Rešene naloge iz numerične matematike
Rešene naloge iz numerične matematike
Rešene naloge iz numerične matematike
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
x0 0.000000000000000 2.000000000000000 3.00000000000000e+000<br />
x1 0.200000000000000 1.800000000000000 5.60000000000000e+000<br />
x2 0.201600000000000 1.366400000000000 3.53232000000000e+001<br />
x3 0.201638708019200 0.710227139788800 8.81495237522063e+003<br />
x4 0.201639652116243 0.271650922681262 1.36990328299253e+011<br />
x5 0.201639675147505 0.204009253796415 5.14161690798161e+032<br />
x6 0.201639675709356 0.201698163874077 2.71849877008952e+097<br />
x7 0.201639675723062 0.201641102963663 4.01806925772563e+291<br />
x8 0.201639675723396 0.201639710541370 Inf<br />
x9 0.201639675723404 0.201639676572794 Inf<br />
x10 0.201639675723405 0.201639675744126<br />
x11 0.201639675723405 0.201639675723910<br />
x12<br />
0.201639675723417<br />
x13<br />
0.201639675723405<br />
x14<br />
0.201639675723405<br />
Z rdečo barvo so označene števke, ki se razlikujejo od točne rešitve. Za<br />
začetni približek x0 = 0 dobimo zaporedje, ki očitno konvergira k rešitvi x3.<br />
Za začetni približek x0 = 2 dobimo zaporedje, ki spet konvergira k rešitvi<br />
x3, vendar počasneje, saj je bil začetni približek slabši. Za začetni približek<br />
x0 = 3 dobimo zaporedje, ki divergira.<br />
Kje nam konvergenco zagotavlja konvergenčni <strong>iz</strong>rek? Poglejmo, kje je odvod<br />
iteracijske funkcije po absolutni vrednosti manjši od 1,<br />
g ′ (x) = 3x2<br />
5 , |g′ <br />
5<br />
(x)| < 1 =⇒ |x| <<br />
3<br />
.<br />
= 1.291.<br />
Torej nam konvergenčni <strong>iz</strong>rek zagotavlja konvergenco zaporedja le za |x| <<br />
1.291. Kot vidimo lahko zaporedje konvergira tudi na večjem intervalu (v<br />
našem drugem primeru).<br />
Drugih dveh rešitev enačbe s to iteracijsko funkcijo ne moremo dobiti, saj<br />
tam zaporedje ne konvergira. Sestavimo novo iteracijsko funkcijo<br />
Nova iteracijska funkcija je torej<br />
x 3 − 5x + 1 = 0,<br />
x 3 = 5x − 1,<br />
x = 3√ 5x − 1.<br />
g(x) = 3√ 5x − 1.<br />
Oglejmo si primer. Definiramo funkcijo g = @(x) nthroot(5*x-1,3) in<br />
uporabimo ukaz iteracija(g,-1,31) za začetni približek x0 = −1 in ukaz<br />
42
Change language