proprietǎt¸i:<br />
1) aij sunt <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si existǎ µ0 > 0 astfel încât pentru orice<br />
X = (x1, ..., xn) ∈ Ω ¸si orice (ξ1, ξ2, . . .,ξn) ∈ IR n avem<br />
n<br />
aij(X) · ξi · ξj ≥ µ0 ·<br />
i,j=1<br />
n<br />
i=1<br />
ξ 2 i ¸si aij(X) = aji(X)<br />
2) funct¸ia c este continuǎ pe Ω ¸si c(X) ≥ 0, (∀)X ∈ Ω.<br />
3) funct¸ia F este continuǎ pe Ω.<br />
Definit¸ia 7.1.1 Se nume¸ste ecuat¸ie cu <strong>de</strong>rivate part¸iale elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ<br />
o relat¸ie <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ǎ funct¸ionalǎ <strong>de</strong> forma<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
− aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X) · u = F(X), (∀) X ∈ Ω (7.1)<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
dintre funct¸ia necunoscutǎ u ¸si <strong>de</strong>rivatele sale part¸iale <strong>de</strong> <strong>ordinul</strong> întâi ¸si <strong>de</strong><br />
<strong>ordinul</strong> al doilea.<br />
În ecuat¸ia (7.1) funct¸iile aij, c ¸si F se consi<strong>de</strong>rǎ cunoscute.<br />
Definit¸ia 7.1.2 O funct¸ie realǎ u <strong>de</strong> clasǎ C2 pe Ω care verificǎ<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
− aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
(X) + c(X) · u(X) = F(X), (∀) X ∈ Ω<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
se nume¸ste solut¸ie clasicǎ a ecuat¸iei (7.1).<br />
Definit¸ia 7.1.3 Problema <strong>de</strong>terminǎrii acelor solut¸ii u ale ecuat¸iei (7.1)<br />
care sunt continue pe Ω ¸si verificǎ condit¸ia la frontierǎ<br />
se numeste Problemǎ Dirichlet pentru ecuat¸ia (7.1).<br />
u|∂Ω = h (7.2)
220 CAPITOLUL 7<br />
În egalitatea (7.2), h este o funct¸ie realǎ continuǎ pe ∂Ω, consi<strong>de</strong>ratǎ cunoscutǎ.<br />
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia cu <strong>de</strong>rivate part¸iale elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ<br />
se noteazǎ cu<br />
⎧<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
⎪⎨ − aij(X) ·<br />
∂xi i=1 j=1<br />
⎪⎩<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X) · u=F(X), (∀) X ∈ Ω<br />
∂xj<br />
(7.3)<br />
u|∂Ω = h.<br />
Observat¸ia 7.1.1 Dacǎ existǎ o funct¸ie H : Ω ′ ⊃ Ω → IR ′ <strong>de</strong> clasǎ C 2<br />
astfel încât H|∂Ω = h atunci u este solut¸ie a Problemei Dirichlet (7.3) dacǎ<br />
¸si numai dacǎ funct¸ia v = u − H este solut¸ia Problemei Dirichlet:<br />
⎧<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
⎪⎨ − aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂v<br />
<br />
+ c(X) · v=G(X), (∀) X ∈ Ω<br />
∂xj<br />
⎪⎩<br />
i=1<br />
v|∂Ω = 0<br />
j=1<br />
un<strong>de</strong> G(X) = F(X) − c(X) · H(X) +<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂H<br />
<br />
.<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
(7.4)<br />
Astfel, <strong>prin</strong>tr-o schimbare <strong>de</strong> funct¸ie Problema Dirichlet cu condit¸ii pe frontierǎ<br />
neomogene se reduce la o Problemǎ Dirichlet cu condit¸ii pe frontierǎ<br />
omogene.<br />
Datoritǎ acestui fapt, în cele ce urmeazǎ vom consi<strong>de</strong>ra Probleme<br />
Dirichlet în care funct¸ia h datǎ pe frontierǎ este i<strong>de</strong>ntic nulǎ.<br />
Observat¸ia 7.1.2 Dacǎ se consi<strong>de</strong>rǎ spat¸iul vectorial al funct¸iilor reale u<br />
continue pe Ω <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω ¸si nule pe frontierǎ :<br />
D = u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0},<br />
¸si operatorul diferent¸ial A <strong>de</strong>finit pe acest spat¸iu vectorial D cu formula:<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
(Au)(X) = − aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X) · u (7.5)<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 221<br />
atunci Problema Dirichlet :<br />
⎧<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
⎪⎨ − aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X) · u = F(X), (∀) X ∈ Ω<br />
∂xj<br />
⎪⎩<br />
i=1<br />
u|∂Ω = 0<br />
j=1<br />
este echivalentǎ cu problema urmǎtoare :<br />
Sǎ se <strong>de</strong>termine u ∈ D astfel încât sǎ avem :<br />
un<strong>de</strong><br />
Au = F,<br />
D= u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0 .<br />
(7.6)<br />
(7.7)<br />
În aceastǎ formulare a Problemei Dirichlet condit¸ia la limitǎ nu mai apare<br />
separat pentru cǎ este inclusǎ în <strong>de</strong>finit¸ia spat¸iului vectorial D (adicǎ domeniul<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie a lui A).<br />
Problema unicitǎt¸ii solut¸iei clasice a Problemei Dirichlet revine la<br />
injectivitatea operatorului A : D → C(Ω) iar problema existent¸ei solut¸iei<br />
clasice revine la surjectivitatea operatorului A.<br />
În cele ce urmeazǎ vom pune în evi<strong>de</strong>nt¸ǎ proprietǎt¸i ale operatorului<br />
A pentru a rǎspun<strong>de</strong> la problema existent¸ei ¸si unicitǎt¸ii solut¸iei Problemei<br />
Dirichlet (7.6)<br />
Teorema 7.1.1 Operatorul A <strong>de</strong>finit pe spat¸iul <strong>de</strong> funct¸ii D cu formula (7.5)<br />
are urmatoarele proprietat¸i:<br />
i) domeniul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie D al operatorului A este un subspat¸iu <strong>de</strong>ns în<br />
spat¸iul Hilbert L 2 (Ω);<br />
ii) operatorul A este liniar ;<br />
iii) pentru<br />
orice u, v<br />
∈ D are loc egalitatea<br />
Au · vdX = Av · udX<br />
Ω<br />
Ω<br />
Demonstrat¸ie:<br />
i) Presupunem cunoscut faptul cǎ spat¸iul vectorial D(Ω) format cu funct¸iile
222 CAPITOLUL 7<br />
reale u <strong>de</strong> clasǎ C ∞ pe Ω ¸si cu suport compact inclus în Ω:<br />
D(Ω) = {u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω}<br />
este <strong>de</strong>ns în L2 (Ω). Întrucât spat¸iul <strong>de</strong> funct¸ii D inclu<strong>de</strong> spat¸iul vectorial<br />
D(Ω) rezultǎ cǎ spat¸iul D este <strong>de</strong>ns în L2 (Ω).<br />
ii) Pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ A este liniar, vom arǎta cǎ<br />
Într-a<strong>de</strong>vǎr,<br />
A(u + v) = Au + Av<br />
A(α · u) = α · Au<br />
(∀) u, v ∈ D, (∀) α ∈ IR 1 .<br />
A(u + v) =<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
∂<br />
∂(u + v)<br />
= − aij(X) · + c(X) · (u + v) =<br />
∂xi<br />
∂xj<br />
i=1 j=1<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
= − aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
+ c(X) · u − aij(X) ·<br />
∂xj<br />
∂xi<br />
∂v<br />
<br />
+<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
+ c(X) · v = Au + Av.<br />
¸si<br />
A(α · u)=−<br />
i=1<br />
i=1<br />
j=1<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
∂<br />
∂(α · u)<br />
aij(X) · + c(X) · (α · u)=α · Au,<br />
∂xi<br />
∂xj<br />
j=1<br />
ceea ce <strong>de</strong>monstreazǎ liniaritatea lui A.<br />
iii) Pentru u, v ∈ D calculǎm Au · vdX ¸si gǎsim :<br />
<br />
Ω<br />
<br />
Au·v dX = −<br />
Ω<br />
<br />
= −<br />
∂Ω<br />
i=1<br />
Ω<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X)·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
·v dX + c(X)·u·v dX<br />
∂xj<br />
Ω<br />
n<br />
i=1<br />
j=1<br />
n<br />
aij(X)· ∂u<br />
·cos(u, ei)·v dS+<br />
∂xj<br />
j=1
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 223<br />
+<br />
=<br />
<br />
n<br />
Ω i=1 j=1<br />
<br />
n<br />
Ω i=1 j=1<br />
<br />
Calculând în continuare<br />
n<br />
aij(X)· ∂u<br />
∂xj<br />
n<br />
aij(X)· ∂u<br />
Ω<br />
∂xj<br />
· ∂v<br />
∂xi<br />
Av·u dX gǎsim:<br />
<br />
dX+ c(X)·u·v dX<br />
Ω<br />
· ∂v<br />
<br />
dX+ c(X)·u·v dX<br />
∂xi Ω<br />
n n<br />
Av·u dX = aij(X)·<br />
Ω<br />
Ω i=1 j=1<br />
∂v<br />
·<br />
∂xj<br />
∂u<br />
<br />
dX+ c(X)·u·v dX.<br />
∂xi Ω<br />
<br />
Deoarece aij(X) = aji(X) rezultǎ Au · vdX = Av · udX<br />
Ω<br />
Teorema 7.1.2 Existǎ γ > 0 astfel încât pentru orice u ∈ D sǎ avem<br />
<br />
<br />
Au · udX ≥ γ u 2 dX (7.8)<br />
<br />
Demonstrat¸ie: Calculǎm<br />
<br />
Ω<br />
Au · udX =<br />
≥<br />
<br />
Ω<br />
n<br />
Ω<br />
Ω i=1 j=1<br />
<br />
<br />
Rǎmâne sǎ evaluǎm<br />
µ0<br />
Ω i=1<br />
Ω<br />
Ω<br />
Au · udX ¸si obt¸inem :<br />
n<br />
aij(X) ∂u<br />
<br />
∂u<br />
dX +<br />
∂xi ∂xj<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
∂u <br />
<br />
∂xi<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
∂u <br />
<br />
∂xi<br />
2<br />
2<br />
<br />
dX +<br />
Ω<br />
Ω<br />
c(X)u 2 (X) dX<br />
c(X)u 2 (X) dX ≥<br />
dX pentru u ∈ D. Aceastǎ evaluare con-<br />
Ω i=1<br />
stitue cont¸inutul unei teoreme care poartǎ numele lui Friedrichs. Conform<br />
acestei teoreme existǎ o constantǎ k > 0, astfel încât pentru orice u ∈ C1 ( ¯ Ω)<br />
cu u|∂Ω = 0 avem:<br />
<br />
Ω<br />
|u(X)| 2 <br />
dX ≤ k<br />
Ω<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
∂u 2<br />
<br />
∂xi<br />
dX.<br />
i=1
224 CAPITOLUL 7<br />
Admit¸ând pentru moment cǎ aceastǎ evaluare este a<strong>de</strong>vǎratǎ putem continua<br />
evaluarea <strong>de</strong>ja stabilitǎ<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
Au · udX ≥ µ0<br />
<br />
∂u 2<br />
<br />
<br />
∂xi<br />
dX + c(X)u 2 (X)dX,<br />
Ω<br />
¸si gǎsim:<br />
<br />
Au · udX ≥ µ0<br />
k ·<br />
<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω i=1<br />
|u(X)| 2 <br />
dX +<br />
Ω<br />
Ω<br />
c(X)u 2 (X)dX ≥ µ0<br />
k<br />
<br />
Ω<br />
|u(X)| 2 dX<br />
Astfel inegalitatea (7.8) a fost <strong>de</strong>monstratǎ.<br />
Rǎmâne sǎ <strong>de</strong>monstrǎm acum teorema folositǎ în <strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei<br />
(7.1.2) <strong>de</strong>numitǎ inegalitatea lui Friedrichs.<br />
Teorema 7.1.3 (inegalitatea lui Friedrichs) Existǎ o constantǎ k > 0, astfel<br />
încât pentru orice u ∈ C 1 ( ¯ Ω) cu u| ∂Ω = 0 sǎ avem:<br />
<br />
Ω<br />
|u(X)| 2 <br />
dX ≤ k<br />
Ω<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
∂u <br />
<br />
∂xi<br />
<br />
i=1<br />
2<br />
dX. (7.9)<br />
Demonstrat¸ie: Domeniul Ω fiind mǎrginit existǎ o translat¸ie<br />
T : IR n → IR n , (TX = X + X0 ) astfel încât pentru orice X ′ ∈ Ω ′ = TΩ<br />
sǎ avem x ′ i ≥ 0. Deoarece<br />
<br />
Ω ′<br />
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′ =<br />
<br />
Ω<br />
|u(X)| 2 dX ¸si<br />
<br />
Ω ′<br />
<br />
<br />
<br />
∂u<br />
<br />
′<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂x ′ i<br />
2<br />
dX ′ <br />
=<br />
Ω<br />
<br />
<br />
<br />
∂u <br />
<br />
∂xi<br />
un<strong>de</strong> u ′ (X ′ ) = u(TX) ¸si X ′ = TX, rezultǎ cǎ este suficient sǎ se <strong>de</strong>monstreze<br />
inegalitatea (7.9) pe Ω ′ . Mai mult, Ω ′ fiind domeniu mǎrginit existǎ a > 0<br />
astfel ca Ω ′ ⊂ Γa = {X ′ | 0 ≤ x ′ i ≤ a} ¸si prelungind cu 0 funct¸ia u′ pe ΓaΩ ′<br />
rezultǎ cǎ, are loc:<br />
<br />
Ω ′<br />
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′ =<br />
<br />
Γa<br />
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′<br />
¸si<br />
<br />
Ω ′<br />
<br />
<br />
<br />
∂u<br />
<br />
′<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂x ′ i<br />
2<br />
dX ′ <br />
=<br />
Γa<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
∂u<br />
<br />
′<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Astfel, ajungem la concluzia cǎ, este suficient sǎ <strong>de</strong>monstrǎm inegalitatea<br />
(7.9) doar pentru Ω = Γa. Pentru aceasta folosim formula lui Leibnitz-<br />
Newton<br />
u(x1, x2, ...xn) =<br />
xi<br />
0<br />
∂u<br />
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ...xn)dξ<br />
∂xi<br />
∂x ′ i<br />
2<br />
dX<br />
dX ′
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 225<br />
din care utilizând Cauchy-Buniakovski rezultǎ:<br />
|u(X)| ≤<br />
