1 Osnove trigonometrije

1 Osnove trigonometrije
V tem poglavju se bo bralec nauµcil:
uporabljati kotne funkcije
reševati trikotnike s pomoµcjo sinusnega in kosinusnega izreka
Privzeli bomo, da bralec (po)zna:
rešiti linearno in kvadratno enaµcbo:
ax + b = 0 ) x = b
; a 6= 0 (1)
a
ax 2 + bx + c = 0 ) x1;2 = b p b2 4ac
; a 6= 0 (2)
2a
formulo za izraµcun plošµcine pravokotnika, (pravokotnega) trikotnika in
trapeza:
pl = osnovnica višina / 2 za poljuben trikotnik
pl = 1. stranica 2. stranica
pl = 1. kateta 2. kateta / 2 za pravokotni trikotnik
pltrapeza = srednjica višina
de…nicijo ’kóta’; loµcne stopinje in radiane
360 polni kót (loµcne stopinje)
2 rd polni kót v radianih
360 = 2 rd
vsota notranjih kótov (ravninskega) trikotnika znaša 180 :
+ + = 180
pretvarjati loµcne sekunde v minute in minute v stopinje:
60 00 = 1 0
Povezava z drugimi predmeti in poglavji:
Geodezija,
Mehanika,
Vektorji.
1
in 60 0 = 1

1.1 Uvod
Zaµceli bomo v 6. st. pr. Kr., ko je µzivel Pitagora (µceprav so baje njegov sloviti
izrek µze veliko prej poznali Babilonci). Brµz, ko imamo tri toµcke lahko govorimo o
trikotnikih in kotih. Med vsemi kóti se najbolj odlikuje ravno ’pravi’kót (Slika
1.1). To je kót 90 (loµcnih stopinj) ali 2 radianov.
Slika 1.1.
Sloviti Pitagorov izrek govori natanko o pravokotnik trikotnikih, kar pomeni,
da je en notranji kót ’pravi’. Pravokotni trikotnik (glej Sliko 1.2) ima hipotenuzo
c ter dve kateti a in b. Po Pitagovovem izreku je
a 2 + b 2 = c 2 : (3)
Dokazi so številni. Poglejmo si ponazoritev na Sliki 1.3. Trapez ABCD;
katerega plošµcina je enaka produktu srednjice in višine: 1
2 (a + b) (b + a) ; je sestavljen
iz treh pravokotnih trikotnikov, katerih plošµcine znašajo: 1 1 1
2ab+ 2ab+ 2c2 .
Kót pri toµcki T je pravi, saj skupaj z ostrima kótoma svetlo-sivega pravokotnega
trikotnika tvori iztegnjen kót. Bralec naj sam preveri, da po enaµcenju plošµcin
takoj sledi formula (3).
Slika 1.2.
Slika 1.3.
V nadaljevanju bomo uporabljali kotne funkcije. Ugotovitev, da je za vse
podobne pravokotne trikotnike razmerje med kótu nasprotno kateto b in hipotenuzo
2

c enako (glej Sliko 1.4) je vodilo k de…niciji funkcije kóta, ki ji pravimo ’sinus
kota’
b
c
b0 b00
= = = sin :
c0 1
Slika 1.4. Slika 1.5.
Podobno de…niramo kótni (trigonometrijski) funkciji kosinus in tangens kot
kvocient med prileµzno kateto in hipotenuzo oziroma kot razmerje med nasprotno
in prileµzno kaketo:
sin = b a b sin
, cos = , tan = =
c c a cos
Zaradi praktiµcnosti lahko opazujemo samo tiste pravokotne trikotnike, katerih
hipotenuza je dolga 1. Opazujemo torej kóte v enotski kroµznici, kjer lahko prej
omenjene de…nicije funkcij sin, cos in tan razširimo tudi na kóte, ki so veµcji od
90 . S Slike 1.5 je na primer razvidno, da je:
sin ( ) = sin in cos ( ) = cos .
Veµc o tem lahko poišµcešv vsakem boljšem SŠ uµcbeniku. Tako dobimo periodiµcne
funkcije, ki so prikazane na spodnjih slikah:
y
1
0
­1
2 4 6
Graf funkcije sinus na [0; 2 ].
3
y
1
0
­1
:
8 10 12
Graf funkcije sinus na [2 ; 4 ].

