Wykład 9

Fizyka materii skondensowanej i struktur
półprzewodnikowych
Wykład 9
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 1

Plan wykładu 9
• Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w stanie
równowagi termodynamicznej – dokończenie
• Własności sprężyste ciał stałych
• Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
• Drgania sieci krystalicznej, fonony
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 2

Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w
stanie równowagi termodynamicznej
Równanie neutralności kryształu – przykład: koncentracja
nośników w niezdegenerowanym półprzewodniku niesamoistnym
µ
N D – koncentracja donorów
N A – koncentracja akceptorów
N 0 D – koncentracja neutralnych donorów
N 0 A – koncentracja neutralnych akceptorów
n – koncentracja elektronów w paśmie
przewodnictwa
p – koncentracja dziur w paśmie walencyjnym
Równanie neutralności kryształu
(bilans ładunków ujemnych i dodatnich):
n + (N A – N 0 A) = p + (N D – N 0 D)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 3

Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w
stanie równowagi termodynamicznej
• Jeśli zarówno donory jak i akceptory są płytkie, a gaz elektronowy i
dziurowy nie jest zdegenerowany, to:
ED
− µ >> kT
0
N > kT
0
N 0 (półprzewodnik typu n – dla typu p rozważania są symetryczne) i
∆n >> ns, (w T=300K: ns(Ge) < 1013 cm-3 , ns(Si) < 1011 cm-3 ⎧∆n
= n − p ≈ N D − N A
⎨
2
⎩n
⋅ p = ns
1 2 2
n = ( ∆n)
+ 4ns
+ ∆n
2
1 { ( )
}
2 2
p = ∆n
+ 4ns
− ∆n
2
, ns(GaAs) n
p
< 10 10 cm -3 ):
≈
≈
N
N
D
D
−
n
−
2
s
N
N
A
A
D
=
N
C
D
A
( T ) ⋅ N
N − N
V
A
A
( T )
⋅ e
{ }
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 4
EG
−
kT
koncentracja nośników większościowych
określona przez efektywną koncentrację
domieszek, koncentracja nośników
mniejszościowych może być bardzo mała
(przykład – Si)

Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w
stanie równowagi termodynamicznej
Pojęcie kompensacji
• półprzewodniki kompensowane – zawierające zarówno donory jak i
akceptory
• w odpowiednio wysokich temperaturach koncentracja nośników
większościowych dana przez efektywną koncentrację domieszek |ND – NA| • koncentracja centrów rozpraszających (ładunków): ND + NA • współczynnik kompensacji – stosunek koncentracji domieszek
mniejszościowych do większościowych:
N
k =
N
k
=
N
N
A
D
D
A
– dla typu n
– dla typu p
• w półprzewodnikach silnie kompensowanych (k ≈ 1) silne fluktuacje
potencjału elektrostatycznego pochodzącego od domieszek, lokalizacja
związana z nieporządkiem, efekty perkolacyjne
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 5

E
0
Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w
stanie równowagi termodynamicznej
Równanie neutralności kryształu – niska temperatura, obszar
jonizacji termicznej domieszek
µ
E D
N D – koncentracja donorów
N A ≈ 0 – koncentracja akceptorów
N 0 D – koncentracja neutralnych donorów
n – koncentracja elektronów w paśmie
przewodnictwa
p ≈ 0 – koncentracja dziur w paśmie
walencyjnym
Równanie neutralności:
n = (N D – N 0 D)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 6

Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w
stanie równowagi termodynamicznej
• teraz znaczna część donorów będzie neutralnych (energie liczone od dna
pasma przewodnictwa):
ED
µ
ND
ND
N −
0
D kT kT
ND
− ND
= ND
−
=
≈ ⋅ e
ED
µ
ED
µ
1 −
− + 2
kT kT
kT kT
1+
⋅ e 1+
2 ⋅ e
2
• do policzenia obsadzenia pasma przewodnictwa możemy użyć rozkładu
3
Boltzmanna:
*
µ Ec
µ
⎛ mekT
⎞ 2
−
kT
kT
n = 2 ⎜ ⋅ e = NC
T ⋅ e
π ⎟
( )
2
⎝ 2 ⎠
0
co wobec n = N − N daje:
µ =
n
E ⎛ ⎞
D kT ND
+ ln ⎜
⎟
2 2 ⎝ 2NC
( T ) ⎠
N
D
( T ) ⋅ N
2
C D
( ) =
⋅
T
e
D
ED
2kT
– dla T → 0 µ ≈ E D/2 (E D < 0 !!!)
– nachylenie zależności ln(n) vs 1/T daje E D/2
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 7

Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w
stanie równowagi termodynamicznej
• dla półprzewodników
skompensowanych w niskich
temperaturach energia aktywacji
termicznej wynosi ED, a nie ED/2 • jeśli domieszek jest dużo, tak, że
funkcje falowe związanych na nich
elektronów się przekrywają – energie
jonizacji maleją, tworzą się pasma
domieszkowe
• przy koncentracjach domieszek rzędu:
3 ( N ) ≈ 0,
26
zachodzi przejście fazowe niemetalmetal
(tzw. przejście Motta)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 8
a
*
B
⋅ D
1

Obsadzenie poziomów domieszkowych/defektowych w
stanie równowagi termodynamicznej
Si:P
( ) ≈ 0,
26 n
P.P. Edwards, M.J. Sienko, J. Am. Chem. Soc. 103, 2967 (1981)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 9
a
*
B
⋅ c
1
3

Własności sprężyste ciał stałych
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 10

Własności sprężyste ciał stałych – tensor naprężeń
Tensor naprężeń σ ij
• naprężenie – siła na jednostkę powierzchni
• symetryczny
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 11
⇓
• 3 napięcia osiowe σ xx, σ yy, σ zz,
3 ścinania σ xy=σ yx, σ xz=σ zx, σ yz=σ zy
(lub τ xy=τ yx, τ xz=τ zx, τ yz=τ zy)
• dla ciśnienia hydrostatycznego:
⎡−
p
σ
⎢
ij =
⎢
0
⎢⎣
0
−
0
0
p
0 ⎤
0
⎥
⎥
− p⎥⎦

σ ij
Własności sprężyste ciał stałych – tensor naprężeń
⎡σ1
→
⎢
⎢
σ 6
⎢⎣
σ 5
σ
σ
σ
6
2
4
Notacja Voigta
⎡σ1
⎤
⎢ ⎥
⎢
σ 2
σ ⎥
5⎤
⎥ ⎢σ
⎥ 3
σ 4⎥
→ ⎢ ⎥
⎥ ⎢σ
4
σ ⎥
3⎦
⎢σ
⎥
5
⎢ ⎥
⎢⎣
σ 6⎦⎥
zastępujemy tensor
drugiego rzędu
wektorem
konwencja:
11 → 1; 22 → 2; 33 → 3; 23 → 4; 13 → 5; 12 → 6;
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 12

ε ij
ε
ij
Własności sprężyste ciał stałych – tensor odkształceń
=
1 ⎛
⎜
∂u
2 ⎜
⎝ ∂x
⎡ ε1
→
⎢
⎢
½ ⋅ε
6
⎢⎣
½ ⋅ε
5
Tensor odkształceń (deformacji) ε ij
i
j
∂u
+
∂x
½ ⋅ε
ε
2
½ ⋅ε
6
4
i
j
⎞
⎟
⎠
⎡ε1
⎤
⎢ ⎥
⎢
ε 2
½ ⋅ε
⎥
5 ⎤
⎥ ⎢ε
⎥ 3
½ ⋅ε
4 ⎥
→ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε
4
ε ⎥
3 ⎦ ⎢ε
⎥
5
⎢ ⎥
⎢⎣
ε 6 ⎥⎦
gdzie u – wektor przemieszczenia
wywołany deformacją
znowu zastępujemy
tensor drugiego rzędu
wektorem (uwaga na ½
w definicji !)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 13