xi<br />
0<br />
De aici obt¸inem:<br />
∂u<br />
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ..., xn)dξ ≤<br />
∂xi<br />
<br />
xi 1/2 <br />
<br />
xi <br />
≤ dξ <br />
∂u<br />
<br />
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ..., xn) <br />
0<br />
0 ∂xi<br />
<br />
≤ a 1/2<br />
<br />
<br />
a<br />
2<br />
1/2<br />
<br />
<br />
∂u<br />
<br />
|(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ...xn) <br />
dξ .<br />
0 ∂xi<br />
<br />
<br />
Γa<br />
Γa<br />
|u(X)| 2 dX ≤ a 2<br />
<br />
|u(X)| 2 dX ≤ a2<br />
n<br />
<br />
Γa<br />
Γa<br />
2<br />
<br />
<br />
∂u <br />
<br />
dX<br />
∂xi<br />
n<br />
2<br />
<br />
<br />
∂u <br />
<br />
dX.<br />
∂xi<br />
i=1<br />
2<br />
dξ<br />
1/2<br />
Astfel rezultǎ astfel cǎ pentru k = a2<br />
are loc inegalitatea (7.9).<br />
n<br />
Teorema 7.1.4 (<strong>de</strong><br />
Au = F).<br />
caracterizare variat¸ionalǎ a solut¸iei ecuat¸iei<br />
Funct¸ia u0 ∈ D este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F (F ∈ C(Ω)) dacǎ ¸si numai<br />
dacǎ u0 este punct <strong>de</strong> minim pentru funct¸ionala:<br />
ΦF : D → IR 1 <br />
, ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX. (7.10)<br />
Ω<br />
Demonstrat¸ie: Dacǎ u0 ∈ D este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F atunci Au0 = F<br />
¸si pentru orice u ∈ D avem:<br />
<br />
ΦF(u) − ΦF(u0)= Au·udX −2 F ·udX − Au0·u0dX+2 F ·u0dX =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
Ω<br />
Ω<br />
<br />
Au·udX −2 Au0·u− Au0·u0dX+2<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
<br />
Au· udX −<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
<br />
Au0· u −<br />
<br />
A(u − u0) · (u − u0)dX ≥ γ<br />
Ω<br />
u0 ·AudX+<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
Au0·u0dX =<br />
Au0· u0dX =<br />
|u − u0| 2 dX ≥ 0.<br />
≤
226 CAPITOLUL 7<br />
Rezultǎ astfel cǎ u0 este minim absolut pentru funct¸ionala ΦF.<br />
Reciproc, dacǎ presupunem cǎ u0 ∈ D este punct <strong>de</strong> minim absolut pentru<br />
funct¸ionala ΦF, atunci pentru orice u ∈ D avem<br />
ΦF(u) ≥ ΦF(u0)<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm u ∈ D, u-fixat, t ∈ IR 1 ¸si remarcǎm cǎ:<br />
ΦF(u0 + tu) ≥ ΦF(u0)<br />
pentru orice t ∈ IR 1 . Prin urmare funct¸ia<br />
ϕ(t) = ΦF(u0 + tu)<br />
are un minim în t = 0. Din condit¸ia ϕ ′ (0) = 0 rezultǎ:<br />
<br />
(Au0 − F)udX = 0 (∀)u ∈ D<br />
Ω<br />
Deoarece spat¸iul vectorial D este <strong>de</strong>ns în spat¸iu Hilbert L 2 (Ω) rezultǎ cǎ<br />
Au0 = F.<br />
Observat¸ia 7.1.3 Aceastǎ teoremǎ nu este o teoremǎ <strong>de</strong> existent¸ǎ pentru<br />
cǎ nu stabile¸ste faptul cǎ funct¸ionala ΦF are un punct <strong>de</strong> minim absolut.<br />
Teorema reduce însǎ problema existent¸ei ¸si unicitǎt¸ii solut¸iei clasice a<br />
ecuat¸iei Au = F la problema existent¸iei ¸si unicitǎt¸ii punctului <strong>de</strong> minim al<br />
funct¸ionalei ΦF.<br />
Teorema 7.1.5 (teorema <strong>de</strong> unicitate)<br />
Pentru F ∈ C( ¯ Ω) existǎ cel mult un u0 ∈ D astfel încât Au0 = F.<br />
Demonstrat¸ie: Presupunem cǎ pentru F ∈ C( ¯ Ω) existǎ<br />
u1, u2 ∈ D astfel încât Au1 = F ¸si Au2 = F. De aici rezultǎ ΦF(u2) ≥ ΦF(u1)<br />
¸si ΦF(u1) ≥ ΦF(u2). Prin urmare ΦF(u2) = ΦF(u1). T¸inând seama <strong>de</strong> inegalitatea:<br />
<br />
ΦF(u1) − ΦF(u2) ≥ γ |u1 − u2| 2 dX<br />
<br />
rezultǎ în continuare cǎ<br />
u1 = u2.<br />
Ω<br />
Ω<br />
|u1 − u2| 2 dX = 0 <strong>de</strong> un<strong>de</strong> rezultǎ egalitatea
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 227<br />
Observat¸ia 7.1.4 i) Teorema <strong>de</strong> unicitate <strong>de</strong>monstreazǎ cǎ Problema Dirichlet<br />
are cel mult o solut¸ie clasicǎ.<br />
ii) Existent¸a unui minim absolut în D a funct¸ionalei ΦF(u) nu este a<strong>de</strong>vǎratǎ.<br />
Existǎ exemple care <strong>de</strong>monstreazǎ cǎ în general Problema Dirichlet nu are<br />
solut¸ie clasicǎ.<br />
Pentru a asigura minimul absolut al funct¸ionalei ΦF lǎrgim spat¸iul vectorial<br />
D astfel ca sǎ <strong>de</strong>vinǎ spat¸iu Hilbert. În acest scop, pe D × D <strong>de</strong>finim<br />
urmǎtoarea corespon<strong>de</strong>nt¸ǎ:<br />
<br />
D × D ∋ (u, v) →< u, v >A= Au · vdX. (7.11)<br />
Lema 7.1.1 Corespon<strong>de</strong>nt¸a <strong>de</strong>finitǎ cu (7.11) este un produs scalar pe spat¸iul<br />
vectorial D.<br />
Demonstrat¸ie: <strong>prin</strong> verificare.<br />
Observat¸ia 7.1.5 Pentru (u, v) ∈ D are loc egalitatea:<br />
<br />
< u, v >A=<br />
n<br />
Ω i=1 j=1<br />
n<br />
aij(X) ∂u<br />
<br />
∂v<br />
dX +<br />
∂xi ∂xj<br />
Ω<br />
Ω<br />
c(X)u(X)v(X)dX<br />
Definit¸ia 7.1.4 Completatul spat¸iului vectorial D în norma · A<br />
generatǎ <strong>de</strong> produsul scalar<br />
<br />
< u, v >A= Au · vdx<br />
se nume¸ste spat¸iul energetic al operatorului A ¸si se noteazǎ cu XA.<br />
Observat¸ia 7.1.6 Elementele spat¸iului energetic XA sunt elementele spat¸iului<br />
vectorial D la care se mai adaugǎ limite în norma · A <strong>de</strong> ¸siruri fundamentale<br />
un din D. Altfel spus, dacǎ u ∈ XA atunci u ∈ D sau existǎ (un)n cu<br />
un ∈ D astfel încât un − uA → 0. Un element u ∈ XA are proprietatea:<br />
u ∈ L2 (Ω), ∂u<br />
∈ L<br />
∂xi<br />
2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0<br />
Ω
228 CAPITOLUL 7<br />
Observat¸ia 7.1.7 Spat¸iul energetic XA împreunǎ cu produsul scalar < u, v >A<br />
este un spat¸iu Hilbert.<br />
Lema 7.1.2 Funct¸ionala ΦF : D → IR ′ <strong>de</strong>finitǎ <strong>de</strong> formula<br />
<br />
ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX (7.12)<br />
Ω<br />
în care F ∈ L 2 (Ω), se prelunge¸ste <strong>prin</strong> continuitate la o funct¸ionalǎ continuǎ<br />
ΦF <strong>de</strong>finitǎ pe spat¸iul energetic XA.<br />
Demonstrat¸ie: Arǎtǎm la început cǎ funct¸ionala ΦF(u) <strong>de</strong>finitǎ cu<br />
(7.12) este continuǎ în topologia spat¸iului energetic. În acest scop consi<strong>de</strong>rǎm<br />
u ∈ D, un ¸sir (un)n, un ∈ D cu proprietatea cǎ un − uA → n 0 ¸si apoi ¸sirul<br />
<br />
<br />
ΦF(un) = Aun · undX − 2<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
F · undX.<br />
Arǎtǎm cǎ acest ¸sir numeric este convergent ¸si limita lui este<br />
<br />
ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX.<br />
Într-a<strong>de</strong>vǎr, avem:<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> rezultǎ:<br />
Ω<br />
ΦF(un) = un 2 A<br />
ΦF(u) = u 2 A<br />
Ω<br />
<br />
− 2 F · undX<br />
Ω<br />
<br />
− 2 F · udX<br />
Ω<br />
|ΦF(un) − ΦF(u)| ≤ | un 2 A − u 2 A | + 2<br />
<br />
Ω<br />
|F | · |un − u|dX ≤<br />
≤ | un 2 A − u2 A | + 2F L 2 (Ω) · un − u L 2 (Ω).<br />
Deoarece convergent¸a un − uA → 0 implicǎ convergent¸ele<br />
| un 2 A − u2 A | → 0 ¸si un − uL 2 (Ω) → 0, rezultǎ convergent¸a<br />
|ΦF(un) − ΦF(u)| → 0.
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 229<br />
Dacǎ u ∈D ¸si u ∈ XA atunci se <strong>de</strong>fine¸ste ΦF(u) cu<br />
n n<br />
ΦF(u) = aij(X) ∂u<br />
<br />
∂u<br />
dX − 2<br />
∂xi ∂xj<br />
Ω i=1 j=1<br />
Ω<br />
F · udX<br />
iar pentru un ∈ D, un − uA → 0 se reface acela¸si rat¸ionament.<br />
Teorema 7.1.6 (<strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate a punctului <strong>de</strong> minim<br />
absolut)<br />
Pentru orice F ∈ L 2 (Ω) prelungita ΦF <strong>prin</strong> continuitate a funct¸ionalei<br />
ΦF la spat¸iul energetic XA are un singur punct <strong>de</strong> minim.<br />
Demonstrat¸ie: Pentru a <strong>de</strong>monstra existent¸a punctului <strong>de</strong> minim consi<strong>de</strong>rǎm<br />
funct¸ionala liniarǎ ¸si continuǎ<br />
<br />
u ↦−→ F · udX<br />
Ω<br />
<strong>de</strong>finitǎ pe spat¸iul energetic XA. Conform cu teoremei lui F. Riesz existǎ o<br />
funct¸ie uF ∈ XA astfel încât sǎ avem:<br />
<br />
< uF, u >A= F · udX<br />
pentru orice u ∈ XA. Rǎmâne <strong>de</strong> arǎtat cǎ uF este punctul <strong>de</strong> minim absolut<br />
al funct¸ionalei ΦF(u). În acest scop calculǎm ΦF(uF) ¸si ΦF(u) pentru u ∈ XA.<br />
Avem:<br />
ΦF(uF) = < uF, uF >A −2 < F, uF > L 2 (Ω)= uF 2 A − 2uF 2 A =−uF 2 A<br />
ΦF(u) = < u, u >A −2 < F, u >L 2 (Ω)<br />
Ω<br />
= < u−uF, u−uF >A+2< uF, u >A−< uF, uF >A−2< F, u > L 2 (Ω)<br />
= u − uF 2 A − uF 2 A = u − uF 2 A + ΦF(uF)<br />
Aceastǎ din urmǎ egalitate<br />
ΦF(u) = u − uF 2 A + ΦF(uF)<br />
este a<strong>de</strong>vǎratǎ pentru orice u ∈ XA ¸si aratǎ cǎ<br />
Egalitatea aratǎ ¸si faptul cǎ<br />
ΦF(u) ≥ ΦF(uF).<br />
ΦF(u) > ΦF(uF)<br />
pentru orice u = uF ceea ce <strong>de</strong>monstreazǎ unicitatea.
230 CAPITOLUL 7<br />
Observat¸ia 7.1.8 Dacǎ punctul <strong>de</strong> minim absolut uF al funct¸ionalei prelungite<br />
˜ ΦF apart¸ine lui D ⊂ XA atunci AuF = F, ¸si <strong>prin</strong> urmare uF, este<br />
solut¸ie clasicǎ a Problemei Dirichlet.<br />
Observat¸ia 7.1.9 Dacǎ punctul <strong>de</strong> minim absolut uF al funct¸ionalei prelungite<br />
˜ ΦF nu apart¸ine spat¸iului vectorial D ⊂ XA atunci nu-i putem aplica<br />
operatorul A ca sǎ ve<strong>de</strong>m dacǎ este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F. În acest<br />
caz este naturalǎ întrebarea: Ce reprezintǎ uF în contextul rezolvarii ecuat¸iei<br />
Au = F?<br />
Vom da un rǎspuns la aceastǎ întrebare arǎtând cǎ operatorul A are o prelungire<br />
à : D(Ã) → L2 (Ω), numitǎ prelungirea Friedrichs, un<strong>de</strong> D ⊂ D( Ã) ⊂<br />
XA ¸si cǎ uF verificǎ ÃuF = F. Aceasta înseamnǎ cǎ funct¸ia uF nu mai verificǎ<br />
condit¸ia <strong>de</strong> solut¸ie clasicǎ :<br />
u ∈ D ¸si −<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X) · u = F<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
ci verificǎ doar condit¸ia : uF ∈ XA ¸si<br />
<br />
n<br />
n<br />
Ω i=1 j=1<br />
aij(X)· ∂uF<br />
·<br />
∂xj<br />
∂v<br />
<br />
<br />
dx+ c(X)·uF ·v dX = F ·v dX, (∀) v ∈ XA<br />
∂xi Ω<br />
Ω<br />
Teorema 7.1.7 (<strong>de</strong> prelungire a lui Friedrichs).<br />
Operatorul G : L 2 (Ω) → XA <strong>de</strong>finit <strong>prin</strong> G(F)=uF ∈ XA un<strong>de</strong> uF verificǎ<br />
are urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
i) G este liniar ¸si mǎrginit ;<br />
ii) G este injectiv ;<br />
iii) G este autoadjuct ;<br />
iv) G este compact ;<br />
< uF, u >A=< F, u > L 2 (Ω), (∀) u∈XA,
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 231<br />
v) G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire a lui A.<br />
Demonstrat¸ie: Remarcǎm la început cǎ operatorul G este corect <strong>de</strong>finit<br />
pentru cǎ existent¸a ¸si unicitatea funct¸iei uF = G(F) a fost <strong>de</strong>monstratǎ.<br />
i) Pentru α, β ∈ IR 1 , F1, F2 ∈ L 2 (Ω) ¸si u ∈ XA avem:<br />
< G(αF1 + βF2), u >A = < αF1 + βF2, u > L 2 (Ω)<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> rezultǎ egalitatea :<br />
care aratǎ cǎ operatorul G este liniar.<br />
= < αF1, u > L 2 (Ω) + < βF2, u > L 2 (Ω)<br />
= α < F1, u > L 2 (Ω) +β < F2, u > L 2 (Ω)<br />
= < αG(F1) + βG(F2), u > L 2 (Ω)<br />
G(αF1 + βF2) = αG(F1) + βG(F2)<br />
Pentru a <strong>de</strong>monstra mǎrginirea operatorului G consi<strong>de</strong>rǎm<br />
F ∈ L2 (Ω) ¸si evaluǎm G(F)2 A . Avem:<br />
µ 2 0<br />
· G(F)2<br />
k2 L2 (Ω) ≤ G(F)2A = < F, G(F) >L2 (Ω)<br />
≤ F L 2 (Ω) · G(F) L 2 (Ω)<br />
un<strong>de</strong> k > 0 este constanta din inegalitatea lui Friedrichs ¸si µ0 > 0 este constanta<br />
din condit¸ia <strong>de</strong> elipticitate.<br />
Simplificând cu G(F) L 2 (Ω) în inegalitatea obt¸inutǎ, rezultǎ:<br />
G(F)L2 (Ω) ≤ k2<br />
µ 2 · F L2 (Ω)<br />
0<br />
care aratǎ cǎ operatorul G : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) este mǎrginit.
