Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

ALGEBRA – LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE 

A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC 

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově 

Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia 

Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve 

vyučování matematiky na gymnáziu 

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ 

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky 

Prostějov 2010

2 

Úvod 

Lineární rovnice a nerovnice 

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách 

a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny 

střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické 

vybavení a zázemí. 

Cílová skupina: 

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových 

materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se 

nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů 

částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového 

studia.

Lineární rovnice a nerovnice 3 

Obsah 

Lineární rovnice a nerovnice ...................................................................................................... 8 

Lineární rovnice ..................................................................................................................... 8 

Lineární rovnice ............................................................................................................... 10 

Varianta A ........................................................................................................................ 10 


Varianta B ........................................................................................................................ 11 


Varianta C ........................................................................................................................ 12 

Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ................................................. 13 

Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ............................................. 14 

Varianta A ........................................................................................................................ 14 


Varianta B ........................................................................................................................ 15 


Varianta C ........................................................................................................................ 16 

Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .............................. 17 

Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .......................... 18 

Varianta A ........................................................................................................................ 18 


Varianta B ........................................................................................................................ 19 


Varianta C ........................................................................................................................ 20 

Lineární rovnice s absolutní hodnotou ................................................................................. 25 

Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 26 

Varianta A ........................................................................................................................ 26 

Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 27

4 


Varianta B ........................................................................................................................ 27 

Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 28 

Varianta C ........................................................................................................................ 28 

Lineární nerovnice ................................................................................................................ 30 

Lineární nerovnice ............................................................................................................ 31 

Varianta A ........................................................................................................................ 31 


Varianta B ........................................................................................................................ 32 


Varianta C ........................................................................................................................ 33 

Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 34 

Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ......................................................................... 35 

Varianta A ........................................................................................................................ 35 


Varianta B ........................................................................................................................ 36 


Varianta C ........................................................................................................................ 37 

Kvadratické rovnice a nerovnice .............................................................................................. 40 

Rovnice v součinovém tvaru ................................................................................................ 40 

Rovnice v součinovém tvaru ............................................................................................ 41 

Varianta A ........................................................................................................................ 41 


Varianta B ........................................................................................................................ 42 


Varianta C ........................................................................................................................ 43 

Kvadratická rovnice ............................................................................................................. 44 

Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 45


Varianta A ........................................................................................................................ 45 

Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 46 

Varianta B ........................................................................................................................ 46 

Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 47 

Varianta C ........................................................................................................................ 47 

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ....................................................... 48 

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ................................................... 49 

Varianta A ........................................................................................................................ 49 


Varianta B ........................................................................................................................ 50 


Varianta C ........................................................................................................................ 51 

Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ................................................................. 52 

Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................. 54 

Varianta A ........................................................................................................................ 54 


Varianta B ........................................................................................................................ 57 


Varianta C ........................................................................................................................ 59 

Umocňování rovnice ............................................................................................................ 61 

Umocňování rovnice ........................................................................................................ 62 

Varianta A ........................................................................................................................ 62 


Varianta B ........................................................................................................................ 63 


Varianta C ........................................................................................................................ 64 

Řešení rovnic užitím substituce ............................................................................................ 66

6 


Řešení rovnic užitím substituce ........................................................................................ 67 

Varianta A ........................................................................................................................ 67 


Varianta B ........................................................................................................................ 68 


Varianta C ........................................................................................................................ 70 

Soustavy rovnic a nerovnic ...................................................................................................... 72 

Lineární rovnice se dvěma neznámými ................................................................................ 72 

Lineární rovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 73 

Varianta A ........................................................................................................................ 73 


Varianta B ........................................................................................................................ 76 


Varianta C ........................................................................................................................ 79 

Lineární nerovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 83 

Lineární nerovnice se dvěma neznámými ........................................................................ 84 

Varianta A ........................................................................................................................ 84 


Varianta B ........................................................................................................................ 88 


Varianta C ........................................................................................................................ 92 

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ...................................................... 96 

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými .................................................. 98 

Varianta A ........................................................................................................................ 98 

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ................................................ 100 

Varianta B ...................................................................................................................... 100 

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ................................................ 102


Varianta C ...................................................................................................................... 102 

Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické . 106 

Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické 

........................................................................................................................................ 108 

Varianta A ...................................................................................................................... 108 


........................................................................................................................................ 111 

Varianta B ...................................................................................................................... 111 


........................................................................................................................................ 114 

Varianta C ...................................................................................................................... 114 

Soustavy lineárních nerovnic ............................................................................................. 116 

Soustavy lineárních nerovnic ......................................................................................... 117 

Varianta A ...................................................................................................................... 117 


Varianta B ...................................................................................................................... 119 


Varianta C ...................................................................................................................... 121 

Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru ........................................................ 123 

Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru .................................................... 124 

Varianta A ...................................................................................................................... 124 


Varianta B ...................................................................................................................... 126 


Varianta C ...................................................................................................................... 128 

Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ........................................................................... 130 

Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ....................................................................... 130

8 


Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ................................................................... 131 

Varianta A ...................................................................................................................... 131 


Varianta B ...................................................................................................................... 133 


Varianta C ...................................................................................................................... 136 


Lineární rovnice 

Základní pojmy 

Definice: 

Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 

kde , . 

0, 

Lineární rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav 

převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. 

Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: 

- Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. 

- Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. 

- Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. 

- Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.

Lineární rovnice a nerovnice 9

10 



Varianta A 

Řešte rovnici 3√5 100. 

Příklad: 

Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) 

osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 

Příklady k procvičení: 

1) Řešte rovnici 3 

 

3√5 100 | 10 

3√5 10 |:3√5 

√ √ 

· 

√ √ √ 

0. [ 

] 

2) Řešte rovnici 0,1 0,02 0. [ 

] 

3) Řešte rovnici ·√3 √3 0. [1] 

4) Řešte rovnici 

Výsledek řešení: 

√ 

 

 

0. [ 

]


Varianta B 

Řešte rovnici 5 10 8 3. 


Příklad: 



Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


 


 

5 10 8 3 | 108 

3 13 |: 3 

 

 

5) Řešte rovnici 2 √3 5√2. [ √√ 

] 

6) Řešte rovnici 0,1 0,2 1,1 0,4. [0,6] 

7) Řešte rovnici √3 3√5. [ √√ 

] 

8) Řešte rovnici 3 √10 3√8. [NŘ]

12 



Varianta C 

Řešte rovnici 

 

. 

Příklad: 

Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat 

k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným 

(nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. 

7 7 

 

10 4 3 2 ·60 

42 15 20 210 | 20 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



 

 

 


 


 


 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|: 

 

 

. [12] 

 

 

. 

 

[NŘ] 

 

. 

 

[] 

 

 

 

 

 

. [14]

Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice 



Není-li uveden obor čísel, v němž hledáme řešení rovnice, míní se zpravidla obor všech 

reálných čísel. Velmi často se však stává (např. při řešení slovních úloh), že je obor řešení 

dané rovnice omezen (např. na kladná čísla, atd.). V praxi postupujeme tak, že danou rovnici 

vyřešíme v nejširším možném oboru () a řešení pak konfrontujeme s oborem, ve kterém 

rovnici řešíme. 

Dosazením čísla za neznámou na obou stranách rovnice se výrazy s proměnnou změní na 

číselné výrazy. Jsou-li hodnoty obou číselných výrazů stejné, je toto číslo řešením dané 

rovnice, v opačném případě nikoliv. V praxi postupujeme tak, že zvlášť určíme číselnou 

hodnotu výrazu na levé straně, zvlášť na pravé straně a pak hodnoty porovnáme. Tomuto 

postupu se říká zkouška při řešení rovnice. 

Pokud jsme při řešení rovnice používali pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nezbytnou 

součástí řešení rovnice.

14 



Varianta A 

Zjistěte, zda rovnice 3√5 23 má řešení v množině racionálních čísel. 

Příklad: 



3√5 23 | 2 

3√5 5 |:3√5 

5 5 √5 √5 

· 

3√5 3√5 √5 3 

Řešením dané rovnice je iracionální číslo, řešení v množině racionálních čísel tedy neexistuje. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) Zjistěte, zda rovnice 2 


Řešení v množině racionálních čísel neexistuje. 

 

0 má řešení v množině racionálních čísel. [Ano, 

] 

2) Zjistěte, zda rovnice 0,01 0,002 0 má řešení v množině celých čísel. [Ne] 

3) Zjistěte, zda rovnice ·√5 √5 √5 má řešení v množině přirozených čísel. 