Własności sprężyste ciał stałych – liniowa teoria
sprężystości (prawo Hooke’a)
Liniowa teoria sprężystości (prawo Hooke’a)
• Tensory naprężeń i odkształceń są powiązanie relacjami liniowymi (stosujemy
konwencję sumowania po powtarzających się wskaźnikach):
ε = lub:
kl klij ij
kl Sklijσ ij
σ =
gdzie S klij i C klij są tensorami 4 rzędu – odpowiednio: tensor podatności
sprężystej i tensor sztywności sprężystej (tensor modułów sprężystości)
• Ponieważ σij i εij są symetryczne, to: C = C = C (podobnie dla Sklij )
• Żądanie jednoznaczności gęstości energii sprężystej:
1
u = Cklijε
klε
ij
2
prowadzi do: C C =
klij
ijkl
⇒
C ε
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 14
klij
lkij
klji
C klij i S klij mają co najwyżej po
21 niezależnych współczynników

Własności sprężyste ciał stałych – macierze sprężystości
• Stosując konsekwentnie notację Voigta otrzymujemy:
ε i = Sijσ j σ i = Cijε j
gdzie σ i i ε i są 6–wymiarowymi wektorami odpowiednio naprężeń i
odkształceń, zaś S ij i C ij są macierzami 6x6 odpowiednio współczynników
podatności sprężystej i modułów sprężystości (współczynników sztywności)
• Macierze sprężystości S ij i C ij :
struktura kubiczna (3) struktura heksagonalna (5) ciało izotropowe (2)
współczynniki jednakowe zera równe odpowiednio 2(S 11-S 12) lub ½(C 11-C 12)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 15

Własności sprężyste ciał stałych – macierze sprężystości
• W ogólności współczynniki macierzy S ij i C ij można wyrazić przez siebie
poprzez odwrócenie macierzy
• Dla struktury regularnej:
−1
⎧ C44
= S44
⎪
⎨ C11
− C12
=
⎪
⎩C11
+ 2C12 = 11 S
−1
( S11
− S12
)
( S + 2 )
• Ściśliwość dla struktury regularnej. Ciśnienie hydrostatyczne:
⎡−
p⎤
⎢ ⎥
⎢
− p
⎥
⎢−
p⎥
σ i = ⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
⎡S11
+ 2S12⎤
⇒ ⎢ ⎥
⎢
S11
+ 2S12⎥
⎢S
⎥
11 + 2S12
εi
= − p ⋅ ⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
∆V
= − p ⋅3(
S11
+ 2S12)
⇒ V
ściśliwość:
1 ⎛ ∂V
⎞
κ = − ⋅ ⎜ ⎟ = 3(
S11
+ 2S12)
V ⎝ ∂p
⎠T
moduł sprężystości objętościowej:
−1
1 −1
B = κ = ( S11
+ 2S12)
3
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 16
12
−1

Własności sprężyste ciał stałych – macierze sprężystości
• Moduł Younga E i współczynnik Poissona ν dla struktury regularnej.
Naprężenie osiowe:
σ i
⎡σ
1⎤
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢ 0 ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
⇒
⎡S11⎤
⎢ ⎥
⎢
S12⎥
⎢S
⎥ 12
ε i = σ1
⋅ ⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
⇒
moduł Younga: współczynnik Poissona:
E =
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 17
1
S
11
σ1
ε 1 = σ1
⋅ S11
=
E
ε = ε = σ ⋅ S
= −ν
⋅ε
2
3
⇓
1
ν =
12
S
−
S
12
11
1

