Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 259
cu |t(X) − t0| < |t − t0|.
Prin urmare are loc egalitatea:
1
[U(t) − U(t0)] (X) −
t − t0
∂u
∂t (t0,
X)
cu |t(X) − t0| < |t − t0|.
2
=
∂u ∂u
(t(X), X) −
∂t ∂t (t0,
X)
Funct¸ia (t, X) → ∂u
(t, X) este continuǎ pe [0, +∞) × Ω ¸si deci este uni-
∂t
form continuǎ pe o mult¸ime de forma [t0 − η, t0 + η] × Ω (η > 0) ¸si prin
urmare:
(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) a.î. (∀)(t ′ , X ′ ), (t”, X”) ∈ [t0 − η, t0 + η] × Ω
cu |t ′ − t”| < δ ¸si |X ′ − X”| < δ avem
∂u
∂t (t′ , X ′ ) − ∂u
(t”, X”)
∂t <
ε
|Ω| .
unde |Ω| este mǎsura domeniului Ω. Rezultǎ de aici cǎ, dacǎ |t − t0| < δ(ε),
atunci are loc inegalitatea:
1
[U(t) − U(t0)](X) −
t − t0
∂u
∂t (t0,
2
X)
dX < ε.
Ω
În acest fel, egalitatea
lim
1
[U(t) − U(t0)](X) −
t→t0 t − t0
∂u
∂t (t0,
X)
Ω
2
dX = 0
a fost demonstratǎ.
Va trebui în continuare sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia U ′ : [0, +∞) → L 2 (Ω) este
continuǎ. Aceasta revine la a demonstra egalitatea:
lim U
t→t0
′ (t) − U ′ (t0)L2 (Ω) = 0.
Pentru aceasta, vom folosi egalitatea
U ′ (t) − U ′ (t0)L2
(Ω) =
∂u ∂u
(t, X) −
∂t ∂t (t0,
2
X)
dX
Ω
2