y
1
0
­1
2 4 6
Graf funkcije kosinus na [0; 2 ].
y
5
­2 2
­5
Graf funkcije tangens na 2 ; 2 .
y
1
0
­1
14 16 18
Graf funkcije kosinus na [4 ; 6 ].
y
5
­8 ­6 ­4 ­2 2 4 6 8
­5
Graf f. tangens na
Na zadnjih dveh slikah je najprej tangens na intervalu 2 ; 2
periodi, potem pa še na širšem intervalu
5
2
; 5
2
5 5
2 ; 2 .
; torej na eni
. Vidimo, da se leva slika na
vsakih 2 2 = znova pojavlja v desni; za poljuben realen x (in poljubno
celo število k). Torej za funkcijo f (x) = tan x velja:
tan (x) = tan (x + k ) za vsak x:
Takšne funkcije imenujemo periodiµcne. Sam(a) premisli (v pomoµc naj ti bosta
tudi sliki 1.5 in 1.15), da sta funkciji sinus in kosinus periodiµcni s periodo 2
sin (x) = sin (x + 2k ) in cos (x) = cos (x + 2k ) .
Iz treh podatkov (glej spodnji dve sliki): stranica-stranica-kót (SSK) ali
stranica-kót-stranica (SKS) ali stranica-stranica-stranica (SSS) ali kót-kót-stranica
(KKS) ali kót-stranica-kót (KSK) lahko doloµcimo vse manjkajoµce kóte in stranice.
Vsi primeri, razen SSK imajo enoliµcno rešitev. Izraµcunavanje manjkajoµcih
kótov in/ali stranic imenujemo reševanje trikotnika.
4

Slika 1.6. Slika 1.7.
Pri reševanju trikotnika si lahko pomagamo z dvema izrekoma: Sinusnim in
Kosinusnim izrekom. Oba sta opisana spodaj. Na Sliki 1.6 so prikazani primeri
trikotnikov, kjer lahko uporabimo Sinusni izrek, na Sliki 1.7 pa so prikazani
primeri, kjer lahko uporabimo Kosinusni izrek.
Sinusni izrek. V vsakem trikotniku je razmerje med stranicami in sinusi
stranicam nasprotnih kotov konstantno:
a
sin
= b
sin
= c
sin ;
kar je razvidno iz Slike 1.8. Višina h na stranico AB razdeli trikotnik ABC na
dva pravokotna trikotnika: svetlo-siv AMC in temno-siv MBC. Iz AMC
sledi h = b sin ; iz MBC pa sledi h = a sin . Iz primerjave h = h sledi:
a = sin = b = sin . Preostanek sinusnega izreka dobimo, µce trikotnik ABC
razdelimo glede na višino e (glej Sliko 1.8).
5

Slika 1.8. Slika 1.9.
Kosinusni izrek. V poljubnem trikotniku je kvadrat stranice enak vsoti
kvadratov preostalih dveh stranic, zmanjšani za dvakratni produkt preostalih
dveh stranic in kosinusom stranici nasprotnega kota (glej Sliko 1.9). Torej:
b 2 = a 2 + c 2
a 2 = b 2 + c 2
c 2 = a 2 + b 2
2ac cos
2bc cos
2ab cos :
Dokaz. Dovolj je, da dokaµzemo eno (prvo) od zgornjih formul. V ta namen
bomo trikotnik ABC z višino h spet razdelili na dva pravokotna trikotnika.
Iz svetlo-sivega trikotnika po Pitagorovem izreku sledi:
b 2 = (c m) 2 + h 2 ) b 2 = c 2
2cm + m 2 + h 2 :
Upoštevajoµc enakosti m 2 = a 2 h 2 in m = a cos , ki sledita iz temno-sivega
trikotnika, sledi
b 2 = c 2
+
b 2 = a 2 + c 2
2c (a cos ) + a 2
2ac cos :
h 2 + h 2
V naslednjih zgledih bomo uporabljali (standardne) oznake v trikotniku
(glej Sliko 1.10.). Pri pravoktnih trikotnikih pa bosta kateti iznaµceni z a in
b, hipotenuza pa s c (tako, da bo po dogovoru kot enak 2 oz. 90 ).
6

