Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

18 CAPITOLUL 1
x
2. O funct¸ie x = x(t) este solut¸ie a ecuat¸iei ˙x = g dacǎ ¸si nu-
t
mai dacǎ funct¸ia y = x
este solut¸ie a ecuat¸iei cu variabile separate
t
˙y = 1[g(y)
− y].
t
x
3. Rezolvarea problemei Cauchy ˙x = g , x(t0) = x0 se reduce la
t
rezolvarea problemei Cauchy ˙y = 1
t [g(y) − y], y(t0) = y0 = x0
.
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale:
a) ˙x = x
t
b) ˙x = x2 + t 2
t · x
c) ˙x =
x
x
+ e t − R: ln(t) = e t + C
t + x
t − x
R: x 2 = 2t 2 ln(t) + C · t 2
R: arctan x
2 −ln
x2 +1=ln t+C
t2
t x
R: − ln = ln t + C
x t
x
d) ˙x =
t − 2 √ tx
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte grafic
solut¸iile (cu calculator):
a) ˙x =
4tx − x2
2t2 , t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = 2t2
t + 1
b) ˙x = 2tx
3t 2 − x 2, t0 = 0, x0 = 0 R: x(t) = 0
c) ˙x =
2t + x
4t − x , t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = t
x + t
d) ˙x = −
5x + t , t0 = 1, x0 = 0 R: x(t)=− 1
5 t+1
√
−4t2 +5
5
t0