Analiza 2

1.4. VEKTORSKE FUNKCIJE 11
in y = h(t) pastaparametričnienačbikrivulje, npr. enotskakroˇznicat ↦→ (x,y),
x = cost, y = sint, t ∈ [0,2π).
Definicija 5 Naj bo I ⊂ R in f : I → R m vektorska funkcija, definirana
v vsaki točki intervala I, razen morda v točki a. Točka (vektor) A ∈ R m je
limita vektorske funkcije f v točki a, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da je
f(t)−A < ε, čim je |t−a| < δ.
Očitno je
Če to velja, potem piˇsemo
limf(t)
= A.
t→a
(a) limt→af(t) = A natanko takrat, ko za vsako koordinatno funkcijo fk velja
lim
t→a fk(t) = Ak, k ∈ {1,...,m}.
(b) če je f definirana tudi v točki a, je f zvezna v točki a natanko tedaj, ko
obstaja limt→af(t) in je
limf(t)
= f(a).
t→a
Definicija 6 Naj bo f : I → R m vektorska funkcija in t0 ∈ I. Definirajmo:
˙
f(t0) = lim
h→0
f(t0 +h)−f(t0)
.
h
Če ta limita obstaja, jo imenujemo odvod vektorske funkcije f v točki t0.
Opomba: Tu f(t0+h)−f(t0)
h
pomeni 1
h (f(t0 +h)−f(t0)). Vektor deliti s skalar-
jem pomeni mnoˇziti ga z obratno vrednostjo tega skalarja.
Opomba: Iz odvedljivosti vektorske funkcije v t0 seveda sledi zveznost vek-
torske funkcije v t0.
Iz zgornje diskusije o limitah sledi, da je vektorska funkcija f v točki t0
odvedljiva natanko tedaj, ko so v točki t0 odvedljive vse njene koordinatne
funkcije f1,f2,...,fm, t.j. če za vsak k ∈ {1,2,...,m} obstajajo limite
˙
fk(t0) = lim
h→0
fk(t0 +h)−fk(t0)
.
h