Rešene naloge iz numerične matematike

3. Z uporabo programa bisekcija ([1]) poiščite približek za ničlo funkcje
na tri decimalke natančno.
f(x) = e −x (3.2 sin x − 0.5 cos x)
Rešitev. Iščemo interval, na katerem je funkcija f različno predznačena.
Določimo ga lahko s poskušanjem ali iz grafa funkcije. Definirajmo
funkcijo z f = @(x) exp(-x)*(3.2*sin(x) - 0.5*cos(x)) in
poskusimo f(3) in f(4). Lahko izberemo interval [3, 4] in poženemo
program z ukazom bisekcija(f, 3, 4, 0.001). Približek za ničlo
funkcije f je 3.2964.
4. Ali konvergenčni izrek zagotavlja konvergenco zaporedja
xr+1 = 1
1 + x
10
5
r ,
če izberemo začetni približek x0 = 0? Kolikšen je red konvergence?
Rešitev. Izračunajmo odvod iteracijske funkcije g(x) = 1
10 (1 + x5 ),
g ′ (x) = 1
10 · 5x4 = 1
2 x4 ,
in vstavimo vrednost x = 0. Ker je g ′ (0) = 0 < 1, imamo konvergenco
v okolici x0 = 0. Da dobimo red konvergence, spet odvajamo,
torej je red konvergence enak 5.
g ′′ (x) = 2x 3 , g ′′ (0) = 0,
g ′′′ (x) = 6x 2 , g ′′′ (0) = 0,
g (4) (x) = 12x, g (4) (0) = 0,
g (5) (x) = 12, g (5) (0) = 12 = 0,
5. Poiščite rešitve danih enačb in ugotovite red konvergence iteracije:
(a) x = 1
x +
2
4
, izračunajte še interval konvergence z uporabo
x
konvergenčnega izreka,
(b) x = x(x2 + 12)
3x 2 + 4 ,
(c) x =
x(1 − ln x)
.
1 + x
50