Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi cvasiliniare 173
¸si
Funct¸ia v definitǎ prin:
vn(x 0 1, x2, . . .,xn, u) = u.
v(x1, . . .,xn, u) = vn(x1, . . .,xn, u)−
−ξ(v1(x1, . . .,xn, u), . . ., vn−1(x1, . . .,xn, u))
este solut¸ie a ecuat¸iei (5.4) (este obt¸inutǎ ca funct¸ie de cele n integrale prime
independente) ¸si
v(x 0 1 , x2, . . .,xn, u) = u − ξ(x2, . . ., xn).
Din teorema funct¸iilor implicite rezultǎ cǎ existǎ o vecinǎtate V a punctului
(x 0 1, . . .,x 0 n) ¸si o funct¸ie u = u(x1, . . ., xn) de clasǎ C 1 definitǎ pe aceastǎ
vecinǎtate astfel încât
v(x1, . . ., xn, u(x1, . . ., xn)) ≡ 0.
Deoarece
∂v
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) = 0
din teorema precedentǎ rezultǎ cǎ u = u(x1, . . .,xn) este solut¸ie a ecuat¸iei
(5.3).
Avem:
v(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))−
−ξ(v1(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)), . . ., vn−1(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)) ≡ 0
deci în xi avem:
u(x 0 1, x2, . . .,xn) − ξ(x2, . . .,xn) ≡ 0.
Observat¸ia 5.2.1 O ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi de forma:
n ∂u
· fi = g (5.5)
∂xi
i=1
se nume¸ste ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniarǎ ¸si neomogenǎ.
Aceastǎ denumire se datoreazǎ faptului cǎ pentru g = 0 ecuat¸ia (5.5) este o
ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniarǎ (¸si omogenǎ). În ecuat¸ia
(5.5), funct¸iile f1, . . .,fn ¸si g sunt funct¸ii de clasǎ C1 ¸si depind de variabilele
(x1, . . .,xn) ∈ Ω.
Ecuat¸ia (5.5) se rezolvǎ ca ¸si ecuat¸iile cu derivate part¸iale de ordinul întâi
cvasiliniare.