Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

220 CAPITOLUL 7
În egalitatea (7.2), h este o funct¸ie realǎ continuǎ pe ∂Ω, consideratǎ cunoscutǎ.
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia cu derivate part¸iale elipticǎ de tip divergent¸ǎ
se noteazǎ cu
⎧
n
n
∂
⎪⎨ − aij(X) ·
∂xi i=1 j=1
⎪⎩
∂u
+ c(X) · u=F(X), (∀) X ∈ Ω
∂xj
(7.3)
u|∂Ω = h.
Observat¸ia 7.1.1 Dacǎ existǎ o funct¸ie H : Ω ′ ⊃ Ω → IR ′ de clasǎ C 2
astfel încât H|∂Ω = h atunci u este solut¸ie a Problemei Dirichlet (7.3) dacǎ
¸si numai dacǎ funct¸ia v = u − H este solut¸ia Problemei Dirichlet:
⎧
n
n
∂
⎪⎨ − aij(X) ·
∂xi
∂v
+ c(X) · v=G(X), (∀) X ∈ Ω
∂xj
⎪⎩
i=1
v|∂Ω = 0
j=1
unde G(X) = F(X) − c(X) · H(X) +
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂H
.
∂xj
i=1
j=1
(7.4)
Astfel, printr-o schimbare de funct¸ie Problema Dirichlet cu condit¸ii pe frontierǎ
neomogene se reduce la o Problemǎ Dirichlet cu condit¸ii pe frontierǎ
omogene.
Datoritǎ acestui fapt, în cele ce urmeazǎ vom considera Probleme
Dirichlet în care funct¸ia h datǎ pe frontierǎ este identic nulǎ.
Observat¸ia 7.1.2 Dacǎ se considerǎ spat¸iul vectorial al funct¸iilor reale u
continue pe Ω de clasǎ C 2 în Ω ¸si nule pe frontierǎ :
D = u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0},
¸si operatorul diferent¸ial A definit pe acest spat¸iu vectorial D cu formula:
n
n
∂
(Au)(X) = − aij(X) ·
∂xi
∂u
+ c(X) · u (7.5)
∂xj
i=1
j=1