232 CAPITOLUL 7<br />
ii)<br />
G(F)=0 ⇒ < uF, u >A= 0, (∀)u∈XA<br />
⇒ < F, u > L 2 (Ω)= 0, (∀)u∈XA ⇒ F =0<br />
iii) Operatorul G : L 2 (Ω) → Im G ⊂ XA fiind injectiv putem consi<strong>de</strong>ra<br />
operatorul G −1 : Im G → L 2 (Ω) ¸si arǎtǎm cǎ este autoadjunct, adicǎ :<br />
Astfel,<br />
< G −1 u, v > L 2 (Ω)=< u, G −1 v > L 2 (Ω), (∀)u, v ∈ Im G.<br />
< G −1 u, v >L 2 (Ω) = < u, v >A=< v, u >A=< G −1 v, u >L 2 (Ω)<br />
= < u, G −1 v > L 2 (Ω) .<br />
Folosim acum acest rezultat pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ operatorul G este autoadjunct:<br />
< G(F), H > L 2 (Ω)=< G(F), G −1 (G(H)) > L 2 (Ω=<br />
=< G −1 (G(F)), G(H) >L 2 (Ω)=< F, G(H) >L 2 (Ω) .<br />
iv) Prin faptul cǎ operatorul G este compact înt¸elegem cǎ transformǎ<br />
sfera închisǎ <strong>de</strong> razǎ unu din L 2 (Ω) într-o mult¸ime compactǎ din L 2 (Ω).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm F ∈ L2 (Ω) cu F L2 (Ω) ≤ 1.<br />
Calculǎm G(F)2 A ¸si gǎsim:<br />
G(F) 2 A =< F, G(F) >L2 (Ω) ≤ F 2<br />
L2 (Ω) · G(F)2L<br />
2 (Ω)<br />
Simplificând cu G(F)A obt¸inem :<br />
G(F)A ≤ k<br />
µ0<br />
≤ F L 2 (Ω) · k<br />
· F L 2 (Ω) ≤ k<br />
µ0<br />
µ0<br />
,<br />
· G(F)A.<br />
ceea ce aratǎ cǎ imaginea sferei închise <strong>de</strong> razǎ unu din L 2 (Ω) <strong>prin</strong> operatorul<br />
G este o mult¸ime mǎrginitǎ în spat¸iul energetic XA. S¸tiind cǎ o
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 233<br />
mult¸ime mǎrginitǎ în XA este compactǎ în L 2 (Ω) <strong>de</strong>ducem cǎ operatorul G<br />
este compact.<br />
v) Arǎtǎm acum cǎ operatorul G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire<br />
a operatorului A.<br />
Din cele <strong>de</strong> pânǎ acum ¸stim cǎ G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este un operator<br />
injectiv.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm u ∈ D ¸si apoi Au ∈ L 2 (Ω). Funct¸ia GAu apart¸ine la Im G ¸si<br />
avem :<br />
< GAu, v >A=< Au, v > L 2 (Ω)=< u, v >A (∀)v ∈ XA.<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici egalitatea :<br />
GAu = u, (∀) u ∈ D,<br />
care <strong>de</strong>monstreazǎ apartenent¸a u ∈ ImG ¸si egalitatea G −1 u = Au. Am<br />
arǎtat în acest fel cǎ operatorul G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire<br />
a operatorului A.<br />
Definit¸ia 7.1.5 Operatorul G −1 se nume¸ste prelungirea Friedrichs a operatorului<br />
A ¸si se noteazǎ cu Ã.<br />
Teorema 7.1.8 (caracterizarea minimului absolut al funct¸ionalei Φ) Funct¸ia<br />
uF ∈ XAeste minimul absolut al funct¸ionalei<br />
˜ΦF : XA → IR 1 , ˜ ΦF(u) =< u, u >A −2 < F, u > L 2 (Ω)<br />
dacǎ ¸si numai dacǎ uF este solut¸ia ecuat¸iei Ãu = F, un<strong>de</strong> Ã este prelungirea<br />
Friedrichs a operatorului A.<br />
Demonstrat¸ie: Rezultatul se obt¸ine imediat din construct¸ia prelungirii<br />
Friedrichs a operatorului A.<br />
Observat¸ia 7.1.10 Din cele prezentate rezultǎ cǎ pentru orice<br />
F ∈ L2 (Ω) ecuat¸ia Ãu = F are o singurǎ solut¸ie în spat¸iul Hilbert XA.<br />
Definit¸ia 7.1.6 Solut¸ia uF a ecuat¸iei Ãu = F se nume¸ste solut¸ia generalizatǎ<br />
a ecuat¸iei Au = F.
234 CAPITOLUL 7<br />
Observat¸ia 7.1.11 Dacǎ uF ∈ D ⊂ XA atunci uF este solut¸ie clasicǎ a<br />
Problemei Dirichlet. Dacǎ uF ∈ XA nu apart¸ine la D (uF ∈D) atunci ea<br />
verificǎ doar:<br />
<br />
n<br />
n<br />
Ω i=1 j=1<br />
aij(x) · ∂uF<br />
∂xj<br />
pentru orice v ∈ XA.<br />
· ∂v<br />
<br />
<br />
dx + c(x) · uF(x) · v(x)dx = F(x) · v(x)dx<br />
∂xi Ω<br />
Ω<br />
În continuare vom <strong>de</strong>scrie o metodǎ <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminare a solut¸iei generalizate<br />
uF a ecuat¸iei Au = F (<strong>de</strong>spre care ¸stim cǎ existǎ ¸si este unicǎ). Metoda se<br />
bazeazǎ pe <strong>de</strong>terminarea valorilor proprii ¸si vectorilor proprii ai prelungirii<br />
Friedrichs Ã.<br />
Definit¸ia 7.1.7 Un numǎr λ este valoare proprie pentru operatorul à dacǎ<br />
existǎ o funct¸ie u în D( Ã) (domeniul <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie al operatorului Ã), u = 0,<br />
astfel încât sǎ avem:<br />
Ãu = λ · u.<br />
Teorema 7.1.9 Pentru operatorul à existǎ un ¸sir infinit <strong>de</strong> valori proprii<br />
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ≤ ...<br />
¸si corespunzǎtor acestor valori proprii un ¸sir infinit <strong>de</strong> funct¸ii proprii<br />
cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
u1, u2, u3, ..., un, ...<br />
lim<br />
n→∞ λn = +∞<br />
< ui, uj > L 2 (Ω) = δij.<br />
Demonstrat¸ie: Operatorul G : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) este liniar autoadjunct ¸si<br />
complet continuu. Pe baza unei teoreme relative la aceastǎ clasǎ <strong>de</strong> operatori<br />
liniari rezultǎ cǎ, G admite un ¸sir infinit <strong>de</strong> valori proprii ¸si un ¸sir infinit <strong>de</strong><br />
funct¸ii proprii. Valorile proprii ale lui G le notǎm cu<br />
1<br />
λ1<br />
, 1<br />
, ...,<br />
λ2<br />
1<br />
, ...<br />
λm
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 235<br />
iar funct¸iile proprii cu<br />
u1, u2, ..., um, ...<br />
Presupunem cǎ aceste valori proprii sunt aranjate în ¸sir astfel ca sǎ avem:<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
≥<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
≥ ... ≥ <br />
1 <br />
<br />
≥ ...<br />
λ1<br />
λ2<br />
λm<br />
iar funct¸iile proprii sunt alese astfel ca sǎ avem<br />
< ui, uj > L 2 (Ω)= δij.<br />
T¸inând seamǎ <strong>de</strong> egalitatea à = G−1 rezultǎ cǎ à admite ¸sirul <strong>de</strong> valori<br />
proprii |λ1| ≤ |λ2| ≤ ... ¸si ¸sirul <strong>de</strong> funct¸ii proprii u1, u2, ..., um, ...<br />
Arǎtǎm acum cǎ λm > 0 pentru orice m.<br />
Într-a<strong>de</strong>vǎr din G · um = 1<br />
λm · um rezultǎ cǎ<br />
Pe <strong>de</strong> altǎ parte,<br />
¸si astfel<br />
< G · um, um > L 2 (Ω)= 1<br />
λm<br />
um 2<br />
L2 1<br />
(Ω) = .<br />
λm<br />
< G · um, um > L 2 (Ω)=< um, um >A≥ γum 2<br />
L 2 (Ω)<br />
1<br />
λm<br />
≥ γum 2<br />
L2Ω > 0.<br />
Arǎtǎm acum cǎ, A admite chiar un ¸sir infinit <strong>de</strong> valori proprii. La început<br />
arǎtǎm cǎ mult¸imea <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ie ImG a operatorului A ( formatǎ din elementele<br />
G(F) cu F ∈ L 2 (Ω) ) este un spat¸iu vectorial infinit dimensional.<br />
Pentru aceasta, fie u o funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C ∞ cu suport compact în Ω. Consi<strong>de</strong>rǎm<br />
funct¸ia F = Au ¸si observǎm cǎ u este solut¸ia clasicǎ a Problemei<br />
Dirichlet<br />
Au = F.<br />
Rezultǎ cǎ, u este ¸si solut¸ie generalizatǎ a acestei probleme, ceea ce înseamnǎ<br />
cǎ G(F) = u. Am arǎtat în acest fel cǎ orice funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ C ∞ cu suport<br />
compact inclus în Ω apart¸ine mult¸imii Im(G) ¸si ca urmare spat¸iul vectorial<br />
Im(G) este infinit dimensional.
236 CAPITOLUL 7<br />
Sǎ presupunem acum <strong>prin</strong> absurd cǎ, operatorul G are doar un numǎr<br />
finit <strong>de</strong> valori proprii diferite <strong>de</strong> zero: λ1, λ2, . . .,λm. T¸inând seama <strong>de</strong> faptul<br />
cǎ G este autoadjunct ¸si compact rezultǎ <strong>de</strong> aici:<br />
m<br />
G(F) =<br />
k=1<br />
< G(F), uk > uk, (∀)F ∈ L 2 (Ω).<br />
Aceastǎ egalitate aratǎ cǎ ¸sirul u1, u2, . . ., um este bazǎ în Im(G) <strong>de</strong>ci Im(G)<br />
este spat¸iu vectorial finit dimensional. Astfel, am ajuns la o contradict¸ie ¸si<br />
<strong>de</strong>ci G admite un ¸sir infinit <strong>de</strong> valori proprii. Încheiem <strong>de</strong>monstrat¸ia ob-<br />
servând cǎ lim<br />
m→∞ λm = +∞.<br />
Teorema 7.1.10 S¸irul <strong>de</strong> funct¸ii proprii {um}m ai operatorului A este un<br />
¸sir ortonormat complet în spat¸iul Hilbert L2 <br />
(Ω), iar ¸sirul <strong>de</strong> funct¸ii proprii<br />
um<br />
√λm este un ¸sir ortonormat complet în spat¸iul energetic XA.<br />
m<br />
Demonstrat¸ia acestei teoreme este laborioasǎ ¸si nu o facem aici.<br />
Suntem acum în mǎsurǎ sǎ formulǎm urmǎtoarea teoremǎ referitoare la<br />
solut¸ia generalizatǎ a ecuat¸iei Au = F, F ∈ L 2 (Ω).<br />
Teorema 7.1.11 Oricare ar fi F ∈ L2 (Ω), solut¸ia generalizatǎ uF a ecuat¸iei<br />
Au = F este datǎ <strong>de</strong>:<br />
+∞ 1<br />
uF = < F, um > L2 (Ω) ·um<br />
λm<br />
m=1<br />
un<strong>de</strong> {um}m este ¸sirul <strong>de</strong> funct¸ii proprii ale operatorului A ( A− prelungirea<br />
Friedrichs a opertorului A) ortonormal ¸si complet în spat¸iul Hilbert L 2 (Ω).<br />
Demonstrat¸ie: Deoarece<br />
+∞<br />
+∞<br />
uF = < uF, um > L2 ·um sau uF =<br />
m=1<br />
folosind egalitatea:<br />
avem cǎ:<br />
uF =<br />
+∞<br />
m=1<br />
m=1<br />
< uF, v >A=< F, v > L 2, (∀)v ∈ XA<br />
< F, um<br />
√λm<br />
> L 2 · um<br />
√λm<br />
=<br />
< uF, um<br />
√λm<br />
>A · um<br />
√λm<br />
+∞ 1<br />
< F, um > L2 ·um.<br />
λm<br />
m=1
Ecuat¸ia elipticǎ <strong>de</strong> tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 237<br />
Exercit¸ii:<br />
Fie Ω = (0, l1) × (0, l2) ¸si operatorul A <strong>de</strong>finit <strong>prin</strong><br />
<br />
2 ∂ u<br />
Au = −<br />
∂x 2 1<br />
+ ∂2 u<br />
∂x 2 2<br />
pentru u ∈ D = {u ∈ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω}.<br />
Determinat¸i solut¸ia generalizatǎ a Problemei Dirichlet Au = F un<strong>de</strong>:<br />
a) F(x1, x2) = x1 · x2;<br />
b) F(x1, x2) = x 2 1 + x2 2 ;<br />
c) F(x1, x2) = x1 − x2;<br />
R: Din Au = λu se obt¸in valorile proprii ¸si vectorii proprii:<br />
respectiv<br />
λm,n =<br />
nπ<br />
l1<br />
2<br />
<br />
mπ<br />
+<br />
l2<br />
2<br />
um,n = sin nπ<br />
x1 · mπ<br />
x2.<br />
1<br />
Calculând um,nL2 = l1 · l2 se obt¸in vectorii bazei ortonormale<br />
2<br />
<br />
2<br />
√l1l2<br />
· sin nπ<br />
x1 · sin<br />
l1<br />
mπ<br />
<br />
x2<br />
l2<br />
Solut¸ia generalizatǎ este: uF(x1, x2) =<br />
<br />
·<br />
0<br />
l1<br />
<br />
0<br />
l2<br />
<br />
2<br />
F(x1, x2) · √<br />
l1l2<br />
l1<br />
l2<br />
+∞<br />
+∞<br />
m=1 n=1<br />
· sin nπ<br />
x1 · sin mπ<br />
un<strong>de</strong> F(x1, x2) este funct¸ia datǎ la a), b), c).<br />
l1<br />
l2<br />
x2<br />
nπ<br />
l1<br />
m,n<br />
2<br />
1<br />
2 ·<br />
mπ<br />
+<br />
l2<br />
<br />
dx1dx2· 2<br />
√ ·sin<br />
l1l2<br />
nπ<br />
x1·sin<br />
l1<br />
mπ<br />
l2<br />
x2
238 CAPITOLUL 7<br />
7.2 Problema Cauchy-Dirichlet pentru<br />
ecuat¸ii parabolice<br />
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ)<br />
¸si funct¸iile reale:<br />
aij, c, u0 : Ω → IR 1 , f :[0, +∞) × Ω → IR 1 , g : [0, +∞) × ∂Ω → IR 1<br />
cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
i) aij sunt funct¸ii <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si aij = aji , i, j = 1, n;<br />
c este o funct¸ie continuǎ pe Ω, u0 este o funct¸ie continuǎ pe Ω ¸si <strong>de</strong><br />
clasǎ C 2 pe Ω.<br />
ii) existǎ µ0 > 0 astfel încât pentru orice (ξ1, . . .,ξn) ∈ IR n sǎ aibe loc<br />
inegalitatea<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
aij(X) · ξi · ξj ≥ µ0<br />
j=1<br />
iii) c(X) ≥ 0, (∀) X ∈ Ω;<br />
n<br />
i=1<br />
ξ 2 i , (∀) X ∈ Ω;<br />
iv) f este funct¸ie continuǎ pe [0, ∞) × Ω ¸si g este o funct¸ie continuǎ pe<br />
[0, +∞) × ∂Ω.<br />
Definit¸ia 7.2.1 Problema care constǎ în <strong>de</strong>terminarea funct¸iilor reale u :<br />
[0, +∞) × Ω → IR 1 care au urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
1) u este continuǎ pe [0, +∞) × Ω, <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe (0, +∞) × Ω ¸si<br />
pentru orice t ∈ (0, +∞) fixat u este <strong>de</strong> clasǎ C2 pe Ω.<br />
∂u<br />
2)<br />
∂t −<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
+c(X) · u(t, X)=f(t, X), (∀) t>0 ¸si (∀)X ∈ Ω (7.13)<br />
3) u(t, X) = g(t, X), (∀) (t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω. (7.14)<br />
4) u(0, X) = u0(X), (∀)x ∈ Ω. (7.15)<br />
se nume¸ste Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ.
