Rešene naloge iz numerične matematike

Nov približek dobimo z
xr+1 = xr −
n
s1(xr) ± (n − 1)(ns2(xr) − s2 , (3.1)
1(xr))
kjer predznak izberemo tako, da je absolutna vrednost imenovalca največja.
Konvergenca metode je v bližini enostavne ničle kubična, v bližini večkratne
ničle pa linearna.
3.5 Naloge
1. Z bisekcijo poiščite približek za 3√ 20. Naredite tri korake.
Rešitev. Najprej izberemo funkcijo f, katere vrednosti je enostavno
izračunati in ki ima ničlo 3√ 20. Naj bo to funkcija
f(x) = x 3 − 20.
Zdaj poiščemo tak interval, da bo na robovih intervala funkcija f različno
predznačena. Izberemo [1, 4], torej a = 1, b = 4, in naredimo en
korak bisekcije:
1 fa = −19
2 fb = 44
3 c = a+b
2
= 5
4 fc = f(c) = − 35
8
2
= 2.5
= −4.375.
Vidimo, da je funkcija različno predznačena na robovih intervala 5
2
torej je v naslednjem koraku bisekcije a = 5 = 2.5, b = 4 :
2
1 fa = − 35 = −4.375
8
2 fb = 44
3 c = a+b 13 = = 3.25
2 4
= 14.3281.
4 fc = f(c) = 917
64
Funkcija je različno predznačena na robovih intervala 5
2
, b = 13
4 :
, 4 ,
13 , , torej je
4
v naslednjem koraku bisekcije a = 5
2
1 fa = − 35 = −4.375
8
2 fb = 917 = 14.3281
64
3 c = a+b 23 = = 2.875
2 8
4 fc = f(c) = 1927 = 3.7637.
512
Končali smo tretji korak bisekcije in vrnemo približek med a in c
c =
5
2
+ 23
8
2
48
.
= 2.6875.