[Ano, 2] 

4) Zjistěte, zda rovnice 

má řešení v množině reálných čísel. [Ne]


Varianta B 

Řešte rovnici 3 12 8 3 a proveďte zkoušku. 


Příklad: 



Zkouška: 

L3 3 · 3 1291221 

P3 8 · 3 324321 

LP 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



3 

3 12 8 3 | 128 

5 15 |: 5 

 

L3 3 · 3 1291221 

P3 8 · 3 324321 

LP 

5) Řešte rovnici √5 5√5 a proveďte zkoušku. [ √ 

; LP√ ] 

6) Řešte rovnici 0,2 0,4 1,6 0,3 a proveďte zkoušku. [0,5; LP0,5] 7) Řešte rovnici 3 √3 3√5 a proveďte zkoušku. [NŘ] 

8) Řešte rovnici 3 √2 5√2 a proveďte zkoušku. [√2; L P4√2]

16 



Varianta C 


7 2 a proveďte zkoušku. 

 

Příklad: 

Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat 

k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným 


1 

3 712| 

·6 

2 

2 2 42 3 3 6 12 

L5 51 

3 79 

P5 51 

2 529 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


2 44 9 9 | 944 

|: 

 


 

 

a proveďte zkoušku. [4; LP5] 


 


 


 

 

L5 51 

3 79 


P5 51 

2 529 

 

 

 

 

 

 

 

 

24 a proveďte zkoušku. [17; L P7] 

10 a proveďte zkoušku. [8; L P0] 

 

 

1 a proveďte zkoušku. [11; L P2]


Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice 


V rovnicích s neznámou ve jmenovateli se vyskytují lomené výrazy. Dříve, než takovou 

rovnici řešíme, určíme všechny podmínky, za kterých mají jednotlivé lomené výrazy smysl. 

Poté rovnici řešíme standardním způsobem, tj. odstraněním zlomků a následným řešením 

dalšími ekvivalentními úpravami. Výsledné řešení pak musíme konfrontovat se všemi 

podmínkami jednotlivých lomených výrazů. 

Každou lineární rovnici lze zapsat ve tvaru . Jedná se tak vlastně o zápis 

rovnosti dvou lineárních funkcí: 

: 

: 

Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních 

funkcí. Jelikož je grafem lineární funkce přímka, mohou pro vzájemnou polohu obou grafů a 

tedy i pro řešení lineární rovnice nastat tři případy: 

• Přímky jsou různoběžné – existuje jeden průsečík a rovnice má jedno řešení. 

• Přímky jsou rovnoběžné různé – neexistuje žádný průsečík a rovnice nemá řešení. 

• Přímky jsou totožné – existuje nekonečně mnoho společných bodů a rovnice má 

nekonečně mnoho řešení.

18 



Varianta A 


0. 

Příklad: 

Nejprve stanovíme podmínky, za kterých mají lomené výrazy, vyskytující se v rovnici, smysl. 

30 

3 



2 8 

0 | · 3 

3 

2 8 0 | 8 

2 8 |:2 

4 

Řešení není v rozporu s výše uvedenou podmínkou a je tedy řešením dané rovnice. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



 


 


 


 


4 

1. [7; 4] 

 

10. [; 5] 6. [NŘ; 3] 

3. [8; 8]



Varianta B 

Řešte rovnici: 

Příklad: 

Nejdříve stanovíme podmínky: 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1 

2 

2 

3 2 2 

20 

2 

1 

2 

2 

2 | ·3 2 

3 2 

322·3· 2 

16· 2 

1 6 12 | 12 

13 6 |:6 

13 

6 


. [1; 0;1] 


 

13 


6 

 

. [2; 0;8] 


1 . 

 

[NŘ; 4] 8) Řešte rovnici 

. 

 

 

[ ; 2;6;3]

20 



Varianta C 

Řešte graficky rovnici 343. 

Příklad: 

Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: 

: 3 

: 4 3 

Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních 

funkcí. 

2 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 

Výsledek řešení:


9) Řešte graficky rovnici 3 3 3. 

3 

2 


22 


10) Řešte graficky rovnici 233. 

2

11) Řešte graficky rovnici 214. 

1 


24 


12) Řešte graficky rovnici 2 3 2 1. 

NŘ

Lineární rovnice s absolutní hodnotou 


Definice: 

Absolutní hodnota čísla je definována takto: 

Věta: 

a) || pro 0 

b) || pro 0 

Pro libovolná čísla , platí: 

1.) || 0 

2.) || || 

3.) | ·| || · || 

4.) 

Poznámka: 

|| 

|| 

, 0 


• Číslo || se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od 

počátku (tj. od obrazu čísla 0). 

• Číslo | | | | se pro libovolná čísla , rovná vzdálenosti obrazů čísel 

a, b na číselné ose.

26 



Varianta A 

Řešte rovnici || 3. 

Příklad: 

Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy 

od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. 

Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. 

Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: , 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



, 

1) Řešte rovnici || 1. [1] 



4) Řešte rovnici || 1. [NŘ]


Varianta B 

Řešte rovnici | 1| 3. 

Příklad: 


Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme 

sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice 

protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. 

Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: 2, 4. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



, 

5) Řešte rovnici | 11| 4. [7, 15] 

6) Řešte rovnici | 1| 5. [4, 6] 

7) Řešte rovnici |1 | 2. [3, 1] 

8) Řešte rovnici | 1| 3. [NŘ]

28 



Varianta C 

Řešte rovnici | 1| |2 3| 1. 

Příklad: 

Řešení rovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve 

stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř 

jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí 

těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak 

zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde 

v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup 

zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. 

NB: 1, 

 

∞; 3 

3 

 

2 2 ;1 

1; ∞ 

| 1| 1 1 1 

|2 3| 2 3 2 3 2 3 

I. II. III. 

V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární rovnici, ale absolutní hodnoty 

nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. 

I. 

1 2 3 1 

1231 

3 4 1| 4 

3 5|:3 

5 

3 

∞; 

3 2

II. 

III. 

1 2 3 1 

1231 

21| 2 

1 3 

2 ;1 

1 2 3 1 

1231 

3 4 1| 4 

3 3|:3 

11; ∞ 


Řešení mají tedy rovnice pouze v intervalech I. a II. Původní rovnice má tak dvě řešení. 

Množinu řešení můžeme zapsat ve tvaru 

; 1. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



5 

3 ;1 

9) Řešte rovnici | 1| | 3| 5. 

; 

 

10) Řešte rovnici 2| 1| | 3| 4. 1 

11) Řešte rovnici || | 3| 2. 

 

12) Řešte rovnici | 1| | 3| 2| 1| 1. 

 

 

;

30 


Lineární nerovnice 


Definice: 

Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: 

kde , . 

a) 0, 

b) 0, 

c) 0, 

d) 0, 

Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních 

úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. 

Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních 

rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: 

Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!


Varianta A 

Řešte rovnici 2√5 100. 


Příklad: 

Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) 


2√5 100 | 10 

2√5 10 |:2√5 

√ 

· √ 

√ √ √ 

Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: √; ∞. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



 

0. [∞; 

] 

2) Řešte rovnici 0,1 0,002 0. [ 

 

; ∞] 

3) Řešte rovnici ·√3 √3 0. [∞; ] 



√; ∞ 

 

0. [ ; ∞]

32 



Varianta B 


Příklad: 

Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) 

osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od nerovnice. 

10 20 16 6 | 20 16 

6 26 |: 6 

 

 

 

Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: 

; ∞. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


 


; ∞ 

 

5) Řešte rovnici 4 √2 5√3. [∞; √ √] 

6) Řešte rovnici 0,1 0,3 1,1 0,7. [; ∞] 

7) Řešte rovnici √2 2√3. [ √√ 

; ∞] 

 

8) Řešte rovnici 2 √10 2√8. []


Varianta C 


 

 

 

7. 


Příklad: 

Vyskytují-li se v lineární nerovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat 

k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany nerovnice vynásobíme společným 


7 2 

7| ·30 

5 2 3 

42 15 20 210 | 20 

|: 

 

Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ; ∞. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


9) Řešte nerovnici 

 

 

 


 


 


 


; ∞ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. [∞; ] 

 

. 

