Rešene naloge iz numerične matematike

More documents

Recommendations

Info

Predgovor Zbirka nalog, ki je pred vami, je nastala iz gradiva, ki sva ga pripravila pri izvajanju predmeta Numerične metode na NTF v študijskem letu 2009/2010 in na podlagi izkušenj, ki sva jih pridobila pri izvajanju raznovrstnih drugih predmetov. Ker dosedaj ni bilo primerne zbirke nalog iz numeričnih metod, so študenti pogrešali naloge, s katerimi bi si pomagali pri pripravah na kolokvije in izpite. To je posebej važno na študijskih smereh, kjer je matematičnih predmetov relativno malo. Namen te zbirke je preprost. Obravnavana so osnovna področja numerične matematike, pri vsakem so na kratko ponovljeni osnovni teoretični rezultati, nato pa se začnejo naloge. Za razliko od podobnih zbirk ne napiševa samo idej reševanja in končnega rezultata, ampak rešitev detajlno razdelava. Tako lahko študent/ka nalogo reši samostojno, in nato primerja rešitvi korak za korakom. Nekaj nalog zahteva preizkus numeričnih metod z računalnikom. Tu sva se odločila za brezplačen program Octave, ki je kompatibilen z Matlabom. Programe, ki so nastali pri pisanju zbirke, lahko bralec/bralka najde na spletni strani zbirke, opisani pa so tudi v enem od zaključnih razdelkov. Zbirka je namenjena predvsem študentom/študentkam, ki poslušajo predmete numerične matematike na smereh, kjer je matematike nekoliko manj, ter študentom praktične matematike. Poleg tega služi za utrditev osnovnih algoritmov numerične matematike tudi za študente matematike na univerzitetnih bolonjskih smereh. Zahvaljujeva se kolegom, ki so podrobno pregledali zbirko in podali vrsto koristnih pripomb. Ljubljana, december 2010 2 Selena Praprotnik in Gašper Jaklič
Kazalo 1 Predstavitev programa Octave 6 1.1 Namestitev programa in dokumentacija . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Osnove dela z Octaveom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Shranjevanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Matrike in vektorji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Vnos matrik in vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Zapis z dvopičjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Izpis elementov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Vgrajene funkcije in konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Pisanje programov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.1 Pogojni stavki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.2 Zanka for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.3 Zanka while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.4 Stavka break in continue . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.5 Interaktivni vnos podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Aritmetika v premični piki in stabilnost izračuna 23 2.1 Premična pika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Osnovna zaokrožitvena napaka . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Stabilnost izračuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Reševanje nelinearnih enačb 38 3.1 Bisekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Navadna iteracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Tangentna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3
Page 1: Rešene naloge iz numeričnih metod
Page 5 and 6: 8.5 Singularni razcep . . . . . . .
Page 7 and 8: 1.2.1 Shranjevanje Osnovno okolje v
Page 9 and 10: v0 = [1,2,3] v1 = [4,5,6] v0 + 5 vs
