Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 223
+
=
n
Ω i=1 j=1
n
Ω i=1 j=1
Calculând în continuare
n
aij(X)· ∂u
∂xj
n
aij(X)· ∂u
Ω
∂xj
· ∂v
∂xi
Av·u dX gǎsim:
dX+ c(X)·u·v dX
Ω
· ∂v
dX+ c(X)·u·v dX
∂xi Ω
n n
Av·u dX = aij(X)·
Ω
Ω i=1 j=1
∂v
·
∂xj
∂u
dX+ c(X)·u·v dX.
∂xi Ω
Deoarece aij(X) = aji(X) rezultǎ Au · vdX = Av · udX
Ω
Teorema 7.1.2 Existǎ γ > 0 astfel încât pentru orice u ∈ D sǎ avem
Au · udX ≥ γ u 2 dX (7.8)
Demonstrat¸ie: Calculǎm
Ω
Au · udX =
≥
Ω
n
Ω
Ω i=1 j=1
Rǎmâne sǎ evaluǎm
µ0
Ω i=1
Ω
Ω
Au · udX ¸si obt¸inem :
n
aij(X) ∂u
∂u
dX +
∂xi ∂xj
n
∂u
∂xi
n
∂u
∂xi
2
2
dX +
Ω
Ω
c(X)u 2 (X) dX
c(X)u 2 (X) dX ≥
dX pentru u ∈ D. Aceastǎ evaluare con-
Ω i=1
stitue cont¸inutul unei teoreme care poartǎ numele lui Friedrichs. Conform
acestei teoreme existǎ o constantǎ k > 0, astfel încât pentru orice u ∈ C1 ( ¯ Ω)
cu u|∂Ω = 0 avem:
Ω
|u(X)| 2
dX ≤ k
Ω
n
∂u 2
∂xi
dX.
i=1