Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

140 CAPITOLUL 4
rk4 ¸si repectiv cea de ordinul al cincilea Fehlberg-Runge-Kutta rkf45.
Fǎrǎ a intra în detalii privitoare la convergent¸ǎ, redǎm aici procedura de
iterat¸ie a metodei Runge-Kutta standard rk4:
unde
ti+1 = ti + h
X i+1 = X i + h · mR−K
mR−K = 1
6 (m1 + 2m2 + 2m3 + m4)
m1 = F(ti, X i )
m2 = F(ti + h/2, X i + h/2 · m1)
m3 = F(ti + h/2, X i + h/2 · m2)
m4 = F(ti + h, X i + h · m3).
Aceastǎ procedurǎ de trecere de la (ti, X i ) la (ti+1, X i+1 ) este u¸sor de
programat.
Pentru exemplificare vom considera acelea¸si exemple ca ¸si in cazul metodei
Euler, dupǎ care vom compara rezultatele numerice obt¸inute.
Programând în Maple procedura de iterat¸ie Runge-Kutta standard rk4
corespunzǎtoare ecuat¸iei diferent¸iale (4.13) obt¸inem:
> h:=0.1: n:=10:
> f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t):
> t:=(n,h)->n*h:
> x:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4;
> if n=0 then x(0) else
k1:=f(t(n-1,h),x(n-1,h));
k2:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k1/2);
k3:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k2/2);
k4:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k3);
x(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)