 

[NŘ] 

 

. 

 

[] 

 

 

 

 

 

. [ ∞; ]

34 


Lineární nerovnice s absolutní hodnotou 


Definice: 

Absolutní hodnota čísla je definována takto: 

Věta: 

c) || pro 0 

d) || pro 0 

Pro libovolná čísla , platí: 

5.) || 0 

6.) || || 

7.) | ·| || · || 

8.) 

Poznámka: 

|| 

|| 

, 0 

• Číslo || se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od 

počátku (tj. od obrazu čísla 0). 

• Číslo | | | | se pro libovolná čísla , rovná vzdálenosti obrazů čísel 

a, b na číselné ose.


Varianta A 

Řešte nerovnici || 3. 


Příklad: 

Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy 

od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. 

Průnik tohoto kruhu s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. 

Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je interval: 3; 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



; 

1) Řešte nerovnici || 1. [1; 1] 

2) Řešte nerovnici || 12. [∞; 12 12; ∞] 

3) Řešte nerovnici || 0. [NŘ] 

4) Řešte nerovnici || 1. [] 

K

36 



Varianta B 

Řešte nerovnici | 1| 3. 

Příklad: 

Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme 

sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Průnik vnější části 

tohoto kruhu a jeho hraniční kružnice s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. 

Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je sjednocení intervalů: ∞; 2 4; ∞. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



∞; ; ∞ 

5) Řešte nerovnici | 11| 4. [∞; 7 15; ∞] 

6) Řešte nerovnici | 1| 5. [6; 4] 

7) Řešte nerovnici |1 | 2. [∞; 1 3; ∞] 

8) Řešte nerovnici | 1| 3. [NŘ] 

K


Varianta C 

Řešte nerovnici | 1| |2 3| 1. 


Příklad: 

Řešení nerovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve 

stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř 

jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí 

těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak 

zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde 

v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup 

zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. 

NB: 1, 

 

∞; 3 

3 

 

2 2 ;1 

1; ∞ 

| 1| 1 1 1 

|2 3| 2 3 2 3 2 3 

I. II. III. 

V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární nerovnici, ale absolutní hodnoty 

nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. 

I. 

1 2 3 1 

1231 

3 4 1| 4 

3 5|:3 

5 

3 

∞; 5 

3

38 


Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 

II. 

∞; 5 

3 

5 

∞; ∞; 

3 2 3 

1 2 3 1 

1231 

21| 2 

1 

1; ∞ 


1; ∞ 3 

;11 2 

III. 

1 2 3 1 

1231 

3 4 1| 4 

3 3|:3 

1 

1; ∞ 


1; ∞ 1; ∞ 1; ∞ 

Řešením původní nerovnice je pak sjednocení jednotlivých dílčích řešení jednotlivých 

intervalů: 

∞; 5 

5 

1 1; ∞ ∞; 1; ∞ 

3 3 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


∞; 5 

1; ∞ 

3


9) Řešte nerovnici | 1| | 3| 5. ∞; 

10) Řešte nerovnici 2| 1| | 3| 4. 1 


 

 

11) Řešte nerovnici || | 3| 2. ∞; 

 

12) Řešte nerovnici | 1| | 3| 2| 1| 1. ∞; 

 

 

; ∞ 

; ∞

40 


Kvadratické rovnice a nerovnice 

Rovnice v součinovém tvaru 


Definice: 

Rovnicí v součinovém tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 

· ·· 0, 

kde výrazy , , …, jsou lineární dvojčleny. 

Rovnicí v součinovém tvaru dále nazýváme každou rovnici, kterou lze převést na rovnici ve 

výše uvedeném tvaru. 

Při řešení těchto rovnic využíváme poznatek, že součin dvou anebo více výrazů je roven nule 

právě tehdy, když alespoň jeden výraz je roven nule.


Varianta A 

Řešte rovnici 10 · 2 1 0. 

Příklad: 

Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: 

a) , nebo 

b) . 


Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první 

lineární rovnice je číslo 10, řešením druhé lineární rovnice číslo 

. Množinu řešení dané 

rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10; 

. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


10; 1 

2 


1) Řešte rovnici √5 ·3 1 0. [√5; 

] 

2) Řešte rovnici · 2 0. [0; 

] 

3) Řešte rovnici 4 ·3 

 

0. [4; 

 

4) Řešte rovnici 2 √3 ·3 2 0. [ √ 

; 

] 

 

]

42 



Varianta B 

Řešte rovnici 250. 

Příklad: 

Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: 

. 

Je roven nule právě tehdy, když: 

a) , nebo 

b) . 


lineární rovnice je číslo 5, řešením druhé lineární rovnice číslo 5. Množinu řešení dané 

rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 5; 5. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



5; 5 

5) Řešte rovnici 4 490. [ 

; 

] 

6) Řešte rovnici 20. [√2; √2] 


; 

] 

8) Řešte rovnici 21 7 0. [√3; √3]


Varianta C 


Příklad: 

Rovnice nejdříve převedeme pomocí ekvivalentních do anulovaného tvaru: 

| · 


 

Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin vytknutím před závorku do následujícího 

tvaru: 


a) , nebo 

b) . 

. 





. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


0; 15 

8 


9) Řešte rovnici 1 12 1. [1; 1] 

10) Řešte rovnici 25 5. [4; 5] 

11) Řešte rovnici 14 9 0. [ 

12) Řešte rovnici 4 16 9 0. [NŘ] 

 

 

; 

]

44 


Kvadratická rovnice 


Definice: 

Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 

kde , , ; 0. 

0, 

Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav 


Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní 

člen. 

Věta: 

Řešení kvadratické rovnice 0 je určeno následujícím vztahem: 

, √ 4 

2 

Poznámka 1: Výraz 4 nazýváme diskriminant kvadratické rovnice a podle jeho 

hodnoty mohou pro řešení kvadratické rovnice nastat tři možnosti: 

a) 0 - rovnice má v oboru dvě různá řešení, 

b) 0 - rovnice má v oboru jedno dvojnásobné řešení, 

c) 0 - rovnice nemá v oboru žádné řešení. 

Poznámka 2: Podle výše uvedeného vztahu lze řešit libovolnou kvadratickou rovnici. Existují 

však speciální typy kvadratických rovnic, které lze řešit i jiným (zpravidla jednodušším) 

způsobem. Mezi tyto speciální typy řadíme nejčastěji tzv. neúplné kvadratické rovnice: 

a) Rovnice 0 se nazývá rovnice bez absolutního členu a s výhodou ji 

řešíme převedením na součinový tvar vytknutím. 

b) Rovnice 0 se nazývá ryze kvadratická rovnice a výhodou ji řešíme 

převedením na součinový tvar pomocí vzorce (pokud je to možné).


Varianta A 

Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 4 50. 

Příklad: 


Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: 4 5 0. 


c) 0, nebo 

d) 4 5 0. 





. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


0; 5 

4 


1) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 2 15 0. [ 0; 

] 

2) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 

 

 

 

0. [ 0; 

] 

3) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 20. [ 0; 

] 

4) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0,1 1,50. [ 0; 15]

46 



Varianta B 

Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 250. 

Příklad: 

Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: 

2 52 5 0. 


c) 2 5 0, nebo 

d) 2 5 0. 


lineární rovnice je číslo 

 

, řešením druhé lineární rovnice číslo . Množinu řešení dané 

rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


 

 

5 

; 5 

2 2 


; 

. 

5) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 490. [ 

6) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 121 0. [ 

 

 

 

; 

] 

; 

] 

7) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 30. [ √ √ 

; 

] 

8) Řešte ryze kvadratickou rovnici 490. 

[NŘ, výraz nelze rozložit na součin podle vzorce]


Varianta C 

Řešte kvadratickou rovnici 7300. 

Příklad: 

Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: 

1, 7, 30. 

Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: 

, √ 4 

2 

7 7 4·1·30 

2·1 

, 7√169 

2 

713 

2 

10; 3 

Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10; 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



10; 3 


9) Řešte kvadratickou rovnici 2 120 0. [ 12; 10] 

10) Řešte kvadratickou rovnici 7200. [NŘ] 

 

7√49 120 

2 

11) Řešte kvadratickou rovnici 

0. 

 

[ √5; √5; 1; 3] 

12) Řešte kvadratickou rovnici 210. [ 1]

48 


Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice 


Definice: 


kde , , ; 0. 

