Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

112 CAPITOLUL 4
Urmeazǎ sǎ mai arǎtǎm cǎ funct¸ia x = x(t) definitǎ pe intervalul I este
o solut¸ie saturatǎ. Fie în acest scop y : J → IR 1 (J interval deschis, t0 ∈ J)
o solut¸ie localǎ a problemei cu date init¸iale (4.7).
Evident, funct¸ia y apart¸ine familiei {xα}α∈Λ ¸si prin urmare:
J ⊂ I =
Iα ¸si x(t) = y(t).
α∈Λ
Astfel am demonstrat existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei saturate a problemei
cu date init¸iale (4.7). Aceastǎ solut¸ie saturatǎ va fi notatǎ cu x = x(t; t0, x0)
iar intervalul deschis pe care este definitǎ aceastǎ solut¸ie saturatǎ va fi notat
cu I0.
În condit¸iile din teorema precedentǎ considerǎm solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 )
a problemei Cauchy (4.6) definitǎ pe intervalul deschis I0 = (α0, β0) ⊂ I.
Teorema 4.3.2 Pentru orice t1 ∈I0 solut¸ia saturatǎ X(t;t1,X(t1;t0,X 0 )) a
problemei cu date init¸iale
˙X = F(t, X), X(t1) = X(t1; t0, X 0 ) = X 1
coincide cu solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 ).
(4.8)
Demonstrat¸ie: Vom face demonstrat¸ia pentru cazul n = 1, analog fǎcânduse
în cazul n ≥ 2.
Notǎm cu I1 = (α1, β1) intervalul de definit¸ie a solut¸iei saturate a problemei
cu date init¸iale:
˙x = f(t, x), x(t1) = x(t1; t0, x0) = x1. (4.9)
Deoarece x(t1; t0, x0) = x1, funct¸ia x = x(t; t0, x0) este solut¸ie localǎ a
problemei cu date init¸iale (4.9).
Rezultǎ cǎ I0 ⊂ I1 ¸si x(t; t0, x0) = x(t; t1, x1), (∀) t ∈ I0.
Pe de altǎ parte, din faptul cǎ x(t; t0, x0) este solut¸ie saturatǎ, rezultǎ cǎ
I0 ⊃ I1 ¸si x(t; t0, x0) = x(t; t1, x1).
Teorema 4.3.3 Dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condit¸ii:
(i) β0 < +∞ (respectiv α0 > −∞);
(ii) ¸sirul de numere {tn}n din I0 converge la β0 (respectiv α0);