• Moduł ścinania G dla struktury regularnej. Naprężenie ścinające:
σ i
⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢ 0 ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
σ 6⎥⎦
struktura regularna:
1
E = ν = −
S11
ciało izotropowe:
1
E =
S
11
Własności sprężyste ciał stałych – macierze sprężystości
ν =
⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢ 0 ⎥
ε i = σ 6 ⋅ ⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
S44⎥⎦
⇒
S
S
S
−
S
12
11
12
11
B = κ
B = κ
−1
−1
=
=
(
3
(
3
⇒
1 −1
S11
+ 2S12)
1 −1
S11
+ 2S12)
σ 6
ε 6 = σ 6 ⋅ S44
=
G
moduł ścinania:
1
G =
S
E
3 ( 1−
2ν
)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 18
=
=
E
3 ( 1−
2ν
)
44
1
G =
S
44
E
G =
2 ( 1+
ν )

Własności sprężyste ciał stałych – wpływ odkształceń
(naprężeń) na własności ciał stałych
Ciśnienia hydrostatyczne:
• zmieniają strukturę pasmową (energie stanów, a więc np. przerwy
energetyczne, masy efektywne etc.)
Naprężenia osiowe, planarne etc.:
• mogą zmieniać symetrię, co prowadzi do rozszczepień stanów
zdegenerowanych (np. pasm walencyjnych w strukturze diamentu i blendy
cynkowej, bocznych minimów pasm przewodnictwa, stanów
domieszkowych etc. etc.)
Potencjał deformacyjny:
• Zmiana energii danego stanu pod wpływem deformacji jest w przybliżeniu
liniowym proporcjonalna do deformacji, np. zmiana energii ekstremum
pasma pod wpływem deformacji zmieniającej objętość:
δEnk
= ank
⎛ δV
⎜
⎝ V
⎞
⎟
⎠
podobnie dla innych deformacji, w
tym ścinających
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 19

Własności sprężyste ciał stałych – efekt piezoelektryczny
W kryształach bez środka inwersji naprężenia prowadzą do zjawisk
piezoelektrycznych:
Di = dijkσ
jk + ∈ij
E
D
j
E
Przyczynek od efektu piezoelektrycznego
W notacji Voigta dla kryształu
o strukturze wurcytu:
⎡D1
⎤ ⎡ 0
⎢ ⎥
=
⎢
⎢
D2
⎥ ⎢
0
⎢⎣
D ⎥⎦
⎢ 3 ⎣d31
d
0
0
32
d
Macierz współczynników piezoelektrycznych
0
0
33
d
0
24
0
d
15
0
0
⎡σ1
⎤
⎢ ⎥
⎢
σ 2
0⎤
⎥ ⎡∈
⎥ ⎢σ
⎥ 3
0 +
⎢
⎥
⋅ ⎢ ⎥ ⎢
0
⎥ ⎢σ
4
0 ⎥
⎦ ⎢
⎢ ⎥ ⎣ 0
σ 5
⎢ ⎥
⎢⎣
σ 6⎥⎦
– wektor indukcji elektrycznej
– wektor natężenia pola elektr.
– tensor przenikalności elektr.
⎤ ⎡E
⎥
⋅
⎢
⎥ ⎢
E
⎥⎦
⎢⎣
E
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 20
∈
ij
11
0
∈
22
0
0
0
∈
33
1
2
3
⎤
⎥
⎥
⎥⎦

Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 21

xx
Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
Spróbujmy napisać równanie ruchu dla kostki o wymiarach ∆x⋅∆y⋅∆z
σ ( x + ∆x)
−σ
xx(x)
• x-owa składowa siły działającej na powierzchnie prostopadłe do osi x:
F
=
∂σ
( x)
∂x
xx
[ σ
( x + ∆x)
−σ
( x)
] ⋅ ∆y
∆z
≈ ⋅ ∆x
∆y
∆z
xx
xx
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 22

Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
• analogicznie można napisać dla x-owych składowych sił działających na
pozostałe powierzchnie, co prowadzi do wyrażenia na x-ową składową
siły wypadkowej:
⎛ ∂σ
x
xx(
x)
∂σ
yx(
) ∂σ
zx ( x)
⎞
Fx
= ⎜ + + ⋅∆x
∆y
∆z
x y z ⎟
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠
• Równanie ruchu na x-ową składową wektora wychylenia :
2
∂ x ∂σ
∂σ
xx yx ∂σ
= + +
∂t
∂x
∂y
∂z
σ
u zx
ρ 2
ρ – gęstość
u( r,
t)
• Składowe tensora naprężeń ij , w ramach liniowej teorii sprężystości
dają się wyrazić przez składowe tensora odkształceń εij
(które z kolei są
odpowiednimi pochodnymi wychyleń ui): 1 ⎛ ⎞
⎜
∂u
∂u
i j
ε
⎟
ij = +
2 ⎜ ⎟
⎝ ∂x
j ∂xi
⎠
oraz macierz współczynników sztywności Cij 2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 23

• Dla różnych kryształów otrzymane wzory będą się różniły; dla kryształu
kubicznego otrzymuje się:
2
∂ u
ρ 2
∂t
2
∂ u
ρ 2
∂t
2
∂ u
ρ 2
∂t
x
y
z
= C
= C
= C
11
11
11
Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
2
∂ u
∂x
∂
2
u
∂y
x
2
y
2
2
∂ u
2
∂z
z
+ C
+ C
+ C
44
44
44
2
⎛ ∂ u
⎜
⎝ ∂y
2 ⎛ ∂ u
⎜
⎝ ∂x
2 ⎛ ∂ u
⎜
⎝ ∂x
x
2
y
2
z
2
2
∂ u
+ 2
∂z
+
∂z
2
∂ u
+ 2
∂y
( C + C )
( C + C )
są to klasyczne równania falowe
∂
⎛ 2
∂ u
⎜
⎝ ∂x∂z
( ) ⎟ ⎜ x y
C + C +
∂y∂z
⎠
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 24
2
u
x
y
2
z
⎞
⎟ +
⎠
⎞
⎟ +
⎟
⎠
⎞
⎟ +
⎠
12
12
12
44
44
44
2 ⎛
2 ∂ u ⎞
y ⎜
∂ uz
+ ⎟
⎜
⎟
⎝ ∂x∂y
∂x∂z
⎠
2 2 ⎛ ∂ u ⎞
x ∂ uz
⎜ + ⎟
⎝ ∂x∂y
∂y∂z
⎠
∂
2
u
⎞

• Fale rozchodzące się w kierunku [100]:
2
∂ u
ρ 2
∂t
2
∂ u
ρ 2
∂t
2
∂ u
ρ 2
∂t
x
y
z
⇓
= C
= C
= C
11
44
44
2
∂ ux
2
∂x
2
∂ u
2
∂x
2
∂ uz
2
∂x
y
Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
u(
r,
t)
= u
– fala podłużna poruszająca się z prędkością
– 2 zdegenerowane fale poprzeczne poruszające się z
prędkością
C
v ⊥ = <
ρ
44 v||
prędkość fal poprzecznych jest mniejsza
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 25
0
i(
kx−ωt
)
e
v =
||
C11
ρ

• Fale rozchodzące się w kierunku [110]:
2
∂ u
ρ 2
∂t
2
∂ u
ρ 2
∂t
2
∂ u
ρ 2
∂t
x
y
z
= C
= C
= C
11
11
44
⇓
2
∂ u
∂x
∂
2
∂y
x
2
u
y
2
2 ⎛ ∂ u
⎜
⎝ ∂x
z
2
+ C
+ C
44
44
∂
2
∂ u
+ 2
∂y
Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
2
∂ u
∂y
2
∂x
z
x
2
u
⎞
⎟
⎠
y
2
+
+
( C + C )
12
( C + C )
Wyznaczenie 3 prędkości fal
rozchodzących się w kierunku
[110] umożliwia wyznaczenie
wszystkich współczynników C ij
12
44
44
u(
r,
t)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 26
=
u
0
i
e
⎛
⎜
⎝
kx ky ⎞
+ −ωt
⎟
2 2 ⎠
2
∂ uy
∂x∂y
2
∂ ux
∂x∂y
– fala podłużna poruszająca się z
⎫
C11
+ C12
+ 2C44 ⎪ prędkością v||
=
⎪
2ρ
⎬
⎪ oraz fala poprzeczna u0 || [ 11
0]
⎪ poruszająca się z prędkością
⎭
v1⊥
=
C11
− C12
2ρ
fala poprzeczna poruszająca
się z prędkością
C44
v 2⊥
=
ρ
u0 || [ 001]

Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
Ch. Kittel, „Wstęp do fizyki ciała stałego”
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 27

Fale sprężyste w ośrodkach ciągłych
Podsumowanie:
• Dla każdego kierunku rozchodzenia się fali (wersora propagacji) istnieją 3
rodzaje fal – 1 „podłużna” i 2 „poprzeczne” z klasycznymi (liniowymi)
relacjami dyspersyjnymi
• W ogólności wszystkie te fale mają różne prędkości
• Czasami fale poprzeczne są zdegenerowane (tzn. mają te same prędkości, a
więc i takie same relacje dyspersyjne)
• Dla dowolnego kierunku propagacji fale nie są ani ściśle podłużne, ani
ściśle poprzeczne
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 28

Drgania sieci krystalicznej, fonony
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 29

Drgania sieci krystalicznej, fonony
1. Przy omawianiu przybliżenia Borna-Oppenheimera doszliśmy do wniosku,
że ruch jonów/jąder atomowych odbywa się w efektywnym potencjale:
E k
(R)
U
k
eff
k
( R)
= E ( R)
+ G(
R)
gdzie el jest adiabatycznym wkładem elektronów w energię ruchu
jonów/jąder, a R = ( R , , ,....) jest zbiorem wektorów położeń
1 R2
R3
wszystkich jonów/jąder
2. Drgania sieci krystalicznej – drgania układu dyskretnego o 3rN stopniach
swobody, gdzie r – liczba atomów bazy (liczba atomów w najmniejszej
komórce elementarnej), N – liczba komórek elementarnych kryształu
3. Nowe oznaczenia, wprowadzające explicite:
• numerowanie komórek elementarnych n = ( n1
, n2,
n3)
ni
= 1,
2,
3,....
N
N 1 N2
N3
= N,
gdzie położenie komórki dane jest wektorem:
=
n a + n a + n a
R n
1
1
2
2
• numerowanie atomów w bazie α = 1, 2, … r
3
3
el
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 30
i

Drgania sieci krystalicznej, fonony
• wychylenia atomów z położeń równowagi: u
nα
oznacza wychylenie z
położenia równowagi atomu α znajdującego się w komórce elementarnej
opisanej wektorem
4.
n
Zmieniając oznaczenie energii (kolizja z ) i rozwijając na
szereg z dokładnością do członów kwadratowych w wychyleniach
(przybliżenie harmoniczne) otrzymujemy:
u
nα
k
U eff (R)
2
k
1 ∂ Θ
U eff ( R)
≡ Θ(
R)
= Θ(
R0
+ δR)
= Θ(
R0)
+ ∑ 2 ∂x
∂x
u
nα
iu
mβ
j + ...
gdzie i oraz j oznaczają składowe kartezjańskie odpowiednich wektorów
5. „Stałe siłowe”:
∂ Θ
∂x
nα
i∂x
mβ
j
mβ
j
≡ Θ
nα
i muszą być niezmiennicze względem
operacji translacji sieciowych i operacji grupy punktowej kryształu
⇒
2
mβ
j
Θ
nα
i
( m−
n)
β j
= Θ0α
i
zależą tylko od względnego
położenia komórek
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 31
n
α i
mβ
j
nα
i
mβ
j