0, 




člen. 

Věta 1: 

Pro kořeny , kvadratické rovnice 0 platí následující vztahy: 

Věta 2: 

 

, 

· 

. 

Jsou-li čísla , kořeny kvadratické rovnice 0, pak platí: 

. 

Uvedenému výrazu na pravé straně rovnosti říkáme rozklad kvadratického trojčlenu na 

kořenové činitele.

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice 

Varianta A 


Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické 

rovnice 560. 

Příklad: 

Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: 

,,. 

Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: 

b 

5 

1 5 

· c 6 

 

1 6 

Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a součin 6. Takovým podmínkám vyhovují čísla 2 

a 3. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 2; 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



2; 3 

1) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické 

rovnice 11 30 0. [5; 6] 


rovnice 20. [1; 2] 


rovnice 7120. [3; 4] 


rovnice 560. [2; 3]

52 


Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice 


Definice: 


kde , , ; 0. 

0, 




člen. 

Vydělíme-li kvadratickou rovnici číslem a, dostáváme kvadratickou rovnici v tzv. 

normovaném tvaru. 

Definice: 

Kvadratickou rovnicí v normovaném tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 

kde , . 

0, 

Takovou rovnici pak lze psát v následujícím tvaru: 

 

Jedná se vlastně o rovnost dvou funkcí, funkce kvadratické na straně levé a funkce lineární na 

straně pravé. Znázorníme-li grafy obou funkcí do jednoho obrázku, je řešením původní 

kvadratické rovnice x-ová souřadnice průsečíků obou grafů. Uvedený postup je návodem na 

grafické řešení kvadratické rovnice.


Věta 1: 

Pro vzájemnou polohu paraboly (grafu kvadratické funkce) a přímky (grafu lineární funkce) 

mohou nastat následující možnosti: 

a) parabola a přímka mají dva průsečíky, příslušná kvadratická rovnice má dvě řešení, 

b) parabola a přímka mají jeden společný bod (přímka je tečnou paraboly), příslušná 

kvadratická rovnice má jedno řešení, 

c) parabola a přímka nemají žádný společný bod, příslušná kvadratická rovnice nemá 

žádné řešení. 

Definice: 

Kvadratickou nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: 

kde , , ; 0. 

0, 

0, 

0, 

0, 

Na levé straně nerovnice je výraz zápisem kvadratické funkce. Grafem této funkce je 

parabola, která protíná osu x v těch bodech, které jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. 

Část tohoto grafu pak může ležet pod osou x, část na ose x a část nad osou x. Na základě této 

vzájemné polohy pak lze graficky určit řešení příslušné kvadratické nerovnice.

54 



Varianta A 

Řešte graficky kvadratickou rovnici 230. 

Příklad: 

Pomocí ekvivalentních úprav převedeme rovnici na tvar: 

23 

Do jednoho grafu pak zakreslíme grafy funkcí : a : 2 3 

Obě křivky tedy mají dva průsečíky a jejich x-ové souřadnice (1 a 3) jsou řešením příslušné 

kvadratické rovnice. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 1; 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1; 3


1) Řešte graficky kvadratickou rovnici 

0. 

[ 0; 

] 

2) Řešte graficky kvadratickou rovnici 40. 

[ 2; 2] 


56 


3) Řešte graficky kvadratickou rovnici 210. 

[ 1] 

4) Řešte graficky kvadratickou rovnici 2 230. 

[NŘ]


Varianta B 

Řešte kvadratickou nerovnici 4 50. 

Příklad: 

Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. 


Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: 4 5 0. 


e) 0, nebo 

f) 4 5 0. 





. V těchto bodech protne graf příslušné 

kvadratické funkce osu x.

58 


Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží pod osou x nebo na ose x. 

Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x 

z intervalu 

; 0. 

 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


5 


; 0 

4 

5) Řešte kvadratickou nerovnici 4 490. [ ∞; 

6) Řešte kvadratickou nerovnici 4 121 0. [ 

 

 

 

; 

] 

; ∞] 

7) Řešte kvadratickou nerovnici 4 30. [ √ √ 

; 

] 

8) Řešte kvadratickou nerovnici 490. [ ∞; 7 7; ∞]


Varianta C 

Řešte kvadratickou nerovnici 7300. 

Příklad: 

Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. 

Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: 

, √ 4 

2 

7 7 4·1·30 

2·1 

, 7√169 

2 

713 

2 

10; 3 


 

7√49 120 

2 

Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 3; 10. V těchto bodech protne 

graf příslušné kvadratické funkce osu x.

60 


Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží nad osou x nebo na ose x. 

Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x 

z množiny ∞; 3 10; ∞. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



∞; 3 10; ∞ 

9) Řešte kvadratickou rovnici 2 120 0. [ ∞; 10 12; ∞] 

10) Řešte kvadratickou rovnici 7200. [NŘ] 

11) Řešte kvadratickou rovnici 560. [ 2; 3] 

12) Řešte kvadratickou rovnici 210. [ 1]

Umocňování rovnice 


Věta: 

Pro libovolná dvě čísla , platí: 

. 


Uvedená věta ovšem neplatí naopak. Z tohoto poznatku plyne pro umocnění rovnice 

následující skutečnost: 

Věta: 

Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: 

Každý kořen původní rovnice je současně kořenem i rovnice umocněné, ale ne naopak. 

Umocněná rovnice může mít kořeny, které nejsou kořeny rovnice původní. 

Umocnění rovnice je tzv. důsledkovou úpravou. Použijeme-li při řešení rovnice důsledkovou 

úpravu, je nezbytnou součástí řešení rovnice zkouška.

62 



Varianta A 

Řešte rovnici √2 4 3. 

Příklad: 

Nejdříve umocníme rovnici: 

√2 4 3| 

| 

|: 

 

 

Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. 

Původní rovnice tedy nemá řešení. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


L 

· 

√ √ 

 


Rovnice nemá řešení. 

P 

 

 

LP 

1) Řešte rovnici √2 3 5. [11] 


3) Řešte rovnici √22 3 5. [NŘ] 

4) Řešte rovnici √2 3 1. [NŘ]


Varianta B 

Řešte rovnici √ 42. 

Příklad: 


√ 42| 

4 2 

4 44| 4 

0 5 

5 0 

0; 5 


Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. 

Řešením původní rovnice je pouze číslo 5. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



5 

L0 √0 4 √4 2 

P0 022 

LP 

L5 √5 4 √9 3 

P5 523 

LP 

5) Řešte rovnici √2 5 10. [15] 

6) Řešte rovnici √ 33. [6] 


8) Řešte rovnici √ 33. [3; 4]

64 



Varianta C 

Řešte rovnici √ √ 33. 

Příklad: 


√ √ 33| 

√ √ 3 

9 

2√√ 339 

232√√ 39| 23 

2√√ 326|:2 

√√ 33| 

3 3 3 69| 3 

099| 9 

9 9|:9 

1 

Jelikož jsme provedli dvě důsledkové úpravy, je nezbytnou součástí řešení zkouška. 

Řešením původní rovnice je tedy číslo 1. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1 

L1 √1 √1 33 

P1 3 

LP



9) Řešte rovnici √ 1 √ 45. [] 

10) Řešte rovnici √ 1 √ 89. [] 

11) Řešte rovnici √2 1 √3 13 5. [] 

12) Řešte rovnici √2 √ 22. [; ]

66 


Řešení rovnic užitím substituce 


Substitucí rozumíme nahrazení výrazu v zápisu rovnice obsahujícího proměnnou jinou 

proměnnou. Daná rovnice se substitucí zpravidla zjednoduší. Tuto jednoduší rovnici s novou 

neznámou vyřešíme a poté se vrátíme zpět k původní neznámé. Pro volbu substituce neplatí 

žádné obecné pravidlo, je třeba jistého matematického citu a zkušenosti.


Varianta A 

Řešte rovnici 13 360. 

Příklad: 

Nejdříve provedeme substituci . 

Původní rovnice se změní následovně: 

13 36 0 

Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: 

, ·· 

· 

√ 

, 

 

 

, 

 

; 

Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. 

a) b) 


V obou případech se jedná o ryze kvadratické rovnice. První má kořeny a a druhá a 

. 

Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru 2; 2; 3; 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



2; 2; 3; 3 

1) Řešte rovnici 20. [√2; √2] 

2) Řešte rovnici 5 60. [√2; √2; √3; √3] 

3) Řešte rovnici 2 10. [1; 1] 

4) Řešte rovnici 36 13 10. [ 

 

 

; ; ; 

]

68 



Varianta B 


 

13 

360. 

Příklad: 

Nejdříve provedeme substituci 

. 


13 36 0 


, ·· 

· 

√ 

, 

 

 

, 

 

; 


a) 

 

b) 

 

V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ( ). Každou 

z nich řešíme vynásobením jmenovatelem x. Řešením první rovnice je číslo 

, řešením 

druhé rovnice číslo 

. 

Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 

 

; 

 


 

; 

.



 

 


 

20. [; 

 

] 


5 

60. [3; 

] 


2 

10. [1] 

 


13 

10. [7; 

]

70 



Varianta C 


 

. 

Příklad: 

Nejdříve provedeme substituci 

. 


1 1 

· 

5 

21 

· 10 

10 

| 

 


, ·· 

· 

√ 

, 

 

 

, 

 

; 

 


 

 

a) b) 

 

V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ( ). Každou 

z nich řešíme vynásobením jmenovatelem . Řešením první rovnice je číslo 

, řešením 

druhé rovnice číslo . 

Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru 

; . 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 

 


;



 

 


 

 


 

 

12) Řešte rovnici 

 

 


 

 

. [9; 

] 

 

 

 

 

 

. [ 

 

; 

] 

 

. [2; 

] 

 

 

 

. [ 

 

; 

]

72 


Soustavy rovnic a nerovnic 

Lineární rovnice se dvěma neznámými 


Definice: 

Lineární rovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici ve tvaru: 

kde , , . 

, 

Lineární rovnicí se dvěma neznámými dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. 

ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. 





- Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. 

Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme 

graficky znázornit v rovině. 

Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: 

a) 00 … řešením je množina bodů tvořících přímku různoběžnou s oběma osami 

soustavy souřadnic. 

b) 00 … řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou x. 

c) 00 … řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou y. 

d) 000 … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y. 

e) 000 … rovnice nemá řešení.


Varianta A 



Příklad: 

Všechna řešení dané rovnice dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak 

z rovnice vyjádříme neznámou y. 

2 3| 2 

 

Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru ; 3 2; a 

současně znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


; 3 2;

74 



1) Řešte rovnici 5. [; 5 ; ] 

2) Řešte rovnici 0,1 0,2 0,3. [ ; 

; ]


3) Řešte rovnici √2 31. [; √ 

; ] 

 

4) Řešte rovnici 2 3 0. [; 

; ]

76 



Varianta B 


Příklad: 

Všechna řešení dané rovnice dostaneme tak, že neznámou y volíme libovolně a pak z rovnice 

vyjádříme neznámou x. 

2 3|:2 

 

 

Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru 

;; a současně 

znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


 

;;




;;] 6) Řešte rovnici 8 16. [; ; ]

78 


7) Řešte rovnici 8 √2. [; √ 

; ] 

 

8) Řešte rovnici 5 0. [0; ; ]


Varianta C 

Řešte rovnici 28 v množině přirozených čísel. 


Příklad: 

Při řešení postupujeme obdobně jako při řešení v množině reálných čísel. Všechna řešení dané 

rovnice v množině reálných čísel dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak 

z rovnice vyjádříme neznámou y. 

28| 

|: 

 

 

Množinu všech řešení znázorníme graficky v kartézské soustavě souřadnic a na vzniklé 

přímce pak hledáme pouze ty body, jejichž obě souřadnice jsou přirozená čísla. 

Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru 2; 3; 4; 2; 6; 1.

80 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 




2; 3; 4; 2; 6; 1 

9) Řešte rovnici 23 v množině přirozených čísel. [ 1; 1]


10) Řešte rovnici 3 2 10 v množině přirozených čísel. [ 2; 2] 

11) Řešte rovnici 5 v množině přirozených čísel. 

[ 1; 4; 2; 3; 3; 2; 4; 1]

82 


12) Řešte rovnici 3 2 6 v množině přirozených čísel. [NŘ]

Lineární nerovnice se dvěma neznámými 



Definice: 

Lineární nerovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici v jednom z těchto 

tvarů: 

kde , , . 

, 

, 

, 

 





- Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné! 

Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme 

graficky znázornit v rovině. 

Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: 

a) 00 … řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou 

různoběžnou s oběma osami soustavy souřadnic. 

b) 00 … řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou 

rovnoběžnou s osou x. 

c) 00 … řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou 

rovnoběžnou s osou y. 

d) 000 … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo 

nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti. 

e) 000 … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo 

nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti.

84 

Lineární 

nerovnice 

se dvěěma 

neznáámými 

Varianta 

A 

Řešte neerovnici 

Příkladd: 

Lineární rovvnice 

a nerovnice 

Rovnicii 

hraniční přřímky 

dostaaneme 

tak, žže 

z rovnice e vyjádříme neznámou y. 

Danou ppřímku 

zobrrazíme 

v sooustavě 

souřřadnic 

a zvo olíme libovoolný 

bod ležžící 

v jedné ze dvou 

polorovvin, 

např. bood 

. Soouřadnice 

toohoto 

bodu dosadíme ddo 

původní nnerovnice: 

Vidíme, , že jsme doostali 

pravdiivou 

nerovnnost. 

Řešení ím je tedy taa 

polorovinna, 

ze které byl b 

„zkušebbní“ 

bod. Pookud 

bychoom 

obdrželi nerovnost nepravdivou n u, řešením bby 

byla polo orovina 

opačná. Jelikož byylo 

v zadáníí 

nerovnice znaménko neostré n neroovnosti, 

je řřešením 

nero ovnice i 

hraničníí 

přímka, pookud 

je v zaadání 

nerovnnice 

znaménko 

ostré nerovnosti, 

je 

řešením 

polorovvina 

bez hranniční 

přímkky. 

.

Příkladd: 

Variantaa 

A 

Variantaa 

B 

Variantaa 

C 

Výsleddek 

řešení: 


86 



Příklady dy k procviče čení: 

1) Řeštee 

nerovnici 

2) Řeštee 

rovnici 

. 

.

3) Řeštee 

rovnici 

4) Řeštee 

rovnici . 

. 

Lineáární 

rovnice a nerovnice 87

88 

Lineární 


se dvěěma 

neznáámými 

Varianta 

B 

Řešte roovnici 

Příkladd: 



Rovnicii 

hraniční přřímky 

dostaaneme 

tak, žže 

z rovnice e vyjádříme neznámou x. 


zobrrazíme 

v sooustavě 

souřřadnic 




polorovvin, 

např. bood 


toohoto 




pravdiivou 

nerovnnost. 

Řešení ím je tedy taa 

polorovinna, 

ze které byl b 

„zkušebbní“ 

bod. Pookud 

bychoom 

obdrželi nerovnost nepravdivou n u, řešením bby 

byla polo orovina 

opačná. Jelikož byylo 

v zadáníí 

nerovnice znaménko neostré n neroovnosti, 

je řřešením 

nero ovnice i 

hraničníí 

přímka, pookud 

je v zaadání 

nerovnnice 

znaménko 

ostré nerovnosti, 

je 

řešením 

polorovvina 

bez hranniční 

přímkky. 

.

Příkladd: 

Variantaa 

A 

Variantaa 

B 

Variantaa 

C 

Výsleddek 

řešení: 


90 




5) Řeštee 

rovnici 

6) Řeštee 

rovnici 

. 

.

7) Řeštee 

rovnici 

8) Řeštee 

rovnici 

. 

. 


92 

Lineární 


se dvěěma 

neznáámými 

Varianta 

C 

Řešte roovnici 

Příkladd: 



v mmnožině 

přiroozených 

čís sel. 

Při řešenní 

postupujeme 

obdobnně 

jako při řřešení 

v mn nožině reálnných 

čísel. RRovnici 

hran niční 

přímky dostaneme tak, že z roovnice 

vyjáddříme 

nezná ámou y. 


zobrrazíme 

v sooustavě 

souřřadnic 




polorovvin, 

např. bood 


toohoto 




pravdiivou 

nerovnnost. 

Řešení ím v množinně 

reálnýchh 

čísel je ted dy ta 

polorovvina, 

ze které 

byl „zkušební“ 

bod. PPokud 

bych hom obdrželi 

nerovnostt 

nepravdiv vou, 

řešenímm 

by byla poolorovina 

oppačná. 

