Tam Metin

1.3 Bağıntılar
Bir küme üzerinde tanımlanan bağıntılar, matematiğin birçok alanında olduğu
gibi yarıgrup teoride de önemli bir yere sahiptir. Diğer bölümlerde bağıntılardan
daha ayrıntılı bir şekilde bahsedileceği için, bu alt bölümde sadece bağıntının
tanımına ve sağlayabileceği bazı özelliklere yer verilmiştir.
1.3.1 Tanım: X boştan farklı bir küme olmak üzere, X × X kümesinin her
bir alt kümesine X üzerinde bir bağıntı denir. O halde X kümesi üzerinde tanımlanan
bir bağıntı kümesi X kümesinden alınan sıralı ikililerden oluşmaktadır.
Herhangi iki bağıntı arasındaki bileşke işlemi,
{ ( x, y) X X : ( z X )( x, z) , ( z, y)
}
ρ σ = ρσ = ∈ × ∃ ∈ ∈ ρ ∈σ
(1.2)
şeklinde tanımlanır. Bağıntılar arasında tanımlanan (1.2)’deki bileşke işlemi
birleşme özelliğini sağladığından, X kümesi üzerindeki tüm bağıntıların oluşturduğu
küme (ki bu kümeyi B X ile gösterelim), (1.2)’deki işleme göre bir yarıgrup
oluşturur. Bununla birlikte 1.1.5 Tanımda verilen T X tam transformasyon
yarıgrubundaki fonksiyonların özel birer bağıntı olduğu açıktır. Dolayısıyla X T
kümesi ile tanımlanan yarıgrup, B X in bir alt yarıgrubu olur.
Aşağıda bir X kümesi üzerinde tanımlı olan herhangi bir bağıntının
sağlayabileceği özellikler ile ilgili bir tanım verilmektedir.
olsun.
1.3.2 Tanım: X bir küme ve ρ , X üzerinde tanımlı herhangi bir bağıntı
∀ ∈ için ( , )
(i) x X
(ii) x, y X
x x ∈ ρ oluyorsa, ρ bağıntısına yansımalı,
∀ ∈ için ( x, y) ∈ ρ iken ( , )
simetrik,
∀ ∈ için ( x, y) ∈ ρ ve ( , )
(iii) x, y X
11
y x ∈ ρ oluyorsa, ρ bağıntısına
y x ∈ ρ iken x = y oluyorsa, ρ