Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 49
Solut¸ia particularǎ x(t) a ecuat¸iei neomogene (2.3) se cautǎ sub aceea¸si
formǎ considerând însǎ C1, C2 funct¸ii de clasǎ C 1 de variabila t:
x(t) = C1(t)e λ1t + C2(t)e λ2t
(2.10)
Pentru a impune funct¸iei x(t) sǎ verifice ecuat¸ia (2.3) calculǎm derivata
acesteia ¸si obt¸inem:
˙x(t) = ˙ C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t + C1(t)λ1e λ1t + C2(t)λ2e λ2t
(2.11)
În continuare ar trebui sǎ calculǎm derivata de ordinul al doilea ¨x prin
derivare în raport cu t în expresia (2.11). Aceasta ar introduce derivatele
de ordinul al doilea ale funct¸iilor C1(t), C2(t) de existent¸a cǎrora nu ne-am
asigurat. De aceea impunem condit¸ia suplimentarǎ:
Cu aceasta (2.11) devine:
iar prin derivare obt¸inem:
sau
˙C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t = 0 (2.12)
˙x(t) = C1(t)λ1e λ1t + C2(t)λ2e λ2t
(2.13)
¨x(t) = ˙ C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t + C1(t)λ 2 1 eλ1t + C2(t)λ 2 2 eλ2t . (2.14)
Înlocuind (2.13) ¸si (2.14) în (2.3) rezultǎ:
C1(t)(a2λ 2 1 + a1λ1 + a0)e λ1t + C2(t)(a2λ 2 2 + a1λ2 + a0)e λ2t +
+ ˙ C1(t)a2λ1e λ1t + ˙ C2(t)a2λ2e λ2t = f(t)
˙C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t = 1
a2
f(t) (2.15)
Astfel, sistemul de ecuat¸ii algebrice format din ecuat¸iile (2.12) ¸si (2.15):
˙C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t = 0
˙C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t = 1
a2
f(t)
(2.16)