Jelikkož 

bylo v zadání z nerovvnice 

znaméénko 

neostr ré 

nerovnoosti, 

je řešenním 

nerovniice 

i hraničnní 

přímka, pokud p je v zzadání 

nerovvnice 

znaménko 

ostré neerovnosti, 

jee 

řešením poolorovina 

beez 

hraniční přímky. A nnakonec 

vyybereme 

z 

této poloroviny 

pouuze 

ty uspořřádané 

dvojjice, 

které js sou tvořené pouze přiroozenými 

čís sly

Množinnu 

řešení půvvodní 

rovniice 

lze tedy psát ve tvar ru 

Příkladd: 

Variantaa 

A 

Variantaa 

B 

Variantaa 

C 

Výsledeek 

řešení: 


9) Řeštee 

rovnici 

v množině ppřirozených 

čísel. 

Lineáární 

rovnice a nerovnice 93 

[ 

]

94 

10) Řešte 

rovnici 

[ 

11) Řešte 

rovnici 

[ 



v množině 

přirozen ných čísel. 

] 

v množině ppřirozených 

čísel. 

]

12) Řešte 

rovnici 

v množině přirozených 

čísel. 

Lineáární 

rovnice a nerovnice e 95 

[NNŘ]

96 


Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 


Definice: 

Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y nazýváme každou soustavu 

rovnici ve tvaru: 

kde , , , , , . 

, 

, 

Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými dále nazýváme každou soustavu, 

kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na soustavu rovnic ve výše uvedeném 

tvaru. 






Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: 

- Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé 

neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice. 

- Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy. 

- Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku 

zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici. 

Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel.


Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může nastat jedna 

z následujících možností: 

a) Soustava má jediné řešení. 

b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (Tato řešení tvoří v kartézské soustavě souřadnic 

přímku.) 

c) Soustava nemá řešení. 

Soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými můžeme řešit několika způsoby. K těm 

nejčastějším patří dosazovací metoda, sčítací metoda a grafická metoda. Všechny tyto metody 

jsou popsány v následujících příkladech.

98 



Varianta A 

Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 

2 7 

5 2 4 

Příklad: 

Dosazovací metoda spočívá v tom, že z jedné ze dvou rovnic vyjádříme jednu neznámou, toto 

vyjádření dosadíme do druhé rovnice. Řešení tak převedeme na řešení jedné lineární rovnice 

s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné vyjádřit z první rovnice 

neznámou y. 

2 7| 2 

 

Tento výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou y. 

5 272 4 

| 

|: 

 

Řešení této rovnice pak dosadíme do výrazu vyjadřující neznámou y a vypočteme i tuto 

druhou neznámou. 

· 

74 

3 

Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice 2; 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


2; 3


1) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 

[ 3; 4] 


7 

5 2 7 

7 

2 2 14 

[ ; 7 ; …nekonečně mnoho řešení] 


[NŘ] 


[ 

; 

] 

3 7 

6 2 15 

2 3 2 

6 3 2 


100 Lineární rovnice a nerovnice 


Varianta B 

Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 

2 16 

5 2 13 

Příklad: 

Sčítací metoda spočívá v tom, že jednu nebo obě rovnice vynásobíme vhodně takovými čísly, 

aby se po sečtení obou rovnic jedna z neznámých anulovala. Řešení tak opět převedeme na 

řešení jedné lineární rovnice s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné 

první rovnici vynásobit číslem 2. 

2 16| ·2 

5 2 13 

_______________ 

4 2 32 

5 2 13 

_______________ 

Takto upravené rovnice soustavy sečteme, tedy sečteme levé strany a pravé strany. 

4 2 5 2 32 13 

9 45|:9 

 

Řešení této rovnice pak dosadíme do libovolné ze dvou původních rovnic a vypočteme i 

neznámou y. V tomto případě dosadíme do první rovnice. 

2·516| 10 

 

6 

Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice 5; 6. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


5; 6


5) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 

[ 1; 2] 


1 

5 2 9 

27 

2 4 14 

[ ; 

; …nekonečně mnoho řešení] 

 


[NŘ] 


[ 

; 

] 

3 2 7 

6 4 15 

2 3 2 

6 3 2 




Varianta C 

Řešte soustavu rovnic graficky: 

2 

2 

2 

2 

2 

3 3 

2 1 

3 

Příklad: 

Grafická metoda spočívá v tom, že z každé rovnice vyjádříme neznámou y. Vzniknou tak dvě 

rovnice lineárních funkcí. Do jedné soustavy souřadnic pak nakreslíme oba grafy (přímky) a 

v souladu s možnými výsledky řešení soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou tyto 

přímky buď různoběžné (soustava má jedno řešení), rovnoběžné různé (soustava nemá 

řešení), anebo rovnoběžné totožné (soustava má nekonečně mnoho řešení). 

2 

2 

2 

2 

2 

3 

2 1 

3 

1 

3| ·6 

3| ·6 

________________________________ 

362418| 364 

364218| 362 

________________________________ 

2 3 16|:2 

4 3 26|:4 

________________________________ 

: 3 

2 8 

: 3 

4 13 

2


Řešením této soustavy jsou souřadnice průsečíku obou přímek, tedy uspořádaná dvojice 

2; 5. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


2; 5



9) Řešte soustavu rovnic graficky: 

 

 

 


 

 

 

 

18 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 [10; 20] 

 

 

 

[ 

; 

]


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 


 

[NŘ] 

1 [;; 

]


Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a 

kvadratické 


U soustav více lineárních rovnic s více neznámými je zpravidla použití metody dosazovací i 

sčítací méně vhodné. Jako naprosto univerzální se jeví tzv. Gaussova eliminační metoda, která 

bude blíže vysvětlena v následujících příkladech u soustav tří a čtyř lineárních rovnic se třemi 

a čtyřmi neznámými. Naopak u soustavy rovnice lineární a kvadratické se dvěma neznámými 

je většinou nejvhodnější metoda dosazovací. 

Při řešení opět používáme tzv. ekvivalentní úpravy. 






Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: 

- Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé 

neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice. 

- Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy. 

- Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku 

zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici. 

Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel. 

Řešením soustavy tří rovnic se třemi neznámými jsou uspořádané trojice reálných čísel. 

Řešením soustavy čtyř rovnic se čtyřmi neznámými jsou uspořádané čtveřice reálných čísel.


Při řešení soustavy více lineárních rovnic s více neznámými může nastat jedna z následujících 

možností: 

a) Soustava má jediné řešení. 

b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (Tato řešení tvoří v kartézské soustavě souřadnic 

přímku, rovinu, nadrovinu.) 

c) Soustava nemá řešení. 

Při řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice se dvěma neznámými může nastat jedna 

z následujících možností: 

a) Soustava má dvě řešení. 

b) Soustava má jediné řešení. 

c) Soustava nemá řešení.



kvadratické 

Varianta A 

Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 

6 

2 3 1 

38 

Příklad: 

Při řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminační metodou bývá obvyklé provádět zápis řešení 

tzv. maticovým způsobem. Celou soustavy pak můžeme přepsat takto: 

1 1 1 6 

2 

3 11 

3 1 1 8 

Gaussova eliminační metoda spočívá v tom, že ekvivalentní úpravy volíme tak, abychom 

matici soustavy převedli na tzv. trojúhelníkový tvar. Pod hlavní úhlopříčkou matice tak 

vzniknou samé nuly. V tomto konkrétním případě postupujeme tak, že od druhého řádku 

odečteme dvojnásobek prvního řádku a od třetího řádku odečteme trojnásobek prvního řádku. 

1 1 1 6 

0 

5 113 

0 

Třetí řádek můžeme vydělit číslem 2. 

2 2 10 

1 1 1 6 

0 

5 113 

0 1 1 5 

Nyní k pětinásobku třetího řádku přičteme druhý řádek. 

1 1 1 6 

0 

5 113 

0 0 4 12 

Tím je matice soustavy převedena na trojúhelníkový tvar a nyní se vrátíme k původnímu 

zápisu soustavy. 