Slika 1.10. Slika 1.11.
Za popolno obravnavo kotnih funkcij nam manjkajo le še tako imenovani
adicijski izreki oziroma formule. Pomagali si bomo s Sliko 1.12. Plošµcina (manjšega)
trikotnika je enaka 1
2b a sin ( ). Oµcitno je ta plošµcina po drugi
strani enaka razliki (plošµcin veµcjih - pravokotnih trikotnikov): 1
2b sin a cos
a sin b cos . Od tod sledi:
1
2
sin ( ) = sin cos sin cos . (4)
Slika 1.12.
Nekatere posledice zgornje enaµcbe, kot sta na primer identiteti
sin 2 = 2 sin cos in cos 2 = cos 2
bomo ’pridelali’v nalogah, ki sledijo na koncu poglavja.
1.2 Zgledi
sin 2
1.2.1 Pravokotni trikotniki (kotne funkcije in Pitagorov izrek)
Zgled 1. Izraµcunaj dolµzino hipotenuze, µce sta kateti pravokotnega trikotnika
dolgi 3 in 6.
Rešitev. Po Pitagorovem izreku je
c = p 3 2 + 6 2 = 3 p 5 6: 708
Zgled 2. V pravokotnem trikotniku je hipotenuza dolga 10, kateta a pa
meri 3 dolµzinske enote. Reši trikotnik. Kóta in podaj v loµcnih stopinjah do
sekunde natanµcno.
7
;

Rešitev. Druga kateta meri:
b = p 10 2 3 2 = p 91 9: 54
dolµzinske enote. Pri izraµcunu kótov in uporabimo de…nicije kotnih funkcij::
sin = 3
3
) = arcsin
10 10 = 17: 457 = 17 27025 00 :
Minute in sekunde izraµcunamo takole: ker je 0:457 60 = 27: 42, vzamemo 270 .
Ker je 0:42 60 = 25: 2; vzamemo 2500 .
Kot lahko izraµcunamo iz enaµcbe cos = 3
10 (poskusi sam(a)) ali pa iz
enaµcbe + + = 180 ; od koder sledi:
= 180 90 17:457 = 72 32 0 38 00 :
Zgled 3. V pravokotnem trikotniku sta podani kateti: a = 3 in b = 7.
Izraµcunaj kóta in . Rezultat podaj v radianih do tisoµcinke natanµcno.
Rešitev. Uporabimo de…nicijo tangensa:
tan = 3
3
) = arctan
7 7
0: 405 rd.
Kot lahko izraµcunamo iz tan = 7
3 ali pa spet upoštevamo, da je v pravokotnem
trikotniku + = 2 :
= 2
1.2.2 Uporaba Sinusnega izreka
0:405 1: 166 rd.
Zgled 4 (KKS). V trikotniku ABC je podana stranica b = 10 in kóta
= 30 in = 43 . Reši trikotnik (t.j. izraµcunaj vrednosti ostalih kótov in
stranice).
Rešitev. Uporabimo Sinusni izrek:
10
sin 43 =
a
sin 30
Za izraµcun stranice c najprej izraµcunamo
=) a 7: 33:
= 180 30 43 = 107 ;
nato pa še enkrat uporabimo Sinusni izrek:
10
sin 43 =
c
sin 107
=) c 14: 02
Zgled 5 (KSK). V trikotniku ABC je podana stranica c = 8 in kóta
= 23 in = 64 . Reši trikotnik.
8

