Rešene naloge iz numerične matematike

More documents

Recommendations

Info

3.3.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Laguerrova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Reševanje sistemov nelinearnih enačb 75 4.1 Sistemi nelinearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Navadna iteracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5 Vektorske in matrične norme 84 5.1 Osnove linearne algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2 Vektorske norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.3 Matrične norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6 Reševanje sistemov linearnih enačb 93 6.1 Štetje operacij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 LU razcep brez pivotiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.3 LU razcep z delnim pivotiranjem . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.3.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.4 LU razcep s kompletnim pivotiranjem . . . . . . . . . . . . . . 97 6.5 Razcep Choleskega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.5.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.6 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7 Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb 126 7.1 Jacobijeva iteracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.2 Gauss - Seidlova iteracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.2.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.3 Metoda SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.4 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8 Reševanje predoločenih sistemov 142 8.1 Normalni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.1.1 Zgled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.2 QR razcep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3 Givensove rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.4 Householderjeva zrcaljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4
8.5 Singularni razcep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.6 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9 Numerično računanje lastnih vrednosti 192 9.1 Definicija in lastnosti lastnih vrednosti . . . . . . . . . . . . . 192 9.2 Potenčna metoda in Hotelingova redukcija . . . . . . . . . . . 193 9.3 Inverzna potenčna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.4 Šturmovo zaporedje in bisekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.5 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 10 Interpolacija 209 10.1 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11 Bézierove krivulje 215 11.1 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 12 Numerično odvajanje 225 12.1 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13 Numerična integracija 229 13.1 Sestavljena pravila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 13.2 Rombergova ekstrapolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.3 Monte Carlo integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 13.4 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 14 Numerično reševanje navadnih diferencialnih enačb 241 14.1 Začetni problemi - enokoračne metode . . . . . . . . . . . . . 241 14.2 Začetni problemi - večkoračne metode . . . . . . . . . . . . . . 242 14.3 Enačbe višjega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 14.4 Robni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 14.5 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 15 Uporabljeni programi 262 Literatura 274 5
Page 1 and 2: Rešene naloge iz numeričnih metod
