Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

196 CAPITOLUL 6
X∗ ∈ Ω oarecare, X∗ fixat ¸si P o linie poligonalǎ cont¸inutǎ în Ω care leagǎ
punctele X0 ¸si X∗ . Fie de asemenea un sens de parcurs pe linia poligonalǎ
P de la X0 la X∗ . Mult¸imile P ¸si ∂Ω sunt compacte ¸si nu au nici un punct
comun. Prin urmare existǎ r > 0 astfel încât pentru orice X ∈ P discul
închis: B(X, r) = {Y : Y − X ≤ r0} este inclus în Ω; B(X, r) ⊂ Ω. Fie
X2 punctul de intersect¸ie dintre linia poligonalǎ P ¸si frontiera bilei B(X0 , r0)
primul întâlnit pe direct¸ia de parcurs de la X0 la X∗ . În X2 avem
u(X2 ) = u(X0 ) ¸si rezultǎ de aici cǎ pentru orice X ∈ B(X2 , r) avem
u(X) = u(X0 ). Astfel se obt¸ine egalitatea u(X) = u(X0 ) pentru orice
X ∈ B(X0 , r0) ∪ B(X2 , r).
În continuare se considerǎ punctul de intersect¸ie X3 dintre P ¸si ∂B(X 2 , r)
primul întâlnit pe direct¸ia de parcurs X2 , X∗ . În X3 avem u(X3 ) = u(X0 )
¸si rezultǎ u(X) = u(X 0 ) pentru orice X ∈ B(X 3 , r).
În acest fel, dupǎ un
numǎr finit de pa¸si se ajunge la punctul X ∗ capǎtul liniei poligonale P ¸si la
egalitatea u(X ∗ ) = u(X 0 ). Dar aceasta înseamnǎ cǎ funct¸ia u este constantǎ
pe Ω ceea ce este absurd.
S-a demonstrat în acest fel cǎ dacǎ funct¸ia armonicǎ u pe Ω î¸si atinge maximul
într-un punct X 0 ∈ Ω, atunci u este constantǎ pe Ω.
Prin urmare: dacǎ o funct¸ie armonicǎ nu este constantǎ pe Ω, atunci î¸si
atinge extremele pe ∂Ω.
Consecint¸a 6.2.2 Dacǎ funct¸ia u este armonicǎ pe Ω ¸si u/∂Ω = 0 atunci
u ≡ 0.
Consecint¸a 6.2.3 Existǎ cel mult o funct¸ie u de clasǎ C 2 în Ω ¸si de clasǎ
C 1 pe Ω care verificǎ: ∆u = F
u/∂Ω = f.
unde F ¸si f sunt funct¸ii date: F : Ω → IR 1 continuǎ pe Ω, iar
f : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω.
Demonstrat¸ie: Se rat¸ioneazǎ prin reducere la absurd.