Drgania sieci krystalicznej, fonony
6. Równanie ruchu atomu α z komórki elementarnej n :
gdzie siły pochodzą od oddziaływań ze wszystkimi pozostałymi atomami.
Należy zwrócić uwagę, że przeważnie w tym równaniu wystarczy się
ograniczyć do stałych siłowych związanych z oddziaływaniem z bliskimi
sąsiadami
7. Rozwiązania, zależnego wyłącznie od położenia danej komórki elementarnej,
poszukujemy w postaci fal płaskich:
gdzie
M u
α nα
i
β
mβ
j
R n
u
nα
i
=
n a
1
=
1
+ ∑
mβ
j
Θ
n i ⋅u
α m j
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 32
=
0
1
i(
qRn
−ωt
)
uα
i(
q)
⋅ e
α
M
+ n a
2
2
+ n a
3
3

Drgania sieci krystalicznej, fonony
8. Podstawienie powyższej postaci do równania ruchu daje:
2 ⎛
− ω ⋅ ( ) + ⎜
α i q ∑⎜∑
β j m ⎝
gdzie:
∑
m
1
M M
mβ
j iq(
R −R
)
u Θ
m n ⋅ e ⎟
nα
i
uβ
j ⎟
α β
M
1
mβ
j iq(
Rm
−Rn
)
Θ
nα
i ⋅ e
αM
β
jest tzw. macierzą dynamiczną. Nie zależy ona od n, ponieważ
9. Dla danego (wektora falowego) otrzymujemy 3r jednorodnych równań:
mβ
j
Θ
nα
i
( m−
n)
β j
= Θ0α
i
q
które mają niezerowe rozwiązanie, jeśli:
=
⇒
( q)
=
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 33
D
2
β j
− ω ⋅ ( q)
+ ∑ D ( q)
u ( q)
=
Det
uα i
α i β j
β j
{ } β j
2
D ( q)
− ω Iˆ
= 0
α i
β j
α i
0
( q)
)
(q
ω 3r różnych
rozwiązań
⎞
⎠
0

Drgania sieci krystalicznej, fonony
10. Powyższa procedura oznacza przejście do współrzędnych normalnych, dzięki
czemu wyjściowy układ 3rN jednowymiarowych, sprzężonych oscylatorów
harmonicznych opisujących ruch poszczególnych atomów staje się układem
3rN niezależnych jednowymiarowych oscylatorów harmonicznych
opisujących ruchy kolektywne
⇓
Dla każdego q otrzymujemy 3r niezależnych drgań normalnych (modów
własnych) w postaci fal. Mamy więc 3r relacji dyspersyjnych dla różnych
rodzajów fal.
11. Wektor falowy q należy
do 1 SB:
Ch. Kittel, „Wstęp do fizyki ciała stałego”
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 34

Drgania sieci krystalicznej, fonony
12. Przypomnienie – ruch jednowymiarowego łańcucha złożonego na przemian z
różnych mas:
ω(q)
gałąź drgań optycznych
gałąź drgań
akustycznych
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 35
q
C C
stała siłowa

Drgania sieci krystalicznej, fonony
Fonony
1. 3rN drgań normalnych ⇒ 3rN jednowymiarowych oscylatorów
harmonicznych
2. kwantowanie oscylatorów ⇒ oscylatory „numerowane” numerem gałęzi s
(jest ich 3r) oraz wektorem falowym q :
( n ) + ½ ⋅ ω
( q)
Eosc =
sq
s
3. kwant wzbudzenia danego oscylatora nazywamy fononem (kwazicząstka).
Stan kwantowy fononu opisują liczby kwantowe s i q . Dowolnie dużo
fononów może obsadzać ten sam stan kwantowy (bo dany oscylator może
być w dowolnie wysokim stanie kwantowym) ⇒ fonon jest bozonem:
q = ω
(q)
q
Es s
– energia fononu
– kwazipęd fononu
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 36