Page 11 and 12: Stavki elseif in else niso obvezni.
Page 13 and 14: 1.7 Grafika Ukaz za risanje grafov
Page 15 and 16: y = a2(:,3); x’*y % skalarni prod
Page 17 and 18: end for i = 1:n y(i,:) = v + (i-1);
Page 19 and 20: Namig: Uporabite funkcijo mod. Reš
Page 21 and 22: % Naloga13.m % preizkusimo funkcijo
Page 23 and 24: Poglavje 2 Aritmetika v premični p
Page 25 and 26: 2.2 Osnovna zaokrožitvena napaka O
Page 27 and 28: Tudi eksponent zapišemo v dvojišk
Page 29 and 30: Izračunajmo vsoto na desni strani
Page 31 and 32: od koder dobimo fl(x 2 − y2 )
Page 33 and 34: torej je |δ| ≤ √ 2(2u + u 2 )
Page 35 and 36: Algoritem: 1 r = √ 1 + t2 - raču
Page 37 and 38: Izračun preizkusite z Octaveom. Re
Page 39 and 40: - Če ima f na (a, b) več ničel,
Page 41 and 42: Na ta način se lahko izognemo nepo
Page 43 and 44: iteracija(g,1,37) za začetni pribl
Page 45 and 46: 50 40 30 20 10 10 Αxr2 xr1 xr,fxr
Page 47 and 48: in za začetna približka x0 = 0.5
Page 49 and 50: 2. Z bisekcijo poiščite približe
Page 51 and 52: Rešitev. (a) Najprej izračunajmo
Page 53 and 54:
Če rešitev testiramo v Octaveu, v
Page 55 and 56:
Rešitvi enačbe sta α1 = 0 in št
Page 57 and 58:
Uporabimo trik s funkcijo h1(x) = x
Page 59 and 60:
in vstavimo α = 1 2 , |g ′ 1
Page 61 and 62:
(d) Najprej izpeljimo iteracijsko f
Page 63 and 64:
Zdaj pri tretjem odvodu uporabimo t
Page 65 and 66:
Izračunajmo odvod iteracijske funk
Page 67 and 68:
Tako dobimo naslednji sistem za α,
Page 69 and 70:
(d) Če je x0 = 5, je g(5) = 8 · 5
Page 71 and 72:
(a) Izračunajmo g(x) − x za x >
Page 73 and 74:
(c) Spet preoblikujemo enačbo v si
Page 75 and 76:
Poglavje 4 Reševanje sistemov neli
Page 77 and 78:
15 10 5 0 −5 −10 −10 −5 0 5
Page 79 and 80:
Zapišimo sistem v običajni obliki
Page 81 and 82:
4. Za dani sistem enačb naredite k
Page 83 and 84:
Izračunajmo Jacobijevo matriko, JF
Page 85 and 86:
zdaj pa še z desne: ⎡ 1 ⎢ A ·
Page 87 and 88:
5.3 Matrične norme Matrična norma
Page 89 and 90:
Pokažimo še, da je neskončna nor
Page 91 and 92:
Rešitev. Izračunajmo vsote absolu
Page 93 and 94:
Poglavje 6 Reševanje sistemov line
Page 95 and 96:
6.2.1 Zgled Izračunajmo LU razcep
Page 97 and 98:
Zdaj naredimo korak kot v LU razcep
Page 99 and 100:
6.5.1 Zgled Izračunajmo razcep Cho
Page 101 and 102:
in rezultat je 6.6 Naloge ⎡ 2 ⎢
Page 103 and 104:
(f) (g) ⎡ ⎤ ⎡ 9 3 6 9 3 6 ⎢
Page 105 and 106:
Zdaj rešimo sistem Ly = b, torej
Page 107 and 108:
To je matrika iz naloge 1e, zato je
Page 109 and 110:
Rešitev. Najprej zapišimo sistem
Page 111 and 112:
9. S pomočjo LU razcepa rešite si
Page 113 and 114:
torej x4 = −2, −x3 + 2x4 = 7
Page 115 and 116:
zamenjamo 3. in 4. vrstico, ⎡ 2
Page 117 and 118:
Rešimo sistem Ly = P b, ⎡ 1 ⎢
Page 119 and 120:
16. Izračunajte det A z uporabo LU
Page 121 and 122:
Izračunajmo produkt, saj hočemo A
Page 123 and 124:
in algoritem je: 1 xn = yn un 2 i =
Page 125 and 126:
aritmetiki, ki jih potrebujemo za i
Page 127 and 128:
Pri Jacobijevi iteraciji je iteraci
Page 129 and 130:
7.4 Naloge 1. Naredite dva koraka J
Page 131 and 132:
3. Naredite dva koraka Jacobijeve i
Page 133 and 134:
(b) 10x1 + 2x2 + x3 = 13, 2x1 + 10x
Page 135 and 136:
koraka, zato dobimo x (1) 1 = 3 5 ,
Page 137 and 138:
Zadnja matrika je strogo diagonalno
Page 139 and 140:
Izračunajmo transponiranko te matr
Page 141 and 142:
Rešitev. Zmnožimo matriki iz nami
Page 143 and 144:
8.1.1 Zgled Dane so točke (xi, yi)
Page 145 and 146:
Matrika Rik je ortogonalna in velja
Page 147 and 148:
8.5 Singularni razcep Za matriko A