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 239<br />
Definit¸ia 7.2.2 O funct¸ie u care verificǎ condit¸iile din <strong>de</strong>finit¸ia prece<strong>de</strong>ntǎ<br />
se nume¸ste solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ.<br />
Propozit¸ia 7.2.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω ′ ⊂ IR n care inclu<strong>de</strong> mult¸imea<br />
Ω ¸si o funct¸ie G : [0, +∞) × Ω ′ → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C 2 pe [0, +∞) × Ω ′ astfel<br />
încât<br />
G(t, X) = g(t, X) ∀(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω,<br />
atunci Problema Cauchy-Dirichlet neomogenǎ pentru ecuat¸ia parabolicǎ, <strong>prin</strong><br />
schimbarea <strong>de</strong> funct¸ie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) − G(t, X) se reduce la<br />
Problema Cauchy-Dirichlet omogenǎ pentru ecuat¸ia parabolicǎ:<br />
∂v<br />
∂t −<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi i=1 j=1<br />
∂v<br />
<br />
+c(X) · v(t, X)=f(t, X) −<br />
∂xj<br />
∂G<br />
∂t +<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
+ aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂G<br />
<br />
− c(X) · G(t, X), (7.16)<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
(∀) t)>0 ¸si (∀)X ∈ Ω<br />
v(t, X) = 0 (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω (7.17)<br />
v(0, X) = u0(X) − G(0, X) (∀) X ∈ Ω. (7.18)<br />
Demonstrat¸ie: <strong>prin</strong> verificare.<br />
Observat¸ia 7.2.1 Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ cu<br />
condit¸ii pe frontierǎ neomogene (prezentatǎ în Def. 7.2.1), se reduce la o<br />
Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ cu condit¸ii pe frontierǎ<br />
omogene. Datoritǎ acestui fapt, vom consi<strong>de</strong>ra în continuare Problema<br />
Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ <strong>de</strong> tipul urmǎtor:
240 CAPITOLUL 7<br />
∂u<br />
∂t −<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂v<br />
<br />
+c(X) · u(t, X)=f(t, X) (7.19)<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
u(t, X) = 0 (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω. (7.20)<br />
u(0, X) = u0(X) (∀) X ∈ Ω (7.21)<br />
în care funct¸iile aij, c, f au proprietǎt¸ile <strong>de</strong>ja prezentate: (i), (ii), (iii), (iv),<br />
iar funct¸ia u0 este continuǎ pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω.<br />
Definit¸ia 7.2.3 O solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21)<br />
este o funct¸ie u : [0, +∞) × Ω → IR 1 care are urmǎtoarele proprietǎt¸i: u este<br />
continuǎ pe [0, +∞) × Ω, este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe (0, +∞) × Ω ¸si este <strong>de</strong> clasǎ<br />
C2 în Ω pentru (∀)t ∈ (0, +∞), t - fixat ¸si verificǎ:<br />
∂u<br />
∂t −<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
+c(X) · u(t, X)=f(t, X)<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
(∀)t>0 ¸si (∀) X ∈ Ω (7.22)<br />
u(t, X) = 0 (∀) (t, X) ∈ [0, ∞) × ∂Ω (7.23)<br />
u(0, X) = u0(X) (∀) x ∈ Ω. (7.24)<br />
Dacǎ consi<strong>de</strong>rǎm operatorul diferent¸ial A <strong>de</strong>finit pe spat¸iul <strong>de</strong> funct¸ii:<br />
cu formula:<br />
D = {w|w : Ω → IR 1 , w ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si w|∂Ω = 0},<br />
Aw = −<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂w<br />
<br />
+ c(X) · w<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
atunci Problema Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21) se scrie:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂u<br />
∂t<br />
+ Au = f<br />
u(0, X) = u0.<br />
(7.25)
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 241<br />
În continuare, vom formula o problemǎ mai generalǎ pentru care vom <strong>de</strong>monstra<br />
o teoremǎ <strong>de</strong> existent¸ǎ ¸si unicitate.<br />
Teorema 7.2.1 Dacǎ funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ a<br />
Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21), atunci funct¸ia V <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong><br />
are urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
V (t)(X) = u(t, X)<br />
a) V : [0, +∞) → L 2 (Ω) este continuǎ;<br />
b) V : (0, +∞) → L 2 (Ω) este <strong>de</strong> clasǎ C 1 ;<br />
c) V : (0, +∞) → XA este continuǎ, un<strong>de</strong> XA reprezintǎ spat¸iul energetic<br />
al operatorului A.<br />
d) V (0) = u0.<br />
e) dV<br />
dt<br />
+ AV = F(t), (∀) t > 0 un<strong>de</strong> F(t)(X) = f(t, X).<br />
Demonstrat¸ie:<br />
a) Fie t0 ∈ [0, +∞) ¸si η > 0. Funct¸ia u(t, X) este uniform continuǎ pe<br />
mult¸imea compactǎ [t0 − η, t0 + η] × Ω (dacǎ t0 = 0, atunci [0, η] × Ω).<br />
Prin urmare, (∀)ε > 0, (∃)δ(ε) > 0 astfel ca<br />
(∀)(t ′ , X ′ ), (t ′′ , X ′′ ) ∈ [t0 −η, t0+η]×Ω cu |t ′ −t ′′ | < δ(ε) ¸si ||X ′ −X ′′ || < δ(ε)<br />
sǎ avem:<br />
|u(t ′ , X ′ ) − u(t ′′ , X ′′ )| < ε/ |Ω|<br />
un<strong>de</strong> |Ω| este mǎsura lui Ω.<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ are loc inegalitatea:<br />
<br />
|u(t, X) − u(t0, X)|<br />
Ω<br />
2 dX < ε 2 , (∀) t cu |t − t0| < δ(ε).<br />
Deducem <strong>de</strong> aici cǎ, dacǎ |t − t0| < δ(ε) atunci<br />
||V (t) − V (t0)|| L 2 (Ω) < ε.<br />
Aceasta <strong>de</strong>monstreazǎ continuitatea funct¸iei V : [0, +∞) → L 2 (Ω) într-un<br />
punct oarecare t0.
242 CAPITOLUL 7<br />
b) Pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → L 2 (Ω) este <strong>de</strong> clasǎ C 1 se<br />
consi<strong>de</strong>rǎ un punct t0 ∈ (0, +∞) ¸si cu un rat¸ionament analog cu cel prezentat<br />
anterior se aratǎ cǎ:<br />
<br />
<br />
lim <br />
u(t, X) − u(t0, X)<br />
t→t0 t − t0<br />
Ω<br />
− ∂u<br />
∂t (t0,<br />
<br />
<br />
X) <br />
<br />
2<br />
dX = 0<br />
ceea ce aratǎ cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → IL 2 (Ω) este <strong>de</strong> clasǎ C 1 ¸si<br />
dV<br />
+ AV = F(t).<br />
dt<br />
c) pentru a <strong>de</strong>monstra cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → XA este continuǎ se consi<strong>de</strong>rǎ<br />
t0 ∈ (0, +∞) ¸si se aratǎ cǎ lim ||V (t) − V (t0)||XA = 0.<br />
t→t0<br />
d) V (0)(X) = u(0, X) = u0(X).<br />
e) s-a <strong>de</strong>monstrat împreunǎ cu (b).<br />
Fie acum A prelungirea Friedrichs, a operatorului A <strong>de</strong>finit pe D( A), F o<br />
funct¸ie F : [0, +∞) → L2 (Ω) continuǎ ¸si V0 ∈ L2 (Ω). Consi<strong>de</strong>rǎm problema<br />
Cauchy:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
dV<br />
dt<br />
⎪⎩<br />
+ AV = F(t)<br />
(7.26)<br />
V (0) = V0<br />
Definit¸ia 7.2.4 O solut¸ie a acestei probleme este o funct¸ie<br />
V : [0, +∞) → L 2 (Ω) care are urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
a) V ∈ C 1 ((0, +∞); L 2 ) ∩ C([0, +∞), L 2 )<br />
b) V (t) ∈ D( A), (∀) t ∈ (0, +∞) ¸si dV<br />
dt + AV = F(t).<br />
c) V (0) = V0.<br />
Definit¸ia 7.2.5 Problema Cauchy (7.26) va fi numitǎ problema Cauchy abstractǎ<br />
pentru ecuat¸ia parabolicǎ, iar o solut¸ie a acesteia va fi numitǎ solut¸ie<br />
”tare” a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ.<br />
Observat¸ia 7.2.2 Dacǎ u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-<br />
Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ, atunci funct¸ia V <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong><br />
V (t)(x) = u(t, X) este solut¸ie a problemei Cauchy abstracte pentru ecuat¸ia<br />
parabolicǎ.
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 243<br />
Teorema 7.2.2 Problema Cauchy abstractǎ (7.26) pentru ecuat¸ia parabolicǎ<br />
are cel mult o solut¸ie.<br />
Demonstrat¸ie: Fie V1, V2 douǎ solut¸ii ale problemei (7.26) ¸si<br />
V = V1 − V2. Funct¸ia V verificǎ<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici egalitatea<br />
din care rezultǎ inegalitatea<br />
Funct¸ia ||V || 2<br />
L 2 (Ω)<br />
dV<br />
dt + AV = 0 ¸si V (0) = 0.<br />
1 d<br />
||V ||2L<br />
2 dt 2 (Ω) + ||V ||2A = 0<br />
d<br />
||V ||2L<br />
dt 2 (Ω) ≤ 0.<br />
este pozitivǎ, nulǎ pentru t = 0 ¸si conform inegalitǎt¸ii,<br />
<strong>de</strong>scre¸ste. Rezultǎ cǎ ||V || 2<br />
L 2 (Ω) = 0, (∀) t ≥ 0, <strong>de</strong> un<strong>de</strong> V1 = V2.<br />
Teorema 7.2.3 Dacǎ funct¸ia F : [0, +∞) → L 2 (Ω) este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe<br />
[0, +∞) atunci problema Cauchy abstractǎ pentru ecuat¸ia parabolicǎ are o<br />
solut¸ie unicǎ.<br />
Demonstrat¸ie: Va trebui sǎ arǎtǎm doar cǎ problema (7.26) are solut¸ie,<br />
unicitatea o avem <strong>de</strong>ja în baza teoremei prece<strong>de</strong>nte.<br />
Presupunem cǎ avem o solut¸ie ¸si, pentru t ∈ [0, +∞) o <strong>de</strong>zvoltǎm dupǎ<br />
sistemul ortonormat complet <strong>de</strong> funct¸ii proprii (um)m∈IN ale operatorului A :<br />
V (t) =<br />
∞<br />
m=1<br />
< V (t), um >L 2 (Ω) ·um<br />
S¸irul corespunzǎtor <strong>de</strong> valori proprii va fi notat cu 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm ≤<br />
. . .<br />
Procedǎm la fel cu F(t) ¸si V0:<br />
F(t) =<br />
∞<br />
m=1<br />
< F(t), um >L 2 (Ω) ·um
244 CAPITOLUL 7<br />
Notǎm:<br />
¸si din ecuat¸ia<br />
¸si condit¸ia init¸ialǎ<br />
<strong>de</strong>ducem:<br />
V0 =<br />
∞<br />
m=1<br />
< V(0), um >L 2 (Ω) ·um<br />
vm(t) =< V (t), um > L 2 (Ω)<br />
fm(t) =< F(t), um >L 2 (Ω)<br />
v 0 m (t) =< V0, um > L 2 (Ω)<br />
dV<br />
dt + AV = F(t)<br />
V (0) = V0<br />
dvm<br />
dt + λm · vm = fm, vm(0) = v 0 m m = 1, 2, 3, . . ..<br />
Aceste probleme cu date init¸iale au solut¸iile date <strong>de</strong> formula<br />
vm(t) = v 0 me −λmt +<br />
t<br />
0<br />
e −λm(t−s) · fm(s)ds m = 1, 2, 3, . . .<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> rezultǎ cǎ solut¸ia V (t) a Problemei Cauchy abstracte (7.26) verificǎ<br />
egalitatea:<br />
∞<br />
V (t) = v 0 me −λmt ⎛<br />
∞<br />
t<br />
· um + ⎝ e −λm(t−s) ⎞<br />
· fm(s)ds⎠<br />
· um. (7.27)<br />
m=1<br />
m=1<br />
Vom arǎta acum cǎ, dacǎ V0 ∈ L 2 (Ω) ¸si funct¸ia F : [0, +∞) → L 2 (Ω) este<br />
<strong>de</strong> clasǎ C 1 pe [0, +∞), atunci membrul drept al formulei (7.27) <strong>de</strong>fine¸ste<br />
o funct¸ie V (t) care este solut¸ie pentru problema Cauchy abstractǎ, adicǎ V<br />
are proprietǎt¸ile (a), (b), (c) din Definit¸ia (7.26).<br />
În prima etapǎ, trebuie <strong>de</strong>monstratǎ convergent¸a seriilor din membrul drept<br />
al egalitǎt¸ii (7.27) ¸si examinatǎ ”netezimea” funct¸iilor care sunt sumele acestor<br />
serii.<br />
Deoarece {um}m este un sistem ortonormat complet în L 2 (Ω), din convergen-<br />
t¸a seriei numerice ∞<br />
|v0 m| 2 · e−2λmt rezultǎ convergent¸a în L2 (Ω) a seriei <strong>de</strong><br />
m=1<br />
0
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 245<br />
funct¸ii ∞<br />
m=1<br />
seria numericǎ ∞<br />
cǎ, seria ∞<br />
v 0 m ·e−λmt ·um. Seria ∞<br />
|v<br />
m=1<br />
0 m |2 ·e−2λmt , (∀) t ≥ 0, este majoratǎ <strong>de</strong><br />
|v<br />
m=1<br />
0 m |2 care este convergentǎ (V0 ∈ L2 (Ω)). Rezultǎ astfel<br />
v<br />
m=1<br />
0 m · e−λmt · um este uniform convergentǎ pentru orice t ≥ 0 în<br />
spat¸iul L2 (Ω) ¸si suma ei este funct¸ie continuǎ <strong>de</strong> t.<br />
Pentru a arǎta cǎ seria ∞<br />
<br />
t<br />
e−λm(t−s) <br />
· fm(s)ds<br />
m=1<br />
0<br />
· um converge în L 2 (Ω)<br />
uniform pe un segment oarecare [0, T], procedǎm dupǎ cum urmeazǎ: consi<strong>de</strong>rǎm<br />
seria ∞ t<br />
| e−λm(t−s) · fm(s)ds| 2 , ¸si o majorǎm astfel:<br />
seria ∞<br />
m=1<br />
m=1<br />
∞<br />
m=1<br />
≤<br />
=<br />
=<br />
=<br />