Drgania sieci krystalicznej, fonony
4. w równowadze z termostatem o temperaturze T obsadzenie stanu
fononowego (średnia liczba fononów w danym stanie fononowym):
5. gęstość stanów fononowych w przestrzeni wektora q (patrz gęstość stanów
elektronowych!) jest stała i wynosi (3D):
1
⎛ kT ⎞
n
sq ( T ) = ⎯ ⎯⎯ → ∝ T
s q
T ⎜
s q ⎟
ω
( )
→∞
kT e −
⎝ ω
( )
1
⎠
ρ ( q) =
1
( ) 3
2π
w wysokich temperaturach liczba
fononów jest proporcjonalna do
temperatury
6. w krysztale z bazą składająca się z r atomów mamy 3 gałęzie fononów
akustycznych, dla których ω(q=0) = 0 (1 „podłużnych” LA i 2
„poprzecznych” TA) oraz 3r-3 gałęzi fononów optycznych, dla których
ω(q=0) ≠ 0 (r-1 „podłużnych” LO i 2r-2 „poprzecznych” TO)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 37

Drgania sieci krystalicznej, fonony
7. fonony akustyczne w q = 0 odpowiadają drganiom wszystkich r atomów
bazy w zgodnych fazach (brak momentu dipolowego związanego z
drganiami); w przypadku fononów optycznych, jeśli atomy bazy nie są
jednakowe, takie momenty dipolowe się pojawiają – możliwe sprzężenie z
falą elektromagnetyczną: dla kryształów jonowych silna absorpcja dla
częstości odpowiadających fononom optycznym (Reststrahlen)
8. w ogólności (dla dowolnego ) ani gałęzie „poprzeczne” ani „podłużne” nie
odpowiadają ściśle drganiom poprzecznym i podłużnym (patrz fale sprężyste
w ośrodkach ciągłych)
q
9. w przybliżeniu harmonicznym fonony są kwazicząstkami całkowicie ze
sobą nieoddziałującymi
10. wyjście poza przybliżenie harmoniczne pozwala np. zrozumieć :
• skąd się bierze rozszerzalność termiczna
• dlaczego (fononowe) przewodnictwo cieplne jest skończone…
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 38

1 THz ≈ 4 meV
Drgania sieci krystalicznej, fonony
Aluminium, r = 1 (tylko fonony akustyczne)
tak jak to było przewidziane przez model ośrodka ciągłego
R. Stedman, G. Nilsson, Physical Review 145, 492 (1966)
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 39

1 THz ≈ 4 meV
J. Kulda et al., Physical Review B 50, 13347 (1994)
Drgania sieci krystalicznej, fonony
Krzem Si, r = 2 ω LO =
ωTO
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 40

8 cm -1 ≈ 1 meV
Drgania sieci krystalicznej, fonony
GaAs, r = 2
P. Giannozzi et al., Physical Review B 43, 7231 (1991)
ω >
ω
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 41
LO
TO

G. Raunio et al., Physical Review 178, 1496 (1969)
Drgania sieci krystalicznej, fonony
NaCl, r = 2
ω > ω
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 42
LO
TO

8 cm -1 ≈ 1 meV
Drgania sieci krystalicznej, fonony
T. Ruf et al., Physical Review Letters 86, 906 (2001)
GaN (wurcyt), r = 4
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 43

ε ( 0)
ε ( ∞)
=
ω
ω
Drgania sieci krystalicznej, fonony
Relacja Lyddane’a–Sachsa–Tellera
2
LO
2
TO
gdzie ε(0) i ε(∞) są niskoczęstościową i
wysokoczęstościową stałą dielektryczną
Jedna z „dynamicznych” definicji ładunku efektywnego –
efektywny, poprzeczny ładunek Borna:
ε µ
N
[ ε ( 0)
− ( ∞)
]
*
0
e = ωTO
ε
gdzie µ jest masą zredukowaną, a N –
koncentracją drgających par atomów
Czym bardziej spolaryzowane wiązanie pomiędzy atomami,
tym większa różnica pomiędzy ωLO i ωTO
2013-04-23 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 9 44