Tam Metin

eşitsizliğinin bir sonucudur. Bunu α ∈ K( r, n)
ve n T β ∈ alarak,
ve
rank( αβ ) ≤ min( rankα , rankβ ) ≤ rankα ≤ r ⇒ αβ ∈ K( r, n)
rank( βα ) ≤ min( rankβ , rankα) ≤ rankα ≤ r ⇒ βα ∈ K( r, n)
olmasından dolayı rahatlıkla görebiliriz. ◊
2.1.3 Teorem: S bir yarıgrup olmak üzere, S nin boştan farklı bir alt kümesi
X olsun. Bu durumda
{ : , }
1 1
S X = sx s ∈ S x ∈ X
kümesi S yarıgrubunun X kümesini içeren en küçük sol ideali olup, benzer şekilde
{ : , }
1
XS = xs x∈ X s ∈ S
kümesi S yarıgrubunun X kümesini içeren en küçük sağ ideali ve
{ : , , }
1 1
S XS = sxt s t ∈ S x ∈ X
kümesi S yarıgrubunun X kümesini içeren en küçük hem sağ hem de sol ideali dir.
olduğundan,
İspat: Her
1
t ( sx) = ( ts) x ∈ S X
1
sx ∈ S X ve t ∈ S için,
1
S X kümesi S yarıgrubunun bir sol idealidir. Bu idealin X kümesini
1 1
içerdiği, S X { sx : s S , x X}
= ∈ ∈ tanımından açıktır. S yarıgrubunun X kümesini
29