tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

3.1.2 Tanım (Bir Parametreli Mittag-Leffler Fonksiyonu) : α > 0 olmak
üzere Eα () . notasyonu ile gösterilen ve
( )
E z
α
∞ k
z
= ∑ (3.2)
Γ +
k = 0
( αk
1)
biçiminde tanımlanan fonksiyona bir parametreli Mittag-Leffler fonksiyonu denir [1].
Üstel fonksiyonun bir genelleştirmesi olan bu fonksiyon, 1903 yılında
Mittag-Leffler tarafından tanımlanmıştır. Bir parametreli Mittag-Leffler fonksiyonu,
kesirli mertebeden diferansiyel denklem çözümlerinde ortaya çıkar.
3.1.3 Tanım (İki Parametreli Mittag-Leffler Fonksiyonu) : α > 0 ve β > 0
olmak üzere iki parametreli Mittag-Leffler fonksiyonu
αβ ,
( )
E z
∞ k
z
= ∑ (3.3)
Γ +
k = 0
biçiminde tanımlanır [1].
( αk β )
Bu fonksiyon, 1953 yılında R.P. Agarwal ve Erdelyi tarafından
tanımlanmıştır. α ve β parametrelerinin özel seçimleri ile , Eα β fonksiyonu bilinen
bazı fonksiyonlara dönüşür. Örneğin;
∞ k ∞ k
z z
E1,1 ( z) = = = e
Γ k+ 1 k!
1,2
( )
E z
2,1
2 ( )
∑ ∑
z
,
k= 0 k=
0
( )
z z e
= = =
Γ k+ 2 z k+ 1 ! z
∞ k ∞ k+ 1 z
1 −1
∑ ∑ ,
( ) ( )
k= 0 k=
0
∞ 2k ∞ 2k
z z
E z = = = z
∑
( )
∑ cosh ( ) ,
k= 0Γ 2k+ 1 k=
0(
2 k)
!
8