Page 3: Kazalo 1 Predstavitev programa Octa
Page 7 and 8: 1.2.1 Shranjevanje Osnovno okolje v
Page 9 and 10: v0 = [1,2,3] v1 = [4,5,6] v0 + 5 vs
Page 11 and 12: Stavki elseif in else niso obvezni.
Page 13 and 14: 1.7 Grafika Ukaz za risanje grafov
Page 15 and 16: y = a2(:,3); x’*y % skalarni prod
Page 17 and 18: end for i = 1:n y(i,:) = v + (i-1);
Page 19 and 20: Namig: Uporabite funkcijo mod. Reš
Page 21 and 22: % Naloga13.m % preizkusimo funkcijo
Page 23 and 24: Poglavje 2 Aritmetika v premični p
Page 25 and 26: 2.2 Osnovna zaokrožitvena napaka O
Page 27 and 28: Tudi eksponent zapišemo v dvojišk
Page 29 and 30: Izračunajmo vsoto na desni strani
Page 31 and 32: od koder dobimo fl(x 2 − y2 )
Page 33 and 34: torej je |δ| ≤ √ 2(2u + u 2 )
Page 35 and 36: Algoritem: 1 r = √ 1 + t2 - raču
Page 37 and 38: Izračun preizkusite z Octaveom. Re
Page 39 and 40: - Če ima f na (a, b) več ničel,
Page 41 and 42: Na ta način se lahko izognemo nepo
Page 43 and 44: iteracija(g,1,37) za začetni pribl
Page 45 and 46: 50 40 30 20 10 10 Αxr2 xr1 xr,fxr
Page 47 and 48: in za začetna približka x0 = 0.5
Page 49 and 50: 2. Z bisekcijo poiščite približe
Page 51 and 52: Rešitev. (a) Najprej izračunajmo
Page 53 and 54: Če rešitev testiramo v Octaveu, v
Page 55 and 56:
Rešitvi enačbe sta α1 = 0 in št
Page 57 and 58:
Uporabimo trik s funkcijo h1(x) = x
Page 59 and 60:
in vstavimo α = 1 2 , |g ′ 1
Page 61 and 62:
(d) Najprej izpeljimo iteracijsko f
Page 63 and 64:
Zdaj pri tretjem odvodu uporabimo t
Page 65 and 66:
Izračunajmo odvod iteracijske funk
Page 67 and 68:
Tako dobimo naslednji sistem za α,
Page 69 and 70:
(d) Če je x0 = 5, je g(5) = 8 · 5
Page 71 and 72:
(a) Izračunajmo g(x) − x za x >
Page 73 and 74:
(c) Spet preoblikujemo enačbo v si
Page 75 and 76:
Poglavje 4 Reševanje sistemov neli
Page 77 and 78:
15 10 5 0 −5 −10 −10 −5 0 5
Page 79 and 80:
Zapišimo sistem v običajni obliki
Page 81 and 82:
4. Za dani sistem enačb naredite k
Page 83 and 84:
Izračunajmo Jacobijevo matriko, JF
Page 85 and 86:
zdaj pa še z desne: ⎡ 1 ⎢ A ·
Page 87 and 88:
5.3 Matrične norme Matrična norma
Page 89 and 90:
Pokažimo še, da je neskončna nor
Page 91 and 92:
Rešitev. Izračunajmo vsote absolu
Page 93 and 94:
Poglavje 6 Reševanje sistemov line
Page 95 and 96:
6.2.1 Zgled Izračunajmo LU razcep
Page 97 and 98:
Zdaj naredimo korak kot v LU razcep
Page 99 and 100:
6.5.1 Zgled Izračunajmo razcep Cho
Page 101 and 102:
in rezultat je 6.6 Naloge ⎡ 2 ⎢
Page 103 and 104:
(f) (g) ⎡ ⎤ ⎡ 9 3 6 9 3 6 ⎢
Page 105 and 106:
Zdaj rešimo sistem Ly = b, torej
Page 107 and 108:
To je matrika iz naloge 1e, zato je
Page 109 and 110:
Rešitev. Najprej zapišimo sistem
Page 111 and 112:
9. S pomočjo LU razcepa rešite si
Page 113 and 114:
torej x4 = −2, −x3 + 2x4 = 7
Page 115 and 116:
zamenjamo 3. in 4. vrstico, ⎡ 2
Page 117 and 118:
Rešimo sistem Ly = P b, ⎡ 1 ⎢
Page 119 and 120:
16. Izračunajte det A z uporabo LU
Page 121 and 122:
Izračunajmo produkt, saj hočemo A
Page 123 and 124:
in algoritem je: 1 xn = yn un 2 i =
Page 125 and 126:
aritmetiki, ki jih potrebujemo za i
Page 127 and 128:
Pri Jacobijevi iteraciji je iteraci
Page 129 and 130:
7.4 Naloge 1. Naredite dva koraka J
Page 131 and 132:
3. Naredite dva koraka Jacobijeve i
Page 133 and 134:
(b) 10x1 + 2x2 + x3 = 13, 2x1 + 10x
Page 135 and 136:
koraka, zato dobimo x (1) 1 = 3 5 ,
Page 137 and 138:
Zadnja matrika je strogo diagonalno
Page 139 and 140:
Izračunajmo transponiranko te matr
Page 141 and 142:
Rešitev. Zmnožimo matriki iz nami
Page 143 and 144:
8.1.1 Zgled Dane so točke (xi, yi)
Page 145 and 146:
Matrika Rik je ortogonalna in velja
Page 147 and 148:
8.5 Singularni razcep Za matriko A
Page 149 and 150:
Rešimo ga z normalnim sistemom, A
Page 151 and 152:
dan število ribičev količina uje
Page 153 and 154:
Rešimo še sistem V T α = w, tore
Page 155 and 156:
Slika 8.4: Dane točke in funkcija,
Page 157 and 158:
Rešitev. Rezultat sta matriki q1 =
Page 159 and 160:
Rešitev. Najprej izračunamo QR ra
Page 161 and 162:
16. Izračunajte QR razcep matrike
Page 163 and 164:
18. Izračunajte QR razcep matrike
Page 165 and 166:
Rešitev. q1 = ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥
Page 167 and 168:
A1 I1 A2 I2 A3 R12 = 1Ω ✲ R23
Page 169 and 170:
Opomba. Uporabimo oznake mi = masni
Page 171 and 172:
Ker nas zanima ravnovesna lega, so
Page 173 and 174:
(8.4) sledi: 4T1,1 − 0 − 100
Page 175 and 176:
Rešitev. Ob časovnem koraku j = k
Page 177 and 178:
Sistem rešimo z Octaveom in dobimo
Page 179 and 180:
Funkcijo F in odvod JF smo izpeljal
Page 181 and 182:
Slika 8.12: Dane točke in funkcija
Page 183 and 184:
otacijo, ki bo oblike Izračunajmo
Page 185 and 186:
35. S pomočjo Householderjevih zrc
Page 187 and 188:
36. Izračunajte singularni razcep
Page 189 and 190:
Torej je matrika U enaka U = Singul
Page 191 and 192:
Singularni razcep matrike A je enak
Page 193 and 194:
9.2 Potenčna metoda in Hotelingova
Page 195 and 196:
S pomočjo karakterističnega polin
Page 197 and 198:
in so oblike [s, − 4s], s ∈ R\{
Page 199 and 200:
(h) Izračunamo karakteristični po
Page 201 and 202:
Pri λ2 imamo več možnosti, saj j
Page 203 and 204:
S pomočjo Rayleighovega kvocienta
Page 205 and 206:
8. S pomočjo Hotelingove redukcije
Page 207 and 208:
Opomba: Singularne vrednosti matrik
Page 209 and 210:
Poglavje 10 Interpolacija Dane so t
Page 211 and 212:
8 6 4 2 4 6 8 10 12 Slika 10.1: Dan
Page 213 and 214:
Zapišimo tabelo deljenih diferenc,
Page 215 and 216:
Poglavje 11 Bézierove krivulje Bé
Page 217 and 218:
Dane morajo biti štiri kontrolne t
Page 219 and 220:
Torej mora biti P1 = P0 + 1 3 d0 in
Page 221 and 222:
Namig: Najprej pokažite, da velja
Page 223 and 224:
Iz enačbe (11.3) izračunajmo kont
Page 225 and 226:
Poglavje 12 Numerično odvajanje Sp
Page 227 and 228:
Rešitev. Izberemo bazo {1, x − x
Page 229 and 230:
Poglavje 13 Numerična integracija
Page 231 and 232:
a = x0 x1 x3 x2n−1 x2 x4 . . .
Page 233 and 234:
Rešitev. Pravilo bo oblike x3 x0
Page 235 and 236:
x1 x2 x4 x5 x7 x8 a = x0 x3 x
Page 237 and 238:
Osnovno pravilo je oblike x1 x0 f(
Page 239 and 240:
h numerična rešitev ocena napake
Page 241 and 242:
Poglavje 14 Numerično reševanje n
Page 243 and 244:
14.3 Enačbe višjega reda Enačbo
Page 245 and 246:
Zdaj uporabimo še implicitno Euler
Page 247 and 248:
(d) Uporabimo enačbo (14.1) in xi
Page 249 and 250:
Rezultate vstavimo v enačbo (14.4)
Page 251 and 252:
(d) (e) y ′ = 1 + x sin(xy), 0
Page 253 and 254:
(d) Uporabimo sistem (14.5) in dobi
Page 255 and 256:
Sistem rešimo z Runge-Kutta metodo
Page 257 and 258:
(c) (d) (e) (f) (g) Rešitev. y ′
Page 259 and 260:
(d) Zapišimo diferencialno enačbo
Page 261 and 262:
14. Robni problem rešite s strelsk
Page 263 and 264:
% v levem krajiscu, je razpolovisce
Page 265 and 266:
end d = diag(A); if ~all(d) error
Page 267 and 268:
= [6;25;11;15]; x0 = zeros(4,1); de
Page 269 and 270:
[x,rho] = potencna(H,x0,10) pause d
Page 271 and 272:
function G = kubicnigraf() G=[ 1 4
Page 273 and 274:
plot3(X, Y, Z); else plot3(X, Y, Z,
Page 275:
Literatura [1] spletna stran s prog
show all

Rešene naloge iz numerične matematike

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?