≤<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
t<br />
∞<br />
m=1<br />
0<br />
m=1<br />
e −λm(t−s) <br />
<br />
<br />
·fm(s)ds<br />
<br />
<br />
t<br />
e −2λm(t−s) ds·<br />
∞<br />
e −2λmt 1<br />
· e<br />
2λm<br />
−2λms<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∞<br />
<br />
1<br />
m=1<br />
m=1<br />
2λm<br />
2<br />
≤<br />
t<br />
f<br />
0<br />
2 m (s)ds=<br />
t<br />
0<br />
− 1<br />
e<br />
2λm<br />
−2λmt<br />
<br />
·<br />
∞ 1<br />
(1 − e<br />
2λm<br />
−2λmt ) ·<br />
∞<br />
m=1<br />
1<br />
2λ1<br />
t<br />
0<br />
t<br />
0<br />
f 2 1<br />
m (s)ds =<br />
2λ1<br />
·<br />
t<br />
0<br />
t<br />
0<br />
f 2 mds =<br />
f 2 m(s)ds =<br />
f 2 m (s)ds ≤<br />
∞<br />
t<br />
m=1<br />
0<br />
f 2 m (s)ds.<br />
f2 m (s) converge pentru orice s ∈ [0, T] iar funct¸iile sunt continue<br />
¸si pozitive ¸si suma seriei ∞<br />
f2 m(s) = ||F(s)|| 2 este funct¸ie continuǎ. Con-<br />
m=1
246 CAPITOLUL 7<br />
form teoremei lui Dini rezultǎ cǎ, seria ∞<br />
rezultǎ convergent¸a uniformǎ a seriei ∞<br />
aici cǎ seria ∞<br />
m=1<br />
t<br />
<br />
0<br />
e−λm(t−s) <br />
fm(s)ds<br />
f<br />
m=1<br />
2 m (s) converge pe [0, T] , <strong>de</strong> un<strong>de</strong><br />
t<br />
m=1 0<br />
<br />
|fm(s)| 2 ds pe [0, T]. Se obt¸ine <strong>de</strong><br />
um este convergentǎ în L 2 (Ω) uniform<br />
în raport cu t ∈ [0, T] ¸si suma ei este funct¸ie continuǎ <strong>de</strong> t.<br />
Am obt¸inut în acest fel cǎ, funct¸ia V (t) <strong>de</strong>finitǎ <strong>de</strong> (7.27) este funct¸ie continuǎ<br />
<strong>de</strong> la [0, +∞) la L 2 (Ω).<br />
Vom arǎta în continuare cǎ V : (0, +∞) → L 2 (Ω) este funct¸ie <strong>de</strong> clasǎ<br />
C 1 . Aceasta rezultǎ din convergent¸a uniformǎ pe [t0, +∞) (cu 0 < t0 < T<br />
oarecare) a seriilor<br />
¸si ∞<br />
m=1<br />
t<br />
<br />
0<br />
∞<br />
m=1<br />
v 0 m e−λmt um<br />
e−λm(t−s) <br />
fm(s)ds um ¸si a seriilor obt¸inute din acestea <strong>prin</strong> <strong>de</strong>rivare<br />
termen cu termen.<br />
Pentru <strong>de</strong>rivata seriei ∞<br />
v<br />
m=1<br />
0 me−λmtum, adicǎ pentru seria:<br />
−<br />
∞<br />
m=1<br />
λmv 0 me −λmt um<br />
convergent¸a uniformǎ rezultǎ din estimǎrile:<br />
λ 2 m (v0 m )2 e −2λmt ≤ λ 2 m (v0 m )2 e −2λmt0 ≤ c · (v 0 m ) 2<br />
un<strong>de</strong> c este o constantǎ in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntǎ <strong>de</strong> m ¸si t. Pentru <strong>de</strong>rivata celei <strong>de</strong> a<br />
doua serii, adicǎ pentru seria<br />
⎡<br />
∞<br />
t<br />
⎣fm(t) − λm e −λm(t−s) ⎤<br />
fm(s)ds⎦um<br />
m=1<br />
convergent¸a uniformǎ se obt¸ine din estimarea:<br />
0
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 247<br />
|fm(t) − λm<br />
t<br />
0<br />
e −λm(t−s) · fm(s)| 2 =<br />
= |fm(0)e −λmt +<br />
t<br />
0<br />
f ′ m (s)e−λm(t−s) ds| 2 ≤<br />
≤ 2|fm(0)| 2e−2λ1t0 t<br />
+ 2 |f<br />
0<br />
′ m (s)|2 t<br />
ds ·<br />
0<br />
≤ |fm(0)| 2 e −2λ1t0 + 1<br />
λ1<br />
T<br />
0<br />
|f ′ m(s)| 2 ds.<br />
e −2λm(t−s) ds ≤<br />
Din aceastǎ estimare ¸si din ipoteza cǎ F ∈ C 1 ([0, +∞), L 2 ) rezultǎ convergent¸a<br />
uniformǎ a seriei <strong>de</strong>rivate ¸si continuitatea sumei.<br />
Apartenent¸a V ∈ C 1 ((0, +∞), L 2 ) este acum imediatǎ.<br />
Pentru apartenent¸a V (t) ∈ D( A) dacǎ t > 0 remarcǎm cǎ domeniul D( A)<br />
poate fi caracterizat astfel:<br />
D( A) =<br />
<br />
v =<br />
∞<br />
cmum|<br />
m=1<br />
∞<br />
m=1<br />
λ 2 m · c2 m<br />
< +∞<br />
Aceastǎ caracterizare ¸si rat¸ionamentele prece<strong>de</strong>nte aratǎ cǎ:<br />
V (t) ∈ D( A), (∀) t > 0.<br />
Verificarea egalitǎt¸ilor: dV<br />
dt + AV = F(t) ¸si V (0) = V0 este imediatǎ.<br />
Exercit¸iul 1<br />
Gǎsit¸i Problema Cauchy abstractǎ în cazul Problemei Cauchy-Dirichlet<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
¸si <strong>de</strong>terminat¸i solut¸ia ”tare”.<br />
∂u<br />
∂t = a2∂2 u<br />
∂x2 u(t, 0) = u(t, l) = 0<br />
u(0, x) = u0(x)<br />
t > 0, x ∈ (0, l)<br />
<br />
.
248 CAPITOLUL 7<br />
Rǎspuns:<br />
u(x, t) =<br />
∞<br />
k=1<br />
λk =<br />
kπ<br />
l<br />
akπ<br />
−(<br />
ak · e l )2 ·t kπx<br />
sin<br />
l<br />
2<br />
, k ∈ IN ∗ , uk = sin kπx<br />
l V<br />
un<strong>de</strong> ak = 2<br />
l<br />
Exercit¸iul 2<br />
Determinat¸i solut¸iile urmǎtoarelor Probleme Cauchy-Dirichlet:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂u<br />
∂t = 4∂2 u<br />
∂x2, u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0<br />
u(x, 0) = 3 sin 2πx, x ∈ [0, 1]<br />
l<br />
(x, t) ∈ (0, 1) × (0, +∞)<br />
R: u(x, t) = 3 · e −16π2 t · sin 2πx<br />
∂u<br />
∂t = 4 · ∂2u ∂x2 + e−4t sin x x ∈ (0, π) × (0, ∞)<br />
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0<br />
u(x, 0) = 4 sin x · cos x, x ∈ [0, π]<br />
R: u(x, t) = t · e −4t · sin x + 2e −16t · sin 2x<br />
∂u<br />
∂t = ∂2u + x + 1, (x, t) ∈ (0, 1) × (0, +∞)<br />
∂x2 u(0, t) = t + 1, u(1, t) = 2t + 1, t ≥ 0<br />
u(x, 0) = 1, x ∈ [0, 1]<br />
R: u(x, t) = t + 1 + x · t<br />
0<br />
u0(x) · sin kπx<br />
l dx
Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii parabolice 249<br />
7.3 Calculul simbolic ¸si numeric al solut¸iei<br />
Problemei Cauchy-Dirichlet pentru<br />
ecuat¸ii parabolice<br />
Calculul simbolic al solut¸iei unei probleme Cauchy-Dirichlet nu poate fi<br />
realizat cu funct¸ia pdsolve. În astfel <strong>de</strong> cazuri se trece la rezolvarea numericǎ.<br />
Pentru exemplificare, vom consi<strong>de</strong>ra trei Probleme Cauchy-Dirichlet pentru<br />
ecuat¸ii parabolice a cǎror solut¸ie o vom <strong>de</strong>termina numeric folosind funct¸ia<br />
pdsolve cu sintaxa pentru calcul numeric:<br />
pdsolve(PDE or PDE system, conds, type=numeric, other option);<br />
în care:<br />
PDEorPDEsystem - ecuat¸ia cu <strong>de</strong>rivate part¸iale pe care dorim sǎ<br />
o rezolvǎm sau sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate<br />
part¸iale<br />
conds - condit¸iile init¸iale ¸si condit¸iile la limitǎ<br />
type = numeric - indicǎ rezolvarea utilizând meto<strong>de</strong> numerice<br />
otheroption - diferite opt¸iuni (<strong>de</strong> ex. metoda numericǎ, nr.<br />
<strong>de</strong> puncte, etc.)<br />
Exemplul 1:<br />
Heat equation<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂u 1<br />
(x, t) =<br />
∂t 10 · ∂2u ∂x2(x, t)<br />
u(0, t) = u(1, t) = 0<br />
u(x, 0) = 1<br />
> PDE1 :=diff(u(x,t),t)=1/10*diff(u(x,t),x,x);<br />
PDE1 := ∂<br />
∂t<br />
u (x, t) = 1/10 ∂2<br />
∂x 2u (x, t)<br />
> IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0, u(x,0)=1};<br />
IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = 1}<br />
> pds1 := pdsolve(PDE1,IBC1,numeric);
250 CAPITOLUL 7<br />
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,<br />
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo<br />
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module<br />
> p1 := pds1:-plot(t=0):<br />
p2 := pds1:-plot(t=1/10):<br />
p3 := pds1:-plot(t=1/2):<br />
p4 := pds1:-plot(t=1):<br />
p5 := pds1:-plot(t=2):<br />
plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5},<br />
title=‘Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);<br />
Figura 30<br />
> pds1:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);
Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii parabolice 251<br />
Exemplul 2:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂u<br />
(x, t) = 4<br />
∂t<br />
Figura 31<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2<br />
u(0, t) = u(π, t) = 0<br />
u(x, 0) = 4 cosxsin x<br />
<br />
(x, t) + e −4t · sin x<br />
Heat equation<br />
> PDE2 :=<br />
diff(u(x,t),t)=4*diff(u(x,t),x,x)+(exp(-4*t))*sin(x);<br />
PDE2 := ∂<br />
∂t<br />
u (x, t) = 4 ∂2<br />
∂x 2u (x, t) + e −4 t sin (x)<br />
> IBC2 := {u(0,t)=0,u(Pi,t)=0,u(x,0)=4*cos(x)*sin(x)};<br />
IBC2 := {u (0, t) = 0, u (π, t) = 0, u (x, 0) = 4 cos (x) sin (x)}<br />
> pds2 := pdsolve(PDE2,IBC2,numeric);<br />
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,<br />
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo<br />
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module<br />
> p6 := pds2:-plot(t=0):<br />
p7 := pds2:-plot(t=1/10):
252 CAPITOLUL 7<br />
p8 := pds2:-plot(t=1/2):<br />
p9 := pds2:-plot(t=1):<br />
p10 := pds2:-plot(t=2):<br />
plots[display]({p6,p7,p8,p9,p10},<br />
title=‘Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);<br />
Figura 32<br />
> pds2:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);<br />
Figura 33
Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii parabolice 253<br />
Exemplul 3:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂u<br />
∂t (x, t) = ∂2u ∂x2(x, t) + t · cosx<br />
u(0, t) = t, u(π, t) = 0<br />
u(x, 0) = cos 2x + cos 3x<br />
Heat equation<br />
> PDE3 :=<br />
diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x,x)+t*cos(x);<br />
PDE3 := ∂<br />
∂t<br />
u (x, t) = ∂2<br />
∂x 2u (x, t) + t cos (x)<br />
> IBC3 := {u(0,t)=t,u(Pi,t)=0,u(x,0)=cos(2*x)+cos(3*x)};<br />
IBC3 := {u (π, t) = 0, u (0, t) = t, u (x, 0) = cos (2 x) + cos (3 x)}<br />
> pds3 := pdsolve(PDE3,IBC3,numeric);<br />
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,<br />
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo<br />
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module<br />
> q1 := pds3:-plot(t=0):<br />
q2 := pds3:-plot(t=1/10):<br />
q3 := pds3:-plot(t=1/2):<br />
q4 := pds3:-plot(t=1):<br />
q5 := pds3:-plot(t=2):<br />
plots[display]({q1,pq2,q3,q4,q5},<br />
title=‘Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
254 CAPITOLUL 7<br />
Figura 34<br />
> pds3:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);<br />
Figura 35
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 255<br />
7.4 Problema Cauchy-Dirichlet pentru<br />
ecuat¸ii hiperbolice<br />
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si<br />
funct¸iile reale aij, c, u0, u1 : Ω → IR 1 , f : [0, +∞) × Ω → IR 1 ,<br />
g : [0, +∞) × ∂Ω → IR 1 cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
i) aij sunt funct¸ii <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si aij = aji, i, j = 1, n;<br />
c este continuǎ pe Ω;<br />
u0 este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 2 pe Ω;<br />
u1 este continuǎ pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω.<br />
ii) existǎ µ0 > 0 astfel încât pentru orice (ξ1, ξ2, . . .,ξn) ∈ IR n sǎ aibe loc<br />
inegalitatea:<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
aij(X) · ξi · ξj ≥ µ0<br />
j=1<br />
iii) c(X) ≥ 0, (∀)X ∈ Ω;<br />
n<br />
i=1<br />
ξ 2 i , (∀)X ∈ Ω<br />
iv) funct¸iile f : [0, +∞)×Ω → IR 1 ¸si g : [0, +∞)×∂Ω → IR 1 sunt continue.<br />
Definit¸ia 7.4.1 Problema care constǎ în <strong>de</strong>terminarea funct¸iilor reale u :<br />
[0, +∞) × Ω → IR 1 continue pe [0, +∞) × Ω, <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω ¸si<br />
<strong>de</strong> clasǎ C2 pe (0, +∞) × Ω, care au urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
∂2 n<br />
<br />
n<br />
u ∂<br />
− aij(X)·<br />
∂t2 ∂xi<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X)·u=f(t, X),<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
(∀)(t, X)∈(0,+∞)×Ω<br />
(7.28)<br />
u(t, X) =g(t, X), (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω. (7.29)<br />
u(0, X) =u0(X), (∀)X ∈ Ω. (7.30)<br />
∂u<br />
∂t (0, X) =u1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.31)<br />
se nume¸ste Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ.
