Rešene naloge iz numerične matematike

dobimo zaporedje približkov x0 = 1.5000, x1 = 1.7500, x2 = 1.6250, x3 =
1.6875, x4 = 1.7188, x5 = 1.7344, x6 = 1.7266, rešitev pa je √ 3 . = 1.7305.
(Vmesnih približkov program ne izpisuje. Dobimo jih, če v zanki v datoteki
bisekcija.m izpisujemo vrednosti spremenljivke c.)
3.2 Navadna iteracija
Iščemo rešitev α enačbe f(x) = 0. Najprej zapišemo problem f(x) = 0 v
obliki x = g(x) za ustrezno iteracijsko funkcijo g(x). Za rešitev velja g(α) =
α ⇔ f(α) = 0. Če je α = g(α), pravimo, da je α negibna točka funkcije g.
Algoritem:
1 izberi x0
2 r = 1, 2, . . .
3 xr = g(xr−1)
Pri primerno izbranem začetnem približku x0 in primerno izbrani funkciji g
zaporedje konvergira k negibni točki funkcije g, ki je ničla funkcije f.
Negibne točke delimo na
- odbojne, če je |g ′ (α)| ≥ 1,
- privlačne, če je |g ′ (α)| < 1. V tem primeru zaporedje konvergira k ničli,
saj velja
Izrek. Naj bo g zvezno odvedljiva na I = [α − d, α + d], kjer je α = g(α), in
naj velja |g ′ (x)| ≤ m < 1 za vse x ∈ I. Potem za poljuben x0 ∈ I zaporedje
xr+1 = g(xr) konvergira proti α.
Zaporedje xr konvergira k α z redom p, če obstajata konstanti 0 < c1 < c2,
da velja
c1|xr − α| p ≤ |xr+1 − α| ≤ c2|xr − α| p .
Če je p = 1 imamo linearno konvergenco, za p = 2 kvadratično, . . .
Izrek. Če je funkcija g(x) p−krat zvezno odvedljiva v okolici negibne točke
α in je g ′ (α) = g ′′ (α) = · · · = g (p−1) (α) = 0, g (p) (α) = 0, potem je red
konvergence zaporedja xr+1 = g(xr) enak p.
Pri računanju reda konvergence se pri odvajanju velikokrat zgodi, da je del
funkcije v točki α enak 0. Recimo, da lahko funkcijo g(x) zapišemo v obliki
g(x) = h1(x) · h2(x), kjer je h1(α) = 0. Takrat uporabimo trik. Funkcijo g
odvajamo
g ′ (x) = (h1(x) · h2(x)) ′ = h1(x) · h ′ 2(x) + h ′ 1(x)h2(x)
in, ko vstavimo α, dobimo
g ′ (α) = h ′ 1(α)h2(α).
40