Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 189
=
∂Ω
P · ∂Q
ds − ∇P · ∇Qdx1dx2.
∂n Ω
Teorema 6.2.4 (cea de-a doua formulǎ a lui Green)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ), iar funct¸iile P, Q : Ω → IR 1 sunt de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 în
Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate:
(P∆Q − Q∆P)dx1dx2 =
Ω
∂Ω
P · ∂Q
∂P
− Q · ds. (6.11)
∂n ∂n
Demonstrat¸ie: Egalitatea (6.11) se obt¸ine scriind egalitatea (6.10) pentru
funct¸iile P · ∇Q ¸si Q · ∇P dupǎ care se face diferent¸a acestora.
Teorema 6.2.5 (de reprezentare a unei funct¸ii de douǎ variabile)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si funct¸ia u : Ω → IR 1 este de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 în Ω
atunci pentru orice X = (x1, x2) ∈ Ω are loc urmǎtoarea egalitate:
u(X) = − 1
1
ln
2π Ω X − Y · ∆u(Y )dy1dy2 +
+ 1
1 ∂u
ln · (Y )dsY −
2π ∂Ω X − Y ∂nY
− 1
u(Y ) ·
2π
∂
1
ln dsY . (6.12)
∂nY X − Y
Demonstrat¸ie: Funct¸ia
∂Ω
E(X) = − 1 1
ln
2π X
definitǎ pentru orice X ∈ IR 2 , X = 0 este de clasǎ C 2 pe IR 2 \ {0} ¸si are
proprietatea ∆E = 0. Pentru X ∈ IR 2 , X-fixat considerǎm funct¸ia:
E(X − Y ) = − 1
2π ln
1
X − Y
definitǎ pentru orice Y ∈ IR 2 \ {X}. Aceastǎ funct¸ie de Y este de clasǎ C 2
¸si are proprietatea ∆Y E(X − Y ) = 0. De asemenea, pentru orice Y ∈ IR 2 ,