Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

182 CAPITOLUL 6
canonicǎ în vecinǎtatea unui punct (x1, . . .,xn).
Pentru n = 3 elementele nediagonale ar putea fi anulate în general, însǎ elementele
diagonale ar putea fi diferite de ±1,0. Deci, nici în acest caz, ecuat¸ia
(6.1) nu poate fi adusǎ la forma canonicǎ în vecinǎtatea unui punct.
Doar pentru n = 2, putem anula unicul coeficient nediagonal ¸si satisface
condit¸ia de egalitate a celor doi coeficient¸i diagonali. Aceasta înseamnǎ
cǎ doar în cazul n = 2 putem aduce ecuat¸ia cu derivate part¸iale la forma
canonicǎ pe o vecinǎtate.
Exercit¸ii
1. Aducet¸i la forma canonicǎ ecuat¸ia:
a11 · ∂2u ∂x2 + 2a12 · ∂2u ∂x∂y + a22 · ∂2u ∂y2 + b1 · ∂u
∂x + b2 · ∂u
+ c · u + f(x, y) = 0
∂y
unde aij, bi, c sunt constante.
R: Scriind ecuat¸ia caracteristicǎ asociatǎ:
a11
2 dy
− 2a12
dx
dy
+ a22 = 0
dx
se obt¸ine discriminantul: ∆ = (a12) 2 − a11 · a22.
- dacǎ ∆ > 0 (cazul ecuat¸iei hiperbolice), atunci ecuat¸ia caracteristicǎ
are douǎ rǎdǎcini reale:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dy
dx = a12 + (a12) 2 − a11 · a22
a11
dy
dx = a12 − (a12) 2 − a11 · a22
a11
Se rezolvǎ aceste ecuat¸ii diferent¸iale ordinare ¸si se obt¸ine
f(x, y) = c1, respectiv g(x, y) = c2.
Schimbarea de variabile care ne va duce la forma canonicǎ va fi:
ξ(x, y) = f(x, y)
η(x, y) = g(x, y).