Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i 55
2.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n
cu coeficient¸i constant¸i
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i este o
ecuat¸ie diferent¸ialǎ de forma
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = f(t) (2.23)
în care a0, a1, . . .,an−1, an sunt constante reale cunoscute, an = 0, f(t) funct¸ie
cunoscutǎ continuǎ ¸si x este funct¸ie realǎ de clasǎ C n necunoscutǎ.
Observat¸ia 2.2.1 Dacǎ f = 0, atunci ecuat¸ia (2.23) se nume¸ste ecuat¸ie
diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i omogenǎ, iar dacǎ
f = 0 ecuat¸ia (2.23) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n cu
coeficient¸i constant¸i neomogenǎ.
Rezolvǎm mai întâi ecuat¸ia omogenǎ ata¸satǎ ecuat¸iei (2.23):
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = 0 (2.24)
Pentru determinarea solut¸iilor ecuat¸iei (2.24) se cautǎ solut¸ii de forma
x(t) = C · e λt . Impunând unei asemenea funct¸ii sǎ verifice ecuat¸ia (2.24)
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuat¸ia algebricǎ
anλ n + an−1λ n−1 + . . . + a1λ + a0 = 0 (2.25)
numitǎ ecuat¸ie caracteristicǎ.
Dacǎ ecuat¸ia (2.25) are toate rǎdǎcinile reale ¸si distincte λ1, λ2, . . .λn
atunci funct¸iile xi(t) = Ci ·e λit , i = 1, n sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (2.24) ¸si orice
funct¸ie x(t) datǎ de:
x(t) = C1 · e λ1t + C2 · e λ2t + . . . + Cn · e λnt
(2.26)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24) (C1, C2, . . .,Cn sunt constante reale oarecare).
Mai mult, oricare ar fi t0, x0 0 , x10 , ..., xn−1
unic constantele C1, C2, . . .,Cn astfel încât sǎ aibǎ loc
0 ∈ IR 1 putem determina în mod
x(t0) = x 0 0 , ˙x(t0) = x 1 0 , ... , x(n−1) (t0) = x n−1
0 .
În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.26) reprezintǎ toate solut¸iile
ecuat¸iei (2.24) în acest caz.