256 CAPITOLUL 7<br />
Definit¸ia 7.4.2 O funct¸ie u care verificǎ condit¸iile din <strong>de</strong>finit¸ia prece<strong>de</strong>ntǎ<br />
se nume¸ste solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ.<br />
Propozit¸ia 7.4.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω ′ ⊂ IR n care inclu<strong>de</strong> domeniul<br />
Ω ¸si o funct¸ie G : [0, +∞) × Ω ′ → IR 1 <strong>de</strong> clasǎ C 2 pe [0, +∞) × Ω ′ astfel<br />
încât<br />
G(t, X) = g(t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × ∂Ω<br />
atunci Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ, <strong>prin</strong> schimbarea<br />
<strong>de</strong> funct¸ie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) − G(t, X), se reduce la Problema<br />
Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ cu condit¸ii nule pe frontierǎ:<br />
∂2v −<br />
∂t2 n<br />
i=1<br />
∂<br />
∂xi<br />
n<br />
j=1<br />
= f(t, X) − ∂2G +<br />
∂t2 aij · ∂v<br />
<br />
+ c(X) · v(t, X) =<br />
∂xj<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
∂ ∂G<br />
− c(X) · G(t, X),<br />
∂xi ∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
(∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω<br />
(7.32)<br />
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω. (7.33)<br />
u(0, X) = u0(X) − G(0, X) = v0(X), (∀)X ∈ Ω. (7.34)<br />
∂v<br />
∂t (0, X) = u1(X) − ∂G<br />
∂t (0, X) = v1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.35)<br />
Demonstrat¸ie: Prin verificare.<br />
Observat¸ia 7.4.1 Propozit¸ia reduce problema (7.28-7.31) cu condit¸ie nenulǎ<br />
pe frontierǎ la problema (7.32-7.35), în care condit¸ia la frontierǎ (7.33) este<br />
zero:<br />
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω.<br />
De aceea, vom studia existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei Problemei Cauchy-<br />
Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ cu condit¸ia la frontierǎ nulǎ.
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 257<br />
Vom consi<strong>de</strong>ra în continuare Probleme Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ<br />
<strong>de</strong> urmǎtoarea formǎ:<br />
∂2u −<br />
∂t2 n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X)·<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X)·u(t, X)=f(t, X),<br />
∂Xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
(t, X)∈(0,+∞)×Ω<br />
(7.36)<br />
u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω. (7.37)<br />
u(0, X) = u0(X), (∀)x ∈ Ω. (7.38)<br />
∂u<br />
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.39)<br />
în care funct¸iile aij, c, f au proprietǎt¸ile (i), (ii), (iii), (iv) anterior prezentate;<br />
funct¸ia u0 este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 2 în Ω; funct¸ia u1 este continuǎ<br />
pe Ω ¸si <strong>de</strong> clasǎ C 1 în Ω.<br />
O solut¸ie clasicǎ a acestei probleme este o funct¸ie u : [0, +∞) × Ω → IR 1<br />
care este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω, ¸si este <strong>de</strong> clasǎ C 2 pe (0, +∞) × Ω ¸si<br />
verificǎ:<br />
⎧<br />
∂<br />
⎪⎨<br />
2 n<br />
<br />
n<br />
u ∂<br />
− aij(X)·<br />
∂t2 ∂xi i=1 j=1<br />
∂u<br />
<br />
+ c(X)·u(t, X)=f(t, X); (t, X)∈(0,+∞)×Ω<br />
∂xj<br />
u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω.<br />
⎪⎩<br />
u(0, X) = u0(X), (∀)X ∈ Ω.<br />
∂u<br />
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ Ω.<br />
Consi<strong>de</strong>rând operatorul diferent¸ial A <strong>de</strong>finit pe spat¸iul <strong>de</strong> funct¸ii<br />
D = {w|w : Ω → IR 1 ; w ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω), w|∂Ω = 0}
258 CAPITOLUL 7<br />
cu formula<br />
Aw = −<br />
n<br />
<br />
n<br />
∂<br />
aij(X) ·<br />
∂xi<br />
∂w<br />
<br />
+ c(X) · w(X)<br />
∂xj<br />
i=1<br />
j=1<br />
ecuat¸ia hiperbolicǎ poate fi scrisǎ sub forma:<br />
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω.<br />
∂t2 Teorema 7.4.1 Dacǎ funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ a<br />
problemei (7.36-7.39), atunci funct¸ia U <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong>:<br />
are urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
U(t)(X) = u(t, X)<br />
i) U : [0, +∞) → L 2 (Ω) este <strong>de</strong> clasǎ C 1 pe [0, +∞).<br />
ii) U : [0, +∞) → H 1 0<br />
iii) U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1.<br />
Demonstrat¸ie:<br />
este funct¸ie continuǎ;<br />
i) Arǎtǎm la început cǎ funct¸ia U : [0, +∞] → L 2 (Ω) este <strong>de</strong>rivabilǎ în<br />
orice t0 ∈ [0, +∞). Pentru aceasta, consi<strong>de</strong>rǎm t0 ∈ [0, +∞) ¸si apoi raportul<br />
1<br />
[U(t) − U(t0)] ∈ L<br />
t − t0<br />
2 (Ω)<br />
¸si arǎtǎm cǎ acest raport tin<strong>de</strong> la ∂u<br />
∂t (t0, x) ∈ L 2 (Ω) în norma L 2 (Ω) atunci<br />
când t → t0. Aceasta înseamnǎ cǎ trebuie sǎ arǎtǎm egalitatea:<br />
<br />
lim<br />
t→t0<br />
Ω<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
[U(t) − U(t0)](X) −<br />
t − t0<br />
∂u<br />
∂t (t0,<br />
<br />
<br />
X) <br />
<br />
Folosind teorema cre¸sterilor finite a lui Lagrange scriem:<br />
1<br />
t − t0<br />
[U(t) − U(t0)] (X) = 1<br />
t − t0<br />
2<br />
dX = 0.<br />
[u(t, X) − u(t0, X)] = ∂u<br />
(t(X), X)<br />
∂t
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 259<br />
cu |t(X) − t0| < |t − t0|.<br />
Prin urmare are loc egalitatea:<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
[U(t) − U(t0)] (X) −<br />
t − t0<br />
∂u<br />
∂t (t0,<br />
<br />
<br />
X) <br />
<br />
cu |t(X) − t0| < |t − t0|.<br />
2<br />
<br />
<br />
= <br />
∂u ∂u<br />
(t(X), X) −<br />
∂t ∂t (t0,<br />
<br />
<br />
X) <br />
<br />
Funct¸ia (t, X) → ∂u<br />
(t, X) este continuǎ pe [0, +∞) × Ω ¸si <strong>de</strong>ci este uni-<br />
∂t<br />
form continuǎ pe o mult¸ime <strong>de</strong> forma [t0 − η, t0 + η] × Ω (η > 0) ¸si <strong>prin</strong><br />
urmare:<br />
(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) a.î. (∀)(t ′ , X ′ ), (t”, X”) ∈ [t0 − η, t0 + η] × Ω<br />
cu |t ′ − t”| < δ ¸si |X ′ − X”| < δ avem<br />
<br />
<br />
<br />
∂u<br />
∂t (t′ , X ′ ) − ∂u<br />
<br />
<br />
(t”, X”) <br />
∂t <<br />
ε<br />
|Ω| .<br />
un<strong>de</strong> |Ω| este mǎsura domeniului Ω. Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ, dacǎ |t − t0| < δ(ε),<br />
atunci are loc inegalitatea:<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
[U(t) − U(t0)](X) −<br />
t − t0<br />
∂u<br />
∂t (t0,<br />
<br />
2<br />
X) <br />
dX < ε.<br />
Ω<br />
În acest fel, egalitatea<br />
<br />
<br />
lim <br />
1<br />
[U(t) − U(t0)](X) −<br />
t→t0 t − t0<br />
∂u<br />
∂t (t0,<br />
<br />
<br />
X) <br />
<br />
Ω<br />
2<br />
dX = 0<br />
a fost <strong>de</strong>monstratǎ.<br />
Va trebui în continuare sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia U ′ : [0, +∞) → L 2 (Ω) este<br />
continuǎ. Aceasta revine la a <strong>de</strong>monstra egalitatea:<br />
lim U<br />
t→t0<br />
′ (t) − U ′ (t0)L2 (Ω) = 0.<br />
Pentru aceasta, vom folosi egalitatea<br />
U ′ (t) − U ′ (t0)L2 <br />
<br />
(Ω) = <br />
∂u ∂u<br />
(t, X) −<br />
∂t ∂t (t0,<br />
2<br />
<br />
X) <br />
dX<br />
Ω<br />
2
260 CAPITOLUL 7<br />
¸si faptul cǎ funct¸ia ∂u<br />
este continuǎ pe [0, +∞) × Ω. Din continuitatea<br />
∂t<br />
funct¸iei ∂u<br />
rezultǎ cǎ aceasta este uniform continuǎ pe o mult¸ime <strong>de</strong> forma<br />
∂t<br />
[t0 − η, t0 + η] × Ω, (y > 0) ¸si <strong>prin</strong> urmare:<br />
(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) a.î.(∀)(t ′ , X ′ ), (t”, X”) ∈ [t0 − η, t0 + η] × Ω<br />
dacǎ |t ′ − t”| < δ ¸si |X ′ − X”| < δ atunci<br />
<br />
<br />
<br />
∂u<br />
∂t (t′ , X ′ ) − ∂u<br />
<br />
<br />
(t”, X”) <br />
∂t <<br />
ε<br />
|Ω| .<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ, dacǎ |t − t0| < δ(ε) avem: U ′ (t ′ ) − U ′ (t0) < ε.<br />
ii) Sǎ arǎtǎm cǎ U ca funct¸ie cu valori în spat¸iul:<br />
H 1 <br />
0 = u ∈ L 2 <br />
<br />
(Ω) <br />
∂u<br />
(∃)<br />
∂xi<br />
∈ L 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0<br />
este continuǎ. Faptul cǎ, pentru orice t ∈ [0, +∞) funct¸ia U(t) apart¸ine<br />
spat¸iului H 1 0 rezultǎ din proprietǎt¸ile solut¸iei u(t, X) = U(t)(X). Trebuie<br />
doar sǎ evaluǎm norma U(t) − U(t0) H 1 0 ¸si sǎ arǎtǎm cǎ aceasta tin<strong>de</strong> la<br />
zero dacǎ t → t0.<br />
Avem:<br />
U(t) − U(t0) 2<br />
H 1 0<br />
= U(t) − U(t0) 2<br />
L 2 (Ω) +<br />
<br />
=<br />
+<br />
Ω<br />
n<br />
<br />
i=1<br />
<br />
=<br />
+<br />
Ω<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
∂U(t)<br />
∂xi<br />
i=1<br />
|u(t, X) − u(t0, X)| 2 dX+<br />
Ω<br />
<br />
<br />
<br />
∂u<br />
(t, X) −<br />
∂xi<br />
∂u<br />
<br />
<br />
(t0, X) <br />
∂xi<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂u <br />
(t(X), X) <br />
∂t <br />
n<br />
<br />
i=1<br />
Ω<br />
<br />
<br />
<br />
∂<br />
<br />
2u ∂t∂xi<br />
(t ∗ i<br />
2<br />
2<br />
· |t − t0| 2 dX+<br />
<br />
− ∂U(t0)<br />
∂xi<br />
dX =<br />
2<br />
<br />
(X), X) <br />
· |t − t0| 2 dX<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
L 2 (Ω)<br />
=
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 261<br />
cu |t(X) − t0| ≤ |t − t0| ¸si |t ∗ i (X) − t0| ≤ |t − t0|.<br />
Funct¸iile ∂u<br />
∂t ¸si ∂2u sunt continue ¸si <strong>prin</strong> urmare mǎrginite pe compacte<br />
∂t∂xi<br />
<strong>de</strong> forma [t0 − η, t0 + η] × Ω. Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ, existǎ o constantǎ pozitivǎ<br />
K2 > 0 astfel ca<br />
U(t) − U(t0) 2<br />
H 1 0<br />
≤ K 2 · |t − t0| 2 ,<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> se obt¸ine continuitatea funct¸iei U : [0, +∞) → H 1 0.<br />
iii) Egalitǎt¸ile: U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1 sunt imediate.<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm în continuare spat¸iul <strong>de</strong> funct¸ii S <strong>de</strong>finit <strong>prin</strong>:<br />
S = C([0, +∞); H 1 0 ) ∩ C1 ([0, +∞); L 2 ).<br />
Teorema prece<strong>de</strong>ntǎ aratǎ cǎ, dacǎ u = u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a problemei<br />
(7.36-7.39), atunci funct¸ia U <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong> U(t)(X) = u(t, X) apart¸ine<br />
spat¸iului <strong>de</strong> funct¸ii S ¸si verificǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1.<br />
Fie T > 0 ¸si subspat¸iul <strong>de</strong> funct¸ii ST <strong>de</strong>finit <strong>prin</strong>:<br />
ST = {V ∈ S|V (T) = 0}<br />
Teorema 7.4.2 Dacǎ funct¸ia u = u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a problemei<br />
(7.36-7.39), atunci funct¸ia U <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong> U(t)(X) = u(t, X) apart¸ine<br />
spat¸iului <strong>de</strong> funct¸ii S, verificǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1 ¸si pentru orice T > 0<br />
¸si orice funct¸ie V ∈ ST are loc egalitatea:<br />
<br />
−<br />
T<br />
0<br />
0<br />
T<br />
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt− < u1, V (0) > L 2 (Ω) +<br />
< U(t), V (t) >A dt =<br />
T<br />
0<br />
< F(t), V (t) >L 2 (Ω) dt.<br />
(7.40)<br />
Demonstrat¸ie: Apartenent¸a funct¸iei U la spat¸iul S a fost <strong>de</strong>monstratǎ. S-a<br />
arǎtat <strong>de</strong> asemenea cǎ U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1. Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm cǎ
262 CAPITOLUL 7<br />
pentru orice T > 0 ¸si orice V ∈ ST are loc egalitatea (7.40).<br />
În acest scop, fie T > 0 ¸si V ∈ ST. Scriind egalitatea (7.36) sub forma:<br />
d 2 U(t)<br />
dt 2 (X) + A · U(t)(X) = F(t)(X)<br />
(un<strong>de</strong> F(t)(X) = f(t, X)), înmult¸ind aceastǎ egalitate cu funct¸ia V (t)(X) ¸si<br />
integrând pe Ω obt¸inem:<br />
< d2 U<br />
dt 2 , V >L 2 (Ω) + < U(t), V (t) >A=< F(t), V (t) >L 2 (Ω) .<br />
Integrǎm acum aceastǎ egalitate în raport cu t pe segmentul [0, T], t¸inem<br />
seama <strong>de</strong> V (T) = 0 ¸si obt¸inem:<br />
< U ′ (t), V (t) >L 2 (Ω)<br />
adicǎ:<br />
<br />
T <br />
0 −<br />
0<br />
=<br />
< U ′ <br />
(0), V (0) > L2 (Ω) −<br />
0<br />
T<br />
=<br />
ceea ce este echivalent cu:<br />
<br />
− < u1, V (0) > L2 (Ω) −<br />
0<br />
T<br />
=<br />
T<br />
< U ′ (t), V ′ (t) >L2 T<br />
(Ω) dt+<br />
0<br />
T<br />
0<br />
< F(t), V (t) >L 2 (Ω) dt<br />
< U ′ (t), V ′ T<br />
(t) > L2 (Ω) dt+<br />
0<br />
T<br />
0<br />
< F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt<br />
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt +<br />
T<br />
0<br />
< F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt<br />
T<br />
0<br />
< U(t), V (t) >A dt =<br />
< U(t), V (t) >A dt =<br />
< U(t), V (t) >A=
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 263<br />
Definit¸ia 7.4.3 O funct¸ie U ∈ S se nume¸ste solut¸ie generalizatǎ a problemei<br />
(7.36-7.39) dacǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1 ¸si pentru (∀)T > 0, (∀)V ∈ ST<br />
verificǎ:<br />
<br />
− < u1, V (0) > L2 (Ω) −<br />
0<br />
T<br />
T<br />
+<br />
0<br />
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt+<br />
< U(t), V (t) >A dt =<br />
T<br />
0<br />
< F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt<br />
(7.41)<br />
Observat¸ia 7.4.2 O solut¸ie clasicǎ u(t, X) a problemei (7.36-7.39) <strong>de</strong>fine¸ste<br />
o solut¸ie generalizatǎ a acestei probleme.<br />
Teorema 7.4.3 Dacǎ funct¸ia U ∈ S este solut¸ie generalizatǎ a problemei<br />
(7.36-7.39) ¸si funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong> u(t, X) = U(t, X)<br />
este <strong>de</strong> clasǎ C 2 pentru t > 0 ¸si X ∈ Ω, atunci funct¸ia u = u(t, X) este<br />
solut¸ie clasicǎ a problemei (7.36-7.39).<br />
Demonstrat¸ie: Egalitatea (7.37):<br />
u(t, X) = 0, (∀)t ≥ 0 ¸si (∀)x ∈ ∂Ω<br />
rezultǎ din apartenent¸a U(t) ∈ H 1 0 . Egalitatea (7.38): u(0, X) = u0(0), (∀)X ∈<br />
Ω rezultǎ din U(0) = u0.<br />
Egalitatea (7.39): ∂u<br />
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ ∂Ω rezultǎ din U ′ (0) = u1.<br />
Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm egalitatea (7.36) adicǎ:<br />
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X).<br />
∂t2 Pentru a <strong>de</strong>duce aceastǎ egalitate pornim <strong>de</strong> la egalitatea (7.41) pe care o<br />
scriem sub forma:<br />
<br />
−<br />
0<br />
T<br />
<br />
Ω<br />
∂u<br />
∂t (t, X) · V ′ <br />
(t)(X)dX dt −<br />
<br />
Ω<br />
u1(X) · V (0)(X)dX+
264 CAPITOLUL 7<br />
T <br />
<br />
+ A · u(t, X) · V (t)(X)dX dt =<br />
0 Ω<br />
T<br />
0<br />
<br />
<br />
f(t, X) · V (t)(X)dX dt.<br />
Ω<br />
Itervertind ordinea <strong>de</strong> integrare ¸si fǎcând o integrare <strong>prin</strong> pǎrt¸i în raport cu<br />
t în prima integralǎ, obt¸inem:<br />
<br />
T<br />
Ω<br />
0<br />
<br />
2 ∂ u<br />
+ A · u(t, X) − f(t, X) · V (t)(X)dt dX = 0<br />
∂t2 pentru orice V ∈ ST (am t¸inut seama <strong>de</strong> faptul cǎ V (T) = 0).<br />
Rezultǎ <strong>de</strong> aici cǎ:<br />
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X), (∀)t > 0, (∀)X ∈ Ω.<br />
∂t2 Observat¸ia 7.4.3 Aceastǎ teoremǎ aratǎ cǎ dacǎ o solut¸ie generalizatǎ este<br />
suficient <strong>de</strong> ”netedǎ” atunci ea este solut¸ie clasicǎ.<br />
Teorema 7.4.4 (<strong>de</strong> unicitate a solut¸iei generalizate)<br />
Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o solut¸ie generalizatǎ.<br />
Demonstrat¸ie: Presupunem <strong>prin</strong> absurd cǎ problema (7.36)-(7.39) admite<br />
solut¸iile generalizate U1(t) ¸si U2(t) ¸si consi<strong>de</strong>rǎm funct¸ia U(t) = U1(t)−U2(t).<br />
Pentru orice T > 0 ¸si orice V ∈ ST funct¸iile U ¸si V verificǎ:<br />
<br />
−<br />
0<br />
T<br />
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt +<br />
Funct¸ia V <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong> V (t) =<br />
¸si are urmǎtoarele proprietǎt¸i:<br />
T<br />
0<br />
< U(t), V (t) >A dt = 0<br />
T<br />
U(τ)dτ apart¸ine spat¸iilor <strong>de</strong> funct¸ii S ¸si ST<br />
t<br />
V ′ (t) = −U(t) ¸si V ′′ (t) = −U ′ (t).<br />
Înlocuind acestea în relat¸ia <strong>de</strong> mai sus rezultǎ cǎ:<br />
T<br />
0<br />
< V ′′ (t), V ′ (t) >L 2 (Ω) dt −<br />
T<br />
0<br />
< V ′ (t), V (t) >A dt = 0.