Iz
sledi
Rešitev. Preden lahko sploh uporabimo Sinusni izrek, izraµcunamo kót :
8
sin 93 =
= 180 23 64 = 93 :
a
sin 23 oz.
8
sin 93 =
a 3:13 oz. b 7:20.
b
sin 64
Primer, ko sta v trikotniku podani dve stranici in kót, ki ne leµzi med njima
(SSK) je edini primer, kjer lahko obstajata dve rešitvi. V takem primeru na
nek naµcin izberemo (doloµcimo) iskano rešitev: recimo s pomoµcjo plošµcine, kot v
naslednjem zgledu, ali pa s kakšnim drugim zgledom.
Zgled 6 (SSK). V trikotniku ABC sta podani stranica b = 10, c = 16
in kót = 30 . Reši trikotnik tako, da boš izmed obeh moµznih rešitev izbral(a)
tisto, ki da manjšo plošµcino.
Rešitev. Najprej uporabimo Sinusni izrek:
10
sin 30
= 16
sin
) = arcsin 4
5
53: 13
126:87
Opomba. Kalkulator pri funkciji arcsin vedno vrne kót, ki je manjši od
90 = 2 1:6rd; torej kót 53:13 . Toda enaµcba sin x = m < 1 ima na intervalu
(vseh moµznih kotov trikotnika) (0; ) dve rešitvi, saj velja
sin x = sin (180 x) :
Zato je ustrezna rešitev (zgornje) enaµcbe sin = 4
5tudi kót
kar vidimo tudi iz Slike 1.13.
y
1
­4 ­2 0 2 4
Slika 1.13. Enaµcba sin x = m:
180 53:13 = 126:87 = 2: 21rd;
x
y
1
­4 ­2 2 4
­1
Slika 1.14. Enaµcba cos x = m:
Oba kóta: 53:13 in 126:87 sta namreµc primerna kandidata, saj je za oba
izpolnjeno:
< 180 in + < 180:
9
:
x

Iz skice (glej tudi Sliko 1.11.) je razvidno, da ima manjšo plošµcino trikotnik
z veµcjim kotom . Zato izberemo := 126:87 .
Nato uporabimo zvezo + + = 180 , da izraµcunamo:
= 180 30 126:87 23: 13 :
Za izraµcun stranice a spet uporabimo Sinusni izrek:
a 10
=
sin (23:13 ) sin 30
1.2.3 Uporaba Kosinusnaga izreka
=) a 7: 86:
Ker primer SSK lahko rešimo tudi s pomoµcjo Kosinusnega izreka, nadaljujmo
z istim zgledom.
Zgled 7 (SSK). V trikotniku ABC sta podani stranica b = 10, c = 16
in kót = 30 . Reši trikotnik tako, da boš izmed obeh moµznih rešitev izbral(a)
tisto, ki da manjšo plošµcino. Uporabi Kosinusni izrek.
Rešitev. Iz Kosinusnega izreka sledi kvadratna enaµcba za a:
Njeni rešitvi sta:
10 2 = a 2 + 16 2
a = 8 p 3 6:
2 16 a cos 30 :
Ker išµcemo trikotnik z manjšo plošµcino, izberemo a = 8 p 3 6 7: 86.
Nadaljevanje je enako kot v prejšnjem zgledu.
Opomba. Kvadratno enaµcbo 10 2 = a 2 + 16 2 2 (cos 30 ) 16 a rešimo po
formuli (1). (Namesto a pišemo x.) Po preoblikovanju dobimo enaµcbo
x 2
16 p 3x + 156 = 0
od koder je razvidno, da so koe…cienti a; b in c iz (1) takšni:
a = 1; b = 2 16
r
3
4 = 16p3 27: 713, c = 156:
Zgled 8 (SKS). V trikotniku ABC sta podani stranici a = 6 in b = 11
ter kót = 52 . Reši trikotnik.
Rešitev. Uporabimo Kosinusni izrek, da izraµcunamo stranico c :
c 2 = 6 2 + 11 2
Naprej gre laµzje z uporabo Sinusnega izreka:
8:70
sin 52
2 6 11 cos 52 ) c p 75: 73 8: 70:
= 6
sin
) 32: 92
Opomba. Druga rešitev enaµcbe sin = 0: 543 je 180 32:92 = 147: 08 in ne
zadošµca pogoju + < 180 . Vidimo, da v tem primeru ni moµzna dvojna
rešitev. Edini primer, ko je moµzna dvojna rešitev je torej primer SSK.
10

