Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

164 CAPITOLUL 5
Fie ξ = (ξ0, ξ1, . . .,ξn) ∈ Ω astfel încât
n
i=0
f 2 i (ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0.
Existent¸a unui punct ξ ∈ Ω cu aceastǎ proprietate poate fi admisǎ pentru
cǎ, în caz contrar, toate funct¸iile fi ar fi identic nule pe Ω de unde ar rezulta
cǎ ecuat¸ia (5.1) este verificatǎ, oricare ar fi funct¸ia u de clasǎ C 1 pe Ω.
Putem admite de asemenea cǎ f0(ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0. Aceasta întrucât din
n
ipoteza fi(ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0 rezultǎ cǎ existǎ i0 ∈ {0, 1, . . ., n} astfel ca
i=0
fi0(ξ) = 0. Ceea ce presupunem noi în plus este faptul cǎ i0 = 0, adicǎ
f0(ξ) = 0.
Dacǎ f0(ξ) = 0, atunci se face rat¸ionamentul pentru fi0.
Revenim deci la f0(ξ) = 0 ¸si deoarece f0 este continuǎ, existǎ o vecinǎtate
Vξ a punctului ξ astfel ca f0(x) = 0 pentru orice x ∈ Vξ. Considerǎm acum
sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale:
unde
˙xi = gi(t, x1, . . .,xn), i = 1, n (5.2)
gi(t, x1, . . .,xn) = fi(t, x1, . . ., xn)
f0(t, x1, . . .,xn)
t fiind componenta x0 a vectorului x = (x0, x1, . . .,xn) ∈ Vξ, t = x0. Sistemul
(5.2) este definit pentru (t, x1, . . .,xn) ∈ Vξ,iar funct¸iile gi sunt de clasǎ C 1
pe Vξ.
Teorema 5.1.1 Solut¸iile ecuat¸iei (5.1) definite pe V ⊂ Vξ sunt integrale
prime ale sistemului (5.2) ¸si reciproc.
Demonstrat¸ie: Fie u : V → R 1 o solut¸ie a ecuat¸iei (5.1). Cu notat¸iile
introduse avem:
k=1
∂u
∂t (t, x1, . . .,xn) · f0(t, x1, . . .,xn)+
n ∂u
(t, x1, . . .,xn) · fk(t, x1, . . ., xn) ≡ 0
∂xk