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 265<br />
Deoarece<br />
¸si<br />
< V ′′ (t), V ′ (t) > L2 (Ω)= 1 d<br />
·<br />
2 dt V ′ (t) 2<br />
L2 (Ω)<br />
< V ′ (t), V (t) >A= 1<br />
2<br />
egalitatea prece<strong>de</strong>ntǎ implicǎ egalitatea:<br />
· d<br />
dt V (t)2 A<br />
V ′ (T) 2<br />
L2 (Ω) − V ′ (0) 2<br />
L2 (Ω) − V (T)2A + V (0)2A = 0.<br />
T¸inem seamǎ acum <strong>de</strong> egalitǎt¸ile V (T) = 0, V ′ (0) = U(0) = 0 ¸si <strong>de</strong>ducem<br />
cǎ:<br />
V ′ (T) 2<br />
L 2 (Ω) + V ′ (T) 2 A = 0,<br />
din care rezultǎ V ′ (T) = 0 ¸si V (0) = 0.<br />
Întrucât T > 0 este oarecare rezultǎ V ′ (T) = −U(T) = 0. Prin urmare<br />
U1(T) = U2(T), (∀)T ≥ 0. Astfel, rezultǎ cele douǎ solut¸ii generalizate<br />
coincid.<br />
Consecint¸a 7.4.1 Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o solut¸ie clasicǎ.<br />
Teorema 7.4.5 (<strong>de</strong> existent¸ǎ a solut¸iei generalizate)<br />
Dacǎ funct¸ia F <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong> F(T)(X) = f(t, X) este continuǎ ca funct¸ie cu<br />
valori în L 2 (Ω) ¸si dacǎ u0 ∈ H 1 0, u1 ∈ L 2 (Ω), atunci problema (7.36)-(7.39)<br />
are o solut¸ie generalizatǎ.<br />
Demonstrat¸ie: Facem <strong>de</strong>monstrat¸ia în douǎ etape.<br />
În prima etapǎ <strong>de</strong>ducem o formulǎ <strong>de</strong> reprezentare a solut¸iei generalizate în<br />
ipoteza cǎ aceastǎ solut¸ie existǎ.<br />
În a doua etapǎ arǎtǎm cǎ formula <strong>de</strong> reprezentare gǎsitǎ în prima etapǎ, în<br />
condit¸iile teoremei, <strong>de</strong>fine¸ste o funct¸ie care este o solut¸ie generalizatǎ.<br />
Etapa I. Presupunem cǎ U = U(t) este o solut¸ie generalizatǎ a problemei<br />
(7.36)-(7.39) ¸si consi<strong>de</strong>rǎm ¸sirul valorilor proprii<br />
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ≤ λk ≤ · · · → ∞<br />
ai prelungirii Friedrichs A a operatorului A, ¸si apoi ¸sirul ortonormat <strong>de</strong> funct¸ii<br />
proprii (ωk)k∈IN corespunzǎtor, care este complet în spat¸iul L 2 (Ω).<br />
Consi<strong>de</strong>rǎm funct¸iile<br />
uk(t) =< U(t), ωk > L 2 (Ω)
266 CAPITOLUL 7<br />
¸si reprezentarea<br />
U(t) =<br />
∞<br />
uk(t) · ωk<br />
k=1<br />
a funct¸iei U(t). Pentru cǎ U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) funct¸iile uk(t) sunt <strong>de</strong>rivabile<br />
¸si au <strong>de</strong>rivatǎ continuǎ, iar U ′ (t) se reprezintǎ astfel:<br />
U ′ (t) =<br />
∞<br />
k=1<br />
u ′ k (t) · ωk.<br />
În virtutea acestei formule <strong>de</strong> reprezentare, egalitatea (7.41) pe care o satisface<br />
solut¸ia generalizatǎ U <strong>de</strong>vine:<br />
<br />
+<br />
<br />
−<br />
0<br />
T<br />
0<br />
T<br />
k=1<br />
+∞<br />
u ′ k (t)· < V ′ +∞<br />
(t), ωk > L2 (Ω) dt − u ′ k (0)· < V (0), ωk > L2 (Ω) +<br />
k=1<br />
k=1<br />
+∞<br />
T<br />
λk · uk(t) < V (t), ωk > L2 (Ω) dt =<br />
0<br />
+∞<br />
fk(t)· < V (t), ωk > L2 (Ω) dt.<br />
Fie acum j un numǎr natural oarecare fixat ¸si funct¸ia Vj ∈ ST <strong>de</strong>finitǎ <strong>prin</strong>:<br />
k=1<br />
Vj(t) = (T − t) · ωj.<br />
În egalitatea prece<strong>de</strong>ntǎ înlocuim V cu Vj, t¸inem seama <strong>de</strong> egalitǎt¸ile<br />
¸si obt¸inem:<br />
−T · < u1, ωj >L 2 (Ω) +<br />
< ωk, ωj >L 2 (Ω)= δkj; V ′ (t) = −ωj, V (0) = T · ωj<br />
<br />
0<br />
T<br />
u ′ j(t)dt + λj ·<br />
T<br />
pentru j = 1, 2, . . .<br />
Derivând <strong>de</strong> douǎ ori în raport cu T rezultǎ:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
0<br />
(T − t) · fj(t)dt =<br />
u ′′ j(T) + λj · uj(T) = fj(T), (∀)T > 0<br />
u ′ j (0) =< u1, ωj > L 2 (Ω)<br />
uj(0) =< u0, ωj > L 2 (Ω), j = 1, 2, . . .<br />
T<br />
0<br />
(T − t)fj(t)dt<br />
(7.42)
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 267<br />
Problema cu datele init¸iale (7.42) are o singurǎ solut¸ie ¸si aceasta este datǎ<br />
<strong>de</strong>:<br />
uj(t) =< u0, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t + 1<br />
· < u1, ωj > L2 (Ω) · sin<br />
λj<br />
λj · t +<br />
+ 1<br />
λj<br />
·<br />
T<br />
0<br />
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ, (∀)t ≥ 0, j = 1, 2, . . .<br />
Astfel rezultǎ cǎ solut¸ia generalizatǎ U are urmǎtoarea reprezentare:<br />
<br />
U(t) =<br />
+∞<br />
j=1<br />
< u0, ωj >L2 (Ω) · cos λj · t + 1<br />
· < u1, ωj >L<br />
λj<br />
2 (Ω)·sin λj · t<br />
+<br />
+∞<br />
j=1<br />
⎛<br />
⎝ 1<br />
λj<br />
·<br />
T<br />
0<br />
⎞<br />
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ⎠<br />
· ωj.<br />
(7.43)<br />
Etapa II Arǎtǎm acum cǎ, în condit¸iile din teoremǎ formula (7.44) <strong>de</strong>fine¸ste<br />
o funct¸ie U care apart¸ine spat¸iului S ¸si verificǎ (7.41) pentru T > 0.<br />
Convergent¸ele<br />
+∞<br />
| < u0, ωj > L2 | 2 < +∞ ¸si<br />
j=1<br />
+∞<br />
| < u1, ωj > L2 | 2 < +∞<br />
implicǎ convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) în spat¸iul L2 (Ω) a<br />
seriei <strong>de</strong> funct¸ii:<br />
<br />
<br />
+∞<br />
j=1<br />
< u0, ω > L2 (Ω) · cos λj · t + 1<br />
· < u1, ωj > L2 · sin<br />
λj<br />
λj · t<br />
¸si faptul cǎ suma seriei este funct¸ie continuǎ <strong>de</strong> t cu valori în L 2 (Ω).<br />
Inegalitǎt¸ile:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
λj<br />
·<br />
T<br />
0<br />
j=1<br />
fj(τ) · sin <br />
<br />
<br />
λj · (t − τ)dτ<br />
<br />
<br />
2<br />
≤ T<br />
λ1<br />
T<br />
0<br />
f 2 j (τ)dτ,<br />
· ωj<br />
<br />
·ωj +<br />
(7.44)
268 CAPITOLUL 7<br />
(∀)t ∈ [0, T], j = 1, 2, . . .<br />
precum ¸si convergent¸a seriei <strong>de</strong> funct¸ii continue ¸si pozitive<br />
+∞<br />
f 2 j<br />
j=1<br />
(τ) la funct¸ia<br />
continuǎ F(τ) 2<br />
L2 (Ω) implicǎ convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, T]<br />
((∀)T > 0 ¸si T < +∞) în L2 (Ω) a seriei <strong>de</strong> funct¸ii:<br />
+∞<br />
j=1<br />
⎛<br />
⎝ 1<br />
√ λi<br />
t<br />
0<br />
fj(τ) · sin λj(t − τ)dτ<br />
⎞<br />
⎠ ωj<br />
¸si faptul cǎ suma seriei este funct¸ie continuǎ <strong>de</strong> t cu valori în L 2 (Ω). Rezultǎ<br />
cǎ, în condit¸iile din teoremǎ formula (7.44) <strong>de</strong>fine¸ste o funct¸ie<br />
U ∈ C([0, +∞); L 2 (Ω)).<br />
Pentru a <strong>de</strong>monstra apartenent¸a U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) se consi<strong>de</strong>rǎ seria<br />
<strong>de</strong>rivatelor:<br />
+∞<br />
j=1<br />
<br />
− λj· < u0, ω >L2 (Ω) · sin λj · t+ < u1, ωj >L2 (Ω) · cos <br />
λj · t · ωj+<br />
+∞<br />
j=1<br />
⎛<br />
<br />
⎝<br />
0<br />
T<br />
fj(τ) · cos( λj) · (t − τ)dτ<br />
⎞<br />
⎠ ωj<br />
¸si se aratǎ cǎ aceasta converge uniform în raport cu t ∈ [0, T](T > 0<br />
¸si T < +∞) în spat¸iul L 2 (Ω).<br />
Trecem sǎ examinǎm convergent¸a seriei <strong>de</strong>rivatelor care este <strong>de</strong> fapt o sumǎ<br />
<strong>de</strong> trei serii.<br />
Prima dintre acestea este seria<br />
+∞<br />
− λj· < u0, ωj > L2 (Ω) · sin λj · t · ωj<br />
j=1<br />
¸si este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) dacǎ seria numericǎ:<br />
+∞<br />
λj · | < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 este convergentǎ. Aceasta din urmǎ, poate fi<br />
j=1
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 269<br />
scrisǎ sub forma:<br />
+∞<br />
λj · | < u0, ωj > L2 (Ω) |<br />
j=1<br />
2 +∞ 1<br />
= · λ<br />
λj<br />
j=1<br />
2 j · | < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 =<br />
=<br />
=<br />
+∞ 1<br />
· | < u0, ωj >A |<br />
λj<br />
j=1<br />
2 =<br />
+∞<br />
j=1<br />
<br />
<br />
ωj<br />
<<br />
u0, λj<br />
<br />
¸si <strong>prin</strong> urmare este convergentǎ pentru cǎ u0 ∈ H1 0.<br />
Urmǎtoarea serie a cǎrei convergent¸ǎ trebuie examinatǎ este seria<br />
+∞<br />
< u1, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t · ωj.<br />
j=1<br />
Aceastǎ serie este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) dacǎ seria<br />
numericǎ<br />
+∞<br />
| < u1, ωj > L2 (Ω) | 2 este convergentǎ , ceea ce este a<strong>de</strong>vǎrat<br />
j=1<br />
pentru cǎ u1 ∈ L2 (Ω).<br />
>A<br />
Ceea <strong>de</strong> a treia serie care trebuie examinatǎ este seria:<br />
⎛<br />
+∞<br />
T<br />
⎝ fj(τ) · cos ⎞<br />
λj · (t − τ)dτ⎠<br />
ωj.<br />
j=1<br />
0<br />
Aceasta este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ (0, T] (T > 0 ¸si<br />
T < +∞) dacǎ seria numericǎ:<br />
<br />
+∞<br />
T<br />
<br />
<br />
fj(τ) · cos<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
λj · (t − τ)dτ<br />
<br />
<br />
j=1<br />
0<br />
este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ [0, T]. Datoritǎ majorǎrii:<br />
+∞<br />
j=1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
T<br />
fj(τ) · cos <br />
<br />
<br />
λj · (t − τ)dτ<br />
<br />
<br />
2<br />
≤<br />
+∞<br />
j=1<br />
T ·<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
T<br />
0<br />
f 2 j (τ)dτ
270 CAPITOLUL 7<br />
problema se reduce la convergent¸a uniformǎ pe [0,T] a seriei<br />
+∞<br />
T<br />
(τ)dτ. Aceastǎ din urmǎ convergent¸ǎ se obt¸ine din convergent¸a<br />
j=1<br />
0<br />
f 2 j<br />
uniformǎ a seriei<br />
+∞<br />
f 2 j (τ)dτ pe [0,T], care rezultǎ pe baza teoeremei lui<br />
j=1<br />
Dini din continuitatea ¸si pozitivitatea funct¸iilor f2 j<br />
F(τ) 2 +∞<br />
¸si egalitatea f 2 j (τ) = F(τ) 2 , (∀)τ ∈ [0, T].<br />
(τ), continuitatea funct¸iei<br />
În acest fel, se<br />
j=1<br />
obt¸ine cǎ formula (7.44) <strong>de</strong>fine¸ste o funct¸ie<br />
U ∈ C1 ([0, +∞); L2 (Ω)).<br />
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm apartenet¸a U ∈ C([0, +∞); H 1 0).<br />
Convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei<br />
+∞<br />
< u0, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t · ωj<br />
j=1<br />
în H1 0 poate fi asiguratǎ <strong>prin</strong> convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞)<br />
a seriei:<br />
+∞<br />
j=1<br />
λj < u0, ωj >L 2 (Ω) · cos λj · t · ωj<br />
λj<br />
în H 1 0.<br />
Convergent¸a acestei serii rezultǎ din convergent¸a seriei numerice<br />
+∞<br />
λj| < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 ,<br />
j=1<br />
convergent¸ǎ ce este asiguratǎ <strong>de</strong> ipoteza u0 ∈ H 1 0.<br />
Convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei <strong>de</strong> funct¸ii<br />
+∞<br />
j=1<br />
1<br />
· < u1, ωj > L2 (Ω) · sin<br />
λj<br />
λj · t · ωj<br />
este asiguratǎ <strong>de</strong> convergent¸a seriei<br />
+∞<br />
în spat¸iul H1 0<br />
j=1<br />
convergent¸ǎ care rezultǎ din apartenent¸a u1 ∈ L2 (Ω).<br />
| < u1, ωj > | 2<br />
L 2 (Ω) ,
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 271<br />
În fine, convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, T] (T > 0 ¸si T < +∞) a<br />
seriei <strong>de</strong> funct¸ii:<br />
⎛<br />
+∞<br />
⎝ 1<br />
T<br />
fj(τ) · sin<br />
λj<br />
⎞<br />
λj · (t − τ)dτ⎠<br />
ωj<br />
j=1<br />
în spat¸iul H 1 0 este asiguratǎ dacǎ seria<br />
+∞<br />
j=1<br />
⎛<br />
<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
T<br />
⎞<br />
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ⎠<br />
converge uniform pe [0,T]. Aceasta din urmǎ convergent¸ǎ a fost <strong>de</strong>ja <strong>de</strong>monstratǎ.<br />
Am obt¸inut în acest fel apartenent¸a U ∈ C([0, +∞); H 1 0 ).<br />
Derivând acum în raport cu t funct¸ia U datǎ <strong>de</strong> (7.44) ca funct¸ie cu<br />
valori în L 2 (Ω), t¸inând seama <strong>de</strong> relat¸iile (7.42) se obt¸ine cǎ funct¸ia U datǎ<br />
<strong>de</strong> (7.44) este solut¸ie generalizatǎ a problemei (7.36)-(7.39).