6 

5 13 

4 12


Poslední rovnici vydělíme čtyřmi a dostáváme 3. Dosazením do druhé rovnice 

dostáváme: 

Nyní dosadíme do první rovnice soustavy: 

5 3 13| 3 

5 10|: 5 

2 

236| 5 

1 

Řešením této soustavy je tedy uspořádaná trojice 1; 2; 3. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 

[ 3; 5; 7] 

238 

3 2 10 

2 3 2 5 


[ 2; 3; 4] 

2 7 

39 

5 18 


[ 1; 1; 2] 


1; 2; 3 

0 

21 

4 2 3 0



[ ] 

234 

2 4 6 3 

31



kvadratické 

Varianta B 

Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 

10 

2 3 3 

34 

45 

Příklad: 

Při řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminační metodou bývá obvyklé provádět zápis řešení 

tzv. maticovým způsobem. Celou soustavy pak můžeme přepsat takto: 

1 1 1 1 10 

 

2 

3 

3 

1 

1 

1 

1 

 

1 

3 

 

4 

4 1 1 1 5 

Gaussova eliminační metoda spočívá v tom, že ekvivalentní úpravy volíme tak, abychom 

matici soustavy převedli na tzv. trojúhelníkový tvar. Pod hlavní úhlopříčkou matice tak 

vzniknou samé nuly. V tomto konkrétním případě postupujeme tak, že od druhého řádku 

odečteme dvojnásobek prvního řádku, od třetího řádku odečteme trojnásobek prvního řádku a 

od čtvrtého řádku odečteme čtyřnásobek prvního řádku. 

1 1 

 

0 5 

0 2 

0 5 

1 1 10 

1 

2 

1 

 

17 

 

4 26 

5 5 45 

Třetí řádek vydělíme číslem 2 a čtvrtý řádek číslem 5. 

1 1 

 

0 5 

0 1 

0 1 

1 1 10 

1 

1 

1 

 

17 

 

2 13 

1 1 9 

Třetí řádek a čtvrtý řádek postupně vynásobíme číslem 5 a přičteme k nim druhý řádek. 

1 1 

 

0 5 

0 0 

0 0 

1 1 10 

1 

4 

1 

 

17 

 

9 48 

4 4 28 

Čtvrtý řádek vynásobíme číslem 1 a přičteme k němu třetí řádek.


1 1 

 

0 5 

0 0 

0 0 

1 1 10 

1 

4 

1 

 

17 

 

9 48 

0 5 20 

Tím je matice soustavy převedena na trojúhelníkový tvar a nyní se vrátíme k původnímu 

zápisu soustavy. 

10 

5 17 

4 9 48 

5 20 

Poslední rovnici vydělíme pěti a dostáváme 4. Dosazením do třetí rovnice dostáváme: 

Nyní dosadíme do druhé rovnice soustavy: 

4 9 · 4 48| 36 

4 12|:4 

3 

5 3 4 17| 7 

5 10|: 5 

2 

A nakonec dosadíme do první rovnice soustavy: 

23410| 9 

1 

Řešením této soustavy je tedy uspořádaná čtveřice 1; 2; 3; 4. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1; 2; 3; 4



6 

38 

2 2 2 

25 

[ 2; 0; 3; 1] 


[ 1; 1; 1; 1] 

2 

341 

21 

521 


[ 0; 1; 2; 3] 

0 

2415 

3 2 3 

4 3 2 2 


[ 0; 0; 0; 1] 

1 

244 

3 2 1 

4 3 2 1 




kvadratické 

Varianta C 

Řešte soustavu rovnic: 

25 

1 

Příklad: 

U soustavy rovnice lineární a kvadratické zpravidla používáme dosazovací metodu. Z lineární 

rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosazením do druhé rovnice dostaneme kvadratickou 

rovnici s jednou neznámou. Z druhé rovnice tedy vyjádříme y a dosadíme do první rovnice: 

1 

1 25 

Vzniklou rovnici postupně upravujeme: 

12 25| 25 

2 2240|:2 

120 

Dostali jsme tak kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce. 

, √ 4 

2 

, 1 1 4·1·12 

2·1 

, 

1√1 48 

2 

, 1√49 

2 

, 17 

2 

4; 3 

Nyní dosadíme oba dva výsledky postupně do rovnice pro vyjádření neznámé y z lineární 

rovnice. 

143 

13 4

Řešením dané soustavy jsou tedy dvě uspořádané dvojice 4; 3 a 3; 4. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


9) Řešte soustavu rovnic: 

[ 6; 2; 2; 2] 


[ 2; 2; 2; 2] 


[ 5; 2; 5; 2] 


[ 3; 3] 


4; 3; 3; 4 

1 2 25 

22 

2 8816 

0 

5 45 

2 5 0 

18 

6 



Soustavy lineárních nerovnic 


Soustava lineárních nerovnic je tvořena větším počtem lineárních nerovnic s jednou 

neznámou. 

Definice: 

Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: 

kde , . 

a) 0, 

b) 0, 

c) 0, 

d) 0, 





Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné! 

Soustavu lineárních nerovnic zpravidla řešíme tak, že každou nerovnici vyřešíme zvlášť a 

řešení celé soustavy pak určíme jako průnik všech dílčích řešení jednotlivých nerovnic


Varianta A 

Řešte soustavu lineárních nerovnic: 

Příklad: 

2 1 7 

5 2 4 

2 1 7| 1 

2 8|:2 

4 

5 2 4| 2 

5 6|:5 

6 

5 


Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru 4; ∞ a řešení druhé nerovnice ve 

tvaru ∞; 

. Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 

 

∞; 6 

6 

4; ∞ 4; 

5 5 

Řešením této soustavy je tedy interval 4; 

. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 

4; 6 

5 

Výsledek řešení:



1) Řešte soustavu lineárních nerovnic: 

[NŘ] 


[ ∞; 6] 


[ 2; 

] 


[ 

;∞] 

17 

5 2 7 

17 

2 2 14 

3 1 7 

6 2 15 

2 3 2 

6 3 2


Varianta B 


Příklad: 

2 2 16 

5218 

2 2 16 | 2 

3 14|:3 

14 

3 

5218| 2 

4 20|:4 

5 


Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru 

;∞ a řešení druhé nerovnice ve 

tvaru ∞; 5. Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 

∞; 5 14 

;∞ 14 

3 3 ;5 

Řešením této soustavy je tedy interval 

;5. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


14 

3 ;5




[NŘ] 


[ ∞; 

] 


[ 

; 

] 


[ ∞; 

] 

11 

529 

27 

2 4 14 

327 

6 4 15 

2 3 2 2 

632


Varianta C 


Příklad: 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

3 3 

2 1 

3 

2 

3 

1 

3| ·6 

3 2 2 2 18 

362418 

2 

2 

5 2 18| 2 

5 16|:5 

16 

5 

2 1 

3 

1| ·6 

3 2 22 1 6 

36426 

7 8 6| 8 

7 14|:7 

2 





∞; 2 16 

;∞ 5 

Řešením této soustavy je prázdná množina, soustava nemá řešení.


Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



[ ∞; 

] 

 

 

 


 

 

 

[ 

; 

] 


[ 

;∞] 

 

 

 


[ 

] 


Řešením této soustavy je prázdná množina, soustava nemá řešení. 

 

 

 

 

18 

 

6 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

1

Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 



Lineární nerovnicí v součinovém nebo podílovém tvaru s neznámou x nazýváme každou 

nerovnici, ve které je v součinu nebo v podílu jeden nebo více lineárních dvojčlenů. 

Lineární nerovnicí v součinovém nebo podílovém tvaru dále nazýváme každou nerovnici, 

kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. 

Při řešení tohoto typu rovnic používáme buď metodu převodu dané rovnice na řešení soustavy 

nerovnic (zpravidla v případě, kdy se v nerovnici vyskytují v součinu nebo podílu pouze dva 

lineární dvojčleny), anebo metodu nulových bodů (v případě většího počtu lineárních 

dvojčlenů).



Varianta A 

Řešte nerovnici 2 1 5 0. 

Příklad: 

Na levé straně nerovnice je součin dvou výrazů, který je podle zadání nezáporný. Součin dvou 

výrazů je ale nezáporný pouze ve dvou případech: 

a) oba výrazy jsou současně nezáporné, 

b) oba výrazy jsou současně nekladné. 

