Rešene naloge iz numerične matematike

kjer smo označili |α| = √ u 2 + v 2 , rešitev z minusom pa nas ne zanima,
saj bi v tem primeru dobili negativno število, mi pa iščemo realen y.
Torej je
1
y1,2 = ± (|α| − u).
2
Iz prve enačbe sistema (2.2) izrazimo še x in uporabimo rezultat,
torej je
x 2 = u + y 2
= u + 1
(|α| − u)
2
= 1
(|α| + u),
2
1
x1,2 = ± (|α| + u).
2
Algoritem:
1 t = |α| = √ u2 + v2 , račun je stabilen (to uporabimo, da ne
računamo večkrat iste vrednosti)
2 x = ± t+u,
tukaj lahko nastopi problem, če je u < 0 in t ≈ |u|.
2
3 y = ± t−u,
tukaj lahko nastopi problem, če je u > 0 in t ≈ u.
2
Prvi problem je, kako izbrati predznak pri x in y. Izberemo ga tako,
da je predznak xy enak predznaku pri v (druga enačba sistema (2.2)).
Izračun x ali y je nestabilen za majhne v, saj je takrat |u| ≈ |α| = t.
Popravimo algoritem:
1 t = √ u 2 + v 2 (= |α|)
2 če je u ≥ 0
3 x = ± t+u
2
4 y = v
2x
5 če je u < 0
6 y = ± t−u
2
7 x = v
2y
Želimo se izogniti večkratnemu računanju istega izraza. V tem primeru
smo prihranili en izračun kvadratnega korena. Problemi z izračunom
lahko nastanejo, če je x ali y blizu 0. Temu se ne moremo izogniti.
11. Stabilno izračunajte vrednost
y =
36
1 − cos x
x sin x .