Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 73
X 0 (t) = X 0 = I · X 0
X 1 (t) = X 0 t
+ A · X
t0
0 (τ)dτ = [I + (t − t0) · A
] · X
1!
0
X 2 (t) = X 0 t
+ A · X
t0
1 (τ)dτ = [I + (t − t0) · A
+
1!
(t − t0) 2 · A2 ] · X
2!
0
X 3 (t) = X 0 t
+ A · X 2 (τ)dτ =
. . .
t0
= [I + (t − t0) · A
1!
X m (t) = X 0 t
+
. . .
t0
A·X m−1 (τ)dτ =
= [I + (t − t0) · A
1!
+ (t − t0) 2 · A 2
2!
+ (t − t0) 2 · A 2
2!
Funct¸iile din acest ¸sir verificǎ inegalitatea
X m+p (t)−X m (t) ≤
m+p
k=m+1
+ (t − t0) 3 · A3 ] · X
3!
0
+ . . . + (t − t0) m · Am ] · X
m!
0
|t − t0| k · Ak ·X 0 , (∀) m, p ∈ IN, (∀) t ∈ IR 1
k!
¸si prin urmare ¸sirul de funct¸ii {Xm (t)}m∈n este uniform fundamental pe orice
compact K ⊂ IR 1 . Rezultǎ cǎ ¸sirul este uniform convergent pe orice compact
K ⊂ IR 1 ¸si se poate trece la limitǎ în egalitatea
X m (t) = X 0 t
+ A · X m−1 (τ)dτ.
pentru m → ∞.
Trecând la limitǎ obt¸inem cǎ limita X(t) a ¸sirului X m (t)
verificǎ egalitatea
t0
X(t) = lim
m→∞ Xm (t)
X(t) = X 0 +
t
t0
A · X(τ)dτ