Kót izraµcunamo iz zveze + + = 180 :
= 180 32:92 52 = 95:08 :
Zgled 9 (SKS). V trikotniku ABC so podane stranice a = 6; b = 11 in
c = 15. Reši trikotnik.
Rešitev. Pri izraµcunu kótov uporabimo Kosinusni izrek:
15 2 = 6 2 + 11 2
11 2 = 6 2 + 15 2
S kalkulatorjem izraµcunamo (glej tudi Sliko 1.14):
= arccos
= arccos
2 6 11 cos ) cos = 17
33
2 6 15 cos ) cos = 7
9
17
33
7
9
121: 01 2: 11 rd
38: 94 0: 68 rd
iz zveze + + = 180 sedaj sledi: 20: 05 .
1.3 Naloge
1. z V kakšni zvezi sta Kosinusni izrek in Pitagorov izrek? (Rešitev: Pitagorov
izrek je posledica Kosinusnega za = 90 ).
2. z Iz Pitagorovega izreka izpelji osnovno identiteto kroµznih funkcij
sin 2 + cos 2 = 1 (za vsak ).
(Rešitev: enaµcbo a2 + b2 = c2 delimo s c2 in upoštevamo, da je a
c
in b
c = cos ).
= sin
3. z Koliko podatkov potrebujemo, da lahko razrešimo pravokotni trikotnik?
Glej zgornje zglede! (Rešitev: poleg tega, da je = 90 še dva).
4. z Iz katere od zgornjih slik je razvidno, da je
sin = cos (90 ) in cos = sin (90 ) :
(Rešitev: iz Slike 1.2 ali 1.10, µce je = 90 ).
5. z Nariši sliko (podobno kot je Slika 1.5.) iz katere bi razbral(a), da je
sin ( ) = sin in cos ( ) = cos :
Opomba. Za funkciji sinus oz. kosinus to pomeni: sinus je liha, kosinus
pa soda funkcija.
11

(Rešitev: Glej sliko 1.15.)
Slika 1.15. Slika 1.16.
6. z Dve vzporednici p in q preseka tretja premica t. Oznaµci skladne (enake)
kóte. (Rešitev: Glej sliko 1.16.)
7. z Dokaµzi, da je vsota notranjih kótov v trikotniku enaka 180 . (Rešitev:
Glej sliko 1.17. Skozi toµcko C konstruiramo vzporednico glede na stranico
AB. Kóta in se zato pojavita pri toµcki C tako, da skupaj z tvorijo
iztegnjeni kót.)
8. z Kolikšna je vsota notranjih kótov v štirikotniku? (Rešitev: Vsota kótov
je 360 , saj lahko vsak štirikotnik razdelimo na dva trikotnika: in 0
(glej sliko 1.18); tako je vsota notranjih kótov v štirikotniku enaka: +
+ + 0 + 0 + 0 = 180 + 180 = 360 .)
Slika 1.17.
Slika 1.18.
9. F V trapezu na Sliki 1.19. izraµcunaj diagonalo AC; višino DD0 ter stranico
AD. (Rešitev: AD0 =
3 2
2
AC = p 2 2 + 1:74 2 4 1:74 cos 117 3: 19.)
= 1
2 . DD0 = 2 arctan 63 . AD 1: 74.
10. F Izraµcunaj višino v in kót , ki sta na Sliki 1.20. oznaµcena z vprašajem.
= 36: 87 .)
Podatke rezberi s slike. (Rešitev: v = 3
2 , = arccos 2 5
2
12

