Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 221
atunci Problema Dirichlet :
⎧
n
n
∂
⎪⎨ − aij(X) ·
∂xi
∂u
+ c(X) · u = F(X), (∀) X ∈ Ω
∂xj
⎪⎩
i=1
u|∂Ω = 0
j=1
este echivalentǎ cu problema urmǎtoare :
Sǎ se determine u ∈ D astfel încât sǎ avem :
unde
Au = F,
D= u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0 .
(7.6)
(7.7)
În aceastǎ formulare a Problemei Dirichlet condit¸ia la limitǎ nu mai apare
separat pentru cǎ este inclusǎ în definit¸ia spat¸iului vectorial D (adicǎ domeniul
de definit¸ie a lui A).
Problema unicitǎt¸ii solut¸iei clasice a Problemei Dirichlet revine la
injectivitatea operatorului A : D → C(Ω) iar problema existent¸ei solut¸iei
clasice revine la surjectivitatea operatorului A.
În cele ce urmeazǎ vom pune în evident¸ǎ proprietǎt¸i ale operatorului
A pentru a rǎspunde la problema existent¸ei ¸si unicitǎt¸ii solut¸iei Problemei
Dirichlet (7.6)
Teorema 7.1.1 Operatorul A definit pe spat¸iul de funct¸ii D cu formula (7.5)
are urmatoarele proprietat¸i:
i) domeniul de definit¸ie D al operatorului A este un subspat¸iu dens în
spat¸iul Hilbert L 2 (Ω);
ii) operatorul A este liniar ;
iii) pentru
orice u, v
∈ D are loc egalitatea
Au · vdX = Av · udX
Ω
Ω
Demonstrat¸ie:
i) Presupunem cunoscut faptul cǎ spat¸iul vectorial D(Ω) format cu funct¸iile