Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

26 CAPITOLUL 1
Problema 1.7.1 Sǎ se determine curba r = r(u) ¸stiind cǎ aria sectoarelor
limitate de curbǎ, raza vectoare a punctului P0(r0, u0) ¸si raza vectoare a punctului
P(r, u) este proport¸ionalǎ cu produsul r·u, coeficientul de proport¸ionalitate
fiind a.
Rezolvare:
Conform enunt¸ului avem:
1
2
din care prin derivare obt¸inem:
care este o ecuat¸ie Bernoulli.
Concluzii
u
u0
r 2 du = a r u
r 2 = 2a (˙r u + r)
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = A(t) x + B(t) x α , (α ∈ IR 1 , α = 0, 1) (numitǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ
a lui Bernoulli) în care A, B sunt funct¸ii reale continue definite pe un
interval I ⊂ IR 1 .
2. O funct¸ie pozitivǎ x = x(t) este solut¸ie a ecuat¸iei Bernoulli dacǎ ¸si
numai dacǎ funct¸ia y(t) = [x(t)] 1−α este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale
liniare de ordinul întâi ˙y = (1−α) A(t) y + (1−α) B(t).
3. Determinarea solut¸iilor pozitive ale ecuat¸iei Bernoulli se reduce la rezolvarea
unei ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi.