tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

3.2.2 Tanım (Riemann-Liouville Kesirli Türevleri) : f [ ab , ] ⊂ üzerinde
integrallenebilen, zaman değişkenli bir fonksiyon ve n 1 α n
12
+
− ≤ < ( n )
üzere α . mertebeden sol ve sağ Riemann-Liouville kesirli türevleri sırasıyla
( α )
n
∈ olmak
1
1
t n−α−
α
⎛ d ⎞
f () t = ⎜ ⎟ ( t−τ) f ( τ) dτ
Γ n− dt a ⎝ ⎠ ∫
D , (3.12)
a t
1
1
b n−α−
α
⎛ d ⎞
f () t = ⎜− ⎟ ( τ −t)
f ( τ) dτ
Γ n− dt t ⎝ ⎠ ∫
D (3.13)
t b
( α )
n
biçiminde tanımlanır [1]. α ’nın bir tamsayı olması durumunda sol ve sağ Riemann-
Liouville kesirli türevleri
α ⎛ d ⎞
α ⎛ d ⎞
D f () t = ⎜ ⎟ ve tD b f () t = ⎜− ⎟
⎝dt ⎠
⎝ dt ⎠
a t
şeklinde tamsayı mertebeli türevlere dönüşür.
α
Literatürde, Riemann-Liouville kesirli türevi ile kastedilen sol türevdir.
Fiziksel problemlerde, f zaman değişkenli süreç fonksiyonunu gösteriyorsa sağ
türev f sürecinin gelecekteki durumunu ifade eder. Ancak, f sürecinin şimdiki
durumu gelecekteki durumuna bağlı değildir. Bu yüzden de fiziksel bir problemin
tanımlanmasında sağ türev doğal olarak ortaya çıkmasına rağmen genellikle ihmal
edilir.
3.2.3 Tanım (Grünwald-Letnikov Kesirli Türevleri) : f , [ ab , ] ⊂ üzerinde
integrallenebilen bir fonksiyon ve α > 0 olmak üzere α . mertebeden sol ve sağ
Grünwald-Letnikov kesirli türevleri sırasıyla aşağıdaki şekilde tanımlanır [1]:
−
r ⎛ ⎞
D f () t = lim h ( −1) ⎜ ⎟f
( t−rh) , (3.14)
⎝ ⎠
n
α α α
a t ∑
h→0
nh t a r=
0 r
=−
α