Page 149 and 150:
Rešimo ga z normalnim sistemom, A
Page 151 and 152:
dan število ribičev količina uje
Page 153 and 154:
Rešimo še sistem V T α = w, tore
Page 155 and 156:
Slika 8.4: Dane točke in funkcija,
Page 157 and 158:
Rešitev. Rezultat sta matriki q1 =
Page 159 and 160:
Rešitev. Najprej izračunamo QR ra
Page 161 and 162:
16. Izračunajte QR razcep matrike
Page 163 and 164:
18. Izračunajte QR razcep matrike
Page 165 and 166:
Rešitev. q1 = ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥
Page 167 and 168:
A1 I1 A2 I2 A3 R12 = 1Ω ✲ R23
Page 169 and 170:
Opomba. Uporabimo oznake mi = masni
Page 171 and 172:
Ker nas zanima ravnovesna lega, so
Page 173 and 174:
(8.4) sledi: 4T1,1 − 0 − 100
Page 175 and 176:
Rešitev. Ob časovnem koraku j = k
Page 177 and 178:
Sistem rešimo z Octaveom in dobimo
Page 179 and 180:
Funkcijo F in odvod JF smo izpeljal
Page 181 and 182:
Slika 8.12: Dane točke in funkcija
Page 183 and 184:
otacijo, ki bo oblike Izračunajmo
Page 185 and 186:
35. S pomočjo Householderjevih zrc
Page 187 and 188:
36. Izračunajte singularni razcep
Page 189 and 190:
Torej je matrika U enaka U = Singul
Page 191 and 192:
Singularni razcep matrike A je enak
Page 193 and 194:
9.2 Potenčna metoda in Hotelingova
Page 195 and 196:
S pomočjo karakterističnega polin
Page 197 and 198:
in so oblike [s, − 4s], s ∈ R\{
Page 199 and 200:
(h) Izračunamo karakteristični po
Page 201 and 202:
Pri λ2 imamo več možnosti, saj j
Page 203 and 204:
S pomočjo Rayleighovega kvocienta
Page 205 and 206:
8. S pomočjo Hotelingove redukcije
Page 207 and 208:
Opomba: Singularne vrednosti matrik
Page 209 and 210:
Poglavje 10 Interpolacija Dane so t
Page 211 and 212:
8 6 4 2 4 6 8 10 12 Slika 10.1: Dan
Page 213 and 214:
Zapišimo tabelo deljenih diferenc,
Page 215 and 216:
Poglavje 11 Bézierove krivulje Bé
Page 217 and 218:
Dane morajo biti štiri kontrolne t
Page 219 and 220:
Torej mora biti P1 = P0 + 1 3 d0 in
Page 221 and 222:
Namig: Najprej pokažite, da velja
Page 223 and 224:
Iz enačbe (11.3) izračunajmo kont
Page 225 and 226:
Poglavje 12 Numerično odvajanje Sp
Page 227 and 228:
Rešitev. Izberemo bazo {1, x − x
Page 229 and 230:
Poglavje 13 Numerična integracija
Page 231 and 232:
a = x0 x1 x3 x2n−1 x2 x4 . . .
Page 233 and 234:
Rešitev. Pravilo bo oblike x3 x0
Page 235 and 236:
x1 x2 x4 x5 x7 x8 a = x0 x3 x
Page 237 and 238:
Osnovno pravilo je oblike x1 x0 f(
Page 239 and 240:
h numerična rešitev ocena napake
Page 241 and 242:
Poglavje 14 Numerično reševanje n
Page 243 and 244:
14.3 Enačbe višjega reda Enačbo
Page 245 and 246:
Zdaj uporabimo še implicitno Euler
Page 247 and 248:
(d) Uporabimo enačbo (14.1) in xi
Page 249 and 250:
Rezultate vstavimo v enačbo (14.4)
Page 251 and 252:
(d) (e) y ′ = 1 + x sin(xy), 0
Page 253 and 254:
(d) Uporabimo sistem (14.5) in dobi
Page 255 and 256:
Sistem rešimo z Runge-Kutta metodo
Page 257 and 258:
(c) (d) (e) (f) (g) Rešitev. y ′
Page 259 and 260:
(d) Zapišimo diferencialno enačbo
Page 261 and 262:
14. Robni problem rešite s strelsk
Page 263 and 264:
% v levem krajiscu, je razpolovisce
Page 265 and 266:
end d = diag(A); if ~all(d) error
Page 267 and 268:
= [6;25;11;15]; x0 = zeros(4,1); de
Page 269 and 270:
[x,rho] = potencna(H,x0,10) pause d
Page 271 and 272:
function G = kubicnigraf() G=[ 1 4
Page 273 and 274:
plot3(X, Y, Z); else plot3(X, Y, Z,
Page 275:
Literatura [1] spletna stran s prog
show all

Rešene naloge iz numerične matematike

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?