Analiza 2

1.6. DIFERENCIABILNOSTPRESLIKAVZ(ODPRTIHMNO ˇ ZIC) R N V R M 35
Sledi, da je
Pri tem je
(†) ≤ co(h)+o (Df)(a)(h)+o(h) .
(Df)(a)(h)+o(h) ≤ dh+sh, s < ∞
saj je limh→0o(h)/h = 0. Od tod sledi
kjer je limh→0o(h)/h = 0. Torej
≤ th, t < ∞,
(†) = o(h),
F(a+h) = F(a)+ (Dg)(b)◦(Df)(a) (h)+o(h)
za F = g◦f, kjer je limh→0o(h)/h = 0. Torej je F = g◦f res diferenciabilna
in velja
Opomba: V primeru, ko je p = 1, je
(DF)(a) = (Dg)(b)◦(Df)(a).
∂F
(a) =
∂x1
∂g ∂u1
u(a) (a)+...+
∂u1 ∂x1
∂g ∂um
u(a) (a)
∂um ∂x1
···
∂F
(a) =
∂xn
∂g ∂u1
u(a) (a)+...+
∂u1 ∂xn
∂g ∂um
u(a) (a),
∂um ∂xn
kjer je u(a) = u1(a),u2(a),...,um(a) oziroma
∂F
(a),...,
∂x1
∂F
∂g ∂g
(a) = u(a) ,..., u(a)
∂xn ∂u1 ∂um
⎡
∂u1
(a) ···
⎢ ∂x1
⎢
· ⎢ .
⎢ . ..
⎣
∂um
(a) ···
∂x1
⎤
∂u1
(a)
∂xn ⎥
.
⎥
⎦
∂um
(a)
∂xn
.
Opomba: Če imamo n = 1 in m = 1, dobimo ˇze znano formulo iz Analize I, za
kompozicijo funkcij ene spremenljivke, t.j.
dF
dx
dg
du
(a) = u(a)
du dx (a),