Tuto skutečnost můžeme matematicky zapsat takto: 

a) 

Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. 

| 

|: 

 

 

| 

 



tvaru 5; ∞. Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 

1 

;∞ 5; ∞ 1 

2 2 ;∞ 

Řešením této soustavy je tedy interval 

;∞. 

b)


| 

|: 

 

 

| 

 


Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru ∞; 

a řešení druhé nerovnice ve 


∞; 1 

∞; 5 ∞; 5 

2 

Řešením této soustavy je tedy interval ∞; 5. 

Řešením původní nerovnice je pak sjednocení výsledků z obou dílčích částí, tedy: 

∞; 5 1 

2 ;∞ 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



∞; 5 1 

2 ;∞ 

1) Řešte rovnici 1 4 0. [ 4; 1] 

2) Řešte rovnici 3 1 1 0. [ ∞; 1 

;∞] 

3) Řešte rovnici 10 1 0. [ 1; 10] 

4) Řešte rovnici 15 1 0. [ ∞; 1 

;∞]



Varianta B 

Řešte nerovnici 

0. 

Příklad: 

Na levé straně nerovnice je podíl dvou výrazů, který je podle zadání nezáporný. Podíl dvou 

výrazů je ale nezáporný pouze ve dvou případech: 

a) čitatel je nezáporný, jmenovatel je kladný, 

b) čitatel je nekladný, jmenovatel je záporný. 

Tuto skutečnost můžeme matematicky zapsat takto: 

a) 0 


| 

 

| 

3 

Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru 2; ∞ a řešení druhé nerovnice ve 

tvaru 3; ∞. Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 

2; ∞ 3; ∞ 2; ∞ 

Řešením této soustavy je tedy interval 2; ∞. 

b) 0 


| 

 

| 

3 

Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru ∞; 2 a řešení druhé nerovnice ve 


∞; 2 ∞; 3 ∞; 3 

Řešením této soustavy je tedy interval ∞; 3.


Řešením původní nerovnice je pak sjednocení výsledků z obou dílčích částí, tedy: 

∞; 3 2; ∞ 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



0. 

 

[∞; 3 

;∞] 


0. 

 

[ 

;1] 


0. 

 

[∞; 5 3; ∞] 


 


∞; 3 2; ∞ 

0. [ 

;2]



Varianta C 


 

0. 

Příklad: 

Vyskytuje-li se v nerovnici větší počet lineárních dvojčlenů, jeví se jako výhodnější metoda 

nulových bodů. Tato metoda spočívá v tom, že celou množinu reálných čísel rozdělíme na 

intervaly pomocí nulových bodů všech lineárních dvojčlenů. Přitom ještě dáváme pozor, které 

nulové body „pochází“ ze jmenovatele (u těchto nulových bodů bude vždy otevřený interval), 

a které z čitatele. U nulových bodů z čitatele bude v případě neostré nerovnosti uzavřený 

interval a v případě ostré nerovnosti otevřený interval. V každém takovém intervalu určíme 

znaménko jednotlivých lineárních dvojčlenů a také výsledné znaménko (podle toho, zda 

celkový počet záporných znamének je sudý nebo lichý). 

NB: ; ; 

∞; ; ; ; ∞ 

· 

 

· 

 

· 

 

· 

 

 

Původní výraz v nerovnici má být nezáporný, řešení nerovnice tedy vyhovují intervaly ze 

druhého a čtvrtého sloupce. 

Řešení nerovnice tedy zapíšeme jako sjednocení intervalů z uvedených sloupců, tedy: 

; ; ∞. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


; ; ∞



 


 


0. [ ;; 

∞] 

 

0. [ ∞; ; ] 


0. [ ∞; ; ; ∞] 

 


0. [ ; ; ]


Lineární rovnice a nerovnice s parametrem 



V lineární rovnici resp. nerovnici se kromě neznámé x vyskytuje ještě tzv. parametr. Jedná se 

tak vlastně o zápis většího množství rovnic (nerovnic), neboť pro různé hodnoty parametru se 

jedná o různé rovnice (nerovnice). Vyřešit takovou rovnici (nerovnici) s parametrem znamená 

vyřešit tyto rovnice, tedy stanovit množiny všech řešení v závislosti na hodnotě parametru.


Varianta A 

Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 

Příklad: 

1 2 


Za předpokladu, že platí 0;1, je koeficient u neznámé x na levé straně různý od nuly. 

Rovnice pak má jedno řešení, které určíme následující ekvivalentní úpravou: 

1 2|:1 

2 2 

 

1 1 

Pro hodnoty parametru 0 a 1 musíme danou rovnici vyřešit zvlášť. 

a) 0 

0·1 0 ·2·0 

0·0 

Řešením takové rovnice je libovolné reálné číslo x. 

b) 1 

1·1 1 ·2·1 

0·2 

Tato rovnice nemá žádné řešení. 

Získané výsledky zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky: 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 

a Množina řešení 

0 

1 

0;1 2 

1 



0 

1 

0;1 2 

1



1) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 5 3 2 


5 

5 

5 3 

5 

2) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 545 


4 

4 

3) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 

4 5 

4 

 

1 


1 

1 

0; 

1; 

1 

4) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 

2 

1 

 

 

 

 


1 

2 

1 

2 

2; 2 

0


Varianta B 

Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 

690 


Příklad: 

Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou lze pro větší přehlednost zapsat takto: 

6 9 0 

Rovnici řešíme dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice. 

, 6 6 4·1· 9 

2·1 

, 

, 

636 4 9 

2 

6√36 4 36 

2 

, 6√4 

2 

, 

64 · 

2 

, 62√ 

2 

, 2·3√ 

2 

, 3√ 

Řešitelnost kvadratické rovnice závisí na hodnotě diskriminantu. 

a) 0… rovnice má dvě řešení 

0|: 1 

0 

b) 0… rovnice má jeden dvojnásobný kořen 

0|: 1 

0


c) 0… rovnice nemá řešení 

0|: 1 

0 


Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


∞; 0 , 3√ 

0 3 

0; ∞ 


5) Určete, pro které hodnoty reálného parametru a má rovnice 

řešení v oboru reálných čísel. 

[ 8; ∞] 

2 4 60 

6) Určete, pro které hodnoty reálného parametru b má rovnice 

1 2 1 20 

řešení v oboru reálných čísel. 

[ 

;∞] 



∞; 0 , 3√ 

0 3 

0; ∞

7) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem m: 

2 22 20 

m Množina řešení 

2 2 

8) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem c: 

2 ; 2 

2 

2 1 50 

c Množina řešení 

0 5 

2 

1 

3 

1 

;0 0; ∞ 

3 


4; dvojnásobný 

kořen 

, √ 

; dva 

 

různé reálné kořeny 

∞; 1 

 

3



Varianta C 

Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem a: 

Příklad: 

Na levé straně nerovnice nejdříve vytkneme x. 

2 3 

2 3 

Za předpokladu, že platí 2, je koeficient u neznámé x na levé straně různý od nuly. 

Pokud je ∞; 2, je koeficient u neznámé x na levé straně nerovnice záporný a po 

vydělení nerovnice tímto koeficientem musíme změnit znaménko nerovnosti v opačné, tedy: 

3 

2 

Řešením je tedy interval 

;∞. 

Pokud je 2; ∞, je koeficient u neznámé x na levé straně nerovnice kladný a po 

vydělení nerovnice tímto koeficientem dostáváme: 

3 

2 

Řešením je tedy interval ∞; 

. 

Pro hodnotu parametru 2 musíme danou nerovnici vyřešit zvlášť. 

·2 2 32 

·05 

Řešením takové nerovnice je libovolné reálné číslo x. 



2 

∞; 2 3 

2 ;∞ 

2; ∞ ∞; 3 

2

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 



9) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem m: 


2 

∞; 2 3 

2 ;∞ 

2; ∞ ∞; 3 

2 

 

 

 

 

 

m Množina řešení 

0 Nerovnice nemá smysl. 

0; ∞ ∞; 2 

2; 0 2;∞ 

∞; 2 ∞; 2 

2 

10) Řešte nerovnici s neznámou x a kladným parametrem k: 

2 2 

k Množina řešení 

2 

2; ∞ 1 

;∞ 

0; 2 ∞; 1 

 



11) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem 0: 

 

 

 

 

1 

p Množina řešení 

1 

1; 0 0; ∞ 2 ;∞ 

∞; 1 ∞; 2 

12) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem a: 

 

1 


3 3 

∞; 3 ; ∞ 

3; ∞ ∞;

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?