Slika 1.19. Slika 1.20.
11. F V trikotniku ABC sta podani stranica b = 10, c = 16 in kót = 30 .
Reši trikotnik tako, da boš izmed obeh moµznih rešitev izbral(a) tisto z
veµcjo plošµcino. (Rešitev: a = 19: 86, = 53:13 ).
12. F Reši trikotnik, µce je a = 10, = 54 in = 12 . (Rešitev: = 114 ,
c = 2: 28 b = 8: 86.)
13. F Reši trikotnik, µce je a = 12, b = c = 8. (Rešitev: = = 41: 41 ,
= 97:18 .
14. F Reši trikotnik, µce je a = 5, b = 3 in = 60 . Ali je rešitev enoliµcna?
(Rešitev: = 31: 31 , = 88: 69 , c = 5: 77; je enoliµcna, saj za = 148:
69 vsota + + preseµze 180 .)
15. F Reši trikotnik, µce je c = 6, = 30 in = 69 . (Rešitev: = 81 , b =
3: 21; a = 6: 35.)
16. F Reši trikotnik, µce je b = 9, a = 8 in = 65 . (Rešitev: c = 9: 17,
= 62: 81 , = 52: 19 .)
17. F Oµce in sin sta bila radovedna, koliko je visoka stavba pred njima. V
ta namen sta se postavila kot kaµze Slika 1.21; tako, da je sin, ki je stal 1
meter od oµceta, mimo oµceta, ki je stal 40 metrov od stavbe, videl natanko
vrh zgradbe. Izraµcunaj višino stavbe, µce veš, da je oµce visok 180, sin pa
110 cm. (Rešitev: h = 28: 7 + 1:1 = 29: 8 m.)
18. F Reši enaµcbo sin 2 + 3 sin cos 5 cos2 = 0 na intervalu [0; 2 ).
Namig: uvedi novo spremenljivko x = tan .
(Rešitev: Rešitvi enaµcbe x2 + 3x 5 = 0 sta: x1 = 3
p
1
2 + 2 29 1: 19
in x2 = 3
p
1
2 2 29 4: 19. Izraµcun kótov: arctan (1: 19) = 49: 96 ,
arctan ( 4:19) = 76: 57 ) 2 = 180 76:57 = 103: 43
13

19. z Dokaµzi, da je
(i) sin (x + y) = sin x cos y cos x sin y
(ii) cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y
(iii) sin 2x = 2 sin x cos x
(iv) cos 2x = cos 2 x sin 2 x
Namig: Uporabi formulo (4) ter zveze sin ( x) = sin x, cos ( x) = cos x
in sin 2 x = cos x ter cos 2 x = sin x:
(Rešitve:
(i) v (4) vstavimo = x in = y ter upoštevamo cos ( y) = cos y
(ii) sledi iz (4) in cos = sin (90 ):
cos (x + y) = sin (90 (x + y))
(iii) sledi iz (i) za x = y
(iv) sledi iz (ii) za x = y.)
= sin ((90 x) y)
= sin (90 x) cos y cos (90 x) sin y
= cos x cos y sin x sin y
20. F Pogled na kote v enotski kroµznici razkriva, da vsakemu kotu med 0 in
360 ustreza natanko en kroµzni izsek, temu pa natanµcno doloµcena dolµzina
loka (glej Sliko 1.22). Enote s katerimi merimo kót glede na loµcno dolµzino
imenujemo radiani (rd). En radian je (Slika 1.22) kót, ki ustreza izseku
z loµcno dolµzino enega polmera (radija). Vemo, da polnemu kótu 360
ustreza 2 radianov. Izraµcunaj koliko stopinj je 1 rd. (Rešitev: 1 rd 57:
29 :)
Slika 1.21. Slika 1.22.
14