Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

6 CAPITOLUL 1
1.2 Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x)
Problema 1.2.1 O rachetǎ meteorologicǎ este lansatǎ vertical în sus cu
viteza init¸ialǎ de 100 (m/s). Rezistent¸a aerului frâneazǎ mi¸scarea ei ¸si-i
comunicǎ accelerat¸ia −k · v 2 (t), v(t) fiind viteza rachetei la momentul t iar
k o constantǎ pozitivǎ.
i) Sǎ se afle timpul în care racheta atinge înǎlt¸imea maximǎ.
ii) Sǎ se afle înǎlt¸imea maximǎ la care se ridicǎ racheta.
Rezolvare:
i) Accelerat¸ia totalǎ a rachetei, în lansarea pe verticalǎ în sus este a =
−(g + k v 2 ) unde g ≈ 10 (m/s 2 ) este accelerat¸ia gravitat¸ionalǎ, iar k o
constantǎ pozitivǎ consideratǎ cunoscutǎ.
Legea de mi¸scare a rachetei se scrie astfel:
dv
dt = −(g + k v2 ) (1.9)
Funct¸ia v care intervine în (1.9) reprezintǎ viteza rachetei ¸si este necunoscutǎ.
Ea trebuie gǎsitǎ pentru ca apoi egalând-o cu zero (aceasta înseamnǎ cǎ
racheta a atins înǎlt¸imea maximǎ) sǎ gǎsim timpul în care racheta atinge
înǎlt¸imea maximǎ.
Din (1.9) ¸si din inegalitatea g + k v 2 > 0 rezultǎ egalitatea
−
1 dv
· = 1.
g + k v2 dt
Trecând la primitive se obt¸ine egalitatea
−
t
t ∗
1
g + k v 2 (τ)
dv
· dτ =
dτ
t
din care printr-o schimbare de variabilǎ rezultǎ
k
g arctan
t k
v(τ) · = −kτ|
g
t t∗ sau
v(t) =
t ∗
t ∗
dτ
k g
· tan (−k t + C) .
g k