272 CAPITOLUL 7<br />
Exercit¸ii:<br />
Determinat¸i solut¸ia generalizatǎ pentru fiecare din Problemele<br />
Cauchy-Dirichlet <strong>de</strong> tip hiperbolic:<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂2u ∂t2 = ∂2u ∂x2, u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0<br />
u(x, 0) = sin 4π<br />
x, x ∈ [0, l]<br />
l<br />
(x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞)<br />
∂u<br />
(x, 0) = 0, x ∈ [0, l]<br />
∂t<br />
R: u(x, t) = cos 4π 4π<br />
t · sin<br />
l l x<br />
∂2u ∂t2 = ∂2u − t · sin x, (x, t) ∈ (0, π) × (0, +∞)<br />
∂x2 u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0<br />
u(x, 0) = 4 sinxcos x, x ∈ [0, π]<br />
∂u<br />
(x, 0) = 2 sin3x, x ∈ [0, π]<br />
∂t<br />
R: u(x, t) = (sin t − t) · sin x + 2 cos2t · sin 2x+<br />
∂2u ∂t2 = 4∂2 u<br />
∂x2, u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0<br />
+ 2<br />
sin 3t · sin 3x<br />
3<br />
u(x, 0) = 2 sinx, x ∈ [0, π]<br />
∂u<br />
∂t<br />
(x, 0) = sin x + sin 2x, x ∈ [0, π]<br />
R: u(x, t) =<br />
(x, t) ∈ (0, π) × (0, +∞)<br />
<br />
2 cos2t + 1<br />
<br />
sin 2t<br />
2<br />
· sin x + 1<br />
sin 4t · sin 2x<br />
4
Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii hiperbolice 273<br />
7.5 Calculul simbolic ¸si numeric al solut¸iei<br />
Problemei Cauchy-Dirichlet pentru<br />
ecuat¸ii hiperbolice<br />
Deoarece pentru calculul simbolic al solut¸iei unei probleme Cauchy-Dirichlet<br />
funct¸ia pdsolve nu afi¸seazǎ nimic, vom trece la rezolvarea numericǎ folosind<br />
funct¸ia pdsolve specificǎ calculului numeric, a cǎrei sintaxǎ a fost prezentatǎ<br />
într-unul din paragrafele anterioare.<br />
Pentru exemplificare consi<strong>de</strong>rǎm urmǎtoarele probleme Cauchy-Dirichlet <strong>de</strong><br />
tip hiperbolic:<br />
Exemplul 1:<br />
Wave equation<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂2u ∂t2 (x, t) = ∂2u ∂x<br />
2(x, t)<br />
u(0, t) = u(1, t) = 0<br />
u(x, 0) = x 2 − x<br />
∂u<br />
(x, 0) = 0<br />
∂t<br />
> PDE1 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x);<br />
PDE1 := ∂2<br />
∂t 2u (x, t) = ∂2<br />
∂x 2u (x, t)<br />
> IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0,u(x,0)=x^2-x, D[2](u)(x,0)=0};<br />
IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = x 2 − x, D2 (u)(x, 0) = 0}<br />
> pds1 := pdsolve(PDE1,IBC1,numeric);<br />
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,<br />
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo<br />
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module<br />
> p1 := pds1:-plot(t=0):
274 CAPITOLUL 7<br />
p2 := pds1:-plot(t=1/10):<br />
p3 := pds1:-plot(t=1/2):<br />
p4 := pds1:-plot(t=1):<br />
p5 := pds1:-plot(t=2):<br />
plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5},<br />
title=‘Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);<br />
Figura 36<br />
> pds1:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);<br />
Figura 37
Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii hiperbolice 275<br />
Exemplul 2:<br />
Wave equation<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂2u ∂t2 (x, t) = ∂2u ∂x<br />
u(0, t) = u(π, t) = 0<br />
2(x, t) − t · sinx<br />
u(x, 0) = 4 · sinx · cosx<br />
∂u<br />
(x, 0) = 2 · sin3x<br />
∂t<br />
> PDE2 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x)-t*sin(x);<br />
PDE2 := ∂2<br />
∂t 2u (x, t) = ∂2<br />
∂x 2u (x, t) − t sin (x)<br />
> IBC2 :={u(0,t)=0,u(Pi,t)=0,u(x,0)=4*(sin(x))*(cos(x)),<br />
D[2](u)(x,0)=2*sin(3*x)};<br />
IBC2 := {u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, u(x, 0) = 4 sin(x) cos(x),<br />
D2(u)(x, 0) = 2 sin(3 x)}<br />
> pds2 := pdsolve(PDE2,IBC2,numeric);<br />
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,<br />
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo<br />
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module<br />
> p6 := pds2:-plot(t=0):<br />
p7 := pds2:-plot(t=1/10):<br />
p8 := pds2:-plot(t=1/2):<br />
p9 := pds2:-plot(t=1):<br />
p10 := pds2:-plot(t=2):<br />
plots[display]({p6,p7,p8,p9,p10},<br />
title=‘Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
276 CAPITOLUL 7<br />
Figura 38<br />
> pds2:-plot3d(t=0..1,x=0..Pi/2,axes=boxed);<br />
Figura 39
Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii hiperbolice 277<br />
Exemplul 3:<br />
Wave equation<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂2v ∂t2 (x, t) = 4 · ∂2v ∂x<br />
v(0, t) = v(π, t) = 0<br />
v(x, 0) = 0<br />
∂v<br />
(x, 0) = 2 · sinx<br />
∂t<br />
2(x, t)<br />
> PDE3 :=diff(v(x,t),t,t)=4*diff(v(x,t),x,x);<br />
PDE2 := ∂2<br />
∂t 2v (x, t) = 4 ∂2<br />
∂x 2v (x, t)<br />
> IBC3 :={v(0,t)=0,v(Pi/2,t)=0,v(x,0)=0,<br />
D[2](v)(x,0)=2*sin(x);<br />
IBC3 := {v (0, t) = 0, v (1/2 π, t) = 0, v (x, 0) = 0, D2 (v) (x, 0) = 2 sin (x)}<br />
> pds3 := pdsolve(PDE3,IBC3,numeric);<br />
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,<br />
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo<br />
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module<br />
> q1 := pds3:-plot(t=0):<br />
q2 := pds3:-plot(t=1/10):<br />
q3 := pds3:-plot(t=1/2):<br />
q4 := pds3:-plot(t=1):<br />
q5 := pds3:-plot(t=2):<br />
plots[display]({q1,pq2,q3,q4,q5},<br />
title=‘Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
278 CAPITOLUL 7<br />
Figura 40<br />
> pds3:-plot3d(t=0..1,x=0..Pi/2,axes=boxed);<br />
Figura 41
Bibliografie<br />
[1] V.I. Arnold, Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare, Editura S¸tiint¸ificǎ ¸si Enciclopedicǎ,<br />
Bucure¸sti, 1978.<br />
[2] S¸t. Balint, A.M. Balint, S. Birǎua¸s, C. Chilǎrescu, Ecuat¸ii diferent¸iale<br />
¸si ecuat¸ii integrale, Editura Universitǎt¸ii <strong>de</strong> Vest, 2001.<br />
[3] V.Barbu, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Junimea, Ia¸si, 1985.<br />
[4] R. Cristescu, Elemente <strong>de</strong> analizǎ funct¸ionalǎ ¸si introducere în teoria<br />
distrubut¸iilor, Editura Tehnicǎ, 1966.<br />
[5] S.A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations,<br />
McGraw Hill, New York, 1955.<br />
[6] A. Corduneanu, Ecuat¸ii diferent¸iale cu aplicat¸ii în electrotehnicǎ, Editura<br />
Facla, 1981, Timi¸soara<br />
[7] C. Corduneanu, Ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, Universitatea ”Al.I.<br />
Cuza”, Ia¸si, 1971.<br />
[8] G.M. Fihtenholt, Curs <strong>de</strong> calcul diferent¸ial ¸si integral, Editura Tehnicǎ,<br />
1964.<br />
[9] D. Ga¸spar, N. Suciu, Analizǎ complexǎ, Editura Aca<strong>de</strong>miei Române,<br />
1999.<br />
[10] A. Halanay, Ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, Universitatea din Bucure¸sti,<br />
1971.<br />
[11] A. Halanay, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Didacticǎ ¸si Pedagogicǎ, Bucure¸sti,<br />
1972.<br />
279
280 BIBLIOGRAFIE<br />
[12] J.Ray Hanna, John H. Rowland, Fourier series, transforms, and boundary<br />
value problems A Wiley-Interscience Publication John Wiley and<br />
Sons, Inc., 1991, USA.<br />
[13] D. Hǎrǎgu¸s, Ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate part¸iale, Editura Universitǎt¸ii <strong>de</strong> Vest,<br />
Timi¸soara, 2001.<br />
[14] A. Eckstein, D. Hǎrǎgu¸s, Exercit¸ii standard <strong>de</strong> ecuat¸ii cu <strong>de</strong>rivate<br />
part¸iale, Tipografia Universitǎt¸ii <strong>de</strong> Vest din Timi¸soara, 2000.<br />
[15] Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, J. Wiley, New York,<br />
1964.<br />
[16] M. Hirsh, S. Smale, Differential Equations, dynamical systems and linear<br />
algebra, Aca<strong>de</strong>mic Press, New York, 1974.<br />
[17] J. Hubbard, B. West, Équations différentielles et systémes dynamiques,<br />
Cassini, Paris, 1999.<br />
[18] St. Miricǎ, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Universitǎt¸ii din Bucure¸sti,<br />
1999.<br />
[19] Gh. Moro¸sanu, Ecuat¸ii diferent¸iale. Aplicat¸ii, Editura Aca<strong>de</strong>miei, Bucure¸sti,<br />
1989.<br />
[20] M.Reghi¸s, P.Topuzu, Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare, Editura Mirton,<br />
2000.<br />
[21] E. Rogai, Exercit¸ii ¸si probleme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, Editura<br />
Tehnicǎ, 1965.<br />
[22] N. Rouche, P. Habets, M. Laloy, Stability Theory by Liapunov direct<br />
Method, S<strong>prin</strong>ger, 1977.<br />
[23] I.A. Rus, P. Pavel, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Didacticǎ ¸si Pedagogicǎ,<br />
Bucure¸sti, 1982.<br />
[24] I.A. Rus, Ecuat¸ii diferent¸iale, ecuat¸ii integrale ¸si sisteme dinamice Casa<br />
<strong>de</strong> Editurǎ Transilvania Press, 1996.<br />
[25] V.V. Stepanov, Curs <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Tehnicǎ, Bucure¸sti,<br />
1955.
BIBLIOGRAFIE 281<br />
[26] M.Stoka, Culegere <strong>de</strong> probleme <strong>de</strong> funct¸ii complexe, Editura Tehnicǎ,<br />
1965.<br />
[27] M. Tihonov, A.A. Samarski, Ecuat¸iile fizicii matematice, Editura<br />
Tehnicǎ, 1956.<br />
[28] K. Yosida, Équations différentielles et intégrales, Dunod, Paris, 1971.