Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

90 CAPITOLUL 3
Exercit¸ii
Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior liniare cu coeficient¸i
constant¸i prin metoda reducerii la un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de
ordinul întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i:
1.
2.
a) ¨x − x = 0 x(0) = 2 ˙x(0) = 0 R: x(t) = e t + e −t
b) ¨x + 2 ˙x + x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 R: x(t) = t · e −t
c) ¨x − 4˙x + 4x = 0 x(1) = 1 ˙x(1) = 0 R: x(t) = 3e 2t−2 − 2te 2t−2
d) ¨x + x = 0 x
π
π
= 1 ˙x = 0 R: x(t) = sin t
2 2
e) ¨x + ˙x + x = 0 x(0) = 0 ˙x(1) = 1 R: x(t) = 2√3 3 e−12
t sin
a)
b)
...
x − 2¨x − ˙x + 2x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2
R: x(t) = 1
2 · et + 2
3 · e2t − 1
· e−t
6
...
x − ¨x + ˙x − x = 0 x(1) = 0 ˙x(1) = 1 ¨x(1) = 2
√
3
2
R: x(t) = e t−1 + (sin 1) · sin t − (cos 1) · cost
c) x (4) − 5¨x + 4x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2
...
x(0) = 3
R: x(t) = −1 6 · et + 1
6 · e−2t − 1
2 · e−t + 1 · e2t
2