Tam Metin

dir.
Ters kapsamanın varlığı da benzer şekilde ispatlanabileceğinden R ve L
bağıntıları değişmelidir. □
2.2.8 Önerme yardımı ile ispatını yapabileceğimiz teorem aşağıdaki gibidir.
2.2.9 Teorem: (2.2) ile verilen D bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
İspat: L ve R bağıntılarının her ikisi de birer denklik bağıntısı olduğundan
bunlar için yansıyanlık özelliği sağlanıp, dolayısıyla D bağıntısının yansıyan olacağı
açıktır. Şimdi
( x, y) ∈ D ⇒ ( ∃z ∈ S)(( x, z) ∈ L ve ( z, y) ∈ R)
⇒ ( ∃z ∈ S) (( z, x) ∈ L ve ( y, z) ∈ R)
⇒ ( y, x) ∈ R L = R L = D
olduğundan, D bağıntısı simetri özelliğini sağlar. Son olarak
( x, y),( y, z) ∈ D ⇒ ( ∃u, v ∈ S) (( x, u) ∈ L ve ( u, y) ∈ R ve ( y, v) ∈ L ve ( v, z) ∈ R)
⇒ ( ∃u, v ∈ S) (( x, u) ∈ L ve ( u, v) ∈ R L ve ( v, z) ∈ R)
⇒ ( ∃u, v ∈ S) (( x, u) ∈ L ve ( u, v) ∈ L R ve ( v, z) ∈ R)
⇒ ( ∃u, v, w∈ S) (( x, u) ∈ L ve ( u, w) ∈ L ve ( w, v) ∈ R ve ( v, z) ∈ R)
⇒ ( ∃w∈ S) (( x, w) ∈ L ve ( w, z) ∈ R)
⇒ ( x, z) ∈ L R = D
olduğundan, D bağıntısı geçişmelidir.
O halde D bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. □
37